Exercices supplémentaires : Vecteurs et translations

Exercices supplémentaires : Vecteurs et translations
Exercice 1
M
1) Quelles sont les images de ; ; ; et par la
translation de vecteur ?
2) Quels sont les vecteurs égaux au vecteur ?
3) Quelles sont les images de ; ; ; et par la
translation de vecteur ?
F
A
E
G
B
H
4) Quel point a pour image par la translation de vecteur
I
D
L
?
5) Quel point a pour image par la translation de vecteur
?
J
C
K
6) Quel point a pour image par la translation de vecteur ?
?
7) Quelles sont les images de ; et par la translation de vecteur ?
8) Quelles sont les images de ; ; et par la translation de vecteur 9) Donner tous les vecteurs égaux au vecteur .
.
10) Donner tous les vecteurs égaux au vecteur Exercice 2
. Ecrire les égalités de vecteurs
1) Construire et , images des points et par la translation de vecteur correspondantes.
2) Construire et , images des points . Ecrire les
et par la translation de vecteur égalités de vecteurs correspondantes.
3) Construire et , images des points . Ecrire
et par la translation de vecteur les égalités de vecteurs correspondantes.
4) Quelle est l’image du point par la
?
translation de vecteur 5) Quelle est la nature du quadrilatère
? Justifier.
6) Quelle est la nature du quadrilatère
C
A
D
B
? Justifier.
7) Quelle est la nature du quadrilatère
? Justifier.
8) Que représente pour ? Justifier.
9) Que représente pour ? Justifier.
Exercice 3
Compléter les égalités suivantes (à l’aide de la figure de l’exercice 1)
…
…
…
…
…
2
…
1
…
…
…
2
…
…
…
… …
…
…
→
u
1
…
2
1
…
2
1
…
3
1
1
…
2
2
Exercice 4
Compléter les égalités suivantes grâce à la relation de Chasles
…
…
…
…
…
…
…
…
… … 1
…
…
2
…
…
1
1
1
…
…
4
3
2
… … … ……
… … … … …
…
… Exercice 5
Grâce à la relation de Chasles, démontrer les égalités suivantes :
0
Exercice 6
On considère un parallélogramme . Construire les points , , et tels que
1
1
1
2
2
2
Exercice 7
On considère un parallélogramme et les points , , et définis par
2
2
0
Montrer les égalités suivantes puis construire les points , , et .
1
1
1
"
!
2
2
3
Exercice 8
et .
On considère un triangle et les points et tels que 2
2
et en déduire que est le milieu de .
2
Justifier que Exercice 9
;
On considère un parallélogramme #$ de centre . Construire les points , et tels que # et .
#
.
1) Démontrer que 2) Démontrer que 3) En déduire la nature du quadrilatère .
4) Démontrer que les droites %& et %& sont les médianes du triangle .
5) Ces deux droites se coupent en . Démontrer que %& coupe en son milieu.
Exercice 10
et #
2
3
.
5
On considère un triangle et les points et # tels que Démontrer que # 0.
Correction
Exercice 1
1) L’image de par la translation de vecteur est .
est .
L’image de par la translation de vecteur L’image de par la translation de vecteur est .
est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur 2) 3) L’image de par la translation de vecteur est .
est .
L’image de par la translation de vecteur L’image de par la translation de vecteur est .
est .
L’image de par la translation de vecteur L’image de par la translation de vecteur est .
4) C’est le point qui a pour image par la
translation de vecteur .
5) C’est le point qui a pour image par la
translation de vecteur .
6) C’est le point qui a pour image par la
.
translation de vecteur 7) L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
est .
L’image de par la translation de vecteur 8) L’image de par la translation de vecteur est .
est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur 9) 10) Exercice 2
I
1) 2) 3) E
4) L’image du point par la translation de
est .
vecteur .
est un parallélogramme et on a aussi donc est un
Par ailleurs, J
F
, alors est un
5) Comme . Or
parallélogramme et on a donc aussi donc ce qui signifie que est un parallélogramme.
, on peut dire que 6) Comme C
A
D
B
H
G
.
parallélogramme et on a aussi et donc est un parallélogramme.
On en déduit que . Par ailleurs, dans la
7) On sait que donc est un parallélogramme et on a aussi donc ce qui montre que est un
question précédente, nous avons montré que parallélogramme.
or 8) A la question 5, nous avons montré que donc ce qui montre que es le
.
milieu de
. De plus, donc est un parallélogramme et donc on a aussi 9) On sait que ce qui montre que est le milieu de .
donc Exercice 3
Compléter les égalités suivantes :
0
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
1
2
2
1
2
1
1
1
4
3
2
Exercice 4
Compléter les égalités suivantes grâce à la relation de Chasles
0
Exercice 5
0
Exercice 6
D
C
H
G
A
B
E
F
Exercice 7
1
1
( ( 2
( " ( "
!
!
2
2
1
( 0
( 2
( 0
2
1
( 2
( 3
( 2
3
2
2
( ( ( ( D
F
C
E
A
B
G
H
Exercice 8
2
2
donc ce qui signifie que est le milieu de .
2
Or Exercice 9
#
#
#
#
1) 2
car est le milieu de 2) donc est un parallélogramme.
3) On a donc donc est le milieu de et donc %& est une médiane de .
4) Comme est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu donc %& coupe en son
milieu et est donc une médiane de .
5) est le point d’intersection de deux médianes donc est le centre de gravité de . Il appartient donc à la
troisième médiane qui est alors %& et qui coupe le troisième côté en son milieu.
Exercice 10
#
5
2
3
5
2
3
3
# 3
3
3!
" 3
0
3