Projets IP3 Équations différentielles - APCMediaWiki

Projets IP3 Équations différentielles
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Sommaire
1 Équations différentielles
1.1 Oscillateur harmonique à deux dimensions perturbé (**|**) [MM]
1.1.1 Introduction
1.1.2 Objectifs
1.1.3 Details
1.2 Collisions de galaxies (*|***) [CL]
1.2.1 Introduction
1.3 Le cyclotron (*|**) [CL]
1.3.1 Introduction
1.3.2 Objectifs
1.3.3 Détails
1.4 Déflexion magnétique des particules dans les champs de l'univers (**|**) [TB]
1.4.1 Introduction
1.4.2 Objectifs
1.4.3 Détails
1.5 Le pendule double : exemple d'un système sensible aux conditions initiales (*|**)
[TB]
1.5.1 Introduction
1.5.2 Objectifs
1.6 Pendule simple amorti et entretenu périodiquement : exemple d'un système
sensible aux conditions initiales (**|**) [SB]
1.6.1 Introduction
1.6.2 Objectifs
1.6.3 Détails
1.7 Figures de Lissajous et deux ressorts (*|**) [SB]
1.7.1 Introduction
1.7.2 Objectifs
1.7.3 Détails
1.8 Pendule à ressort (*|**) [SB]
1.8.1 Introduction
1.8.2 Objectifs
1.8.3 Détails
1.9 Jeu Alunissage (**|**)[SB]
1.9.1 Introduction
1.9.2 Objectifs
1.9.3 Détails
1.10 Etude d'un système dynamique classique : le "Brusellator" (**|**) [SB]
1.10.1 Introduction
1.10.2 Objectifs
1.10.3 Détails
1.11 Simulation d'orbites (*|*) [SB]
1.11.1 Introduction
1.11.2 Objectifs
1.11.3 Détails
1.12 Simulation d'orbites (avançé) (*|**) [SB]
1.12.1 Introduction
1.12.2 Objectifs
1.12.3 Détails
1.13 Jeu du satellites (***|***) [SB]
1.13.1 Introduction
1.13.2 Objectifs
1.13.3 Détails
1.14 Jeu de Billard (***|**)[SB]
1.14.1 Introduction
1.14.2 Objectifs
1.14.3 Détails
1.15 Rebonds d'une bille qui ne roule pas sur un escalier (*|**) [SB]
1.15.1 Introduction
1.15.2 Objectifs
1.15.3 Détails
1.16 Collisions de blocs (*|**) [SB]
1.16.1 Introduction
1.16.2 Objectifs
1.16.3 Détails
1.17 Une histoire de lapins et de renards: dynamique des populations (**|*)[SB]
1.17.1 Introduction
1.17.2 Objectifs
1.17.3 Détails
1.18 Proie et prédateur (*|*) [SB]
1.18.1 Introduction
1.18.2 Objectifs
1.18.3 Détails
1.19 Ensembles de Mandelbrot et de Julia(*|*) [SB]
1.19.1 Introduction
1.19.2 Objectifs
1.19.3 Détails
1.20 Application logistique (**|**) [SB]
1.20.1 Introduction
1.20.2 Objectifs
1.20.3 Détails
1.21 Jeu d'artillerie (*|*) [SB]
1.21.1 Introduction
1.21.2 Objectifs
1.21.3 Détails
1.22 Montages russes (*|*) [SB]
1.22.1 Introduction
1.22.2 Objectif
1.22.3 Détails
1.23 Propagation de rayons lumineux dans une fibre à gradient d’indice (**|**)[MM]
1.23.1 Introduction
1.23.2 Objectifs
1.23.3 Details
1.24 Potentiel de gravitation non central (**|**)[MM]
1.24.1 Introduction
1.24.2 Objectif
1.25 Etude d'un billard chaotique (**|**)[MM]
1.25.1 Introduction
1.25.2 Objectif
1.25.3 Details
1.26 Accélération de FERMI (***|***)[MM]
1.26.1 Introduction
1.26.2 Objectif
1.26.3 Details
1.27 L'effet Magnus: trajectoires de balles avec effet (*|*)[MM]
1.27.1 Introduction
1.27.2 Objectif
1.27.3 Details
1.28 Confinement d’un plasma par un champ magnétique: miroirs magnétiques
((***|***)[MM]
1.28.1 Objectif
1.28.2 Details
1.29 Mouvement d'un objet dans le champ de pesanteur et soumis à une force de
frottement fluide proportionnelle au carré de la vitesse ((*|*)[MM]
1.29.1 Objectif
1.29.2 Details
1.30 Point de Lagrange L1 du système Soleil-Terre ((*|*)[MM]
1.30.1 Objectif
1.30.2 Details
1.31 L’ « effet papillon » : l’attracteur de Lorentz (**|**) [RC]
1.31.1 Introduction
1.31.2 Objectifs
1.31.3 Détails
1.32 Galeries de fractales (une jolie excuse pour étudier Newton-Raphson) (*|**)
[RC]
1.32.1 Introduction
1.32.2 Objectifs
1.32.3 Détails
Équations différentielles
Oscillateur harmonique à deux dimensions perturbé (**|**)
[MM]
Introduction
On veut étudier par des méthodes numériques le mouvement, par rapport à un référentiel R supposé
galiléen, du centre de masse C d’un objet, de masse m, soumis à une force centrale dirigée vers un
point O fixe dans R , et dérivant d’une énergie potentielle de la forme U(r) = kr2/2+b/r4
où b>0 et b/r4 << kr2.
Lorsque b = 0, on retrouve le cas simple d’un oscillateur harmonique à deux dimensions qu’on sait
résoudre analytiquement : le mouvement est périodique, caractérisé par une période T = 2(m/k)1/2, et
la trajectoire est une ellipse de centre O. Lorsque l’on tient compte du terme de perturbation b/r4
dans l’expression de l’énergie potentielle, la trajectoire peut qualitativement être considérée comme
quasi-elliptique sur un intervalle de temps de l’ordre de T, mais sur des temps plus grands l’effet du
terme perturbateur se traduit par une rotation du grand axe de cette quasi-ellipse.
Objectifs
On intègrera l’équation du mouvement en utilisant la méthode d’Euler, afin de faire une étude de la
trajectoire et d’estimer la vitesse de rotation du grand axe pour différentes valeurs des paramètres
caractéristiques du problème et des conditions initiales.
Details
Collisions de galaxies (*|***) [CL]
Introduction
Les galaxies comportent typiquement des milliards d'étoiles. Il arrive que des galaxies collisionnent...
on étudiera numériquement comment leur structure se déforme.
Le cyclotron (*|**) [CL]
Introduction
Un cyclotron est un accélérateur de particules (voir par exemple : http://fr.wikipedia.org
/wiki/Cyclotron) qui sert usuellement à accélérer des protons ou des ions lourds. Dans une enceinte
où règne un vide poussé, on place deux cavités métalliques en forme de demi-cylindres de 1m de
rayon (Dés) séparées par un petit intervalle. Un champ magnétique uniforme de 1T est appliqué
normalement aux Dés. Un canon électrostatique permet d'injecter au voisinage du centre du
dispositif des ions de charge q, de masse m (en général des protons) avec une vitesse V normale à la
séparation et contenue dans le plan des Dés. Une tension rectangulaire alternative U et de pulsation
w est appliquée entre les Dés (typiquement 1kV).
Objectifs
On simulera la trajectoire suivie par les protons dans l'accélérateur. On tiendra compte des effets
relativistes (changement de la masse apparente du proton). Si le temps le permets on pourra essayer
d'accélérer des électrons (en tenant compte du rayonnement synchrotron).
Détails
A l'intérieur des Dés, les ions sont soumis uniquement à la force magnétique de Lorentz F = q V ^ B.
Comme le produit scalaire F.V est nul, l'action du champ magnétique ne modifie pas l'énergie
cinétique de la particule : Le mouvement est une rotation uniforme de rayon R. Comme qVB =
mV²/R, on a R = mV/qB. ( R = kV) La vitesse angulaire est wc = qB/m (pulsation cyclotron). Elle
est indépendante du rayon de la trajectoire et donc de la vitesse linéaire des ions. La tension
appliquée U entre les Dés crée un champ électrique E uniquement dans la zone de coupure. Entre les
Dés la particule est soumise à la force électrique F = qE. Son mouvement est accéléré et son énergie
cinétique augmente du travail de la force électrique qU. L'effet est maximum si la pulsation de U est
égale à la pulsation cyclotron. Les ions sont accélérés deux fois par tour. A chaque demi-tour, le
rayon de rotation augmente et la particule décrit une spirale. Après un grand nombre de tour, la
particule arrive dans une zone ou le champ magnétique est nul. La particule sort alors du cyclotron.
Si la vitesse approche celle de la lumière, les effets relativistes font que m augmente : il faut alors
asservir la fréquence de U à la vitesse (synchrocyclotron)
On résoudra les équations du mouvement en utilisant les techniques d'intégration numériques
standard.
Déflexion magnétique des particules dans les champs de
l'univers (**|**) [TB]
Introduction
Ici, nous souhaitons étudier la propagation dans l'univers des rayons cosmiques. Ceux-ci sont
produits dans des objets astrophysiques extrêmement puissants dans l'univers (e.g. AGN) et
possèdent d'ultra-hautes énergie (jusqu'à quelques Joules par particules).
La modélisation portera autour de protons ou de noyaux à plus grand Z, dans des champs
magnétiques décrivant ceux présents dans l'univers.
Objectifs
Dans un premier temps, on s'efforcera de correctement résoudre les trajectoires de particules
chargées dans des champs magnétiques uniformes (cas d'un proton avec une trajectoire à 2D dans un
champ magnétique uniforme et constant, perpendiculaire au plan); on vérifiera l'adéquation avec la
résolution analytique et le rayon de Larmor théorique.
Ensuite, on passera dans les mêmes conditions à 3D, puis à un champ sur une grille 3D décrivant un
champ global dans l'univers. Dans ce cadre, des interpolations en dehors des points de grille seront
nécessaires. Enfin, si le temps le permet, on simulera des champs plus réalistes et inhomogènes, ainsi
qu'éventuellement des pertes d'énergie ou des désintégrations des rayons cosmiques.
Détails
On utilisera, pour le calcul des trajectoires, les techniques usuelles d'intégration numériques
d'équations différentielles. En particulier, on pourra constater les défauts de des techniques les plus
basiques. Par ailleurs, on étudiera soigneusement le choix du pas d'intégration.
D'un point de vue pratique et dans un premier temps, on étudiera le cas
d'un proton de
dans un champ homogène de 1μGauss
Après avoir recherché les propriétes d'un proton (masse, charge), on calculera le rayon de Larmor
attendu, que l'on comparera à la taille de structure connues dans l'univers (rayon terrestre, unité
atronomique, parsec, diamètre de la galaxie, distance des galaxies proches, etc.)
Le pendule double : exemple d'un système sensible aux
conditions initiales (*|**) [TB]
Introduction
Vous connaissez déjà la résolution analytique des équations du pendule simple, à petits angles. Si l'on
utilise un pendule double, les équations ne sont pas plus complexes mais le système devient SCI,
sensible aux conditions initiales. Avec de minimes variations des conditions initiales, le système se
retrouve dans un état fondamentalement différent.
Objectifs
Dans ce projet, vous devrez résoudre les équations du pendule simple (à rétablir par ailleurs) dans un
premier temps pour vérifier que vous savez numériquement intégrer convenablement les équations.
Ensuite, vous passerez au système du pendule double (les formules sont les mêmes...) avec la même
technique d'intégration. Vous étudierez alors l'aspect SCI du système.
Extension: vous pourrez étudier les cas du pendule double où les deux masses sont reliées par des
ressorts lien ici (http://www.myphysicslab.com/dbl_spring2d.html) .
Pendule simple amorti et entretenu périodiquement : exemple
d'un système sensible aux conditions initiales (**|**) [SB]
Introduction
Un pendule simple amorti et entretenu périodiquement possède des régimes de dynamiques
chaotiques sensibles aux conditions initiales.
Objectifs
Dans ce projet, vous devrez résoudre les équations de ce pendule et étudier numériquement les types
de dynamiques en fonction de la période d'entrainement
Détails
Intégration numérique
La physique de ce pendule (http://www.myphysicslab.com/pendulum2.html)
Figures de Lissajous et deux ressorts (*|**) [SB]
Introduction
La simulation proposée est d'un système de deux masses reliées à un mur par deux ressorts. La
courbe des positions des deux masses l'une par rapport à l'autre montre des figures assez
intéressantes.
Objectifs
Dans ce projet, vous devrez résoudre les équations de ce système et étudier numériquement les types
de dynamiques. Vous pourrez étendre le système à un nombre n de masses et de ressorts
Détails
Intégration numérique
La physique de ce pendule (http://www.myphysicslab.com/pendulum2.html)
Pendule à ressort (*|**) [SB]
Introduction
La simulation proposée est d'un pendule constitué d'une masse et d'un ressort
Objectifs
Dans ce projet, vous devrez résoudre les équations de ce système et étudier numériquement la
dynamique
Détails
Intégration numérique
La physique de ce pendule (http://www.myphysicslab.com/spring2d.htmll)
Jeu Alunissage (**|**)[SB]
Introduction
Projet de mécanique. Une capsule (LEM) est en chute verticale vers la surface de la lune. On veut la
faire "alunir" avec une vitesse proche de zéro au moment de toucher le sol. On peut freiner la chute
grâce à une fusée s'opposant à la descente. Toutes les secondes le programme affichera votre
alatitude, votre vitesse, votre réserve de carburant, et vous pourrez régler la puissance de la fusée de
freinage (et consommer plus ou moins de carburant). Qui va s'écraser ? S'échapper dans l'espace?
Qui va alunir le plus vite?
Objectifs
Programmez un jeu d'alunissage où toutes les secondes on contrôle l'intensité de la poussée de la
fusée. Qui va alunir le plus vite? Qui va s'écraser? Attention, la quantité de carburant est limitée !
Détails
Dans un premier temps construisez les équations de la dynamique.
On pourra rendre le jeu plus complexe en introduisant des mouvement horizontaux afin
d'atteindre une cible précise
Agrémenter le jeu par un visualisation graphique. Mais ceci n'est pas un point essentiel du
sujet et ne devra être abordé qu'une fois le principe du jeu fonctionnant sans graphisme.
Exemple (http://www.quelsite.com/jeux/flash/alunissage/index.htm)
Version très sophistiquée ! (http://www.eaglelander3d.com/)
Etude d'un système dynamique classique : le "Brusellator"
(**|**) [SB]
Introduction
Le système de réaction qui sera étudié dans ce projet porte le nom de "Brusellator" et est un exemple
classique de modèle de réaction chimique autocatalytique oscillante. Une réaction auto-catalytique
est une réaction dans laquelle une espèce agit de façon à augmenter le taux de sa propre production.
De nombreux systèmes auto-catalytiques donnent des comportements au cours du temps complexes
incluant de nombreux points de stabilités et des oscillations.
La dynamique et la chimie de réactions oscillantes ne sont connues et étudies que depuis une
cinquantaine d'années, commençant par les travaux du chimiste Boris Belousov qui découvrit qu'un
mélange d'acide citrique, bromate et d'un catalyseur cerium dans une solution d'acide sulfurique
donne des changements de couleurs périodiques. Cette découverte fit sensation car la communauté
scientifique de l'époque pensait que des oscillations étaient uinterdites dans des systèmes chimiques à
cause des lois de la thermodynamique.
Cette découverte a inspiré un nouveau domaine d'étude pour identifier des systèmes chimiques
similaires ainsi que l'étude théorique des mécanismes de réactions complexes. Il existe maintenant un
grand nombre de systèmes soit "réels" soit "mathématiques" qui permettent d'étudier les
comportements de systèmes auto-catalytiques oscillants. Parmis, ceux-ci on vous propose d'étudier le
système nommé "Brusselator" car inventé à l'Université libre de Bruxells par le prix Nobel
Prigogine. properties.
Le Brusselateur est défini par les réactions
. Les deux espèces
d'intérêt sont "X" et "Y", les espèces auto-catalytiques. On peut montrer que la dynamique du
système de réactions chimiques précédent se décrit par le système d'équations, dans la limite ou les
réactifs "A" et "B" sont en excès (on suppose alors leur concentration invariante dans le temps) :
Exemple de trajectoire:
Objectifs
Programmer une simulation du systèmes "Brussellator" On changera les valeurs des paramètres "a"
et "b" et on étudiera les différentes courbes de variation des concentrations.
Détails
Etude de systèmes dynamiques
Intégration numérique d'équations diifférentielles, algorithmes Runge-Kutta, représentation
graphique.
[1] (http://www.math.ohio-state.edu/~ault/Papers/Brusselator.pdf)
Simulation d'orbites (*|*) [SB]
Introduction
Dans un champ gravitationnel à deux corps, simuler le mouvement de corps à partir d'une position et
d'une vitesse initiale.
Objectifs
Représenter les orbites du mouvement.
Détails
Loi de Newton de la gravitation, équations différentielles du mouvement, intégration
numérique, Euler, Runge-Kutta
On pourra dans un second temps s'intéresser à la programmation d'une animation du
mouvement.
Simulation d'orbites (avançé) (*|**) [SB]
Introduction
Dans un champ gravitationnel à "plusieurs" corps, simuler le mouvement de corps à partir d'une
position et d'une vitesse initiale... On s'intéressera d'abord au cas de deux corps très massifs
immobiles et d'une planète (légère) en orbite dans ce système double.
Objectifs
Représenter les orbites du mouvement.
Détails
Loi de Newton de la gravitation, équations différentielles du mouvement, intégration
numérique, Euler, Runge-Kutta.
Etudier les propriétés du mouvement (chaos...)
On pourra dans un second temps s'intéresser à la programmation d'une animation du
mouvement.
Simulation en ligne du problème à trois corps (http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest
/Harrison/Flash/Chaos/ThreeBody/ThreeBody.html)
Un site de notes sur la dynamique céleste (http://www.math.utexas.edu/users/jjames
/celestMech)
Jeu du satellites (***|***) [SB]
Introduction
Dans un champ gravitationnel, simuler le mouvement d'un vaisseau disposant d'une fusée et d'une
réserve limitée de carburant... Saurez vous rejoindre la station spatiale en orbite?
Objectifs
Vous devrez programmer un jeu représentant une animation du mouvement du vaisseau que vous
pourrez contrôler en direct.
Détails
Ce projet demande l'apprentissage de techniques avancées de programmation graphique, bien au delà
du niveau de base des TD. Vous pourrez vous inspirer de plusieurs logiciels existants ! Par exemple
[ http://mac.softpedia.com/get/Math-Scientific/Orbital.shtml Orbital]
endezvousWithVesta (http://orsa.sourceforge.net/aRendezvousWithVesta/)
Astrograv (http://www.astrograv.co.uk/portal/index.html)
Jeu de Billard (***|**)[SB]
Introduction
Mécanique. Le mouvement d'une boule de billard percutée par une queue dépend de nombreux
facteurs: angle, position force de l'impact, friction de la boule, moment cinétique. La description
physique est difficile !
Objectifs
Simuler le mouvement et représenter la trajectoire.
A vous d'aller le plus loin possible dans le réalisme de la simulation !
Détails
Il ne 'agit pas de mettre l'accent sur une animation graphique, mais d'abord sur le calcul du
mouvempent d'une boule percutée.
Référence: principe de fonctionnement du simulateur de billard ! (http://pagesperso-orange.fr
/laurent.buchard/newphys.html)
Une simulation en ligne du mouvement d'une boule avec effet (http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/retrob_j.html)
Un site web sur la physique du billard (http://library.thinkquest.org/C006300/main.htm)
Rebonds d'une bille qui ne roule pas sur un escalier (*|**) [SB]
Introduction
On laisse tomber une bille avec une certaine vitesse initiale au dessus d'un escalier et on va
s'intéresser aux rebonds d'une bille qui ne roule pas.
Objectifs
Etudier la variation dans le temps de la fréquence entre des rebonds successifs. Représenter le
mouvement des sauts successifs de la bille.
Détails
Projet de mécanique. On considèrera le coefficient de restitution de l'énergie pour chaque
rebond.
Intégration numérique d'équations de mouvement simples, algorithmes Euler, Runge-Kutta,
représentations graphiques
Et pour une bille qui peut rouler?
Inspiration: F. Graner, "Physique de la vie quotidienne" p.16
Collisions de blocs (*|**) [SB]
Introduction
On se propose d'étudier un modèle de collision entre une masse reliée à un support avec un ressort et
une masse libre pouvant rebondir sur une paroie.
Les deux blocs collisionnent élastiquement ou non. Le bloc de droite collisionne avec la paroie,
élastiquement ou non.
Objectifs
Etudier le mouvement des deux corps Représenter le mouvement des sauts successifs de la bille.
Détails
Projet de mécanique. Etude de collisions. Le système développé
(http://www.myphysicslab.com/collideSpring.html)
Intégration numérique d'équations de mouvement simples, algorithmes Euler, Runge-Kutta
On pourra étendre le sujet en plaçant ce système verticalement dans le champ de pesanteur.
Inspiration: F. Graner, "Physique de la vie quotidienne" p.16
Une histoire de lapins et de renards: dynamique des
populations (**|*)[SB]
Introduction
On imagine une prairie de surface finie contenant de l'herbe, des lapins et des renards et les régles
d'évolution suivantes:
Les lapins mangent de l'herbe. Ainsi, ils peuvent se nourrir et se reproduire. Cela augmente
leur population.
Les renards mangent les lapins. Ainsi, ils peuvent se nourrir et se reproduire. Cela augmente
leur population.
La quantité d'herbe est limitée.
Ce système simple peut donner lieu à des dynamiques cycliques en fonction des paramètres et des
conditions initiales.
Objectifs
Modéliser ce système et en faire une étude dynamique avec des simulations numériques.
Détails
Projet sur les sytèmes dynamiques, intégration d'équations différentielles, représentation
graphiques
On pourra examiner l'analogie avec des réactions chimiques oscillantes Référence
(http://www.scienceamusante.net/wiki/index.php?title=Belousov-Zhabotinsky)
Proie et prédateur (*|*) [SB]
Introduction
On considère une proie en mouvement et un prédateur se déplaçant à module de vitesse constant
toujours dans la direction de la proie.
Objectifs
Représenter les trajectoires de la proie et du prédateur. Etudier différentes configurations.
Détails
Le mouvement de la proie est défini par une fonction choisie par vous, par exemple un
mouvement spiral avec une certaine vitesse, rayon, pas, etc...
Représentation graphique
Référence (http://demonstrations.wolfram.com/PursuitCurves/)
Ensembles de Mandelbrot et de Julia(*|*) [SB]
Introduction
Etude d'objets mathématiques.
L'ensemble de Mandelbrot est une fractale qui est définie comme l'ensemble des points c du plan
complexe pour lesquels la suite récurrente définie par :
zn+1 = zn2 + c
et la condition initiale z0 = 0 ne tend pas vers l'infini quand n tend vers l'infini.
Réciproquement, pour une valeur donnée de c, l'ensemble de Julia est formé de toutes les valeurs
initiales z0 pour lesquelles, la suite est bornée.
Objectifs
Ecrivez un programme pour représenter l'ensemble de Mandelbrot et des ensembles de Julia et
permettre des agrandissements successifs dans des sélections.
Détails
Pour ce projet il faudra apprendre comment faire des dessins à l'écran.
[2] (http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Mandelbrot)
Application logistique (**|**) [SB]
Introduction
Etude d'objets mathématiques. Systèmes dynamiques.
L’application logistique « classique » est donnée par la relation : Xn = rXn(1 – Xn) et c'est un des
exemples les plus classique de système dynamique illustrant l'apparition de chaos. En fonction de la
valeur du paramètre r plusieurs types de dynamiques sont possibles.
xn est un réel entre 0 et 1 et représente la taille d'une population à l'année "n", donc x0 représente la
population initiale l'année 0.
"r" est un réel positif et représente l'effet combiné de la reproduction et la famine.
L'application récurrente dite "logistique" (il n'y a pas de réelle justification à ce nom) veut
représenter:
la croissance de la population d'une année sur l'autre avec un taux d'augmentation
proportionnel à la population présente, quand celle-ci est petite (facteur Xn dans le terme de
droite) .
la diminution de la population par manque de ressources quand la population devient trop
élevée; dans ce cas le taux de croissance diminue proportionellement au taux maximal de
croissance moins la population actuelle (facteur (1-Xn) dans le terme de droite).
Objectifs
Il s'agira d'écrire un programme pour représenter des trajectoires de l'application logistique en
fonction de la population initiale et du paramètre "r". Le programme calculera les points fixes et les
orbites des solution périodiques. Visualiser le chemin vers le chaos par doublage de période.
Détails
[3] (http://pilatinfo.org/tech/bif_doc.htm)
[4] (http://membres.lycos.fr/duobab/fractales/ApLogistique/ApLogistique.htm)
Jeu d'artillerie (*|*) [SB]
Introduction
"Un jeu vidéo d'artillerie est un nom générique donné aux jeux vidéo de combat au tour par tour dont
le but est pour un joueur de détruire son adversaire en planifiant une trajectoire correcte pour un
projectile. Ces jeux sont parmi les premiers à avoir été développé ; le thème étant la prolongation des
utilisations alors classiques des ordinateurs, employés pour le calcul de trajectoires de fusées et le
calcul balistique." Wikipedia
Objectifs
Ecrire un jeu d'artillerie !
Détails
L'article correspondant de wikipedia ! (http://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_vidéo_d'artillerie)
La simulation peut-être plus ou moins... compliqué... Dans un premier temps on développera
une version sans aucun graphisme, mais où l'on pourra représenter les trajectoires des
projectiles via des des courbes et matplotlib.
Une éventuelle version graphique demandera l'apprentissage de techniques allant bien au delà
desnotions introduites en TD.
Montages russes (*|*) [SB]
Introduction
Vous êtes familiers de calculs de mouvement sur des plans inclinés? Une montagne russe est un
mouvement sur une coube sinueuses ! Contrairement au plan incliné, les forces changent quand la
pente change...
Le charriot (bille rouge)est en chute libre sur le rail courbe.
Différentes types de motagnes russes...
Objectif
Simuler le mouvement d'une bille glissant sur une courbe quelconque dans un champ de pesanteur.
Détails
Intégration numérique
On simulera le mouvement pour différentes conditions initiales.
Prévoyez des simulations sur différentes types de courbes.
Projet type (http://www.myphysicslab.com/RollerSimple.html)
Propagation de rayons lumineux dans une fibre à gradient
d’indice (**|**)[MM]
Introduction
Les applications de la fibre optique sont nombreuses (télécommunications, médecine, etc...). On peut
se représenter une fibre comme un guide d’onde composé de deux cylindres concentriques : un cœur
entouré d’une gaine. L'ensemble est recouvert d'un revêtement extérieur jouant le rôle de couche
protectrice de la fibre. Le cœur de la fibre a un indice de réfraction légèrement plus élevé que celui de
la gaine, ce qui permet le confinement de la lumière dans le cœur de la fibre , grace au phénomène de
réflexion totale. Un rayon lumineux pénétrant dans le cœur de la fibre, à l’une de ses extrémités, sous
un angle d’incidence inférieur à une certaine valeur critique, peut ainsi se propager jusqu’à l’autre
extrémité de la fibre. Il existe plusieurs types de fibres. On s'intéressera aux fibres multimode à
gradient d'indice pour lesquelles le cœur, a un indice de réfraction variable (maximal au centre et
décroissant avec la distance r à l’axe de la fibre).
Objectifs
On veut étudier, du seul point de vue de l’optique géométrique, la propagation de la lumière dans une
telle fibre. On intégrera pour cela l'équation différentielle définissant le trajet d'un rayon lumineux.
Details
Potentiel de gravitation non central (**|**)[MM]
Introduction
On veut étudier le mouvement d'une particule de masse m dans un champ de gravitation dérivant
d'un potentiel de la forme
, avec
où (r,θ) représentent les
coordonnées polaires de la masse dans le plan de la trajectoire. On sait que la trajectoire est une
conique lorsque ε = 0. On veut étudier l'effet du terme de perturbation en cosθ.
Objectif
On choisira des conditions initiales telles que la trajectoire en absence de terme perturbateur soit une
ellipse. Intégrer l'équation différentielle du mouvement de la particule par une méthode numérique
(Euler ou méthode du point milieu). En présence du terme de perturbation, la trajectoire n'est plus
fermée mais on peut considérer que c'est une quasi-ellipse sur des temps de l'ordre de grandeur de la
période orbitale T caractérisant le mouvement képlérien non perturbé. On étudiera le mouvement sur
des temps t>>T. Montrer que l'effet de la perturbation est double: d'une part l'excentricité de la quasiellipse varie, d'autre part le grand axe de l'ellipse précessionne avec un taux de précession variable.
Etude d'un billard chaotique (**|**)[MM]
Introduction
L'évolution de la trajectoire d'une particule sur un billard à deux dimensions peut servir de modèle
pour illustrer la sensibilité d'un système aux conditions initiales. On exprime par là le fait que deux
conditions initiales voisines conduisent à des trajectoires qui divergent très rapidement avec le temps.
On dit alors qu’on a une dynamique chaotique. Vous considérerez deux types de billard. Le premier
est un billard circulaire. Le second est un billard circulaire tronqué. Une particule ponctuelle suit des
trajectoires rectilignes et lorsqu’elle atteint la frontière du billard, subit une collision élastique avec
réflexion spéculaire dans laquelle l' angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence. Vous étudierez la
trajectoire de cette particule dans les deux cas.
Objectif
Faire un programme permettant la visualisation de la trajectoire sur chacun des billards. Une autre
façon commode de représenter les résultats consiste à enregistrer, à chaque réflexion, l’abscisse
curviligne sur le cercle et l’angle de réflexion. Stocker ces paramètres dans un fichier afin de tracer
les courbes (abscisse curviligne, angle de réflexion) ainsi que la distribution statistique de l'angle de
réflexion.
Details
Accélération de FERMI (***|***)[MM]
Introduction
L'accélération de FERMI (du nom du célèbre physicien Enrico FERMI) désigne un processus
d'accélération proposé par FERMI pour expliquer l'énergie gigantesque des rayons cosmiques
(particules très énergétiques, majoritairement des protons, provenant du milieu interstellaire et
intergalactique). On peut modéliser le processus d’accélération par un système constitué de deux
plaques parallèles et d'une particule se mouvant dans l'espace entre les deux plaques suivant un axe
perpendiculaire au plan des plaques. L'une des plaques est fixe par rapport à un référentiel R et l'autre
a un mouvement sinusoïdal. La particule rebondit de manière élastique sur les plaques. Elle est ainsi
périodiquement accélérée ou ralentie dans le référentiel R (NB: la norme de la vitesse reste
inchangée dans le référentiel de la plaque en mouvement). Dans le milieu interstellaire, c’est
généralement une onde de choc, avec une variation brutale du champ magnétique, qui joue le role de
la plaque mobile.
Objectif
Intégrer l'équation du mouvement de la particule pour étudier l'énergie cinétique maximale atteinte
par la particule après un très grand nombre de collisions. Etudier la variation de cette énergie en
fonction du rapport L/T où T est la période associée au mouvement sinusoîdal de la plaque mobile et
L la distance moyenne entre les deux plaques.
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L'effet Magnus: trajectoires de balles avec effet (*|*)[MM]
Introduction
L’effet Magnus est un effet qui s’observe sur un corps en rotation dans un fluide. Il permet
notamment d’expliquer les effets de balle dans des sports comme le football et le tennis.
Objectif
Etudier le mouvement d'une balle de tennis liftée et coupée.
Details
On intégrera numériquement l'équation du mouvement de la balle et on comparera les résultats
obtenus dans les deux cas avec celui d'une balle sans effet.
Confinement d’un plasma par un champ magnétique: miroirs
magnétiques ((***|***)[MM]
L’étude du confinement des plasmas (gaz ionisés) par un champ magnétique (réacteurs nucléaires de
fusion tokamaks en fusion contrôlée, ceintures de Van Allen dans la magnétosphère terrestre, etc …)
est basée sur l’étude des trajectoires des particules chargées (électrons et ions) dans des champs
électromagnétiques, ces particules pouvant éventuellement être soumises à d’autres forces
(gravitation, etc…). Le calcul de ces trajectoires est en général très complexe et des solutions
analytiques de l’équation du mouvement ne peuvent être obtenues que dans des cas triviaux, par
exemple lorsque le champ magnétique B est statique et uniforme : en l’absence de forces externes
autres que la force électromagnétique, la particule décrit une hélice autour du champ magnétique.
Toutefois, lorsque le champ magnétique est non uniforme, il apparaît, sous certaines conditions
(géométrie du champ, énergie de la particule, absence de forces extérieures autre que la force
électromagnétique, …), des périodicités du mouvement.
Objectif
Etudier le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique dipolaire
Details
Mouvement d'un objet dans le champ de pesanteur et soumis à
une force de frottement fluide proportionnelle au carré de la
vitesse ((*|*)[MM]
On montre facilement qu'en absence de frottement la portée maximale est obtenue pour un angle de
lancement (angle que fait le vecteur vitesse avec l'horizontale) de 45°. Ceci n'est plus vrai lorsqu'on
tient compte de la force de frottement.
Objectif
Etudier la variation de l'angle de lancement optimal (celui qui donne une portée maximale) en
fonction de la vitesse initiale.
Details
Point de Lagrange L1 du système Soleil-Terre ((*|*)[MM]
La couronne solaire émet en permanence un flux de plasma, appelé vent solaire, composé d'électrons
et principalement de protons (95%) et d'Hélium He2+, qui s'étend dans tout l'espace interplanétaire.
Pour étudier en permanence ce vent solaire, on place des satellites scientifiques (par exemple SOHO
ou WIND) au point de Lagrange L1 du système Soleil-Terre. Ce point, situé entre la Terre et le Soleil
sur l'axe Terre-Soleil, a une propriété intéressante: dans le référentiel où la Terre et le Soleil sont
fixes, donc en rotation avec la vitesse angulaire Ω égale à la vitesse de rotation de la Terre et du
Soleil autour de leur centre de masse C, un objet avec une vitesse nulle placé en ce point resterait en
place indéfiniment (en fait cette position est instable...).
Objectif
Calculer la position du point L1 en résolvant l'équation donnant la condition d'équilibre pour un petit
objet S se situant sur l'axe Soleil-Terre. Etudier le mouvement de S dans le référentiel galiléen lié au
centre de masse du système Soleil-Terre, en intégrant par une méthode numérique l'équation du
mouvement de S (S initialement en L1; faire varier la condition initiale sur la vitesse)
Details
On visualisera aussi les trajectoires du Soleil et de la Terre sur le même graphe
L’ « effet papillon » : l’attracteur de Lorentz (**|**) [RC]
Introduction
Le système de Lorenz est un graphe chaotique célèbre pour sa forme de papillon. Il a permis à
Edward Lorenz de mettre en évidence le caractère chaotique de la météorologie en 1963.
Objectifs
On étudiera le comportement du système de Lorentz : observation du comportement chaotique,
visualisation des seuils de bifurcation...
Détails
Le programme devra permettre de simuler le comportement du systeme de Lorenz pour une
condition initiale et les parametres de controle r, sigma, b donnes, ainsi que de tracer un
diagramme de bifurcation.
Euler ou Runge-Kutta 4 sera utilisé au choix comme méthode d’intégration.
Galeries de fractales (une jolie excuse pour étudier NewtonRaphson) (*|**) [RC]
Introduction
L’algorithme NR permet de résoudre des systèmes d’équations non linéaires. Cette méthode itérative
part d’une « valeur initiale » avant de converger (ou non…) vers la solution.
Objectifs
Obtenir des images de fractales par implémentation de NR.
Détails
L’étudiant implémentera l’algorithme NR.
Il l’utilisera pour résoudre des équations polynomiales dans le plan complexe.
Il créera une galerie de fractale en associant dans un premier temps une valeur (couleur)
binaire selon que l’algorithme converge ou non, et dans un second temps une valeur (couleur)
plus ou moins élevée selon la rapidité de convergence pour chaque « valeur initiale » choisie
dans le plan complexe.
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%C3%A9rentielles »
Catégorie: IP3
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