fonction rectangle traitement signal

Cours et Travaux Dirigés de
Traitement du Signal Déterministe
Benoît Decoux ([email protected])
- Exercices -
1ère partie : "Notions de base et études temporelles"
1
Bases du traitement de signal
Exercice
Calculer l’amplitude de la dérivée d’un signal sinusoïdal d’amplitude égale à 1 et de fréquence 2
Hertz.
Réponse
La dérivée du signal sinusoïdal défini par exemple par :
s( t ) = A cos(ωt + ϕ)
est définie par :
s( t ) = −ωA sin(ωt + ϕ)
donc l’amplitude du signal dérivé est ωA. L’application numérique donne :
ωA = 2 π × 2 = 4 π
Exercice
Exprimer la fonction échelon unité sous forme d’une fonction signe d’amplitude judicieusement
choisie et d’une constante.
Réponse
u (t ) =
1 1
+ sgn( t )
2 2
Exercice
Exprimer la fonction rectangulaire x ( t ) = A.rect[t T ] à l’aide de 2 signaux échelons.
Réponse
x ( t ) = A.u ( t + T / 2) − A.u ( t − T / 2)
Exercice
1) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal carré, compris entre 0 et 5V, de rapport
cyclique 1/2.
2) Même chose pour un rapport cyclique 1/3.
3) Calculer la valeur moyenne d’un signal sinusoïdal d’amplitude A, défini par :
s( t ) = A cos(ωt + ϕ)
4) Calculer la valeur efficace de ce signal.
Solutions
1) Soit s(t) ce signal. Comme il est périodique, sa valeur moyenne est définie par :
T
T/2
T/2
1
1
1
5 T/2 5 T
Smoy = ∫ s( t )dt = ∫ s( t )dt = ∫ 5dt = [t ]0 = × = 2,5V
T0
T 0
T 0
T
T 2
Sa valeur efficace est définie par :
2
T
S
2
eff
1
1
= ∫ s 2 ( t )dt =
T0
T
T/2
T/2
1
∫0 s ( t)dt = T
25
∫ 25dt = T [t ]
2
=
25 T
× = 12,5V 2
T 2
=
5 T
× ≈ 1,66V
T 3
T/2
0
0
Soit
Seff ≈ 3,5V
2) Valeur moyenne :
T
Smoy
1
1
= ∫ s( t )dt =
T0
T
T/3
T/3
1
∫0 s( t )dt = T
5
∫ 5dt = T [t ]
T/3
0
0
Valeur efficace :
T
S
2
eff
1
1
= ∫ s 2 ( t )dt =
T0
T
T /3
T/3
1
∫0 s ( t )dt = T
25
∫ 25dt = T [t ]
2
T /3
0
0
=
25 T
× = 8,33V 2
T 3
Soit
Seff ≈ 2,9V
3)
T
1 A
1 T
1 t 0 +T

S moy = ∫ A cos(ωt + ϕ)dt = ∫ A cos(ωt + ϕ)dt =  sin(ωt + ϕ) 
t
0
T ω
T
T 0
0
A
A
A
=
[sin(ωT + ϕ) − sin(0 + ϕ)] = [sin( 2π + ϕ) − sin(ϕ)] = [sin(ϕ) − sin(ϕ)] = 0
Tω
Tω
Tω
4)
2
Seff
=
1 T 2
A2
2
A
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
dt
=
T ∫0
T
∫
T
0
cos 2 (ωt + ϕ)dt
On utilise la formule de trigonométrie :
cos 2 a =
d’où
S
2
eff
A2
=
2T
A2
∫0 1 + cos(2ωt + ϕ)dt = 2T
T
=
1
(1 + cos 2a )
2
{∫ dt + ∫ cos(2ωt + ϕ)dt}= A2T [t] +  sin(22ωωt + ϕ)  
T
T
0
0
T
2

T
0
0

A 
 sin( 2ωT + ϕ) − sin( ϕ)   A 
 sin( ϕ) − sin(ϕ)   A
T + 
=
T + 

  = 2
2T 
2ω
2ω

  2T 


2
2
2
Soit :
Seff =
A
2
Les électroniciens connaissent bien ce résultat.
Exercice
Soit x(t) un signal carré logique TTL (état bas : 0V ; état haut : 5V) de rapport cyclique 1/2 et de période
T=0,1s.
1) Calculer son énergie sur une période. En déduire son énergie totale.
2) Calculer sa puissance totale et sa puissance moyenne.
3) En déduire sa valeur efficace.
Réponses
1) Son énergie sur une période est définie par :
T
E T = ∫ x 2 ( t )dt =
0
T/2
2
∫ x ( t )dt =
0
T/2
∫ 25dt = 25[t ]
T/2
0
0
3
=
25 × T
= 12,5 × T = 1,25 Joule
2
Son énergie totale est égale à :
ET =
∞
∫x
2
( t )dt = 25[t ]−∞ = 25[∞ + ∞] = ∞
∞
−∞
2) La puissance moyenne totale est identique à la puissance calculée sur une période, définie par :
T
T/2
T/2
1
1
1
25 T / 2 25
PT = ∫ x 2 ( t )dt = ∫ x 2 ( t )dt = ∫ 25dt = [t ]0 =
= 12,5 Watts
T0
T 0
T 0
T
2
3) La valeur efficace est la racine carrée de la puissance (calculée sur une période, ou totale) :
X eff = 12,5 = 3,53 Volt
Exercice
Calculer l’énergie et la puissance totales des signaux suivants (on prendra T=1 quand nécessaire pour
les applications numériques) :
Echelon de Heaviside
Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0
Réponse
1) Echelon de Heaviside.
Energie :
+∞
+∞
+∞
E = ∫ s ( t )dt = ∫ s ( t )dt = ∫ 1.dt = [t ]0 = +∞ − 0 = +∞
2
−∞
2
0
+∞
0
Puissance totale :
T/2
1 T  1
1
1 T/2
P = lim
s 2 ( t )dt = lim [t ]0 = lim   = Watt
T →∞ T ∫
T →∞ T
T →∞ T 2
  2
−T / 2
2) Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0.
Energie :
+∞
T/2
T/2
1
1 T/2
1 T T
E = ∫ s ( t )dt = ∫ s ( t )dt =
1.dt = [t ]−T / 2 = ( + ) = 1 Joule
∫
T −T / 2
T
T 2 2
−∞
−T / 2
Puissance totale :
E
lim = 0
T→∞ T
2
2
Convolution-Réponse impulsionnelle
Exercice
On considère le produit de convolution entre 2 signaux x(t) et y() :
+∞
x ( t ) * y( t ) = ∫ x (τ).y( t −τ).dτ
−∞
Par un changement de variable adéquat, montrer que le produit de convolution est commutatif.
Solution
On cherche à démontrer que :
4
x ( t ) * y( t ) = y ( t ) * x ( t )
Appelons s(t)=x(t)*y(t). Si l’on effectue le changement de variable τ’=t- τ, on obtient :
−∞
s( t ) = − ∫ x ( t − τ' ).y(τ' ).dτ'
+∞
soit
+∞
s( t ) = ∫ x ( t − τ' ).y(τ' ).dτ'
−∞
que l’on peut ré-écrire
+∞
s( t ) = ∫ x ( t − τ).y(τ).dτ = y( t ) * x ( t )
−∞
Ce qui démontre que le produit de convolution est commutatif.
Exercice
1) Simplifier les intégrales suivantes :
∞
∞
−∞
−∞
∫ s( t )δ(t )dt ; ∫ s( t )δ( t + 1)dt
où s(t) est un signal quelconque, causal puis non causal.
2) Calculer la valeur numérique des intégrales suivantes :
∞
∫ r( t )δ( t − 1)dt où r(t) est la fonction rampe
0
Solution
1)
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
∫ s(t )δ( t )dt = ∫ s(0)δ( t)dt = s(0) ∫ δ(t )dt =s(0)
De même :
∞
∫ s( t )δ( t + 1)dt =s(−1)
−∞
2)
∞
∞
∞
0
0
0
∫ r( t )δ( t − 1)dt = ∫ r(1)δ(t − 1)dt = r (1)∫ δ(t − 1)dt = r(1)
Exercice
Montrer que la convolution d’un signal e(t) avec la fonction rectangle définie par :
1
 t − t0 
h ( t ) = rect 

T
 T 
(centrée sur t0, d’amplitude 1/T et de largeur T), avec t0=-T/2, correspond à un filtrage de type
moyenneur.
Solution
La définition de la convolution donne :
+∞
+∞
t
1
1
τ − t − T / 2
s( t ) = ∫ h ( t − τ)e(τ)dτ = ∫ rect 
e(τ)dτ = ∫ e(τ)dτ

T −∞
T
T t −T


−∞
qui est la définition de la moyenne mobile.
5
Exercice
1) Montrer que l’opération de moyenne mobile (ou glissante) est une convolution avec la fonction
rectangulaire.
2) Exprimer la réponse impulsionnelle correspondante.
Solution
1)
t
+∞
+∞
1
1
τ − t − T / 2
s( t ) = ∫ e(τ)dτ = ∫ rect 
 e(τ)dτ = ∫ h ( t − τ)e(τ)dτ
T t −T
T −∞
T

−∞
2)
h (t ) =
1
t + T / 2
rect 
T
 T 
Exercice
1) Déterminer la réponse indicielle (réponse à un signal échelon de Heaviside) d’un circuit RC dont la
réponse impulsionnelle est définie par :
1
t 

h(t) =
exp −

RC
 RC 
avec t≥0 (0 pour t<0).
2) Représenter cette réponse impulsionnelle ainsi que la réponse du circuit.
Solution
1) Cette réponse est définie par :
∞
S( u ( t )) = ∫ u ( τ) h ( t − τ)dτ
−∞
1 t −( t −τ ) / RC
=
e
dτ
RC ∫0
1 t −t / RC τ / RC
=
e
e dτ
RC ∫0
e − t / RC t τ / RC
=
e dτ
RC ∫0
[
]
t
= e − t / RC e τ / RC 0
= e − t / RC e t / RC − 1
[
= 1− e
2)
1/RC
− t / RC
]
1
h(t)=(1/RC)e –t /RC
t
t
6
Exercice
Calculer la réponse d’un circuit RC à une rampe de pente 1, à partir de sa réponse impulsionnelle.
Solution
t
t
y( t ) = ∫ r (τ)h ( t − τ)dτ = ∫ τ.h ( t − τ)dτ
0
t
y( t ) = ∫ τ.h ( t − τ)dτ =
0
0
t
t
1
1 − t / RC
τ.e −( t −τ ) / RC dτ =
e
τ.e τ / RC dτ
∫
∫
RC 0
RC
0
On doit utiliser l’intégration par parties :
(uv)' = u ' v + uv'
↔
uv = ∫ u ' v + ∫ uv'
∫ u' v = uv − ∫ uv'
↔
En prenant u’=eτ/RC et v=τ, on a : u=RCeτ/RC et v’=1. Donc :
t
 − t / RC  τ / RC t t τ / RC 
1 − t / RC 
τ / RC t
τ / RC
y( t ) =
e
dτ  = e
dτ 
RC τe
 τe
0 − RC ∫ e
0 − ∫e
RC
0
0




[
{[
]
]
[
]}
[
[
]
]
[
]
= e − t / RC τe τ / RC 0 − RC e τ / RC 0 = e −t / RC { te t / RC − RC e t / RC − 1 }
= t − RC(1 − e − t / RC )
t
t
Exercice
On applique à l’entrée d’un filtre passe-bas une impulsion d’amplitude 10V et de durée 0,00001s. Sa
réponse observée en sortie est définie par y(t)=e-3000t.
1) Calculer l’aire définie par l’impulsion d’entrée et l’axe des abscisses. L’exprimer en fonction de
l’impulsion de Dirac sous la forme c.δ(t).
2) Représenter y(t), en précisant sa pente à l’origine.
3) En déduire la "vraie" réponse impulsionnelle du système, que l’on notera h(t).
4) Déterminer l’expression de la réponse de ce système à une entrée échelon unité.
5) Même question pour un signal rampe de pente 1 pour t≥0 et nul pour t<0.
Solution
1) La produit de la durée de l’impulsion d’entrée et son amplitude est égal à 10-5×10=10-4V.s L’entrée
peut être assimilée à une impulsion de Dirac pondérée : 10-4 δ(t).
2) y(t) est une exponentielle commençant au point (0,1) et décroissant avec une pente initiale de –3000.
3) Puisque le signal d’entrée ne représente qu’une fraction de l’impulsion de Dirac, on peut considérer
que la vraie réponse impulsionnelle s’obtient en pondérant la réponse à l’impulsion donnée dans l’énoncé
de la manière suivante :
10-4 δ(t) → e-3000t
δ(t) → 104e-3000t =h(t)
4) La réponse du filtre à tout autre entrée est obtenue par la convolution entre cette entrée et sa réponse
impulsionnelle. La réponse à l’échelon u(t) est donc donnée par :
t
y( t ) = ∫ u (τ)h ( t − τ)dτ
0
7
t
t
10 4 −3000 τ t
10 −3000 t 0 10
e
e
− e = (1 − e −3000 t )
0 =−
3000
3
3
0
0
5) Soit r(t) l’expression de cette rampe. On remplace l’expression de u(t) par celle de r(t) dans l’intégrale
de convolution :
= ∫ h ( t − τ)dτ = 10
4
[
−3000 τ
∫ e dτ = −
]
[
∞
∞
−∞
0
]
y( t ) = ∫ r (τ)h ( t − τ)dτ = ∫ τ.h ( t − τ)dτ
On restreint l’intervalle d’intégration à [0,t] :
t
t
t
0
0
0
y( t ) = ∫ τ.h ( t − τ)dτ = 10 4 ∫ τ.e −3000 ( t −τ ) dτ =10 4 e −3000 t ∫ τ.e 3000 τ dτ
On doit utiliser l’intégration par parties :
(uv)' = u ' v + uv'
↔
uv = ∫ u ' v + ∫ uv'
-3000t
En prenant u’=e
et v=τ, il vient :
t
 1
 10 4 e −3000 t
t
1
3000 τ
y( t ) = 10 4 e −3000 t 
e
d
τe 3000 τ 0 −
τ
=
∫
3000
3000
3000
0


10 4 e −3000 t  3000 τ t
1
10 4 e −3000 t  3000 t
3000 τ t 
=
+
=
e
 τe

 te
0
0
3000 
3000
3000 

10
1
1 −3000 t
= t−
+
e
3
900 900
[
[
]
]
[
]
∫ u' v = uv − ∫ uv'
↔
[
 3000 τ t t 3000 τ 
dτ 
 τe
0 − ∫e
0


1

+
e3000 t − 1 
3000

[
]
]
[
]
Exercice
1) Soient e et h deux séquences de valeurs provenant respectivement de l’échantillonnage d’un signal et
de la réponse impulsionnelle d’un système :
e={0,0,0,1,1,1,1,0,0,0} et h={1,-1}
Calculer la séquence s résultant de la convolution numérique e*h.
2) Interpréter ces résultats du point de vue des plages de fréquences éliminées et conservées.
3) Quel est le signal qui permettrait de connaître la séquence h ?
4) Proposer une séquence h permettant de réaliser un moyennage du signal e. Même question qu’en 2)
5) Démontrer à l’aide de cet exemple que le produit de convolution est bien commutatif.
Réponse
1) On utilise la formule de la convolution discrète :
N −1
s k = e k * h k = ∑ e k −i .h i avec k=0,1,…,M+N-2
i =0
N est le nombre d’éléments de h et M celui de e : N=2 et M=10. Elle possède un nombre d’éléments égal
à la somme de ceux des deux séquences, moins 1, soit 10+2-1=11. On obtient la séquence suivante :
s={0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0}
2) On peut dire que les basses fréquences sont éliminées puisque les longues suites de 1, assimilables à
des fréquences basses, sont éliminées.
3) La séquence h correspond à la réponse impulsionnelle d’un système. Il suffit donc d’appliquer une
impulsion de Kronecker (l’équivalent numérique de l’impulsion de Dirac) en entrée de ce système. La
séquence à utiliser est :
e={1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
On peut facilement démontrer que le résultat de la convolution entre e et h est s={1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
donc h={1,-1} est bien la réponse impulsionnelle du système.
Ce résultat démontre également que l’impulsion de Kronecker est l’élement neurtre de la convolution.
8
4) Par exemple h={1/3,1/3,1/3}. On obtient :
s={0,0,0,1/3,2/3,1,1,2/3,1/3,0,0,0}
Ici ce sont plutôt les hautes fréquences qui sont éliminées.
5) On calcule e k * h k . C’est à dire que concrêtement, on retourne la séquence {en} et on la décale. On
constate que l’on obtient le même résultat, ce qui vérifie que le produit de convolution est bien
commutatif.
Exercice
Soit l’image suivante (les cases vide contiennent des 0) :
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
et le filtre de Prewitt suivant :
1 0 -1
1 0 -1
1 0 -1
On rappelle l’expression de la convolution bi-dimensionnelle discrète :
s(i, j) =
M / 2 −1 M / 2 −1
∑ ∑ h (k + M / 2, l + M / 2).e(i + k, j + l) , i,j=0,…N-1, k entier
k =− M / 2 l= − M / 2
où N est la taille de l’image en pixels par côté (carrée), et M celle du filtre.
1) Donner la valeur du produit de convolution pour le pixel de coordonnées (2,2).
2) Calculer l’image résultant de la convolution de toute l’image avec le filtre.
Solution
1)
s(2,2) =
1
1
∑∑ h (k + 1, l + 1).e(2 + k,2 + l)
k = −1l= −1
= h (0,0).e(1,1) + h (1,0).e(2,1) + h (2,0).e(3,1)
+ h (0,1).e(1,1) + h (1,1).e(2,2) + h (2,1).e(3,2)
+ h (0,2).e(1,2) + h (1,2).e(2,3) + h (2,3).e(3,3)
= −2
2) Le résultat pour toute l’image est :
9
? ? ?
? 0 -1 0
? 0 -2 0
0 -3 0
0 -3 0
1
2
3
3
Corrélation
Exercice
1) Calculer la fonction d’autocorrélation d’un signal porte défini par
x ( t ) = rect[( t − T / 2) T ]
2) Conclure sur les propriétés de la corrélation utiles pour la mesure de ressemblance.
3) Déterminer l’énergie de ce signal à partir de sa fonction d’autocorrélation.
4) Calculer la fonction d’autocorrélation du signal carré obtenu par répétition de la fonction porte à tous
les instants kT’, avec T’=2T et k entier.
5) Montrer quand dans ce dernier cas, la borne inférieure de l’intégrale peut être différente de la valeur
choisie dans la question précédente.
Solution
1) La fonction possède une largeur égale à T, une amplitude égale à 1 et est centrée sur T/2.
La simplification de cette intégrale va se ramener à déterminer les bornes d’intégration, selon différents
cas, car la fonction rect va être remplacée par 1. On peut distinguer 4 cas :
- 1er cas : si T+τ<0, soit τ<-T, le produit des 2 fonctions est nul, donc la fonction d’autocorrélation
également.
- 2e cas : -T<τ<0 : l’intervalle de valeurs de τ pour lequel le produit n’est pas nul est [0, τ+T]. Sur cet
invervalle, ce produit vaut 1. On a donc :
C xx (τ) = ∫
τ+ T
t =0
1.dt = [t ]0
τ+ T
= τ+T
- 3e cas : 0<τ<T : l’intervalle sur lequel le produit n’est pas nul est [τ, T]. Sur cet invervalle, ce produit
vaut 1. On a donc :
C xx (τ) = ∫ 1.dt = [t ]τ = T − τ
T
T
t =τ
- 4e cas : τ>T :le produit des fonctions est à nouveau nul.
2) La fonction d’autocorrélation est maximale quand la coïncidence entre le signal et lui-même est
maximale. Elle traduit donc la ressemblance entre les 2 signaux, permettant de déterminer le décalage
pour lequel cette ressemblance est maximale.
3) On utilise directement la propriété selon laquelle la fonction d’autocorrélation en 0 est égale à l’énergie
du signal, soit ici T.
10
4) Pour un signal périodique, l’expression de la fonction d’autocorrélation est :
1 T
C xx (τ) = ∫ x ( t ).x ( t − τ)dt
T t =0
Ici, T représente la période du signal, égale à 2 fois la durée de la fonction porte. On prendra T’ pour ne
pas confondre avec le T désignant la durée du signal porte.
1 T'
C xx (τ) = ∫ x ( t ).x ( t − τ)dt
T ' t =0
Pour déterminer cette fonction, on peut utiliser directement les résultats du signal porte. En effet, la
fonction obtenue était comprise entre –T et +T, et nulle en dehors de cet intervalle. Ici, la même fonction
va réapparaître après une période du signal et ainsi de suite, le décalage augmentant (τ ) indéfiniment. De
même pour τ<0. La fonction d’autocorrélation est donc pédiodique, de période égale à celle du signal.
5) On peut remarquer graphiquement que si l’on avait effectué l’intégration sur l’intervalle [-T/2, T/2]
plutôt que [0,T], le résultat aurait été le même.
Exercice
Soit un signal défini par :
x(t) =
A
t[u ( t ) − u ( t − T )]
T
1) Représenter ce signal.
2) Calculer sa fonction d’autocorrélation, et la représenter.
3) Déterminer son énergie à partir de sa fonction d’autocorrélation.
Solution
1) On peut également exprimer le signal sous la forme :
 A
t pour t ∈ [0, T]
x(t) =  T
 0
ailleurs
La forme de ce signal est une dent de scie de largeur T : en t=0, sa valeur est 0 ; en T, elle vaut A.
2) Sa fonction d’autocorrélation est définie par :
+∞
+∞ A
A
C xx (τ) = ∫ x ( t ).x ( t − τ)dt = ∫
t.[u ( t ) − u ( t − T)]. ( t − τ).[u ( t − τ) − u ( t − τ − T)]dt
t = −∞
t = −∞ T
T
Les différents cas à étudier sont les mêmes qu’avec un signal porte. Les 2 seuls cas pour lesquels le
produit des fonctions n’est pas nul sont :
- 2e cas : -T<τ<0 : l’intervalle de valeurs de τ pour lequel le produit n’est pas nul est [0, τ+T]. On a donc :
τ +T A
A
C xx (τ) = ∫
t. ( t − τ).dt
t =0 T
T
τ+ T
A2  t3 t2 
A 2  (τ + T)3 (τ + T) 2 

t
t
.
dt
=
−
τ 
−
τ
=
−
τ
∫t=0
T 2  3 2  0
T 2  3
2

2
2
A
A
= 2 2(τ + T)3 − 3(τ + T) 2 τ = 2 2(τ + T)(τ 2 + 2τT + T 2 ) − 3(τ 2 + 2τT + T 2 )τ
6T
6T
2
A
= 2 2(τ3 + 2τ 2 T + τT 2 + τ 2 T + 2τT 2 + T 3 ) − 3(τ3 + 2τ 2 T + τT 2 )
6T
A2
= 2
T
τ+ T
(
(
2
)
)
(
(
)
11
)
A2
= 2 (2(τ3 + 3τ 2 T + 3τT 2 + T 3 ) − 3(τ3 + 2τ 2 T + τT 2 ) )
6T
A2
= 2 (− τ3 + 3τT 2 + 2T 3 )
6T
e
- 3 cas : 0<τ<T : l’intervalle sur lequel le produit n’est pas nul est [τ, T]. On a donc :
T A
A
C xx (τ) = ∫
t. ( t − τ).dt
t =τ T
T
T
A2  t3 t2 
A2  T3 T 2
τ3 τ3  A 2
2T 3 − 3T 2 τ + τ3
−
τ − +  =
= 2  − τ = 2 
T  3 2 τ T  3
2
3 2  6T 2
On remarque que l’on a le même résultat que dans le cas précédent, mais avec un changement de signe
pour τ. On peut donc écrire ces 2 résultats sous la forme d’un seul :
 A2
3
 2 2T 3 − 3T 2 τ + τ si τ < 0
C xx (τ) =  6T

0 si τ > 0
Cette fonction est un polynôme d’ordre 3. Elle est symétrique par rapport à 0. Quand τ → 0 par valeurs
négatives, la fonction se comporte comme aτ+b.
(
(
)
)
3) L’énergie du signal est la valeur de sa fonction d’autocorrélation pour τ=0. On remplace donc τ par 0
A 2T
dans l’expression précédente. On obtient C xx (τ) =
.
3
Exercice
Calculer la fonction d’autocorrélation du signal sinusoïdal.
Solution
Dans le cas simplifié d’une amplitude unité et d’une phase nulle, la fonction sinusoïdale est définie par :
s( t ) = sin(ω0 t )
pour une pulsation ω0.
On applique l’expression de l’autocorrélation :
1 T
1 T
C xx (τ) = ∫ x ( t ).x ( t − τ)dt = ∫ sin(ω0 t ). sin(ω0 ( t − τ))dt
T t =0
T t =0
On utilise la formule de trigonométrie :
cos(a − b) − cos(a + b)
sin(a ). sin( b) =
2
donc :
1 T
1 T
cos(ω0 (2 t − τ))dt
cos(ω0 τ)dt −
C xx (τ) =
∫
2T ∫t =0
2T t = 0
cos(ω0 τ) T
1 T
cos(ω0 (2 t − τ))dt
C xx (τ) =
1dt −
∫
t =0
2T ∫t =0
2T
cos(ω0 τ)
1
=
+
[sin(ω0 (2T − τ)) − sin(−ω0 τ)]
2
2ω 0 T
cos(ω0 τ)
C xx (τ) =
2
12
Exercice : Corrélation entre un signal long et d’un signal court
1) On considère le signal long suivant, sous la forme d’une séquence {xn}, où n représente les indices des
éléments dans la séquence, commençant à 0 :
signal long :
1
0
1
2
1
2
2
0
0
Et le signal court sous la forme d’une séquence {yn} :
signal court :
0
1
2
On cherche à détecter la présence du signal court dans le signal long. Pour cela, on définit le produit de
corrélation de la manière suivante :
1 N−1
C xy (k ) = ∑ x i + k .y i
N i =0
où N est le nombre d’éléments du signal court : N=3.
1) Calculer le produit de convolution pour k=0, k=1 et k=4.
2) Par interprétation de ces résultats, indiquer si la détection de la ressemblance entre les 2 signaux est
bien effectuée de cette manière.
3) Recommencer avec les versions centrées des signaux (pour chacun, la moyenne de ses éléments est
retranchée de chaque élément) :
signal long :
signal long :
0
-1
-1
0
0
1
1
0
1
1
-1
-1
4) Même question que 2) pour les résultats du 3).
5) Conclure sur l’utilité de centrer les signaux pour rechercher des motifs dans un signal par corrélation,
et ré-écrire l’expression de la fonction de corrélation prenant en compte ce centrage.
Solution
1) Cxy(0)=2 ; Cxy(1)=5 ; Cxy(4)=6
2) Ces calculs ne permettent pas de détecter la ressemblance maximale, car la valeur maximale ne
correspond pas à celle-ci.
3) Cxy(0)=0 ; Cxy(1)=2 ; Cxy(4)=1
4) Ici, la valeur maximale correspond à la ressemblance maximale entre le signal court et la zone
comparée du signal long.
5) Le centrage des signaux permet donc de transformer ce calcul en un moyen de détecter la ressemblance
entre 2 signaux. On peut ré-écrire la fonction de corrélation de la façon suivante :
1 N −1
C xy (k ) = ∑ ( x i+ k − x ).( y i − y)
N i =0
où x et y représentent respectivement les moyennes des séquences {xn} et {yn}.
13
Equations différentielles
Exercice
1)
2)
3)
4)
5)
On considère l’équation différentielle suivante :
ay'+ y = 1
Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée.
Déterminer une solution particulière de l’équation complète.
En déduire la solution générale de l’équation complète.
En déduire la forme générale de la réponse d’un circuit RC (=tension de sortie) à un échelon de
tension E.
Préciser cette réponse sachant que le condensateur est déchargé à t=0.
Indications
Pour la question 2, on pourra penser à une solution constante.
Pour la question 5, il faudra utiliser une considération électrique : la tension aux bornes d’un
condensateur ne peut être discontinue. Donc à t=0, on aura s(0-)=s(0+).
Solution
1) L’ensemble des solutions de l’équation homogène est défini par :
λ réel quelconque.
λe
−
x
a
2) Prenons une solution constante K. K’=0 donc K=1.
3) La solution générale de l’équation complète est donc :
y = 1 + λe
−
x
a
4) Cette solution nous permet de connaître la solution dans le cas d’un circuit RC défini par l’équation :
ds( t )
RC
+ s( t ) = e( t )
dt
La solution générale de l’équation sans second membre (=régime libre) est donc :
−
t
RC
λe
Pour la solution générale de l’équation complète, il faut préciser e(t). Si l’on s’intéresse à la réponse
indicielle (=réponse à un échelon), l’équation est définie par :
ds( t )
RC
+ s( t ) = E
dt
et on va chercher une solution particulière de cette équation sous la forme s(t)=cte. On a ds(t)/dt=0, donc
cette constante est E. La solution générale de l’équation complète est donc :
−
t
RC
s ( t ) = E + λe
Il reste à déterminer la constante λ, qui dépend des conditions initiales. Celles-ci sont déterminées par
des considérations électriques : si on suppose le condensateur initialement déchargé, la tension à ses
bornes est nulle. On a donc :
s(0-)=0
mais aussi, en remplaçant t par 0 dans l’expression de la sortie :
s(0+)=E+λ
En posant :
14
s(0-)=s(0+)
on obtient :
λ=-E
Donc, finalement :
s( t ) = E(1 − e
−
t
RC
)
Remarque : on aurait pu considérer d’autres conditions initiales. Par exemple, avec C initialement
chargé :
s(0-)=U0.
avec toujours
s(0+)=E+λ
on a
λ= U0-E
et finalement :
s ( t ) = E + ( U 0 − E )e
−
t
RC
Transformée de Laplace
Exercice
Calculer la Transformée de Laplace d’un signal carré défini par x(t)=A pour t dans [kT, kT+τ], k
entier.
Solution
On utilise la propriété ci-dessus. On calcule donc d’abord la transformée d’une période. Soit τ le
rapport cyclique du signal, la transformée d’une période est définie par :
τ
X 0 (p) = ∫ A.e −pt .dt
0
=
[
A
1 − e −pτ
p
]
La transformée du signal carré est donc :
A 1 − e − pτ
X ( p) =
p 1 − e −pT
Exercice : Détermination de la réponse impulsionnelle d’un circuit RC
Déterminer la réponse impulsionnelle d’un circuit RC. On supposera le condensateur initialement
déchargé.
Indications
On détermine l’équation différentielle du circuit, on en déduit sa transmittance de Laplace et donc sa
réponse impulsionnelle.
Solution
On a vu que l’équation différentielle qui régissait ce circuit était :
15
ds( t )
+ s( t ) = e( t )
dt
Par application de la transformée de Laplace, on obtient :
RCpS(p) + S(p) = E(p)
car les conditions initiales (c’est à dire s(0)=0) sont nulles.
La transmittance du système est donc :
S(p)
1
T ( p) =
=
E(p) 1 + RCp
Par utilisation de la transformée
RC
s( t ) = A.e−a t
L
S( p) =
←→
A
p+a
(avec a>0) et en ré-écrivant :
T ( p) =
S(p)
1
=
E(p) RC
1
p+
on en déduit la réponse impulsionnelle du système :
s( t ) =
1 − t / RC
.e
RC
F(p) =
1
p + 3p + 2
1
RC
Exercice
Soit une fraction rationnelle définie par :
2
1) Déterminer sa transformée de Laplace inverse.
2) En déduire la réponse impulsionnelle d’un système possédant F(p) pour transmittance.
3) Calculer la réponse de ce système à un signal échelon u(t).
Solution
1) On peut démontrer facilement qu’on peut factoriser le dénominateur sous la forme :
1
F(p) =
(p + 1)(p + 2)
Par la méthode des résidus, on la décompose en éléments simples :
1
−1
F(p) =
+
(p + 1) (p + 2)
et, par utilisation des transformées de Laplace élémentaires (voir table des transformées), on déduit
directement par transformation inverse :
f ( t ) = (e − t − e −2 t ).u ( t )
2) Si F(p) est la transmittance d’un système, f(t) est sa réponse impulsionnelle puisque la transformée
inverse d’une transmittance est une réponse impulsionnelle.
3) La transformée d’un échelon u(t) étant 1/p, on a :
S(p)
1
S(p) = F(p)E(p) =
=
p
p(p + 1)(p + 2)
En utilisant la décomposition précédente :
A3
A
A2
F(p) = 1 +
+
p (p + 1) (p + 2)
On calcule les coefficients Ai à l’aide de la formule des résidus :
16
1
2
A 2 = [F(p).(p + 1)]p=−1 = −1
A1 = [F(p).p]p=0 =
A 3 = [F(p).(p + 2)]p=−2 =
1
2
On a donc :
F(p) =
0,5
−1
0,5
+
+
p (p + 1) (p + 2)
d’où la réponse temporelle recherchée :
f ( t ) = 0,5 − e − t + 0,5e −2 t
Exercice
Effectuer la décomposition en éléments simples de la fonction :
3p
3p
F(p) =
=
2
(p + 1)(p + 2p + 1) (p + 1) 3
Solution
La décomposition en éléments simples donne :
A0
A1
A2
F(p) =
+
+
3
2
(p + 1) (p + 1)
(p + 1)
avec
1
A 0 = F(p).(p + 1) 3 p=−1 = [3p ]p=−1 = −3
0!
 d (3p) 
1  d (F(p)(p + 1) 3 ) 
A1 = 
=
= [3]p= −1 = 3


1! 
dp
 p=−1  dp  p=−1
[
A2 =
]
1  d 2 (F(p)(p + 1) 3 ) 
= [0]p=−1 = 0


2! 
dp 2
 p = −1
d’où :
F(p) =
3
−3
+
2
(p + 1)
(p + 1) 3
Exercice
On considère un circuit RLC dont le fonctionnement est régit par l’équation différentielle suivante :
d 2 s( t )
ds( t )
+ 2mω0
+ ω02 s( t ) = e( t )
2
dt
dt
avec
1
R C
ω0 =
m=
et
2 L
LC
On supposera les conditions initiales nulles (c’est à dire le condensateur initialement déchargé), ce
qui se traduit par :
ds(0 − )
s (0 − ) =
=0
dt
Déterminer sa réponse impulsionnelle, avec les valeurs numériques suivantes :
17
R=1kΩ, C=100µF, L=1mH
Solution
En utilisant la transformée de Laplace, l’équation devient :
p 2S(p) + 2mω0 pS(p) + ω02S(p) = E(p)
↔
[
]
S(p) p 2 + 2mω0 p + ω02 = E(p)
↔
S(p)
1
= 2
E (p) p + 2mω0 p + ω02
On factorise le dénominateur :
S(p)
1
=
E(p) (p − p1 )(p − p 2 )
puis on décompose en éléments simples :
A1
A2
S(p)
=
+
E (p) (p − p1 ) (p − p 2 )
avec
A1 =
1
et
(p1 − p 2 )
A 2 = − A1
Les pôles dépendent du signe de ∆, donc de la valeur de m :
R C 100 10 −4
=
= 50 0,01 = 50 × 0,1 = 5
2 L
2 10 −2
m>1 donc les 2 pôles sont réels, définis par :
m=
p1 = ω0 (−m + m 2 − 1) et
p 2 = ω 0 ( − m − m 2 − 1)
De même,
ω0 =
1
1
1
=
= −3 = 1000rad / s
−2
−4
10
LC
10 × 10
donc les valeurs des pôles sont :
p1 = 1000(−5 + 24 ) ≈ 101
et
p 2 = 1000(−5 − 24 ) ≈ 990
On a donc :
1
1
1
A1 =
≈
≈
≈ 1,12 × 10 −3 = −A 2
(p1 − p 2 ) 101 − 990 101 − 990
La résultat


S(p)
1
1

= 1,12 ×10 −3 
−
E ( p)
 (p − 101) (p − 990) 
La réponse temporelle correspondante est donc :
s( t ) = 1,12 × 10 −3 (e −101t − e −990 t )
18