analyse frequentielle de systemes du 3 ordre

ANALYSE FREQUENTIELLE DE SYSTEMES DU 3ème ORDRE
Premier système
On considère la fonction de transfert suivante :
(1 + T1 p )
FT1 ( p ) = G
(1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p )(1 + τ 3 p )
avec :
1
1
1
1
< <
<
T1 τ 1 τ 2 τ 3
→ Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode (on ne considère pas de valeur
numérique pour le gain et les constantes de temps).
→ Esquisser l'allure du tracé réel de Bode pour G = 2, T1 = 1000s, τ1 = 100s, τ2 = 10s
et τ3 = 1s puis pour G = 2, T1 = 50s, τ1 = 15s, τ2 = 5s et τ3 = 1s.
→ A partir du diagramme de Bode réel obtenu pour G = 2, T1 = 1000s, τ1 = 100s, τ2 =
10s et τ3 = 1s, tracer le diagramme de Black (ou Nichols) puis le diagramme de Nyquist.
Deuxième système
On considère la fonction de transfert suivante :
(1 + T1 p )
FT2 ( p ) = G
2

(τ 1 p − 1)1 + 2 z p + p 2
ωn
 ωn
avec :



1
1
< < ωn
τ 1 T1
→ Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode (on ne considère pas de valeur
numérique pour le gain et les constantes de temps).
→ Esquisser l'allure du tracé réel de Bode pour G = 2, T1 = 100s, τ1 = 1000s, ωn = 1s
et z = 0,3.
→ A partir du diagramme de Bode réel obtenu, tracer le diagramme de Black (ou
Nichols) puis le diagramme de Nyquist.
CORRECTION 1er SYSTEME
Diagramme de Bode asymptotique.
Définition du diagramme de Bode :
Pour une fonction de transfert F(p), c'est le tracé du module et de la phase du nombre
complexe F(jω) en fonction de ω, lorsque ω varie de 0 à +∞.
Tracé du diagramme de Bode asymptotique :
Toute fonction de transfert est le produit d'éléments simples (gain, dérivateurs, zéros,
intégrateurs, pôles). Il suffit donc de tracer le diagramme de Bode de chaque élément simple,
puis d'en faire la somme pour obtenir le diagramme de Bode de la fonction de transfert
complète.
Une autre méthode peut être utilisée pour tracer ce diagramme asymptotique :
1. Déterminer les asymptotes initiales (pente pour le Bode-gain ; phase pour le Bodephase). Ceci permet de prendre en compte les éléments simples de type gain
dérivateur et intégrateur dont l'asymptote ne varie pas en fonction de la pulsation.
Attention ! pour ne pas faire d'erreur, la fonction de transfert doit avoir tous ses
pôles et zéros mis sous la forme "1±τp" et non " τp±1". Dans le cas " τp±1", il faut
mettre le terme sous la forme "(-1)*( 1±τp)". Il y a donc un gain négatif apportant
une phase initiale de –180° à prendre en compte.
2. Les éléments restants (pôles / zéros du 1er et 2nd ordre) apportent avant leur
pulsation de coupure une pente et une phase asymptotique nulles. Par conséquent,
on ne prend en compte chaque élément que si ω > pulsation de coupure, en
ajoutant aux asymptotes une variation égale aux asymptotes finales de l'élément
considéré.
Par exemple, la pente pour ω<1/τ1 du Bode-gain est de –20 dB/décade et la phase
asymptotique de –180°. La fonction de transfert possède un pôle stable (1+τ1p). Lorsque
ω>1/τ1, il faut rajouter à la pente courante du Bode-gain une valeur de –20 dB/décade, soit
une nouvelle pente asymptotique de –40 dB/décade. Pour la phase il faut rajouter –90° à la
phase courante de –180°, ce qui donne une nouvelle phase asymptotique de –270°.
En procédant ainsi, après avoir ordonné les éléments, de proche en proche on construit le
diagramme de Bode asymptotique.
Application à notre fonction de transfert :
FT1 ( p ) = G
avec :
(1 + T1 p )
(1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p )(1 + τ 3 p )
1
1
1
1
< <
<
T1 τ 1 τ 2 τ 3
Bode Diagrams
From: U(1)
40
20
0
-20
-40
50
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
GdB
0
-50
-100
-150
10-4
-3
-2
10
1/T
1
10
1/τ
1
-1
0
10
1/τ
2
101
10
1/τ
3
Frequency (rad/sec)
Tracé du diagramme de Bode réel
Cas 1
G = 2, T1 = 50, τ1 = 15, τ2 = 5 et τ3 = 1
Cas 2
G = 2, T1 = 1000, τ1 = 100, τ2 = 10, τ3 = 1
Bode Diagrams
Bode Diagrams
From: U(1)
20
20
-20
-40
50
0
-50
-100
0
-20
-40
50
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
40
0
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
From: U(1)
40
0
-50
-100
-150
-150
-3
10
10
-2
-1
10
Frequency (rad/sec)
0
10
10
1
10-4
10-3
10-2
10-1
Frequency (rad/sec)
100
101
Quelle que soit l'application numérique, le diagramme asymptotique reste valable. En
effet, l'ordre des zéros et des pôles est le même pour les 2 cas. Cependant l'écartement entre
les pôles et les zéros joue un rôle dans l'allure du diagramme de Bode réel. Dans le cas 2 les
pôles et zéros sont plus écartés que dans le cas 1.
On constate sur les tracés réels que le cas 2 génère une surtension plus importante. En
effet, le premier pôle étant plus éloigné du zéro que dans le cas 1, l'augmentation du Bodegain dû à la pente de +20 dB/décade dure plus longtemps.
On constate également que l'augmentation du Bode-phase entre le zéro et le premier
pôle est plus importante dans le cas 2 que le cas 1. Là encore, l'écartement entre les éléments
successifs est plus grand dans le cas 2 que dans le cas 1, ce qui permet au diagramme réel de
se rapprocher plus du diagramme asymptotique dans le cas 2 que dans le cas 1.
Tracé du diagramme de Black
Si l'on considère le gain et la phase du diagramme de Bode comme des coordonnées
d'une variable indépendante ω, alors le diagramme est la représentation cartésienne de ces
coordonnées (phase en fonction du gain). La variable indépendante ω étant implicite dans
Black, il est impératif d'orienter la courbe selon le sens des ω croissants (de 0 à +∞).
Pour faire le tracé, pour chaque valeur de ω du diagramme de Bode on trace le couple
(gain, phase). Pour faire une esquisse on se place à ω = 0, et on détermine le point ou
l'asymptote initiale dans le diagramme de Black. Ensuite on parcours le diagramme de Bode
dans le sens des ω croissants, et on repère les quatre cas de figure possible :
1.
2.
3.
4.
Gain croissant, phase croissante
Gain croissant, phase décroissante
Gain décroissant, phase croissante
Gain décroissant, phase décroissante.
La concavité du morceau de courbe dans le diagramme de
Black dépend si la variation de gain est plus ou moins grande
que la variation de phase.
Phase
3
1
Gain
4
2
Il suffit alors, selon la suite des cas de figure repérés sur Bode, d'enchaîner les arcs de
courbe correspondants dans Black.
Application à notre fonction de transfert (cas 2) :
Initialement, pour ω = 0, le gain vaut 6 dB et la phase vaut 0°. Le diagramme de Black
part donc d'un point (asymptote de pente nulle pour le gain).
En faisant croître les ω, on constate que la phase commence par augmenter, ainsi que
le gain et que l'augmentation significative de la phase intervient avant celle du gain. Dans un
deuxième temps, la phase diminue alors que le gain continue à augmenter. Enfin dans un
troisième temps, le gain se met à diminuer alors que la phase continue à diminuer. Le gain
tend vers -∞ et la phase vers –180° lorsque ω tend vers +∞. Par conséquent il y a une
asymptote verticale dans Black.
Nichols Charts
From: U(1)
40
20
ω=0
-20
To: Y(1)
Open-Loop Gain (dB)
0
-40
-60
-80
-100
ω = +∞
-120
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Open-Loop Phase (deg)
Tracé du diagramme de Nyquist
Si l'on considère le gain et la phase du diagramme de Bode comme des coordonnées
d'une variable indépendante ω, alors le diagramme de Nyquist est la représentation polaire de
ces coordonnées. Ceci signifie que pour ω variant de 0 à +∞, on trace la courbe que décrit
l'extrémité d'un vecteur de longueur égale au gain de Bode (pas en dB cette fois !) et dont
l'angle par rapport à l'axe réel est la phase de Bode. La variable indépendante ω étant implicite
dans Nyquist, il est impératif d'orienter la courbe selon le sens des ω croissants (de 0 à +∞).
Pour faire une esquisse du tracé, on peut utiliser la méthode suivante :
1. on se place à ω = 0, et on détermine le point ou l'asymptote initiale dans le
diagramme de Nyquist.
2. Ensuite on parcours le diagramme de Bode dans le sens des ω croissants, et
on divise le Bode-phase en zones où la variation de phase est monotone.
Lorsque la phase croît (décroît), on fait tourner l'extrémité du vecteur dans
le sens trigonométrique (inverse).
3. Dans chaque zone, on regarde les variations du gain. S'il augmente
(décroît), le vecteur s'allonge (diminue). Entre la phase initiale et finale de
la zone considérée, on trace la courbe parcourue par l'extrémité du vecteur.
4. Pour obtenir le Nyquist complet, on enchaîne les zones dans le sens des ω
croissants.
Application à notre fonction de transfert (cas 2) :
Initialement, pour ω = 0, le gain vaut 6 dB soit 2 en échelle normale et la phase vaut
0°. Le diagramme de Nyquist part donc du point 2+0j.
En faisant croître les ω, on constate que la phase
commence par augmenter de 0° à environ 50°, puis diminue
régulièrement de 50° à –180°. On considère donc 2 zones.
Dans la première zone, le gain augmente de 6dB à environ
10dB.
Dans la deuxième zone, le gain commence par augmenter
jusque vers 25dB, puis diminue vers –∞ en dB, c'est-à-dire 0
en valeur normale. D'où l'esquisse suivante :
Im
Re
2
Attention : cette méthode conduit à des esquisses correctes, mais qui peuvent être très
déformées par rapport au tracé réel. En effet le Bode-gain sur lequel on se base est en dB,
alors qu'il faudrait un gain en échelle non logarithmique, pour véritablement apprécier les
variations de gain. Généralement, on "aplatit" les courbes de Nyquist, alors que sur les
diagrammes réels on obtient des enchaînements de ¼ ou ½ cercles. D'autre part on sous
estime quasi systématiquement l'amplitude des surtensions.
Le diagramme réel correspondant au cas 2 est le suivant :
Nyquist Diagrams
From: U(1)
15
10
To: Y(1)
Imaginary Axis
5
0
2
-5
-10
-15
-5
0
5
Real Axis
10
15
20
CORRECTION 2ème SYSTEME
Diagramme de Bode asymptotique.
FT2 ( p ) = G
(1 + T1 p )

(τ 1 p − 1)1 + 2 z

avec :
ωn
p+
p2
ω n2



1
1
< < ωn
τ 1 T1
Le principe est identique au système précédent. La difficulté réside dans le pôle
(τ1*p-1). En effet :
• ce dernier est instable = il apporte une variation asymptotique de phase en
ω = 1/τ1 de +π/2
• en ω=0 (p=jω) il vaut –1 ⇒ la phase à l'origine de cet élément est –π
Si l'on raisonne en terme de variation de pente et phase à partir des asymptotes en
ω=0, il faut remarquer que le terme (τ1*p-1) s'écrit (–1)*(1-τ1*p), c'est-à-dire un terme "-1"
qui apporte une phase à l'origine de –π, et un élément (1-τ1*p) qui est un pôle instable.
Bode Diagrams
From: U(1)
20
0
-20
-40
-60
+90°
0
-50
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
GdB
-100
-150
-200
10-4
-3
10
1/τ
1
-2
10
1/T
1
10-1
Frequency (rad/sec)
0
10
ωn
101
Tracé du diagramme de Bode réel
On prend G = 2, T1=100s, τ1=1000s, ωn=1s, et z=0,3. Compte tenu de la valeur de z, le
second ordre présente une surtension dans le diagramme de Bode-gain.
Bode Diagrams
From: U(1)
20
-20
-40
-60
0
-50
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-100
-150
-200
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
Tracé du diagramme de Black
La méthode est la même que pour le premier système.
Le point initial a pour coordonnées (6dB, -180°). La difficulté réside dans la présence
d'une surtension aux environs de ω = ωn. En effet, une analyse détaillée montre qu'on a tout
d'abord une augmentation de la phase et une diminution du gain. Puis la phase se met à
diminuer alors que le gain est quasiment constant, puis ré-augmente (surtension). Finalement
la phase continue à diminuer avec un gain qui va tendre vers –∞ en dB. L'enchaînement de
ces morceaux conduit obligatoirement à tracer une boucle dans le diagramme de Black pour
les ω autour de ωn.
On obtient effectivement ce comportement lors du tracé, caractéristique des systèmes
oscillants avec résonance.
Nichols Charts
From: U(1)
10
0
To: Y(1)
Open-Loop Gain (dB)
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Open-Loop Phase (deg)
Tracé du diagramme de Nyquist
La méthode est la même que pour le premier système. Il existe cependant deux
différences notables :
1. Le point d'origine du diagramme est en FT2(0) = -G = -2. Il part donc du
demi axe réel négatif.
2. On observe pour les ω aux environs de ωn, le même phénomène que sur le
diagramme de Black. La présence d'une surtension conduit à une
augmentation puis diminution de la phase qui est avancée (en ω) par
rapport à l'augmentation puis diminution du gain. Le Nyquist a donc lui
aussi une "boucle".
On obtient le diagramme suivant :
Nyquist Diagrams
From: U(1)
1.5
1
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
Real Axis
-0.5
0
0.5