1 Figures symétriques, centre de symétrie

Collège Elie COUTAREL
Année 2008-2009.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
La symétrie centrale
1
1.1
Figures symétriques, centre de symétrie
Figures symétriques
Définition 1 (Figures symétriques)
On dit que 2 figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu’elles se superposent par un demi-tour autour
du point O.
Remarque 1
Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme.
En tournant de 180◦ autour de O, elles se superposent. Elles ont la même aire.
1.2
Centre de symétrie
Définition 2 (Centre de symétrie)
On dit qu’un point O est le centre de symétrie d’une figure F lorsque F coïncide avec sa figure symétrique par
rapport à O.
1
Remarque 2
La définition signifie donc qu’en faisant tourner de 180◦ la figure F , on retrouve la même figure F .
1.3
Points symétriques
Propriété 1
Si le point M 0 est le symétrique du point M par rapport au point O alors :
. O est le milieu du segment [M M 0 ] dans le cas où M 6= M 0 .
. M , M 0 et O sont confondus dans le cas contraire.
Remarque 3 (Méthode de construction du symétrique d’un point)
On veut construire le symétrique du point M par rapport au point O (dans le cas où M 6= O).
` Tracer la demi-droite [M O).
` Piquer le compas sur O, reporter la longueur OM sur [M O), on obtient le point M 0 .
2
2.1
Propriétés de conservation et constructions
Symétrique d’un segment
Propriété 2
La figure symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
A0 B 0 = AB
2.2
Symétrique d’une droite
Propriété 3
La figure symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
(A0 B 0 )//(AB)
2
2.3
Symétrique d’un angle géométrique
Propriété 4
La figure symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure.
0 A0 C 0 = BAC
\
B\
2.4
Symétrique d’un cercle
Propriété 5
La figure symétrique d’un cercle de centre A passant par B est le cercle de centre A0 passant par B 0 , où A0 et B 0
sont les symétriques respectifs de A et B.
2.5
Récapitulatif
Théorème 1
La symétrie centrale conserve :
1. Les distances.
2. La mesure des angles.
3. L’alignement.
4. Le parallélisme.
i Pour construire la figure symétrique d’une figure complexe, on commence par tracer les symétriques des points
particuliers (sommets, centres et points de cercle).
Ensuite, on utilise les propriétés vues précédemment pour relier les sommets de la figure symétrique et terminer la
construction.
3
3
Les figures de référence
Le centre de symétrie du rectangle, du losange, et du carré est le point d’intersection des diagonales.
4