TP- Sphéromètre

1-STL-PL
TP – Détermination d'un rayon de courbure
Utilisation d'un sphéromètre.
I- Description d'un sphéromètre.
Un sphéromètre est constitué d'une partie fixe formée de trois pointes (dont les extrémités
définissent un plan et un cercle π) ou d'un cylindre (dont le bord définit un plan et cercle π) et d'un pointe
centrale mobile formée d'une vis à très faible pas (0,5 mm en général).
Lorsque l'on pose le sphéromètre sur une surface plane, la pointe P peut être amenée exactement
dans le plan du cercle π, et exactement à son centre.
Si l'on pose le sphéromètre sur une surface sphérique (concave ou convexe), la pointe P n'est plus
dans le plan du cercle π lorsqu'elle touche la surface étudiée. Une graduation permet de déterminer le
déplacement de la pointe : le nombre entier de tours est lu sur G, les fractions de tours sont lus sur O.
Deux modèles de sphéromètres sont représentés ci-dessous :
Principe :
On pose l'appareil sur la surface sphérique dont on
veut mesurer le rayon de courbure R.
En tournant la vis, on amène la pointe P, initialement
dans le plan du cercle π, au contact de la sphère. Le
déplacement h de la pointe P mesure la "flèche" de la
calotte sphérique découpée sur la sphère par le plan π.
Le rayon de la base de la calotte sphérique est celui
du cercle π, c'est-à-dire r.
II- Mesures et calculs.
1- Mesure de h
a- On pose l'appareil sur un plan étalon de verre et on
amène la pointe P au contact du plan. Les quatre
pointes (ou le cercle et la pointe centrale doivent
toucher simultanément la surface plane.
On lit alors l'indication de la position à l'aide des
repères G et O.
On recommence plusieurs fois cette détermination. on
prend la moyenne des lectures h1 et on évalue
l'incertitude absolue Δh1.
b- On pose ensuite l'appareil sur la sphère de rayon de
courbure R et on amène P en contact avec la surface.
On lit la position à l'aide des repères G et O. On obtient
h2 et Δh2
On a évidemment h = h 2 - h1 et
Vue de
profil
R
r
h
cercle π
Vue de
dessus
r
Δh = Δh1 + Δh 2
2- Mesure de r
Appareil de la figure 1 : les quatre pointes étant dans le même plan, on place l'appareil sur une
pile de feuille de papier et l'on appuie légèrement, pour obtenir l'empreinte des pointes.
On mesure soigneusement au réglet les distances PA, PB et PC plusieurs fois de suite.
On prendra pour r la moyenne de ces mesures et on évaluera Δr.
Appareil de la figure 2 : On opère de la même manière pour obtenir l'empreinte du cercle et de la
pointe P. On mesure ensuite plusieurs fois le diamètre d du cercle. On détermine la valeur
moyenne de d et Δd, puis r = d/2 et Δr = Δd/2
3- Calcul de R
On démontrera la relation suivante (considérer les triangles rectangles sur la figure ci-dessus ...) :
r 2 + h2
R=
2.h
Pour calculer ΔR , on partira de la relation :
ΔR
2Δr
Δh
=
+
R
r
h
On donnera la valeur du rayon de courbure sous la forme
R = ...... ± ΔR
On fera les mesures pour 4 lentilles différentes en indiquant leur numéros
4- Puissance sphérométrique d'une lentille
a) Définitions
La "puissance" d'un dioptre air-verre est donnée par la formule :
D=
n-1
R
n est l'indice du verre et
R le rayon de courbure du dioptre en m
(R>0 pour une face convexe et R<0 pour une face concave)
D est donné en dioptries (δ)
Une lentille est en fait l'association de deux dioptres sphériques qui en constituent les faces.
On démontre que la puissance D d'une lentille est donnée par l'expression suivante (appelée
formule de GULLSTRAND) :
d
D = D1 + D2 + .D1 .D2
n
- D1 et D2 sont les puissances des deux faces,
- d l'épaisseur au centre de la lentille (en m) et
- n l'indice de la matière formant la lentille
La somme DS = D1 + D2 est appelée puissance sphérométrique.
En effet, on peut mesurer R1 et R2, rayons de courbure des deux faces à l'aide d'un sphéromètre et
en déduire D1 et D2 puis DS.
Remarque 1 : DS est rigoureusement égal à D dans deux cas :
* la lentille est très mince, donc d = 0 ce qui entraîne D = D1 + D2
* l'une des faces de la lentille (même épaisse) est plane, donc D1 ou D2 = 0
(puisque R est infini pour cette face !)
Dans ce cas D = DS = D1 ou D2 (puissance de la face sphérique)
Remarque 2 : L'erreur absolue systématique faite dans le cas général en confondant DS et D est égale à
:
d
.D1 .D2
n
(d en m, D1 et D2 en dioptries δ)
Cette erreur est donc d'autant plus faible que la lentille est plus mince et ses faces sont peu
bombées (puissance faible).
b) Mesures et calculs :
* Calculer les puissances des lentilles étudiées précédemment en admettant que l'indice du verre
est n = 1,523.
* En déduire la puissance sphérométrique DS
* Calculer la puissance réelle D (après avoir mesuré avec précision l'épaisseur au centre des
lentilles avec un instrument adapté)
* Déterminer dans chaque cas l'erreur absolue et l'erreur relative faite en confondant D et DS.