Aide mémoire sur le diagramme de Nyquist

MONTIGNY Eric
Aide mémoire sur le diagramme de
Nyquist
Nyquist Diagram
1
0.8
0.6
Imaginary Axis
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
MONTIGNY Eric
Février 2006
0.2
0.4
0.6
0.8
1
MONTIGNY Eric
A. Rappel sur l’espace de Fresnel
Considérons le nombre complexe z = a + jb que l’on peut représenter dans un plan complexe :
IMAGINAIRE
M
b
φ
0
REEL
a
On retiendra les deux relations importantes relatives à l’espace complexe :
z = a ² + b²
b
Φ = tan −1  
a
B. De l’espace de Fresnel au diagramme de Nyquist
Le diagramme de Nyquist est la représentation de Fresnel, dans le plan complexe, de T (jw) lorsque la pulsation
w varie de 0 à +∞. L'extrémité M(w) du vecteur représentatif V décrit alors une courbe pouvant être
éventuellement fermée. Cette courbe est le diagramme de Nyquist de la fonction de transfert.
Pour tracer le diagramme de Nyquist il est conseillé de s’aider un peu du tracé du module du diagramme de
Bode. Nous allons voir cela au travers un exemple simple.
C. Divers cas de figures
a) Considérons la fonction H 1 ( jw) = jw
La représentation du module en fonction de la fréquence, dans le diagramme de Bode avait l’allure suivante :
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
15
10
5
0
-5
91
Phase (deg)
90.5
90
89.5
89
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
MONTIGNY Eric
A partir de ce tracé, nous allons essayer de tracer le diagramme de Nyquist :
w
Réelle
Imaginaire
0
0
0
0
+∞
+∞
On remarque que cette fonction de transfert est purement imaginaire H 1 ( jw) = jw , donc la partie réelle sera
nulle quelque soit l’évolution de la fréquence. Plus la fréquence augmente, et plus la partie imaginaire croit, ce
qui se traduit par la représentation suivante :
IMAGINAIRE
w=+∞
REEL
w=0
Il est important de mettre la flèche, car c’est elle qui indique le sens de croissance des fréquences. Orientée ainsi,
la flèche indique que lorsque la fréquence croit, la partie imaginaire croit.
1
jw
La représentation dans le diagramme de Bode était la suivante :
b) Considérons la fonction H 2 ( jw) =
Bode Diagram
5
Magnitude (dB)
0
-5
-10
-15
-20
-89
Phase (deg)
-89.5
-90
-90.5
-91
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Passons à la représentation de Nyquist, en commençant par une étude sommaire :
- Dans un premier temps on constate que la phase est constante, donc la représentation dans le
diagramme de Nyquist va nous donner une droite.
- Dans un second temps, on constate que la partie réelle, et qu’il n’y a qu’une partie imaginaire dont
l’amplitude décroît lorsque la fréquence augmente.
MONTIGNY Eric
On aura donc :
w
0
+∞
Réelle
0
0
Imaginaire
0
-∞
IMAGINAIRE
REEL
w=0
w=+∞
c) Considérons la fonction H 3 ( jw) = 1 + jw
La représentation dans le diagramme de Bode est :
Bode Diagram
40
35
Magnitude (dB)
30
25
20
15
10
5
Phase (deg)
0
90
45
0
-2
-1
10
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Remarquons déjà que lorsque la fréquence est nulle, la partie imaginaire est nulle (et la partie réelle est égale à
1). Plus on augmente la fréquence est plus la partie imaginaire va augmenter (la partie réelle restant égale à 1).
w
Réelle
Imaginaire
0
1
0
1
+∞
+∞
IMAGINAIRE
w=+∞
1
w=0
φ=π/4
1
REEL
MONTIGNY Eric
d) Considérons la fonction H 4 ( jw) =
1
1 + jw
Bode Diagram
0
-5
Magnitude (dB)
-10
-15
-20
-25
-30
-35
Phase (deg)
-40
0
-45
-90
-2
-1
10
10
10
0
1
2
10
10
Frequency (rad/sec)
e)
Etudions cette fonction de transfert pour diverses valeurs de la fréquence :
w
Réelle
Imaginaire
0
1
0
0
0
+∞
Nyquist Diagram
1
0.8
0.6
Imaginary Axis
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Real Axis
Remarque : Pour tracer le cercle, il faut faire apparaître l’équation de ce cercle, soit :
H ( jw) =
(1 − jw) 1 − jw
1
1
1
w
=
=
.
=
−j
= X ( w) − jY ( w)
1 − w²
1 + jw (1 + jw) (1 − jw) 1 − w² 1 − w²
En éliminant w des parties réelles et imaginaires, on obtient :
2
1
1

Y² +X −  =
2
4

Le diagramme de Nyquist de cette fonction est le demi cercle de centre (1/2,0) et de rayon 1/2.
1