MESURES SPATIALES ET TERRESTRES RESUME Les mesures

MESURES SPATIALES ET TERRESTRES
RESUME
Les mesures terrestres sont rapportées à la verticale du lieu, et les mesures spatiales
à la normale à un ellipsoïde de référence, on montre qu’il est difficile de raccorder, avec la
précision attendue de G P S, l’une à l’autre, et de mélanger ainsi les mesures. Il convient de se
souvenir que physiquement, pour tous nos travaux, nous rampons sur le géoïde, mais nous
rapportons nos mesures à l’ellipsoïde.
Si la projection du point sur l’ellipsoïde n’est pas très précise on a intérêt à ce quelle
soit la plus courte possible.
ABSTRACTS.
Terrestrial measurements are connected to the curved plumb line of the site, space
measurements, such as G P S, are refered to the normal of the mean ellipsoid, we show how it is
difficult to connect, with the foreseen precision of G P S, the former with the later to use both
measurements in a single operation. We must remember for all our construction works we are
physically crawling over the geoid, but the survey is drawn on the ellipsoid. The projection from the
terrain to the ellipsoid being not very precise, it has to be the shortest possible.
INTRODUCTION
Les travaux de géodésie sont, depuis 1991, uniquement exécutés, sauf les
raccordements et les excentrements à courte distance, à l’aide de mesures spatiales, c’est-àdire à l’aide de récepteurs G P S, Doris, voire V L B I , mais, évidemment, surtout G P S. Les
résultats bruts, donnés en coordonnées géocentriques I T R F ( X, Y, Z), ne sont d’aucune
utilité en topographie et en topométrie. Les résultats livrés proviennent souvent d’une
projection des coordonnées géocentriques du point sur un ellipsoïde international de référence
et, éventuellement, d’une seconde transformation en coordonnées planes nationales.
Les mesures terrestres sont rapportées à la verticale du lieu, et les mesures
spatiales à la normale à un ellipsoïde de référence, qu’il est difficile de raccorder l’une à
l’autre.
Les topomètres ou topographes utilisent aussi des mesures faites sur la
constellation G P S puis bientôt G N S S, mais n’ont pas, pour cela, abandonné les mesures
terrestres faites au théodolite, au distancemètre, au niveau etc… Ces dernières mesures sont
essentiellement différentes des précédentes et ceci pose un problème : Ces mesures, si diverses,
doivent être rapportée à un même référentiel pour être utilisées simultanément. C’est ce
problème qu’on voudrait évoquer.
LE REFERENTIEL RETENU
Le référentiel retenu est fixé par décret, il s’agit de R G F 93, de l’ellipsoïde
mondial G R S 80, et de la projection Lambert 93.
La transformation des coordonnées rectangulaires géocentriques I T R F en
coordonnées géographiques latitude et longitude ϕ et λ sur l’ellipsoïde de référence G R S
80 se fait suivant une définition simple : par projection orthogonale du point (X, Y, Z) sur cet
1
ellipsoïde international (Projection dite de Helmert) . Mais il s’agit là d’une définition qui ne
respecte pas la réalité physique de la verticale du lieu, laquelle, même si la correction est
souvent négligeable, est courbe et inclinée par rapport à la normale rectiligne à l’ellipsoïde
(Projection dite de Pizzetti), en raison du non parallélisme des surfaces de niveau qu’on corrige
en nivellement géométrique.
Le résultat ne vaut certainement pas mieux que la définition, c’est une
approximation de la réalité, faite faute de mieux, car G P S « ignore » totalement la verticale du
lieu. Certes, celle-ci n’est pas inaccessible, mais il peut sembler qu’il faudrait faire, comme au
début du siècle dernier, des opérations longues et coûteuses pour la connaître.
Les différences résident, d’abord, dans ce qu’on appelle la déviation de la verticale,
qui est, en réalité car ce n’est pas la verticale qui dévie, c’est l’écart qui existe entre la verticale
du lieu et la normale à l’ellipsoïde de référence, ce dernier étant une pure création de l’esprit,
variable dans le temps, (Clarke 1889 puis G R S 80, demain ..), puis dans la courbure de la
verticale dans le plan méridien, laquelle est normale aux équipotentielles, qui sont localement
des surfaces de niveau dont le plan tangent est l’horizon du lieu, elles sont convexes et ne se
croisent jamais, on peut les approcher, localement, par des ellipsoïdes de révolution
homofocaux de l’ellipsoïde international de référence. La verticale ne peut donc pas être une
droite, même si c’est presque une droite.
Évidemment, comme on ne peut pas connaître aisément toutes ces quantités, on
procède comme indiqué, mais alors que reste-t-il de la grande précision de G P S ?
Suffisamment, pour qu’à courte distance on s’en contente, et c’est déjà beaucoup.
Mais qu’on cesse de nous parler de précision au centimètre, et même de millimètres, dans
certains cas, pour des distances plus longues !
Néanmoins, il ne faut pas perdre de vue que si on compare la distance inclinée
rectiligne entre deux stations G P S et la même distance mesurée au distancemètre on trouvera
des résultats très proches et cohérents, lesquels pourront être de l’ordre des précisions
annoncées (cm ou mm), le problème qui subsiste c’est celui de calculer, avec la même
précision, la distance horizontale entre deux points.
Un géodésien Américain, Burkholder, a trouvé plus de sept définitions à cette
longueur, on en a personnellement calculé douze, pour vérifier !
Or, que reporte-t-on sur nos plans ? les distances horizontales ! Une distance
horizontale suit une équipotentielle particulière et est orthogonale à deux verticales physiques,
alors que, dans le système qui est imposé par décret, la distance horizontale est, par définition,
calculée le long de l’ellipsoïde mondial et orthogonale à deux normales du même ellipsoïde.
Dans tous leurs projets les constructeurs se réfèrent à la verticale du lieu ou au
plan horizontal, et non à la normale à l’ellipsoïde, lequel change d’ailleurs au cours du temps
(Clarke 1889 puis G R S 80, on l’a déjà dit). Il en est de même pour calculer la surface d’un
champ : les végétaux, pour croître, ne connaissent que la verticale du lieu. Ils ignorent la
normale à l’ellipsoïde, qui est, comme on l’a déjà dit, une création de l’esprit.
2
Disons encore que sur les courtes distances aucune différence n’apparaîtra, et
que, dans ces cas, nos remarques ne seront que purement académiques : Dans la majorité des
cas on ne risque rien à utiliser le système actuel, mais dès qu’un projet aura une certaine
ampleur, et notamment en terrain accidenté, il faudra prendre garde. C’est, d’ailleurs, ce qui se
fait pour tous les grands projets, et au CERN, lesquels se moquent bien de G R S 80, exemple
en [10] qui date de 1987 alors que G R S 80 date, comme son nom l’indique, date de 1980 !
IL EXISTAIT DES SOLUTIONS
Il n’y a pas lieu d’accuser le système tridimensionnel dont l’utilisation, dans les
calculs des réseaux de triangulation, ne date pas des mesures spatiales. Si on se réfère à la bible
un peu ancienne de la géodésie physique[1] datant de 1967, dans le chapitre réservé à la
géodésie tridimensionnelle (hors du domaine d’utilisation de G P S, beaucoup plus tardif, vers
1985), on trouve une description des mesures effectuées alors :
« 1° Mesure des angles horizontaux et zénithaux par des observations au
théodolite . »
« 2° Mesures des distances rectilignes entre les points par des distancemètres
électroniques. »
« 3° Des observations astronomiques de latitude et de longitude pour fixer la
direction du fil à plomb et pour déterminer les azimuts des directions .»
En outre, les mesures étaient considérées comme projetées sur le géoïde, alors mal
connu, tout en étant appliquées sur l’ellipsoïde de référence ( ϕ et λ ) qui en était très proche
(quelques mètres au plus).
Bien entendu, aujourd’hui, il ne serait plus nécessaire de faire des observations
astronomiques. Après les travaux de M.H.Duquenne on connaît assez bien la position du
quasi-géoïde par rapport à l’ellipsoïde de référence G R S 80, c’est-à-dire le quasi-géoïde
appelé QG F 98, améliorée récemment pour les régions où des doutes subsistaient [2] soit
QG C 02A.
En effet, alors qu’on déterminait, au moins partiellement le géoïde par des
méthodes astrogéodésiques, généralement en coopération avec d’autres mesures ou données, en
mesurant, en tout point stationné, les déviations de la verticale, à l’inverse on peut aujourd’hui,
calculer en tout point les déviations de la verticale θ ou ξ et η à partir de la connaissance
du géoïde. On a θ
:
2
= ξ 2 + η 2 selon un azimut Az la déviation de la verticale sera de
ν = ξ .cos( Az) + η. sin( Az)
C’est donc, en l’état actuel des connaissances, un travail minuscule qu’il
conviendrait de faire pour se retrouver dans un domaine où la physique prévaudrait sur la
convention. On pourrait faire une correction des déviations de la verticale .
On va donner de ce qui précède un exemple concret. On se sert des documents
publiés en[2]. On se place sur la Côte entre Cannes et Antibes, et on calcule la pente du géoïde.
Elle est de 3m sur 39,5 Km dans un azimut de 168gr soit :
3
θ = 0,000076 radian = 0,004834 grade = 15",66
puis : ξ = −13",72 et η = 7",54 . On commettra une erreur de
Az − Az ≅ −η = −0,002329 grade sur les azimuts. Voir comment
n
v
et pourquoi, plus loin, la formule de Laplace.
Avec toutes les réserves qui s’imposent sur ce genre d’exercice et sa précision!
Nos suggestions ne conviendront certainement pas à tout le monde.
L’Ingénieur Général A. Fontaine a fait des propositions bien plus radicales que les
nôtres, elles consisteraient à transformer les vecteurs G P S en longueurs et en azimuts sur
l’ellipsoïde, et de calculer, par les moyens traditionnels de la géodésie, des coordonnées
géodésiques au lieu des coordonnées géométriques actuelles. Cet auteur considère que « Tout
calcul pour passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées obtenues précédemment par
la géodésie ne seront que des recettes plus ou moins justes »[3]. Il est fort probable qu’il ait
raison ![9] Il faudrait ajouter que les calculs devraient, aussi, être menés sur un ellipsoïde plus
proche localement du géoïde que G R S 80 !
En effet, il ne serait pas suffisant d’appliquer les mesures « rendues géodésiques »
sur l’ellipsoïde international, car on n’aurait pas éliminé un dernier problème, qui est celui de
l’échelle. Si on place l’ellipsoïde de référence trop loin du géoïde ( Environ 47 m en moyenne
−6
pour la France) on commet une erreur d’échelle de 47/6.371.009 soit 7,4.10 alors que la
précision de G P S et des distancemètres est, pour le géomètre, de cet ordre de grandeur
−5
(10 ). Cet erreur aurait pu être rattrapée sur la projection, mais elle ne l’est pas.
Il devrait, par conséquent, être possible d’adopter un ellipsoïde homofocal de
G R S 80 plus proche du géoïde local, correspondant à une équipotentielle théorique, et
pourquoi pas, pour les plans de base destinés à des travaux publics, un ellipsoïde également
homofocal, mais encore plus proche de l’altitude moyenne du chantier. Cela éviterait aux
utilisateurs de calculer des corrections d’échelle !
Encore que cette solution soit un pis aller. En effet, les ellipsoïde nationaux
anciens minimisaient les déviations de la verticale sur le territoire à cartographier.
L’ellipsoïde GRS 80 minimise les déviations de la verticale dans le monde entier ; mais
évidemment pas localement, ce qui fait qu’on peut avoir des déviations de la verticale presque
constantes sur tout le territoire ce qui représente un systématisme, voir notamment que les Pays
Bas [13], ont un biais θ 0 de l’ordre du milligrade, et l’Australie[14] qui a un biais θ 0 de 2
milligrades sur l’ensemble de leur territoire, ce qui provoque une simple translation des points
projetés, mais aussi des problèmes pour calculer sur l’ellipsoïde tous les azimuts mesurés sur
le géoïde !
POURQUOI A-T-ON OUBLIE LES ANCIENNES METHODES ?
Il semble que le souci principal des géodésiens a été de créer un système mondial
quitte à rencontrer des systématismes au niveau local.
4
« Avec un système purement géométrique et de couverture mondiale, on avait tout
intérêt a mettre en place un référentiel unique pour toute la planète »[4].
Mais, cet auteur corrige un peu cette position en écrivant plus loin : « Évidemment,
comme le G P S est purement géométrique il convient de spécifier un ellipsoïde de référence
qui peut être choisi librement1 certes, mais qui est généralement toujours le même… »[4]
Il est donc évident que le système international retenu fait la part belle aux géodésiens
actuels dans leurs rapports avec leurs collègues étrangers, encore que tous ne soient pas
d’accord [3], et que les problèmes des topographes et des topomètres sont, largement, passés au
second plan.
SOLUTIONS .
Quelques solutions semblent avoir été sérieusement envisagées à l’étranger,
notamment en Australie, qui dispose d’un ancien réseau encore en usage, comme chez nous
l’ancienne N T F, puis du système mondial I T R F 2000 basé sur G R S 80. Enfin, un
troisième système est ou sera mis en place, il sera géocentrique mais plus proche du géoïde
local que G R S 80.
Des exemples anciens ont existé aux États-Unis dans des États particuliers pour
résoudre des problèmes locaux pour lesquels l’ellipsoïde de référence a été rapproché de
l’altitude moyenne de l’Etat du Michigan.[6].
Pour la topométrie, une solution plus radicale a été proposée par un géodésien
Américain déjà cité [7]. Il s’agit de conserver les coordonnées géocentriques X Y Z et de les
transformer localement en tridimensionnel topocentrique e n u (east, north, up) par rotation,
translation{7].
e
X
e0
n = R(ε x , ε y , ε z ). Y + n0
u
Z u0
Cet auteur a bâti tout un
système topométrique breveté sur ce principe.
Sans retenir cette proposition, qui pose autant de problèmes qu’elle en résout,
elle montre, à l’évidence, qu’il y a réellement un problème de la transformation des
coordonnées X Y Z pour la topométrie.
LE MELANGE DES MESURES .
De fait, le réel problème est celui du mélange des mesures terrestres et spatiales. Les
premières sont rapportées à la verticale physique du lieu, les secondes à la normale à
l’ellipsoïde de référence. Sauf à connaître en tout point les déviations de la verticale et sa
1
Non souligné dans le texte original cité.
5
courbure, cela est, stricto sensu, probablement impossible à réaliser dans la routine
quotidienne.
On a bien essayé de montrer qu’il était possible de calculer ou de réduire les
opérations terrestres dans le système tridimensionnel géocentrique, par exemple les opérations
de cheminement, d’intersection et de relèvement notamment dans [8]. Toutefois, on est encore
amené à faire la même erreur en confondant la verticale du lieu et la normale à l’ellipsoïde, et
on est confronté aux mêmes approximations, à ceci près que les erreurs commises sur les
angles horizontaux et les azimuts sont assez faibles en visées rasantes, en revanche, pour ces
mêmes visées rasantes, les angles zénithaux sont affectés par la réfraction qui, dans ce cas, est
très mal connue.
On a en effet la relation de Laplace:
Azn − Azv = −η. tg (ϕ ) + (η.cos( Az ) − ξ . sin( Az )).cot Ze avec Azn Azimut
selon la normale à l’ellipsoïde, Azv azimut selon la verticale du lieu, Az azimut approché, et
Ze distance zénithale, les autres termes sont déjà connus. On remarque que si Ze est voisin
de
π
2
le second terme du second membre est nul, l’erreur se réduit à la correction de Laplace :
Azn − Azv = −η. tg (ϕ ) soit, sous nos latitudes :
Azn − Azv ≅ −η , mais pour un angle, qui est la différence
entre deux directions, l’erreur reste nulle si Ze reste toujours voisin de
π
2
. Il est courant de
commettre des erreurs sur les azimuts de l’ordre du milligrade, au minimum, sauf lorsque
l’azimut de départ est celui calculé sur l’ellipsoïde de référence et si les toutes visées sont
presque horizontales. En revanche, pour les angles autres que ceux dont les deux visées sont
horizontales les choses seront un peu plus compliquées. L’écart sur une direction i sera de :
∆di = d n − d v = (η.cos( Azi ) − ξ . sin( Azi )).cot Zei l’écart sur
∆d 1 − ∆d 2
le plus grand azimut, et 2 le plus petit : ∆d Az max − ∆d Az min
un angle compris entre les directions 1 et 2 sera de
le signe étant donné pour 1
Enfin, pour en finir avec la solution du début de paragraphe développée en [8], on
devrait à nouveau transformer les coordonnées géocentriques en coordonnées géographiques et
se retrouverait encore face aux mêmes problèmes, ce qui fait que cette méthode n’est
exploitable que localement, pour des excentrements, ou lorsque les coordonnées géocentriques
sont le produit final à livrer, ce qui est le cas pour la géodésie, la géophysique etc..
PROPOSITION
S’il est vrai que « tout calcul pour passer des coordonnées cartésiennes aux
coordonnées obtenues précédemment par la géodésie ne seront que des recettes plus ou moins
6
justes »[3] au moins, il serait intéressant de le faire de telle sorte que les erreurs commises
inévitablement, par suite de la méconnaissance des déviations de la verticale soient les plus
faibles possible.
Il est exact que nos propositions initiales sont relativement critiquables : connaître en
tout point ou calculer les déviations de la verticale n’est peut-être pas envisageable, c’est
pourquoi M A.Fontaine avait proposé, comme on l’a rappelé, une autre solution beaucoup plus
radicale.
Ensuite, la projection sur le géoïde n’est valable que si celui-ci est proche de
l’ellipsoïde de référence, or il est à presque 50 mètres, parfois plus ! Il faudrait donc projeter, à
nouveau, le géoïde sur l’ellipsoïde, sauf à rapprocher l’ellipsoïde de référence du géoïde pour
rendre cette dernière opération inutile.
Mais, dans ce cas, on sort des normes admises dans le décret, et quitte à en sortir,
pourquoi ne pas adopter un référentiel très proche du terrain ? La projection du point sur
l’ellipsoïde de référence sera, alors, la plus courte possible et les erreurs de cette projection
imparfaite, dues à l’ignorance des paramètres réels de déviation, seront les plus faibles
possibles.
Il s’agit donc de se donner un référentiel proche du terrain. Pour rester au plus près des
règles actuelles, on choisirait un ellipsoïde homofocal de G R S 80 passant par l’altitude
moyenne du chantier. Les calculs sont classiques et assez simples, on va les rappeler ( pour les
besoins de la programmation).
Soit a, b, le grand et le petit axe de l’ellipsoïde G R S 80 et e sa première excentricité.
Soit ϕ 0 la latitude moyenne du lieu et h sa hauteur moyenne au-dessus de l’ellipsoïde
international. On calcule les mêmes termes a’, b’ et e ‘’sur le nouvel ellipsoïde passant par
l’altitude moyenne du lieu. Rappelons que le terme e’ représente traditionnellement la seconde
excentricité :
a 2 − b2
e' =
b2
a 2 − b2
alors que e =
.
a2
La hauteur h peut être la somme : h = ζ + Am composée de la hauteur du géoïde
au- dessus de l’ellipsoïdeζ et de l= altitude moyenne du chantier Am au point moyen du
chantier, et à la latitude origine latitude ϕ 0 .
Il est possible de calculer les mêmes termes a’, b’ et e ‘’, et e’’’sur le nouvel
ellipsoïde2. On a alors :
2
b’ se note généralement u, et
a' = u2 + E 2
7
a ' = a + h. 1 − e 2 . sin 2 (ϕ 0 ) ou a ' = a + h.W0
b' = a '2 − E 2 , avec E = a 2 − b 2 , excentricité linéaire fixe
a ' 2 −b ' 2 E 2
a ' 2 −b' 2 E 2
2
e'' =
= 2 , e''' =
= 2,
2
2
a'
a'
b'
b'
z0 = h − ζ
2
ces calculs sont faits une seule fois pour l’ensemble du chantier, pour ϕ 0 latitude du point
moyen du chantier choisi comme point origine, et h hauteur de ce même point au-dessus de
G R S 80, et E = 521.854,0097 m constante secondaire de ce même G R S 80 [5].
L’équipotentielle théorique choisie aura les mêmes foyers que le système international
officiel, elle sera plus proche localement du géoïde que ne l’est G R S 80 . Les calculs doivent
être répétés au moins une fois, car W’ est fonction de a’, qui est calculé à l’aide de W’.
Pour h=50m on aurait a’=6.378.187,09m au lieu de a=6.378.137m
b’=6.356.802,57m au lieu de b=6.356.752,31m,
e ‘’2= 0,006694275 au lieu de e2=0,006694380,
e’’’2=0,006739391 au lieu de e’2=0,006739497.
Pour chaque point projeté connu par ses coordonnées géocentriques X, Y, Z on
conduira, ensuite, les calculs suivants :
Y
X
X 2 + Y2
λ = Arctg
p=
Z.a'
p.b'
Z + e'''2 .b'. sin 3 (θ )
ϕ = Arctg
p − e'''2 . a '.cos3 (θ )
a'
N'=
W'
p
h' =
− N'
cos(ϕ )
z = h'+ z0
θ = Arctg
8
d’où
λ , ϕ et h'
Comme on l’a déjà exprimé, toutes ces formules sont classiques, on a choisi une
méthode de calcul directe de ϕ mais on peut tout aussi bien procéder, comme on le fait
d'habitude, par itérations. Mais, attention, cela ne résout en rien le problème des azimuts.
LE MÉLANGE DES MESURES.
.
Les coordonnées λ , ϕ et h' ainsi obtenues seront transformées en coordonnées
planes, c’est-à-dire des coordonnées chantier x y et z, dans une projection conforme locale
quelconque qui satisfasse le client, et ce, sur une équipotentielle proche du chantier, afin de ne
pas trop en altérer les dimensions. Les opérations terrestres pourront être calculées dans ce
système plan, encore qu’il faudra, pour les azimuts très précis obtenus par observations
astronomiques, tenir compte des corrections à leur apporter.
Le client a bien d=autres sujets de préoccupations sur son chantier que de garder en
mémoire que les dimensions de ses plans ne seront pas correctes, les visées non rectilignes, et
qu=il devra, constamment, songer à les corriger !
Les points communs au référentiel officiel et à celui du chantier serviront à replacer
tous les points du chantier dans le référentiel légal, et cela presque sans frais, de façon à être en
règle avec le décret. Quatre points au minimum pour une développement au troisième degré, et
six pour le cinquième, mais bien entendu il faut au moins disposer du double de ces nombres,
ne serait-ce que pour se contrôler.
On a déjà donné les moyens de d= appliquer directement, en une seule opération, des
coordonnées dans un autre référentiel [11] mais il existe aussi d’autres solutions.
CONCLUSIONS.
On ne pense pas avoir épuisé tous les moyens susceptibles de résoudre le problème du
mélange des mesures terrestres et de mesures spatiales par projection d’un point, calculé en
tridimensionnel géocentrique, sur l’ellipsoïde international, pour arriver à la conclusion
qu’elles sont incompatibles, dans le cadre de la réglementation actuelle, pour les opérations un
peu étendues, mais seulement approximativement utilisables pour les petites opérations.
Donc, dans le domaine du topographe, celui du géodésien étant devenu de façon
presque exclusive celui des mesures spatiales, l’emploi simultané de mesures spatiales et
terrestres ne permettra jamais de dépasser, sans précautions particulières, une précision qui ne
sera pas de l’ordre du centimètre, encore moins du millimètre ; elle sera limitée, outre les
contraintes physiques citées en [4], parce que les mesures terrestres sont rapportées à la
verticale du lieu, et les mesures spatiales à la normale d’un lointain ellipsoïde de référence, et
qu’il sera plus ou moins difficile de raccorder l’une à l’autre. Bien entendu, lorsqu’il s’agit de
mesurer localement des déplacements, ces précisions seront accessibles, car il s’agit d’une
mesure sur une très courte distance et les variations locales des déviations de la verticale
resteront faibles.
De même, toutes les opérations à faible distance admettront sans difficulté le mélange
des mesures, sauf en région montagneuse, ou entre montagne et plaine, ou encore au voisinage
d’une faille géologique, là où les variations des déviations de la verticale sont trop rapides, voir
en [12] les exemples touchant l’Europe Centrale au voisinage des Carpates.
9
Il convient de toujours se souvenir que, dans nos activités quotidiennes, nous
« rampons » sur le géoïde. Par conséquent, les mesures prises sur le géoïde devront être
projetées sur un ellipsoïde inconnu du client, que, pour cela, il convient de le définir comme le
plus proche possible du premier.
Le problème matériel qui reste à résoudre est celui des logiciels du commerce,
souvent des boites noires, qui permettent de passer, directement, des coordonnées
géocentriques X Y Z aux coordonnées de la projection x y z, sans la moindre difficulté. Bien
entendu, il conviendra de les réécrire, mais cela est très facile, on l’a fait en moins d’une demie
journée, y compris le passage final en projection stéréographique locale.
En effet, toutes ces remarques laissent de côté l’important problème de la projection.
Toutefois, le problème à résoudre sera toujours le même : comment faire pour que la précision
des mesures ne soit pas trop dégradée par les altérations d’échelle ? En limitant la portée de la
projection bien sûr, «mais cela » disait R. Kipling « est une autre histoire».
BIBLIOGRAPHIE .
[1] 1967 -Weikko A. Heiskanen et Helmut Moritz : Physical Geodesy - reprint Technical
University Graz, Austria 1993
[2] 2004 – Henri Duquenne et al : Amélioration du champ de pesanteur et du géoïde autour de
la Corse par gravimétrie aéroportée in X Y Z n°101.
[3] 2004 – André Fontaine : Plaidoyer pour la géodésie in X Y Z n°101 .
[4] 2004 – Michel Kasser : La géodésie française et mondiale, une évolution considérable en
25 ans in X Y Z n°100.
[5] 1980 - Helmut Moritz - Geodetic Reference System - Bulletin Géodésique n°54. pp395405
[6] 1997 – Maarten Hooijberg - Practical Geodesy Using Computers - Springer Verlag .
[7] 1993 - Earl. F..Burkholder - Using G P S Results in True 3-D Coordinates System
in Surveying Engineering Vol 119 N°1 Février.
[8]. 1999 - Claude Million : Tendances actuelles en matière de calcul des canevas de base in
X Y Z N°78 .
1997 - Claude Million -L=intersection 3-D in X Y Z N°72 3ème trimestre.
[9] 2001 - Claude Million -Le développement du vecteur DGPS le long de la géodésique in
X Y Z n°88 Septembre.
[10] 1995 - Pascal Willis et Claude Boucher - L=unification des références géodésiques.
L=exemple du Tunnel sous la Manche in X Y Z N°61.
[11] 2002 - Claude Million- L=application d=un système de coordonnées dans un autre
référentiel in X Y Z N°90 1er trimestre.
[12] 2005 – Gabor Pabb- Numerical modelling of gravitationnal field lines http://www.
ggki.hu/new/gravity/node12.html
[13] 2005 - de Koepel - Deflection of the vertical in Netherlands from geodetic astronomical
observations
http://www.dekoepel.nl/Geodetic-Astronomy.html
[14] 1999 – W E Featherstone – The use and abuse of vertical deflections in Six South Asian
Surveyors Congress - Freemantle Western Australia.
10
11