DS N°6 + corrigé

1ère ES3
2005/2006
Devoir surveillé N° 6 (1 heure)
Exercice 1 :
 x + 12 y = 5
a) Résoudre le système d’équations : 
3 x + 41 y = 8
1 ×41 ≠ 3 × 12 donc le système a une solution et une seule.
De la 1ère équation, on obtient x = 5 – 12 y
En remplaçant dans la 2e, on obtient : 15 – 36y + 41y = 8
7
84 109
donc 5y = - 7 donc y = – donc x = 5 + =
5
5
5
109
7
La solution est le couple : (
;– )
5
5
b) Résoudre graphiquement le système d’inéquations :
y ≥ 4
y < x + 5

VOIR GRAPHIQUE CI-APRES

2 x − y ≥ 8
 x + y ≤ 20
Exercice 2 : Le gérant d'un hôtel souhaite renouveler le linge de toilette de son
établissement. Il a besoin de 900 draps de bain, 2400 serviettes et 2400 gants de
toilette.
Une première entreprise de vente lui propose un lot A comprenant 20 draps de bain,
40 serviettes et 80 gants de toilette pour 200 €. Une deuxième entreprise vend pour
400 € un lot B de 30 draps de bain, 120 serviettes et 60 gants de toilette.
Pour répondre à ses besoins, le gérant achète x lots A et y lots B.
1. Traduire par un système d'inéquations les contraintes auxquelles satisfont x et y.
Détailler le raisonnement.
Contrainte sur les draps de bain :
20x + 30y ≥ 900
Contrainte sur les serviettes :
40x + 120y ≥ 2400
Contrainte sur les gants de toilette :
80x + 60y ≥ 2400
De plus x est un entier naturel, de même pour y.
En simplifiant, on constate qu’on obtient les inéquations figurant dans la
question 2.

→

→
2. On considère le plan P rapporté à un repère orthonormal (O; i , j ) . A tout couple
(x; y) on associe le point M de P de coordonnées x et y, en convenant que 2 cm
représentent 5 lots sur chaque axe, soit 4 mm par lot. Représenter dans P
l'ensemble G des points M(x ; y) satisfaisant aux inéquations :
2005/2006
1ère ES3
x ≥ 0

y ≥ 0
2x + 3y ≥ 90
x + 3y ≥ 60

4x + 3y ≥ 120
On hachurera la partie du plan formée des points pour lesquels les contraintes
ne sont pas vérifiées.
VOIR GRAPHIQUE CI APRES.
3. a) Exprimer en fonction de x et de y la dépense en euros occasionnée par l'achat
de x lots A et de y lots B.
La fonction économique est une fonction coût exprimée en € et dépendant de x et
de y soit C (x ; y) = 200x + 400y
b) Est-il possible de procéder aux achats nécessaires avec 5 000 € ? On justifiera la
réponse.
On représente la fonction économique au niveau 5 000 : on s’aperçoit (voir
graphique) qu’elle n’a aucun point se trouvant dans la zone d’acceptabilité. On
en déduit qu’il n’est pas possible de procéder aux achats avec 5 000 €.
4. Déterminer graphiquement, en précisant la démarche choisie, les nombres de
lots A et B à acheter pour avoir une dépense minimale. Quelle est cette dépense
minimale ?
On glisse la droite représentant la fonction économique au niveau 5 000 €
« parallèlement » et vers « le haut », jusqu’au moment où on atteint le premier
point situé dans la zone d’acceptabilité.
Le sommet obtenu a comme coordonnées : (30 ; 10).
La dépense minimale (en €) est alors égale à : 30 × 200 +10 × 400 = 10 000 €.
CORRIGE
y
y=x+5
22
y=4
1
-6
O
1
37
y=2x-8
-6
x+y=20
x
CORRIGE
y
ZONE D'ACCEPTABILITE
45
4x+3y=120
FONCTION ECONOMIQUE AU NIVEAU 12 000 €
( 30 ; 10 )
5
FONCTION ECONOMIQUE AU NIVEAU 5000 €
O
2x+3y=90
5
x+3y=60
-5