AnalyseVectorielle2013Serie6

A NALYSE VECTORIELLE : S ÉRIE 6
Exercice 1
Soit le champ vectoriel donné par
F~ (x, y) = −y ~i + x ~j
Vérifier que ce champ n’est pas conservatif.
Calculer ensuite la circulation (travail le long de la courbe) sur un cercle de rayon r centré en
(r; r).
Exercice 2
Soit le champ vectoriel donné par
F~ (x, y, z) = yx2 ~i + xy 2 ~j + z ~k
Vérifier que ce champ n’est pas conservatif.
Calculer ensuite la circulation (travail le long de la courbe) sur une hélice d’équations paramétriques
~r(t) = cos(t)~i + sin(t) ~j + t ~k
où 0 ≤ t ≤ 2π.
Exercice 3
On donne deux champs de vecteurs
F~ (x, y) = x2 ~i + y 2 ~j
et
~
G(x,
y) = (x + y 2 )~i + (y + x2 ) ~j
Lesquels sont-ils conservatifs?
Calculer la circulation le long du carré OABC où O(0; 0), A(c; 0), B(c, c), C(0; c) de ces deux
champs, où c est une constante positive.
Exercice 4
Soit le champ vectoriel donné par
F~ (x, y) = y ~i − x ~j
Calculer la circulation (travail) le long du triangle OAB, où O(0; 0), A(1; 1), B(2; 0)
(on va de O à A, de A à B, puis de B à O).
Exercice 5
La loi de Gauss donne la charge Q à l’intérieur d’une surface fermée (S) en fonction du champ
~
électrique E:
ZZ
→
~ ·−
Q = 0
E
dS
S
Calculer la charge à l’intérieur du cube de sommets (±1; ±1; ±1) si le champ est donné par
~
E(x,
y, z) = x~i + y ~j + z ~k
1
Exercice 6
Calculer le flux du champ ~v = yz ~i + zx ~j + xy ~k à travers le quart de cylindre (partie curviligne)
défini ainsi:
cylindre circulaire droit d’axe Oz de rayon R de hauteur H situé dans l’octant x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Exercice 7
Calculer le flux du champ ~v = x~i + y ~j + 0 ~k à travers le huitième de sphère défini ainsi:
sphère (partie curviligne) centrée en O de rayon R située dans l’octant x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Exercice 8
Calculer l’intégrale
ZZ
x2 dS
S
où S est la sphère unité centrée à l’origine.
Exercice 9
Calculer l’intégrale
ZZ
y dS
S
où S est le domaine limité par z = x +
y2,
0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 2.
Exercice 10
Calculer le flux du champ F~ = z ~i + y ~j + x ~k à travers la sphère unité centrée à l’origine.
2
A NALYSE VECTORIELLE : C ORRIG É S ÉRIE 6
Exercice 1
1. On ajoute une composante nulle au vecteur du champ et on calcule son rotationnel. Le
champ n’est pas conservatif car le rotationnel n’est pas nul:
−→ ~
rot F = 2~k
2. Une paramétrisation du cercle est donnée par
~r(t) = (r + r cos(t))~i + (r + r sin(t)) ~j
d~r
= −r sin(t)~i + r cos(t) ~j
dt
On a
F~ (~r(t)) = −(r + r sin(t))~i + (r + r cos(t)) ~j
On a
→
−
F~ · dr = r2 (1 + sin(t) + cos(t))dt
et donc l’intégrale vaut
Z
2π
r2 (1 + sin(t) + cos(t)) dt = 2πr 2
0
Exercice 2
1. Le champ n’est pas conservatif car le rotationnel n’est pas nul:
−→ ~
rot F = (y 2 − x2 )~k
2.
d~r
= − sin(t)~i + cos(t) ~j + ~k
dt
On a
F~ (~r(t)) = cos2 (t) sin(t)~i + cos(t) sin2 (t) ~j + t ~k
On a
→
−
F~ · dr = − cos2 (t) sin2 (t) + cos2 (t) sin2 (t) + t = t
et donc l’intégrale vaut
Z
2π
t dt = 2π 2
0
3
Exercice 3
Le premier champ est conservatif, la circulation est donc nulle.
Le second ne l’est pas, car
−→ ~
rot G = 2(x − y)~k 6= ~0
il faut donc calculer quatre intégrales.
Les chemins sont paramétrés, pour 0 ≤ t ≤ 1, par:
OA : ~r(t) = c t~i
AB : ~r(t) = c~i + c t ~j
BC : ~r(t) = (1 − t)c~i + c ~j
CO : ~r(t) = (1 − t) c ~j
Les vecteurs dérivés sont
OA :
d~r
= c~i
dt
AB :
d~r
= c ~j
dt
BC :
d~r
= −c~i
dt
CO :
d~r
= −c ~j
dt
Les intégrales sont du type
Z
t=1
t=0
~ r(t)) · d~r dt
G(~
dt
Calculons celle de BC:
Z t=1
Z
2~
2 2 ~
(((1 − t)c + c )i + (c + (1 − t) c )j)) · (−c~i) dt =
t=1
(−c2 (1 − t) − c3 ) dt = −c3 − c2 /2
t=0
t=0
De manière analogue, on obtient
OA : c2 /2
AB : c3 + c2 /2
BC : −c3 − c2 /2
CO : −c2 /2
La circulation est la somme des quatre et est donc égale à 0.
Cela ne contredit pas le fait que le champ soit non conservatif, en effet, il existe d’autres courbes
fermées sur lesquelles la circulation n’est pas nulle.
Variante 1:
On pose la circulation ainsi
Z
Z
Z
~
~ 1 (x, y) dx +
~ 2 (x, y) dy
G(x,
y) · (dx~i + dy ~j) =
G
G
Il faut alors donner des bornes adéquates aux intégrales.
Calculons l’intégrale sur le segment OA:
Z x=c
Z y=0
Z x=c
Z
2
2
2
(x + y ) dx +
(y + x ) dy =
(x + y ) dx =
x=0
y=0
Et sur le segment AB:
Z x=0
Z
2
(x + y ) dx +
x=0
x=0
y=c
2
Z
y=0
2
y=c
y=0
Variante 2:
On utilise le théorème de Stokes:
C
Z
(y + x ) dy =
y=0
Z
−
~ ·→
G
dr =
ZZ
S
4
(x + 02 ) dx = c2 /2
x=0
y=c
(y + x ) dy =
x=c
→
~ ·−
rot G
dS
(y + c2 ) dy = c2 /2 + c3
Ici la courbe est le bord du carré et la surface est l’intérieur du carré. Le champ étant horizontal,
−
→
le vecteur normal dS est donné par
−
→
dS = ~k dx dy
et on trouve
ZZ
Z
→
~ ·−
rot G
dS =
c
y=0
S
Z
c
(2x − 2y)~k · ~k dx dy =
Z
c
(c2 − 2cy)dy = c3 − c3 = 0
y=0
x=0
Exercice 4
1. Le champ n’est pas conservatif, car le rotationnel n’est pas nul:
−→ ~
rot F = −2~k
2. travail sur OA:
−→
OA = t~i + t ~j
F~ = t~i − t ~j
Z 1
(t~i − t ~j) · (~i + ~j) = 0
0
3. travail sur AB:
−−→
AB = (1 + t)~i + (1 − t) ~j
Z
F~ = (1 − t)~i − (1 + t) ~j
1
((1 − t)~i − (1 + t) ~j) · (~i − ~j) = 2
0
4. travail sur BO:
−−→
BO = 2(1 − t)~i
F~ = 2(t − 1) ~j
Z 1
(2(t − 1) ~j) · (−2~i) = 0
0
Le travail total est la somme des travaux partiels, donc 2.
Variante:
On utilise le théorème de Stokes:
Z
C
→
−
F~ · dr =
ZZ
−
→
rot F~ · dS
S
Ici la courbe est le bord du triangle et la surface est l’intérieur du triangle. Le champ étant
−
→
horizontal, le vecteur normal dS est donné par
−
→
dS = ~k dx dy
et on trouve
ZZ
−
→
rot F~ · dS =
Z Z
(−2) dx dy = −2 · surface du triangle = −2
S
5
Exercice 5
Par symétrie, il suffit de calculer le flux à travers le plafond du cube et multiplier le résultat par 6.
Le plafond est paramétrisé par ~r(u, v) = u · ~i + v · ~j + 1 · ~k, avec −1 ≤ u ≤ 1, −1 ≤ v ≤ 1.
Les vecteurs dérivés donnent ~r 0u = ~i et ~r 0v = ~j, d’où le vecteur normal ~n = ~r 0u ∧ ~r 0v = ~k.
Et
Z 1Z 1
Z 1Z 1
Z 1Z 1
~
~
~
~
~
1 du dv = 4
(u · i + v · j + 1 · k) · k du dv =
E(~r(u, v)) · ~n du dv =
−1
−1
−1
−1
−1
−1
~ sur le vecteur ~r et que la composante en
Remarquons qu’il a fallu évaluer le champ E
z du champ est devenue 1.
La charge vaut donc
Q = 24 0
Variante:
En utilisant le théorème de Green, ici S est la surface du cube et V est son volume.
ZZ
ZZZ
Z 1Z 1Z 1
→
~ ·−
E
dS =
divF~ dV =
3 dx dy dz = 24
S
−1
V
−1
−1
Exercice 6
La paramètrisation du quart de cylindre est donnée par
~r(θ, z) = R cos(θ)~i + R sin(θ) · ~j + z · ~k
avec 0 ≤ z ≤ H , 0 ≤ θ ≤ π/2.
Le vecteur normal unitaire est ~n = cos(θ)~i + sin(θ)~j.
L’élément de surface est dS = Rdθdz et ainsi
−
→
dS = Rdθdz ~n
Le champ évalué sur le cylindre donne
~v (~r(θ, z)) = R sin(θ)z ~i + R cos(θ)z · ~j + R2 sin(θ) cos(θ)~k
et
Z
H
Z
π/2
~v (~r(θ, z)) · ~n dθ dz =
0
0
R2 H 2
2
Exercice 7
variante 1
La paramètrisation du huitième de sphère est donnée par
~r(θ, ϕ) = R cos(θ) sin(ϕ) · ~i + R sin(θ) sin(ϕ) · ~j + R cos(ϕ) · ~k
6
avec 0 ≤ ϕ ≤ π/2 , 0 ≤ θ ≤ π/2.
Le vecteur normal unitaire est
~r
= cos(θ) sin(ϕ) · ~i + sin(θ) sin(ϕ) · ~j + cos(ϕ) · ~k
||~r||
~n =
L’élément de surface est dS = R2 sin(ϕ) dθdϕ et ainsi
−
→
dS = R2 sin(ϕ) dθdϕ ~n
Le champ évalué sur la sphère donne
~v (~r(θ, ϕ)) = R cos(θ) sin(ϕ) · ~i + R sin(θ) sin(ϕ) · ~j
et
Z
π/2 Z π/2
0
0
πR3
~v (~r(θ, ϕ)) · ~n dθ dϕ =
2
π/2
Z
sin3 (ϕ) dϕ =
0
πR3
3
variante 2
Le vecteur normal unitaire est
1
~n = p
(x~i + y~j + z~k)
x2 + y 2 + z 2
On calcule directement le produit scalaire du champ avec le vecteur normal, on obtient:
x2 + y 2
~v · ~n = p
x2 + y 2 + z 2
Et évalué sur la sphère:
~v · ~n dS =
R2 sin2 (ϕ)
x2 + y 2
dS =
dS
R
R
Exercice 8
L’élément de surface est
dS = R2 sin(ϕ) dϕ dθ = sin(ϕ) dϕ dθ
On remplace x2 par son expression en coordonnées sphériques
x2 = sin2 (ϕ) cos2 (θ)
et on intègre sur la sphère
Z 2π Z π
Z
2
2
sin (ϕ) cos (θ) sin(ϕ) dϕ dθ =
0
0
2π
2
cos (θ) dθ ·
0
Exercice 9
On va tout d’abord paramétrer la surface explicite z = x + y 2 :
~r(u, v) = u~i + v~j + (u + v 2 )~k
Calculons le vecteur normal p~.
7
Z
0
π
sin3 (ϕ) dϕ =
4π
3
Les vecteurs dérivés donnent
~r 0u = ~i + ~k
et
~r 0v = ~j + 2v ~k
d’où le vecteur normal
p~ = ~r 0u ∧ ~r 0v = −~i − 2v ~j + ~k
Sa norme donne l’élément de surface
dS =
et l’intégrale devient
Z
0
1Z 2
0
p
2 + 2v 2
√
p
13 2
2
v 2 + 2v =
3
Exercice 10
La paramétrisation de la sphère donne le vecteur position
~r(θ, ϕ) = sin(ϕ) cos(θ)~i + sin(ϕ) sin(θ)~j + cos(ϕ)~k
Le champ évalué sur la sphère vaut
F~ (~r(θ, ϕ)) = cos(ϕ)~i + sin(ϕ) sin(θ)~j + sin(ϕ) cos(ϕ)~k
Le vecteur élément de surface vaut
~ = ~n dS = p~ dA = p~ dϕ dθ
dS
Ici, il est plus rapide d’utiliser le vecteur normal unitaire ~n = ~r car ~r et dS sont connus:
dS = R2 sin(ϕ) dϕ dθ = sin(ϕ) dϕ dθ
Ainsi, l’élément de flux vaut:
~ = (2 sin(ϕ) cos(ϕ) cos(θ) + sin2 (ϕ) sin2 (θ)) sin(ϕ) dϕ dθ =
dΦ = F~ (~r) · dS
8
4π
3