Correction DM3_TESL 2013

CORRECTION DU DM3
⟶ Soldes
Un magasin solde un pantalon. Son prix initial est de 100€, son prix baisse de 5% toutes les
semaines.
Soit ‫ݑ‬௡ le prix du pantalon au bout de ݊ semaines. Ainsi ‫ݑ‬଴ = 100.
1) ‫ݑ‬଴ = 100€
‫ݑ‬ଵ = 100 − 0,05 × 100 = 100ሺ1 − 0,05) = 95€
‫ݑ‬ଶ = 105ሺ1 − 0,05) = 90,25€
ሺ1 point)
‫ݑ‬ଷ = 110,25ሺ1 − 0,05) ≈ 85,74€
2) Nature de ‫ ݑ‬: ሺ1 point)
Au but de ݊ semaines, ‫ݑ‬௡ = ‫ݑ‬௡ିଵ ሺ1 − 0,05) = 0,95‫ݑ‬௡ିଵ .
Donc u est une suite géométrique de 1er terme ࢛૙ = ૚૙૙ et de raison q=0,95
q=0,95.
0,95.
3) Expression du terme général ‫ݑ‬௡ en fonction de ݊ : ሺ0,5 point)
‫ݑ‬௡ = ‫ݑ‬଴ × ‫ ݍ‬௡ donc ࢛࢔ = ૚૙૙ × ૙, ૢ૞࢔ .
4) Représentation des 8 premiers termes de la suite ‫ ݑ‬: ሺ1,5 point)
5) Au bout de combien de semaines le pantalon coûtera moins de la moitié de son prix initial ?
Méthode : on cherche ݊ tel que ࢛࢔ ≤ ૞૙..
D’après la calculatrice, ‫ݑ‬ଵଷ = 51,33 et ‫ݑ‬ଵସ = 48,77. ሺ1 point)
Donc le pantalon coûtera moins de la moitié de son prix initial au bout de 14 semaines.
6) Joceline achètera le pantalon quand celui-ci coûtera moins de 40€.
Méthode : on cherche ݊ tel que ࢛࢔ ≤ ૝૙..
D’après la calculatrice, ‫ݑ‬ଵ଻ = 41,81 et ‫ݑ‬ଵ଼ = 39,72. ሺ1 point)
Donc le pantalon coûtera moins de 40€
40€ au bout de 18 semaines.
⟶ Evolution de la population mondiale
La population mondiale était de 3,02 milliards d’habitants en 1960 et de 6,09 milliards en 2000.
A - MODELE LINEAIRE
1) Calculer l’accroissement moyen absolu par décennie du nombre d’habitants de 1960 à 2000.
L’accroissement absolu entre 1960 et 2000 est de 3,07 milliards, or il y a 4 décennies de 1960 à
200 donc l’accroissement moyen absolu est de
ଷ,଴଻
ସ
= 0,7675. ሺ1 point)
En moyenne, chaque décennie, la population a augmenté de 767 500 000 habitants.
2) Dans ce 1er modèle, on suppose que cet accroissement absolu moyen reste constant pour les
décennies à venir, donc une fixe l’augmentation à 0,7675.
On note ‫ݑ‬௡ le nombre d’habitants ሺen milliards) ݊ décennies après 1960. Ainsi ‫ݑ‬଴ = 3,02.
a. On suppose alors que d’une décennie à l’autre l’augmentation est constante et égale à
0,7675. Donc on définit une suite arithmétique de 1er terme ‫ݑ‬଴ = 3,02 et de raison ‫ = ݎ‬0,7675.
ሺ1 point)
Une suite arithmétique définit un modèle linéaire.
b. Expression de ‫ݑ‬௡ en fonction de ݊ : ሺ0,5 point)
Comme ‫ݑ‬௡ = ‫ݑ‬଴ + ݊ × ‫ ݎ‬alors ࢛࢔ = ૜, ૙૛ + ૙, ૠ૟ૠ૞࢔.
c. Si le modèle restait fiable sur le long terme, au bout de combien de décennies, le monde
compterait-il plus de 8 milliards d’habitants ?
Méthode : on cherche ݊ tel que ‫ݑ‬௡ ≥ 8 ⟺ 3,02 + 0,7675݊ ≥ 8.
3,02 + 0,7675݊ ≥ 8
⟺ 0,7675݊ ≥ 8 − 3,02
⟺ 0,7675݊ ≥ 4,98
ସ,ଽ଼
⟺ ݊ ≥ ଴,଻଺,଻ହ
⟺ ݊ ≥ 6,49 ሺ1,5 point)
Donc, d’après ce modèle, le monde compterait plus de 8 milliards d’habitants au bout de 7
décennies, soit en 2030.
B - MODELE EXPONENTIEL
Dans ce second modèle, on suppose que l’accroissement relatif entre deux décennies reste
constant, égal à 18%.
On note ‫ݒ‬௡ le nombre d’habitants ሺen milliards) ݊ décennies après 1960. Ainsi ‫ݒ‬଴ = 3,02.
1) Une augmentation constante de 18% correspond à un coefficient multiplicateur de
1+0,18=1,18. Donc ‫ ݒ‬est suite géométrique de 1er terme ‫ݒ‬଴ = 3,02 et de raison ‫ = ݍ‬1,18.
Comme ‫ݒ‬௡ = ‫ݑ‬଴ × ‫ ݍ‬௡ alors ࢜࢔ = ૜, ૙૛ × ૚, ૚ૡ࢔ . ሺ1 point)
2)
a. Si le modèle restait fiable sur le long terme, au bout de combien de décennies, le
monde compterait-il plus de 8 milliards d’habitants ?
Méthode : on cherche ݊ tel que ࢜࢔ ≥ 8..
D’après la calculatrice, ‫ݒ‬ହ = 6,909 et ‫ = ଺ݒ‬8,153. ሺ1 point)
Donc, d’après ce modèle, le monde compterait plus de 8 milliards d’habitants au bout de 6
décennies, soit en 2020.
b. On peut en déduire que ce modèle correspond à une croissance plus rapide par
rapport au modèle linéaire d’où l’appellation de modèle exponentiel. ሺ1 point)
C – COMPARAISON DES MODELES
MODELES
L’année 2010 correspond à ݊ = 5.
‫ݑ‬ହ = 3,02 + 0,7675 × 5 = 6,8575 et ‫ݒ‬ହ = 3,02 × 1,18ହ = 6,909.
Donc le modèle linéaire est plus proche de la réalité. ሺ1 point)