Annales - Laboratoire d`Astrophysique de Bordeaux

Transcription

Université Bordeaux 1
Année universitaire 2007/2008
Semestre 2
CPBx
Physique
Devoir Surveillé du 11/04/08
Document et calculatrice non-autorisés
Sujet de J.M. Huré et T. Jacq
Durée 1h30
Question de cours (6 points)
On définira clairement les notations introduites, le cas échéant.
1. Enoncez le principe fondamental de la dynamique pour une particule matérielle de masse m et de
quantité de mouvement p~ soumise à un ensemble de forces extérieures de résultante F~ .
2. Enoncez le théorème de l’énergie cinétique (ThEC).
3. Comment se ré-écrit éventuellement le ThEC en présence de forces conservatives ? En présence
de forces conservatives et non-conservatives ?
Problème (14 points)
A. On considère une sphère S de masse m se déplacant dans l’espace où règne un champ de gravité
~g uniforme (figure 1). On choisit un système d’axe (Ox, Oy) et une base associée (~ex , ~ey ) tels que, à
l’instant t = 0, S est en O(0, 0), sa vitesse est V~0 = V0~ex avec V0 > 0, et l’accélération de la pesanteur
s’écrit ~g = −g~ey où g > 0. On assimilera la sphère à une masse ponctuelle.
y
champ de gravité
V
0
0
d
x
Figure 1
1. Dressez l’inventaire des forces agissant sur S, et montrez que la sphère subit une accélération ~a.
Quelle est-elle ?
1
2. Rappelez, sans démonstration, quelle est la nature du mouvement de S.
3. Etablissez l’équation de la trajectoire de S. Exprimez le temps mis par S pour atteindre l’abscisse
x = d ? Quelle est alors son altitude y ? Sa vitesse ~v à cet endroit ?
4. Retrouvez ce dernier résultat à l’aide du théorème de l’énergie cinétique.
B. On recommence la même expérience que précédemment avec une sphère métallique de même
masse mais portant cette fois une charge électrique Q et l’on installe dans la région x ∈ [0, d] un champ
~ uniforme (figure 2), de sorte que la sphère subit dans cette région et dans cette région
électrique E
~
uniquement, une force supplémentaire F~ = QE.
y
champ de gravité
et champ électrique
V
0
0
d
x
Figure 2
5. Dressez l’inventaire des forces agissant sur la sphère, et montrez que S subit, en général, une
accélération ~a. Quelle est-elle ?
6. Quelle est la nature du mouvement de S, quelle que soit l’orientation du champ électrique ?
Expliquez.
~ pour que S conserve sa vitesse lorsqu’elle
7. Comment choisir la charge Q et l’orientation de E
traverse la région où règnent les deux champs ? Expliquez.
8. En vous basant sur les résultats obtenus en A, trouvez la position et la vitesse ~v ′ de S en x = d dans
~ = n× m ~g où n est un entier relatif, c’est-à-dire n ∈ {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
le cas particulier où E
Q
9. Dans les conditions de la question précédente, comparez deux-à-deux les composantes de ~v et de
~v ′ lorsque x ∈ [0, d]. Concluez. Que se passe-t-il pour n = −1 ?
~ si l’on veut que S puisse rebrousser chemin ?
10. Expliquez sommairement comment orienter E
~ = −E e~x , avec E > 0. Déterminez la relation en Q, V0 , E et d telle que S rebrousse
11. On pose E
chemin en x = d. Que devient cette relation si l’on veut que S rebrousse chemin en x0 < d.
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Semestre 2
CPBx
Physique — CPI246
Examen du 06/06/08
Sujet de J.M. Huré
Durée 1h30
Problème (14 points)
On considère le dispositif schématisé ci-dessous constitué d’une fine tige (T ) homogène de bois de
masse M et de longueur L, et deux sphères pleines (S), de rayon R et de centre C, et (S ′ ) de rayon
R′ et de centre C’. Les sphères sont en plastique, de masse volumique ρ. On fixe (S) au dessus de
la tige à son extrémité gauche A de sorte que AB ⊥ AC; (S’) est placée au dessous de celle-ci à son
extrémité droite B, avec AB ⊥ BC’. Le système (S)+(S’)+(T) constitue un solide indéformable (I) que
l’on peut faire tenir en équilibre en posant la tige sur une pointe en O, à une distance d < L de A (en
O, le système peut donc pivoter). On place (I) dans un environnement ou règne un champ de gravité
~g vertical uniforme comme indiqué sur la figure.
On choisit un système d’axe (Ox, Oy, Oz), et une base associée (~ex , ~ey , ~ez ).
y
g
(S)
m
C
R
B
(T)
A
d
O
L−d
m’
C’
x
R’
(S’)
Une infinité d’équilibres sont réalisables. On s’intéresse à celui qui laisse la tige à l’horizontale.
1. Exprimez la masse m de (S) et la masse m′ de (S ′ ) en fonction de ρ.
2. Rappelez la définition du centre de gravité G d’un solide constitué de N solides de masses Mi et
de centre de gravité respectifs Gi . Que vaut N dans le cas présent ?
1
3. Précisez la position du centre de gravité GS de (S) ? GS ′ de (S’) ? GT de (T) ? Déterminez leurs
coordonnées.
4. En déduire les coordonnées du centre de gravité G de (I).
5. Comment choisir les paramètres m, m′ , M et d pour que G se situe précisément sur l’axe Ox ?
sur l’axe Oy ? au niveau de la pointe, en O ?
6. Quelles sont les forces qui s’exercent sur (I) ? Exprimez leur composantes.
7. Rappelez les équations qui s’appliquent lors de l’équilibre du système ?
~ de la pointe. Dépend-elle de d ? Quelle est son rôle ?
8. Exprimez la réaction R
~ O , somme vectorielle des moments des forces en O. En déduire la position
9. Exprimez le moment M
d permettant au système de se maintenir effectivement en équilibre, la tige restant parfaitement
horizontale. Avez vous déja obtenu cette expression ? Concluez.
10. Une mouche de masse µ vient se poser sur la tige. Oh, la vilaine! Que peut-il se produire ? A
quel endroit de la tige la mouche peut-elle se poser sans rompre l’équilibre précédent ? Comment
sont alors modifiées les forces en présence ? Expliquez.
Exercice (6 points)
A la surface de la Lune, un petit caillou rond de masse m (assimilable à un point matériel) se détache
d’un rocher et roule sans frottement en suivant le relief. Ce déplacement à lieu dans un plan xOy sous
la seule action du poids P~ = −mg~ey du caillou, g étant la pesanteur lunaire (environ 6 fois plus faible
que sur Terre).
1. Quelle est l’énergie potentielle de pesanteur de la bille lorsqu’elle se trouve à une altitude z (on
prendra l’altitude z = 0 comme origine des énergies) ?
2. Les variations de relief sont tels que l’énergie potentielle de la bille s’écrit en fait:
Ep(x) = ax2 − bx3
3. Tracez sommairement la courbe Ep(x).
4. Quels sont les positions d’équilibre de la bille ? Sont-elles stables ? instables ?
pa
. Dans quel sens se dirige-t-il ? Justifiez.
5. Le caillou se détache du rocher en x0 = 6b
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Université de Bordeaux
Semestre 3
CPIBx
Physique
Devoir blanc du 01/10/08
Un mobile M, assimilable à un point matériel de masse m et de coordonnées cartésiennes (x, y), se déplace
dans le plan xOy selon la loi horaire suivante :

 x(t) = a(t − 1)
(1)
 y(t) = b
1+t
où t ≥ 0 est le temps (mesuré en secondes) et a et b deux constantes positives. Le mobile est soumis à son
poids P~ = −mg~uy , g désignant l’accélération de la pesanteur terrestre au niveau du sol y = 0, ainsi qu’à une
~
seconde force inconnue I.
1. Rappelez la valeur communément admise pour g.
2. Où se trouve M à t = 0 ? et à t = 1 ? et à t = 2 ? et lorsque t → ∞ ?
3. Montrez que le mouvement est confiné dans un demi-plan.
4. Trouvez la trajectoire T de M pour t ≥ 0. Quelle est-elle ?
5. Tracez sommairement T et précisez le sens de parcours du mobile sur T .
6. Le mobile peut-il atteindre l’abscisse −2a ? Si oui, précisez à quel(s) instant(s).
7. Exprimez les composantes cartésiennes (ẋ, ẏ) de la vitesse instantanée ~v (t). Exprimez v(t). Que vaut
v(0) ? et v(1) ?
8. Exprimez les composantes cartésiennes (ẍ, ÿ) de l’accélération instantanée ~a(t). Exprimez a(t).
9. Le mouvement est-il uniforme ? Est-il uniforme selon la direction Ox ? Oy ? Le mouvement est-il
uniformément accéléré ?
10. En déduire les composantes de F~ , résultante des forces qui s’exercent sur le mobile à tout instant.
~
11. En déduire la force inconnue I.
12. Dans quel sens agit I~ ? Y-a-t-il un instant où I~ s’annule ? Est-elle plutôt motrice ou résistante ?
13. Calculez le travail W de F~ entre les instants t = 0 et t = 1.
14. La force P~ est-elle conservative ? et I~ ?
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Semestre 3
CPIBx
Physique
Un mobile M, assimilable à un point matériel de masse m, est lancé verticalement depuis un point O(0, 0)
~0 . Le mobile a pour coordonnées
selon un axe 0y (dans le sans opposé à la gravité ~g ) avec une vitesse V
cartésiennes (x, y). On suppose qu’il est soumis à son poids et à une force de frottement f~ proportionelle à sa
~.
vitesse instantanée V
1. Exprimez les composantes cartésiennes des deux forces en présence.
2. Rappelez le principe fondamental de la dynamique.
3. Donnez l’expression de la hauteur maximale h que peut atteindre le mobile dans le cas où les frottements
sont inexistants. Quel est le temps tm associé ?
4. Montrez que, en présence de frottements, la vitesse de M est de la forme :
~ (t) = Ae
~ −t/τ + B,
~
V
~ B
~ et τ sont des constantes que l’on explicitera en fonction de V
~0 , m, ~g et du coefficient de frottement.
où A,
~ et B
~ ? Qu’en concluez-vous ?
5. Quel est le sens des vecteurs A
6. Trouvez, en fonction de τ , g, V0 et du coefficient de frottement, l’expression de l’instant t′m où la vitesse
d’ascension du mobile s’annule.
~ = y~uy du mobile en fonction du
7. De l’expression de la vitesse donnée ci-dessus, déduisez la position OM
temps t ≥ 0. Montrez que l’on a, compte-tenu des conditions initiales :
~0 − B
~
~
~ (t) = τ V
1 − e−t/τ + Bt
OM
8. En déduire que la hauteur maximale h′ que M peut atteindre est maintenant donnée par :
~ ′ +V
~0 τ
h′ ~uy = Bt
m
h′
9. Exprimez la différence d’altitude − h et la différence de temps d’acension t′m − tm dans le cas où les
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frottements sont relativement faibles (on rappelle que pour tout x ≪ 1, ln(1 + x) ≈ x − x2 ). Le signe de
ces différences est-il conforme à ce que l’intuition semble vous indiquer ? Commentez.
1
Semestre 2
CPI246
Physique
Documents non-autorisés
Le barême est donné à titre indicatif
Durée 1h30
A (10 points). Un guépard en chasse s’approche
au plus près d’une antilope. Parvenu à une distance df de celle-ci, le guépard s’élance. L’antilope
prend immédiatement la fuite. Il faut 2 s pour
que les deux animaux atteignent leur vitesse de
pointe, Va = 72 km/h pour l’antilope et Vg = 108
km/h pour le guépard. On admettra que les
deux animaux sont bien à l’arrêt au départ de
leur course et qu’ils ont une accélération constante
avant d’atteindre leur vitesse maximale. On note
∆d(t) la distance séparant le prédateur de sa proie
à l’instant t et on prend comme origine t = 0
l’instant où le guépard se met à courir. La course
s’effectue en ligne droite.
1. Calculez l’accélération des deux animaux, que l’on notera aa pour l’antilope et ag pour le guépard.
2. Que vaut ∆d à t = 0 ? Déterminez les distances da et dg parcourues par chaque animal à la fin
de la phase accélératrice. Que vaut ∆d à t = 2 s ?
3. Exprimez ∆d(t) en fonction du temps t et de df , dans la phase à vitesse maximale (t > 2 s). A
quel instant tr le guépard va-t-il rattraper l’antilope ?
4. Au contraire de l’antilope, le guépard ne peut maintenir sa vitesse maximale que sur une distance
d’au plus 280 m après quoi il stoppe net. Quelle est la distance d’approche minimale df que le
guépard doit atteindre pour espérer attraper l’antilope ?
1
B (15 points). Un enfant de masse M s’élance en direction d’une luge de masse m initialement
immobile sur une piste verglacée. Il saute et atterrit sur la luge, à l’instant t = 0, avec une vitesse
V0 . Il est alors immobile sur la luge et se déplace ensuite horizontalement avec elle en ligne droite. On
négligera la résistance de l’air.
1. Exprimez les quantités de mouvement p~ de l’enfant et de la luge juste avant t = 0 ?
2. En déduire la vitesse V~1 de déplacement de l’enfant sur sa luge à t = 0. Comment évolue cette
vitesse si la piste glacée est parfaitement horizontale et qu’il n’y a pas frottements ? Justifiez.
Quelques mètres plus loin, il y a une belle descente. La piste est toujours verglacée (déplacement
sans frottements). En bas de celle-ci, en un point A, la vitesse de la luge a doublé, la piste redevient
horizontale mais la glace laisse place à de la neige. Les frottements occasionnés par le glissement de
luge sur la neige peuvent être assimilés à une force f~ d’intensité constante. La luge s’arrête en un point
B après avoir parcouru la distance d. On note x = 0 la position de la luge à l’entrée de la zone neigeuse.
Le mouvement de la luge s’effectue vers les x croissants.
z
∆h
x
A
B
3. Rappelez le théorème de l’énergie mécanique.
4. Calculez la différence d’altitude ∆h > 0 entre la piste verglacée et la piste enneigée. On prendra
la valeur de g égale à 10 m.s−2 , M = 30 kg, m = 1 kg et V0 = 36 km/h.
5. Montrez aur le travail de la force de frottement sur la distance d peut se mettre sous la forme
~ Quel est son signe ? Commentez.
W (f~) = f~.AB.
6. En déduire l’expression de d en fonction de M , m, f et V0 .
7. Application numérique : calculez d pour f = 50 N.
8. De combien se trouve modifiée la distance parcourue : i) si V0 est plus faible d’un facteur 2 ? ii)
si f plus faible d’un facteur 2 ? La masse de la luge est-elle déterminante ?
Une fois à l’arrêt, l’enfant quitte la luge en effectuant un brusque pas vers l’avant à la vitesse V~2 .
9. Que fait la luge ?
10. Calculez la position finale de la luge pour V2 = 3.6 km/h.
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Semestre 2
CPBx
Session 1 de printemps
Epreuve de Physique — CPI246
Examen du 27/05/09
Sujet de Th. Jacq et J.M. Huré
Durée 1h30
Exercice (6 points). — On comprime un ressort AB, sans masse, de raideur k et de longueur à vide ℓ0
pour lui donner une longueur ℓ < ℓ0 . L’extrémité A est fixe. Sur l’extrémité B du ressort, on positionne une
petite bille de bois de masse m. A un instant initial t0 , on libère le ressort qui entraı̂ne avec lui la bille. Le
ressort, maintenu dans un guide vertical, n’a pas la possibilité de se détendre au delà de ℓ0 de sorte que sa
longueur ne peut jamais excéder ℓ0 . Ce genre de procédé est utilisé dans le jeu du “flipper”.
On choisit un axe unique vertical Oz colinéaire à AB et un vecteur unitaire ~ez sur cet axe. L’origine O
est prise à l’extrémité du ressort au repos. On note z la position instantanée de l’extrémité A du ressort (soit
z = 0 au repos). On prendra l’origine des énergies potentielles en z = 0.
1. Rappeler l’expression de la force de rappel qu’exerce un ressort pour un allongement z quelconque.
2. Quelle force totale F~0 doit exercer l’expérimentateur pour maintenir le ressort comprimé et la bille ?
3. Calculez le travail de cette force lorsque le ressort est comprimé jusqu’à sa position initiale z0 = ℓ − ℓ0 <
0. En déduire que l’énergie emmagasinée par le ressort vaut Ep1 = 12 kz02 .
4. Quelle est l’énergie potentielle de pesanteur Ep2 la bille de bois à une altitude z < 0 ?
5. En déduire l’énergie mécanique totale initiale E0 du système “ressort + bille”.
A t1 > t0 , le ressort vient en butée et cesse brusquement son mouvement. L’allongement du ressort est
nul. La bille, désolidarisée du ressort, s’élève à la vitesse V1 .
6. Que vaut l’énergie totale Em (z = 0) du système “ressort + bille” à t1 ? En déduire V1 en fonction de
m, k, g et z0 .
7. Que vaut l’énergie mécanique Em de la bille à z > 0 ? A quelle hauteur maximale zm la bille va-t-elle
s’élever ? Ce résultat dépend-il de z0 ? Commentez.
Problème (14 points). — On étudie un plongeoir AB de longueur L et de masse m1 susceptible de
pivoter autour d’un point P situé à L/3 de l’extrémité A (voir la figure). Le plongeoir est maintenu en
équilibre à l’horizontale par un câble d’acier (“incassable” et inextensible) fixé en A. Le fil est sous tension
grâce à un contre-poids de masse m2 posé au sol, à la verticale du point A.
1
Dans le problème, on assimile le plongeoir à une plaque rigide (indéformable) homogène et le contre-poids
à une masse ponctuelle. On désigne par G le centre de masse du plongeoir. On négligera la masse du fil
d’acier et tout type de frottement.
A
P
G
C
B
m2
1. Quelles est la position du centre de masse G dans la mesure où le plongeoir ? Justifiez.
2. Dressez le bilan des forces s’exerçant sur AB. Représentez ces forces sur un schéma.
~ P des moments de ces forces au point P.
3. Déterminez la résultante M
4. Que se passerait-il en l’absence du câble d’acier ? Justifiez.
5. Déterminez l’intensité des forces s’exerçant sur AB.
6. Indiquez pour quelles valeurs de m2 le plongeoir bascule inévitablement.
Bobby Bomuskl est un plongeur sensationnel, paraı̂t-il. Il grimpe sur le
plongeoir au niveau du point P et marche lentement en direction de B en
se tenant parfaitement droit. Il s’arrête en un point C du plongeoir tel
que PC= xL, avec 0 ≤ 0 ≤ 23 . On note M la masse de Bobby.
8. Exprimez la tension T du fil en fonction de x, M et m1 .
~ du sol sur le contre-poids en
9. En déduire l’intensité de la réaction N
fonction de M , m2 , m1 et x. Pour quelle valeur de x cette réaction
s’annule-t-elle ?
10. Indiquez, pour x donné, pour quelles valeurs de m2 le plongeoir et
Bobby basculent inévitablement.
11. Application numérique : calculez T et N pour L = 3 m, m1 = 30 kg,
m2 = 100 kg et M = 80 kg (on prendra g = 10 N/kg).
12. Quelle est l’intensité de la force F~ exercée par le plongeoir au niveau
du pivot P ? Quelle est sa direction ?
Bobby s’est arrêté au point C tel que 3M x = m21 − m2 , les bras alignés le long du corps. Pour préparer
son plongeon, il met ses bras à l’horizontale tout en maintenant le reste de son corps droit .
13. Indiquez sommairement comment se modifie la position de son centre de masse ?
conséquence de cette nouvelle posture ? Commentez.
Quelle est la
14. Indiquez jusqu’où Bobby aurait pu se tenir en équilibre sur le plongeoir, les bras le long du corps, s’il
avait choisi de se diriger vers l’extrémité A du plongeoir.
⋆⋆⋆
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Semestre 3
CPIBx
Physique
Un mobile M, assimilable à un point matériel de masse m et de coordonnées cartésiennes (x, y), se déplace
dans le plan xOy selon la loi horaire suivante :

 x(t) = a(t − 1)
(1)
 y(t) = b
1+t
où t ≥ 0 est le temps (mesuré en secondes) et a et b deux constantes positives. Le mobile est soumis à son
poids P~ = −mg~uy , g désignant l’accélération de la pesanteur terrestre au niveau du sol y = 0, ainsi qu’à une
~
seconde force inconnue I.
1. Rappelez la valeur communément admise pour g.
2. Où se trouve M à t = 0 ? et à t = 1 ? et à t = 2 ? et lorsque t → ∞ ?
3. Montrez que le mouvement est confiné dans un demi-plan.
4. Trouvez la trajectoire T de M pour t ≥ 0. Quelle est-elle ?
5. Tracez sommairement T et précisez le sens de parcours du mobile sur T .
6. Le mobile peut-il atteindre l’abscisse −2a ? Si oui, précisez à quel(s) instant(s).
7. Exprimez les composantes cartésiennes (ẋ, ẏ) de la vitesse instantanée ~v (t). Exprimez v(t). Que vaut
v(0) ? et v(1) ?
8. Exprimez les composantes cartésiennes (ẍ, ÿ) de l’accélération instantanée ~a(t). Exprimez a(t).
9. Le mouvement est-il uniforme ? Est-il uniforme selon la direction Ox ? Oy ? Le mouvement est-il
uniformément accéléré ?
10. En déduire les composantes de F~ , résultante des forces qui s’exercent sur le mobile à tout instant.
~
11. En déduire la force inconnue I.
12. Dans quel sens agit I~ ? Y-a-t-il un instant où I~ s’annule ? Est-elle plutôt motrice ou résistante ?
13. Calculez le travail W de F~ entre les instants t = 0 et t = 1.
14. La force P~ est-elle conservative ? et I~ ?
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Semestre 3
CPBx
Physique
Sujet de J.M. Huré et Th. Jacq
A l’instant t = 0, on lâche sans vitesse initiale une bille d’une hauteur h par rapport au sol.
On choisit un axe z ′ Oz vertical ascendant; O est situé au niveau du sol. La bille est traitée comme
une masse ponctuelle de masse m.
A. Dans un premier temps, on néglige les frottements de l’air.
1. Faites un schéma représentant l’ensemble des forces en présence.
2. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, déterminez la durée ∆t de la chute libre.
3. Quelle est la vitesse v de la bille lorsqu’elle arrive au sol ?
4. Retrouvez l’expression de la vitesse v (cf question 3) par une autre méthode.
B. On tient à présent compte des frottements de l’air en représentant leur effet par une force f~
d’intensité constante. On lâche la bille dans les mêmes conditions que précédemment.
5. Faites un schéma représentant l’ensemble des forces pendant la chute.
6. Trouver, par la méthode de votre choix, la vitesse v ′ de la bille lorsqu’elle touche le sol. Vérifiez
que l’on a en particulier la relation :
s
′
f
v
= 1−
v
mg
7. Montrez que le mouvement est identique à celui d’une chute libre qui se produirait dans un
environnement de gravité g ′ . Exprimez g ′ en fonction de g.
8. Exprimez la durée ∆t′ de la chute, et comparez à ∆t.
9. Exprimez la quantité d’énergie E ′ perdue par la bille à cause du frottement. Sous quelle forme se
retrouve généralement cette énergie ?
C. Afin de mieux décrire les frottements de l’air, on représente maintenant leur effet par une force
d’intensité proportionnelle à la vitesse instantanée de la bille : f~ = − β~v , où β est une constante
positive. On lâche la bille dans les mêmes conditions que précédemment.
10. Montrez que, dans ce cas, la vitesse v de la bille est une solution de l’équation suivante :
dvy
β
+ vy + g = 0
dt
m
On pose U = vy +
m
g.
β
11. Que vaut dU/dt ?
12. A quelle équation différentielle satisfait U ?
13. Montrez que U = 0 est une solution du problème ? A quelle situation correspond-elle ?
⋆⋆
⋆
Semestre 2
CPI246
Physique
Sujet de T. Jacq et J.M. Huré
Durée 1h30
PROBLEME. On étudie un modèle de migration de printemps d’un groupe de
17 grues cendrées. Ces oiseaux volent à la même altitude selon une formation
qui, vue du sol, ressemble à un V. L’oiseau A occupe la pointe du V. Chacune
des 2 branches du V comporte 8 oiseaux espacés d’une distance d (voir schéma).
L’angle du V est de 90 degrés. L’oiseau B occupe la seconde position sur la
branche droite (donc, vu du sol, immédiatement à droite de de l’oiseau A). On
choisit le système de coordonnées cartésiennes (x, y, z), et une base orthonormée
directe (~i, ~j, ~k), l’axe x étant l’axe Ouest-Est, l’axe y l’axe Sud-Nord et l’axe
z l’axe vertical (ascendant, avec origine au sol; voir la figure 1 ci-après). On
assimilera les oiseaux à des points matériels.
NB Les parties A et B sont indépendantes.
A Etude du vol à altitude constante. On suppose que, du début à la fin, le vol se déroule
entièrement à l’altitude constante H = 800 m en suivant exactement une diagonale orientée du SudOuest au Nord-Est, de sorte que les coordonnées initiales de l’oiseau A sont (0, 0, H).
1. Quelle est l’équation cartésienne de la trajectoire de l’oiseau A ?
~
2. Si D est le point de départ de l’oiseau A, donnez l’expression du vecteur position DA(t)
de l’oiseau
A ? Quand est-il pour l’oiseau B ?
3. Montrez que l’on peut écrire la vitesse V~A de l’oiseau de tête sous la forme V0 ~u où ~u est un vecteur
unitaire que l’on précisera.
4. Déterminez, en fonction de V0 , les composantes VxA , VyA et VzA de la vitesse de A. Calculez ces
trois quantités dans le cas où V0 = 60 km/h.
5. Que vaut la vitesse V~B de l’oiseau B (norme et composantes) ?
1
6. Si dont l’on prend L = 900 km, ce vol peut-il traverser la France en moins d’un jour ? Quelle est
sa vitesse moyenne ? Justifiez votre réponse.
On reprend le problème précédent en considérant que la vitesse du vol par rapport au sol peut être
influencée par la couche d’air dans laquelle les oiseaux volent. Au bout de 2 h de vol, un vent favorable
permet soudainement aux oiseaux d’augmenter leur vitesse d’un facteur 13 sur tout le trajet restant.
7. La trajectoire est-elle modifiée ? Commentez.
8. Sur deux graphes différents, représentez le module de l’accélération ~aA et le module de vitesse V~A
de A en fonction du temps t ≥ 0.
9. En déduire la distance parcourue en fonction du temps.
10. Trouvez l’expression de la nouvelle durée du trajet ? Calculez cette valeur et commentez.
11. Déterminer l’expression de la vitesse moyenne Vmoy du vol. Représentez graphiquement cette
valeur sur le graphique précédent associé.
B Phase du vol en altitude: étude du changement d’oiseau de tête. L’oiseau de tête est
celui qui fatigue le plus. Il est donc remplacé toutes les 15 mn par son suivant immédiat dans l’une
des branches. Afin de réaliser cette manoeuvre, l’oiseau A va modifier sa vitesse puis se décaler1 pour
prendre la position en fin de branche. On se place dans les conditions du début de la partie A (vol sans
vent).
B
y
B
A
d
A
d
recul
O
z
x
L
1
2
1
On n’étudiera pas le décalage de A
2
x
Recul de l’oiseau de tête. On suppose qu’à l’instant t1 > 0 l’oiseau A diminue sa vitesse à
décélération constante ~aA ∝ ~u pendant un temps ∆t, puis qu’ensuite, il accélère également dans un
~ A afin de retrouver la vitesse d’ensemble du vol V~0 . A la fin de cette
temps ∆t avec l’accélération −a
manoeuvre, il reculé d’une distance L en arrière de la position qu’il aurait eu si il avait conservé sa
vitesse initiale (et se trouve donc à égale distance des deux derniers oiseaux des deux branches du V;
voir la figure 2).
12. Exprimer le vecteur vitesse V~ de l’oiseau A en fonction de V~0 , t, ~aA et ∆t.
13. Sachant que sa vitesse a baissé de 10% en module, calculez |aA | pour ∆t = 5 s.
14. De quelle distance L l’oiseau A a-t-il reculé lors de cette manoeuvre ?
Transfert de l’oiseau B en position de tête Dans la même durée, l’oiseau B accélère avec une
accélération ~aB pour prendre la position de l’oiseau de tête.
15. Cette manoeuvre est-elle possible si aB~(t) est un vecteur constant? Justifiez votre réponse.
EXERCICE. Un mobile de masse m se déplace dans l’espace à la vitesse V~0 = −b~ex − b~ey − b~ez ,
avec b > 0. Alors qu’il se trouve en O (origine des coordonnées cartésiennes) à t = 0, il est brutalement
soumis à une force F~ = c~ex + c~ey + c~ez , avec c > 0.
1. Quelle est, en fonction des paramètres du problème, la vitesse initiale V0 du mobile ?
2. Quelle est, en fonction des paramètres du problème, l’accélération du mobile à t ≥ 0 ?
3. Trouvez l’équation du mouvement du mobile. Décrivez la nature du mouvement.
4. Le mobile repasse-t-il par l’origine ? Si oui, à quel instant et avec quelle vitesse ? Sinon, expliquez
pourquoi.
3
Semestre 2
CPBx
Examen du 15/06/2010
Durée 1h30
DOCUMENT ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE
Problème 1. — Un golfeur frappe une balle
en direction du trou 21 situé sur une petite butte.
L’impact du club sur la balle, initialement en A,
~ constante, horizontale,
met en jeu une force K
qui s’excerce pendant un très bref instant τ . La
balle suit alors une trajectoire comportant une partie rectiligne AB et une portion courbe BC de
forme quelconque (voir la figure ci-contre). On
suppose que le sol exerce une force de frottement f~
d’intensité constante. Le trou à atteindre se trouve
à une hauteur relative h. On suppose que la balle
ne décolle jamais du sol et que son mouvement
s’effectue dans le plan xOy.
21
y
h
C
cas 2
cas 1
O
B
A
x
On choisit le système d’axes indiqué sur la figure et la base (~ex , ~ey ) associée. Le champ de gravité ~g est
vertical descendant, colinéaire à ~ey . On note d = AB et L la longueur de la portion de trajectoire ABC.
2. En déduire l’expression de la vitesse vA de la balle en A juste après l’impact du club.
3. Calculez vA pour m = 40 g, K = 400 N et τ = 2.5 ms.
4. Dressez le bilan des forces s’exerçant sur la balle après l’impact sur la portion AB (cas 1) et sur la
portion BC (cas 2). Portez ces forces sur un schéma (se reporter au document vierge donné en annexe).
5. Rappelez le théorème de l’énergie cinétique.
6. Déterminez le travail des forces en présence sur la portion AB d’une part, et sur la portion BC d’autre
part.
7. En déduire la relation entre la vitesse vB au point B et vA . Que se passe-t-il si K 2 < 2mf d/τ 2 ?
8. De même, trouvez la relation entre la vitesse vC au point C et vB .
1
9. En déduire vC en fonction de vA .
10. Quelle force K minimale faut-il développer pour que la balle parvienne en C avec une vitesse nulle ?
11. Comparer l’effort que doit fournir le golfeur par rapport à une situation sans frottements.
12. Avec quelle vitesse vB′ la balle repasse-t-elle en B si, partant du point C sans vitesse, elle rebrousse
chemin ?
Problème 2. — Une mauvaise répartion des masses sur une embarcation peut engendrer des catastrophes, comme l’illustre la figure ci-dessous (à gauche). On se propose d’étudier cette situation. Pour cela, on
modélise le système par deux points matériels, l’un en A (l’âne) de masse m, et l’autre en B (le chargement) de masse M , et une tige rigide AOBD sans masse (figure de droite; les angles α et β sont fixes).
La tige est telle que OA ⊥ OB quelle que soit la situation. L’essieu autour duquel a pivoté le système est en
O, et le chariot appuie verticalement sur le sol, à l’arrière, en D. On note OA = a, OB = b et OD = d (on
suppose ces quantités connues).
y
y
A
A
B
a
B
b
O
α
a
x
β
d
b
α
O
x
β
D
R
d
D
sol
1. Rappelez les conditions d’équilibre d’un solide indéformable.
2. Quelles sont les forces s’exerçant sur la tige ? Portez ces quatre forces sur un dessin (se reporter au
document vierge donné en annexe).
3. Montrez que, si l’on peut mesurer les angles α et β, alors on peut déterminer toutes les forces en
présence. Déterminez leurs expresssions en fonction de a, b, d et de ces deux angles.
4. Juste avant que la charette ne pivote lors de son chargement, le point A se trouvait à une hauteur 2R
du sol, où R est le rayon de la roue. Déterminez, pour cette configuration d’équilibre simple, le moment
~ O des forces en présence.
résultant en O M
5. Montrez que la condition de basculement de la charette s’exprime par la relation :
√
a2 − R2 ma
×
.
M>
R
b
6. Discutez, sans calculs, l’influence des paramètres sur la condition de basculement de la charette.
2
Semestre 2
CPBx
Durée 1h30
NUMERO D’ANONYMAT :
21
y
h
C
cas 2
cas 1
O
B
3
A
x
y
A
B
a
b
α
O
x
β
R
d
sol
4
D
Semestre 3
CPBx
Physique
A l’instant t = 0, on lâche sans vitesse initiale une bille d’une hauteur h par rapport au sol.
On choisit un axe z ′ Oz vertical ascendant; O est situé au niveau du sol. La bille est traitée comme
une masse ponctuelle de masse m.
A. Dans un premier temps, on néglige les frottements de l’air.
1. Faites un schéma représentant l’ensemble des forces en présence.
2. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, déterminez la durée ∆t de la chute libre.
3. Quelle est la vitesse v de la bille lorsqu’elle arrive au sol ?
4. Retrouvez l’expression de la vitesse v (cf question 3) par une autre méthode.
B. On tient à présent compte des frottements de l’air en représentant leur effet par une force f~
d’intensité constante. On lâche la bille dans les mêmes conditions que précédemment.
5. Faites un schéma représentant l’ensemble des forces pendant la chute.
6. Trouver, par la méthode de votre choix, la vitesse v ′ de la bille lorsqu’elle touche le sol. Vérifiez
que l’on a en particulier la relation :
s
′
v
f
= 1−
v
mg
7. Montrez que le mouvement est identique à celui d’une chute libre qui se produirait dans un
environnement de gravité g ′ . Exprimez g ′ en fonction de g.
8. Exprimez la durée ∆t′ de la chute, et comparez à ∆t.
9. Exprimez la quantité d’énergie E ′ perdue par la bille à cause du frottement. Sous quelle forme se
retrouve généralement cette énergie ?
C. Afin de mieux décrire les frottements de l’air, on représente maintenant leur effet par une force
d’intensité proportionnelle à la vitesse instantanée de la bille : f~ = − β~v , où β est une constante
positive. On lâche la bille dans les mêmes conditions que précédemment.
10. Montrez que, dans ce cas, la vitesse v de la bille est une solution de l’équation suivante :
β
dvy
+ vy + g = 0
dt
m
On pose U = vy +
m
g.
β
11. Que vaut dU/dt ?
12. A quelle équation différentielle satisfait U ?
13. Montrez que U = 0 est une solution du problème ? A quelle situation correspond-elle ?
⋆⋆
⋆
Semestre 3
CPBx
Physique
Parties A et B de l’épreuve de Physique du concours B ENSA 2010
Étude d’un oscillateur et de son portrait de phase
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.
On s’intéresse dans ce qui suit à l’étude d’un oscillateur
formé par une masse m attachée au point M à l’une des
extrémités d’un ressort de raideur k et de longueur à
vide l0 . L’autre extrémité du ressort est fixée au point
O, origine d’un axe des x horizontal.
A Oscillateur sans frottement.
Dans un premier temps, on suppose dans cette partie que le mouvement horizontal de
l’oscillateur se fait sans frottement et on repère par x(t) OM (t) la position de la masse au
cours du temps.
1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse.
2. Exprimer la force subie par la masse de la part du ressort.
3. Préciser la position d’équilibre xeq de la masse.
On pose désormais u(t)
x(t) xeq .
4. En écrivant le principe fondamental de la dynamique en déduire que l’équation
d 2u
2
0 où on précisera
différentielle vérifiée par u(t) peut s’écrire 2
0 u
dt
l’expression et l’unité de 0 .
On lâche la masse sans vitesse initiale en l’écartant de a par rapport à sa position d’équilibre.
5. Exprimer la solution u(t).
6. Rappeler la définition d’une force conservative et préciser pour chacune des forces si
elle est conservative, si elle travaille et le cas échéant l’énergie potentielle dont elle
dérive.
7. Rappeler la définition de l’énergie mécanique d’un système et l’exprimer pour le
système étudié. Que peut-on dire de l’énergie mécanique dans ce système ?
1 du
.
0 dt
On cherche désormais à tracer le portrait de phase de l’oscillateur c’est à dire à représenter
dans un plan d’abscisse u et d’ordonnée w la succession des points (u(t), w(t)) occupés par
l’oscillateur au cours du temps.
On pose w(t)
8. Montrer que l’énergie mécanique du système peut s’écrire Em A L2 où L2 u 2 w 2 .
Quelle est l’interprétation géométrique de L dans le plan de phase.
À partir de la question précédente en déduire la forme exacte du portrait de phase de
l’oscillateur harmonique pour a 0 , on prendra soin de préciser clairement et en le
justifiant le sens de parcours de ce portrait de phase.
B Prise en compte des frottements fluides
On considère maintenant que la masse subit une légère force de frottement fluide qu’on peut
écrire f
v où v désigne la composante suivant l’axe Ox de vitesse de la masse.
9. Comment s’exprime maintenant le principe fondamental de la dynamique ? Montrer
d 2u
du
2
que l’équation différentielle peut s’écrire 2 2 0
0 où on précisera
0 u
dt
dt
qu’on appelle le facteur d’amortissement.
l’expression et l’unité de
Les frottements étant faibles, on admettra qu’on peut écrire
1 . On garde les mêmes
conditions initiales que précédemment (on lâche la masse sans vitesse initiale en l’écartant de
a par rapport à sa position d’équilibre).
10.
Préciser la forme générale de la solution de l’équation différentielle puis l’expression
prise par u(t) en tenant compte des conditions initiales.
11. Exprimer la puissance de la force de frottement fluide et préciser si cette force est
conservative. En déduire la nouvelle forme du théorème de l’énergie mécanique.
12. Comment évolue l’énergie mécanique au cours du temps ? En déduire qualitativement
l’allure du portrait de phase de l’oscillateur lorsque l’on prend en compte les
frottements.
⋆⋆
⋆
Semestre 3
CPIBx
Physique
Devoir surveillé du 21/03/11
Sujet de J.M. Huré & T. Jacq
Deux petites capsules sont tirées à partir de deux lanceurs à air
comprimé situés au sol et distants de d. Les capsules, chargées de
poudre, sont programmées pour exploser au temps te > 0. La première
capsule, CR de masse mR , est lancée depuis un point R sous un angle α
par rapport à l’horizontale, alors que la seconde, CB de masse mB , est
lancée verticalement depuis le point B, comme indiqué ci-dessous.
On supposera que la masse des capsules reste constante au cours du
mouvement. On négligera tout frottement. Le problème est plan.
y
hB
E
capsule
g
V
VO
B
α
O
t=0
x
B(d,0)
lanceur
On adoptera le système de repérage cartésien de base (~ex , ~ey ), et centré au point O d’où CR décolle. Le
point B a pour coordonnées (d, 0). L’axe vertical Oy est ascendant. On note ~g l’accélération de la pesanteur et
l’on prendra g = 10m/s2 .
A.— Phase de lancement.
~ qui n’agit que pendant un très
On suppose que chaque lanceur exerce sur sa capsule une force constante E
court laps de temps τ compris entre t = −τ et t = 0. On note VR la vitesse de lancement de CR , et VB celle de
CB .
1. Quelle est la variation de la quantité de mouvement d’une capsule qui quitte son lanceur ?
2. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à chaque capsule, en déduire l’expression de la
vitesse de lancement de CR et celle de CB .
1
3. Comment varie VR si l’on double la masse de CR ? Si on la diminue de moitié ?
B.— Phase de vol.
Les capsules ont a présent quitté leur lanceur respectif et sont en vol/chute libre.
4. Identifiez la/les force(s) qui s’exercent sur la capsule CR à t > 0.
5. Déduire du principe fondamental de la dynamique que la vitesse de CR a pour expression :
~vR (t) = VR cos α~ex − (gt − VR sin α) ~ey
6. Etablir les équations horaires {xR (t), yR (t)} du mouvement de la première capsule.
7. En déduire l’équation cartésienne de sa trajectoire (ΓR ).
8. Reprennez les questions 4 à 7 pour traiter le cas de la capsule CB .
9. Quelle est la nature du mouvement des capsules ?
10. Montrez que si l’on veut faire exploser CB au sommet de sa trajectoire, alors il faut que la vitesse initiale
de la capsule vérifie :
VB = gte .
A quelle hauteur hB se trouve alors la caspule ?
C.— Figures imposées.
Les capsules, lorsqu’elles explosent à t = te , dispersent une poudre dont l’auto-combustion produit un
panache coloré, rouge pour la capsule CR , et bleu pour la capsule CB . La capsule CB explose à une hauteur hB .
L’artificier souhaite réaliser deux types de configurations simples comme indiqué ci-dessous. Pour la première
configuration (1), les deux capsules doivent exploser sur une même horizontale y = hB (CR sera à gauche ou
à droite de CB ). Pour la seconde configuration (2), les deux capsules doivent exploser sur une même verticale
x = d (CR sera au dessus ou au dessous de CB ). Pour cela, il agit uniquement sur l’angle α du lanceur de CR .
configuration 2
configuration 1
y
hB
x=d
x=d
x=d
x=d
11. Montrez à partir des lois horaires que pour réaliser une configuration (1), l’angle α1 sous lequel doit être
lancée la capsule CR est donné par l’expression suivante:
sin α1 =
2
2ghB + VB2
2VR VB
12. A quelle abscisse xR (te ) se produit alors l’explosion de CR ?
13. Calculez α1 pour hB = 100 m, VR = 90 m/s et te = 4 s.
14. Montrez à partir de l’équation de (ΓR ) qu’il y a effectivement 2 possibilités pour un angle α1 donné si et
seulement si :
p
VR sin α1 > 2ghB .
15. De même, exprimez l’angle α2 permettant de réaliser une configuration (2), et montrez que l’on a :
cos α2 =
gd
.
VR VB
16. Calculez α2 pour les mêmes paramètres que précédemment et d = 180 m.
17. A quelle hauteur hR ≡ yR (te ) se produit alors l’explosion de CR ? A quelle condition hR > hB ? et
hR < hB ?
18. L’artificier souhaite produire une animation en enchainant les configurations (1) et (2). Pour cela, il
équipe les lanceurs de nombreuses capsules qui peuvent être tirées automatiquement les unes après les
autres. Toutefois, modifier rapidement l’angle α du premier lanceur n’est pas toujours simple en pratique.
L’articifier décide alors de fixer α. Indiquez, sans faire de calcul, quel paramètre l’artificier doit modifier
pour que CR explose à gauche, à droite, au dessus ou au dessous de CB . Justifiez.
⋆⋆⋆
3
Semestre 2
CPBx
DS Terminal
Durée 1h30
Problème 1. On étudie la répartition des efforts sur un rail de chargement de masse M , à l’équilibre,
suspendu par deux fils d’acier (inextensibles et de masse négligeable) fixés à ses extrémités A et B comme
indiqué sur la figure ci-dessous. Une charge C de masse m est positionnée sur le rail à la distance ℓ de A
~ = ℓ). On assimile le rail à une barre AB solide sans épaisseur, homogène, de longueur L et, de centre
(||AC||
de masse G. On note h le dénivelé entre les deux extrémités.
L’accélération de la pesanteur est verticale, et descendante. On choisit le système d’axes indiqué sur la
figure, d’origine A, et la base (~ex , ~ey , ~ez ) associée.
1. Expliquez pourquoi AG = L2 .
2. Exprimez la position relative d ≡ AG′ du centre de masse G’ de l’ensemble {rail AB + charge C} en
~
fonction de ℓ, L, M et m. En déduire les coordonnées cartésiennes de G’ en fonction de α = (~ex , AB)
3. Quelles sont les forces s’appliquant sur l’ensemble {rail AB + charge C} ? Représentez ces forces sur
un schéma.
4. Quelles sont les équations liants ces forces ? De quels principes sont-elles déduites ?
5. Une situation d’équilibre où l’un des deux fils est vertical et l’autre incliné est-elle possible ? Justifiez
la réponse.
6. Exprimez la tension de chaque fil en fonction des paramètres donnés (on notera T~A et T~B ces deux
forces, et on précisera leur sens et leur norme).
7. Exprimez le rapport TA /TB . Discutez ce rapport en fonction de ℓ.
1
Problème 2. On considère un ressort AB de raideur k, sans masse, de longueur au repos ℓ0 reposant
sur un rail incliné faisant un angle α par rapport à l’horizontale. Le rail a une longueur ℓ0 . L’extrémité A de
ce ressort est fixe en A alors que l’extrémité B peut se déplacer sans frottement le long du rail (Fig. 2). En B,
on place une bille de masse m. Le ressort est alors comprimé, sa longueur vaut ℓe < ℓ0 , et la bille est immobile.
L’accélération de la pesanteur est verticale, et descendante. Le cas échéant, on pourra introduire un
~ = AB~i, et un vecteur ~ey vertical ascendant.
vecteur unitaire ~i tel que AB
1. Quelles sont les forces (sens, intensité) qui s’exercent sur la bille ?
2. Déterminez la relation entre k, ℓe , ℓ0 , α et m traduisant l’équilibre de la bille.
Un expérimentateur comprime davantage le ressort pour l’amener à une longueur ℓ < ℓe , puis libère le
système (la bille ayant une vitesse initiale nulle).
3. Quel principe physique explique la mise en mouvement de la bille ?
4. Exprimez le travail de la force de pesanteur lorsque le ressort se détend, sa longueur passant de ℓ à ℓ′ .
5. Que vaut dans ces mêmes conditions le travail de la force de réaction du support sur la bille ?
6. Montrez que le travail W de la force exercée par le ressort s’écrit :
W =
k ′
(ℓ − ℓ)2
2
Cette force est-elle conservative ? Justifiez votre réponse.
7. Exprimez la variation d’énergie cinétique associée au déplacement de ℓ à ℓ′ .
8. En déduire la vitesse v(ℓ′ ) de la bille.
9. Que doit être la valeur maximale de ℓ pour que la bille atteigne l’extrémité H du rail ?
10. Quel serait le travail de la force de frottement si le support exerçait, au contraire, un frottement constant
f~ ? La vitesse en ℓ′ serait-elle modifiée ? Discutez.
⋆⋆
⋆
2
Semestre 3
CPIBx
Physique
Sur un parcours de mini-golf, un joueur doit propulser une balle sur une piste incurvée, puis la faire
tomber dans un trou situé en contre-bas. La situation est schématisée ci-dessous. En particulier, la
piste mesure L (distance curviligne de A à B) et le plan fait, en B, un angle de π4 avec l’horizontale.
On note g l’accélération de la pesanteur et l’on prend g = 10 m/s2 . Le poids de la balle de golf est
de 0.5 N.
A. — Impact et propulsion. Le joueur saisit son club et frappe la balle en début de piste A
(dans la direction x < 0) avec une force horizontale F constante pendant un laps de temps très court τ .
1. Indiquez de quel principe on peut déduire la vitesse acquise par la balle à l’issue de l’impact.
Quelle est l’expression de cette vitesse (dont on notera la norme VA ) ?
2. Application numérique : calculez VA pour F = 200 N et τ = 2 ms.
B — Parcours sur la piste. La balle est sur la piste et se dirige vers l’extrémité B.
On suppose que la piste est parfaitement lisse de sorte que les frottements peuvent être négligés, et
que la balle reste toujours en contact avec celle-ci.
1. Dressez le bilan des forces agissant sur la balle (en indiquant notamment leur norme et leur sens).
2. Indiquez de quel principe on peut déduire la vitesse en B (dont on notera la norme VB ).
3. Calculez le travail W du poids de la balle le long du trajet curviligne A → B. Le profil exact de
la piste a-t-il une importance particulière ? Commentez.
4. Application numérique : calculez W pour L = 5 m.
5. Déduire l’expression de VB en fonction de VA .
6. Quelle sont les signes possibles pour la différence VB2 − VA2 ? Commentez.
7. Déduire l’expression de VB en fonction de F , m, τ notamment. Indiquez comment le joueur peut
modifier la vitesse de la balle en B.
C. — Dans le trou ? La balle quitte la piste en B avec la vitesse VB .
On choisit un système d’axes orthonormé, centré sur le trou.
1. Quelles sont les forces en présence ?
2. Quel est le nature du mouvement de la balle ?
3. Donnez les composantes horizontale et verticale de la vitesse en B, respectivement VBx et VBy ?
4. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminez les composantes ax et ay de
l’accélération de la balle.
5. En déduire sa vitesse instantanée V~ , puis sa position.
6. Trouvez l’équation de la trajectoire de la balle.
7. A quelle condition la balle arrive-t-elle directement dans le trou (sans rebondir ni rouler) ? Cette
condition est-elle unique ?
⋆⋆⋆
2
Semestre 3
CPIBx
Physique
Sujet de J.M. Huré & Th. Jacq
On considère un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale et une collection de n cubes de
coté a, pleins et homogènes. On souhaite empiler les cubes les uns sur les autres, arêtes contre arêtes et
à l’aplomb d’un point O, pour atteindre une hauteur h, comme indiqué ci dessous. Le sol est rugueux et
peut développer des frottements d’une intensité f variable. Les cubes peuvent être solidement attachés
les uns aux autres de sorte que tout empilement constituera un système rigide.
On rappelle que, selon la loi de Coulomb, les forces de frottements f développées par un support
ne peuvent excéder une fraction µs de la composante normale N de la réaction que celui-ci produit,
c’est-à-dire que l’équilibre est rompu dès lors que
f
≥ µs ,
N
où µs est le coefficient de frottement statique (une constante).
On prendra un système d’axes orthonormé (Ox,Oy), comme indiqué sur la figure.
On note g l’accélération de la pesanteur.
1. Indiquez sans calcul où se situe le centre de gravité d’un cube.
2. En déduire la position du centre de gravité de n cubes empilés les uns sur les autres.
A. Condition de glissement
3. On place un cube et un seul sur le plan incliné. Dressez le bilan des forces extérieures qui s’exercent
sur le cube. Reportez ces forces sur un schéma clair, en précisant notamment le point d’application
de chaque force.
4. Rappelez les principes qui régissent l’équilibre d’un solide en général, et les équations vectorielles
associées.
~ des forces, puis ses composantes sur Ox et Oy.
5. Exprimez la résultante R
6. Que vaut, en fonction des données du problème, le rapport
f
N
?
7. Dans quelle(s) condition(s) le cube ne glisse-t-il pas ?
8. Pour quels angles le cube glisse-t-il inévitablement ?
9. Cette condition est-elle différente si l’on considère maintenant un empilement de 2 cubes ? de n
cubes ? Commentez.
B. Condition de basculement
Le point O est le point de basculement/rotation du système (si le plan s’avère trop incliné).
10. On place un cube et un seul sur le plan incliné. Exprimez le moment en O de chaque force
s’exerçant sur ce cube.
~ O en O des moments de forces s’exerçant sur le cube.
11. En déduire la résultante vectorielle M
12. A quelle condition le cube bascule-t-il au niveau du point O ? Pouvez-vous reformuler cette
condition sur la base d’un argument géométrique ?
13. Cette condition est-elle liée à la condition de glissement étudiée en A ?
14. Comment est modifiée la condition de basculement si l’on considère un empilement de n cubes ?
15. En déduire une méthode de mesure du coefficient µs .
16. Application numérique : calculez µs , puis α, pour n = 8.
⋆⋆⋆
2
Semestre 2
P1CP2007
Epreuve de Physique
Durée 1h30
Etude d’un mouvement périodique à deux dimensions
à partir d’un enregistrement stroboscopique
On étudie les caractéristiques cinématiques d’un mobile M se déplaçant dans un plan xOy. On a pu enregistrer, toutes les
20 ms, les positions successives de son centre de gravité P ainsi que les deux composantes cartésiennes vx et vy de la vitesse
instantanée ~v . Les positions observées sur sa trajectoire (Γ) sont indiquées sur la figure 1 et la norme de ~v est donnée à la figure
2. De plus, l’expérimentateur a remarqué que le mobile ne change pas de sens de parcours au cours du mouvement.
On assimilera le mobile à un point matériel.
Figure 1: Positions du mobile au cours du temps.
A. Etude expérimentale à partir de la trajectoire (Γ)
1. Le mouvement de M est-il uniforme ? Justifier votre réponse.
2. Sachant que vx (0) = 0, ax (0) > 0 (où ax =
dvx
dt )
et vy (0) > 0, indiquez le sens de parcours de (Γ).
3. Quelle est la position de M à t = 0 ? à t = 0.5 s ? à t = 1 s ? à t = 2 s ?
4. A quel instant M se trouve-t-il en Q ?
5. Combien de temps lui faut-il pour retrouver la même position ?
6. Sur quelles portions de (Γ) le mouvement est-il ralenti ? accéléré ? Justifiez.
7. A quel(s) instant(s) la vitesse du mobile est-elle maximale ? minimale ?
8. Dresser le tableau de variation pour vx et vy .
1
B. Etude des vitesses
9. Exprimez la relation générale donnant la distance parcourue d dans un intervalle de temps [t1 , t2 ] et la vitesse v(t) sur (Γ).
10. A l’aide de la figure 2, évaluer d pour t1 = 0 s et t2 = 2 s.
11. En déduire la vitesse moyenne vmoy sur l’intervalle [0, 1] s.
12. L’expérimentateur a aussi remarqué que vx (t) et vy (t) sont précisément des fonctions sinusoı̈dales du temps. Il trouve en
particulier pour vx , la relation suivante :
vx (t) = 9.5 sin(πt)
où vx est en m/s et t en s. Déduire la loi horaire x(t).
13. L’enregistrement de vy (t) a dysfonctionné. A partir de la figure 2, retrouvez l’expression de la composante vy (t).
Figure 2: Vitesse v du mobile.
Désintégration de l’atome
L’atome d’37
18 Ar est un isotope radioactif de l’Argon qui se désintègre en
en émettant un électron :
37
18 Ar
37
18 Ar
37
17 Cl
(à titre indicatif, sa demi-vie est de 35 jours)
−
→37
17 Cl + e
On considère que l’atome d’Argon est isolé, et initialement au repos dans le référentiel du laboratoire. Pour l’application
numérique, on prendra c = 3 × 10+8 m/s pour la vitesse de la lumière.
14. Rappelez la signification physique de la notion de “système isolé”.
15. On observe que l’électron est émis avec la vitesse Ve . Le noyau de Chlore est-il au repos ? Justifiez.
16. La masse d’un électron est environ 1836 fois plus faible que celle d’un proton. Les masses de Ar et Cl sont approximative~ de l’atome Cl en fonction de V~e ?
ment égales à 37 fois celle du proton. Exprimer le vecteur vitesse V
17. Représenter sur un schéma les configurations avant et après (positions et vitesses) la désintégration.
18. Application numérique: que vaut la vitesse de l’atome de Chlore si
⋆⋆
⋆
2
Ve2
c2
= 1% ?
Semestre 2
CPBx
Epreuve de Physique — P1CP2007
Durée 1h30
Problème 1. Un mobile est constitué de trois tiges rectilignes parfaitement rigides, de masse négligeable, et
supportant quatre pantins A, B, C et D par des fils. Chaque fil est fixé à l’extrémité de la tige immédiatement
supérieure, et au tiers de la tige immédiatement inférieure, comme le montre la figure ci-dessous. On connaı̂t la
masse mA du plus petit pantin A. On s’intéresse au mobile dans sa position d’équilibre.
On pourra assimiler chaque pantin à une masse ponctuelle. L’accélération de la pesanteur est verticale, et descendante.
HATIER Paris 1981, Physique 2de
1. Rappelez les équations vectorielles traduisant l’équilibre d’un solide.
2. On considère dans un premier temps l’équilibre des deux pantins A et B. Déduire de la question 1 la masse
mB > mA du pantin B en fonction de mA . Le résultat dépend-il de la longueur de la tige ? Commentez.
3. De même, déterminez la masse des pantins C et D, toujours en fonction de mA .
4. En déduire la masse totale du mobile.
5. Application numérique: calculez les trois masses pour mA = 20g.
1
6. Calculez la tension dans chacun des trois fils : TB pour le fil soutenant BA, TC pour le fil soutenant CBA et
TD pour le dernier.
7. On souhaite installer un cinquième pantin E en suivant la logique du montage. Quelle serait sa masse (en
fonction de mA ) ?
8. Quelle est la tension TE associée ?
Problème 2. Une particule de masse m, astreinte à se déplacer sur un axe x′ Ox, est soumise à une force
F~ = F (x)~ex dont l’énergie potentielle associée Ep (x) s’exprime par:
Ep (x) =
où a et b sont des constantes positives.
1
,
(x − a)2 − b
1. Quelle est la propriété de la force F~ ?
2. Déterminez l’expression de F (x).
3. Quelle est la particularité de la position x0 = a ?
4. Dressez le tableau de variations de l’énergie potentielle et tracez la courbe Ep (x) pour x ∈] − ∞, ∞[.
5. Que vaut le travail W (F~ ) de la force lorsque le point matériel:
√
(a) vient de l’infini pour atteindre le point d’abscisse x = a + 3b;
p
(b) vient de x0 pour atteindre le point d’abscisse x = a + b/2;
et discuter la signification physique du signe du résultat obtenu.
6. Rappelez la condition de stabilité d’un point matériel et discutez la stabilité de l’équilibre précédent.
Problème 3. Un point matériel M de masse m, astreint à se déplacer sur un axe horizontal x′ Ox, est soumis à
deux forces, son poids P~ ainsi qu’à une force de frottement non-conservative F~ ′ qui s’écrit:
F~ ′ = −Cv 2~ex
où v est la vitesse instantanée de M, et C une constante positive. Le champ de pesanteur est vertical, selon ~ez ⊥ ~ex .
1. Quelle est la dimension de C ? Proposez une unité de mesure de C.
2. Indiquez la valeur du travail du poids W (P~ ) pour un déplacement quelconque selon x′ Ox.
3. Le point est lancé à t = 0 depuis l’origine dans la direction x > 0 avec une vitesse v0 . Sous l’effet des frottements,
le point M s’arrête au bout d’un temps τ , à l’abscisse x1 . En employant le théorème approprié, montrez que
l’on a:
Z 2Cv0 τ v(t) 3
dt = 1
m 0
v0
4. Un enregistrement de la vitesse de M donne v(t) ≈ v0 (1 − τt )1/3 . Montrez que l’on peut exprimer la valeur de
la constante de frottement C, et la déduire exprimentalement sachant les 3 paramètres m, v0 et τ . Que vaut C
pour m = 1 kg, v0 = 1 m/s et τ = 10 s ?
⋆⋆⋆
2
Semestre 3
CPIBx
Physique
Un sauteur à l’élastique se trouve sur le rebord d’un
pont de hauteur H, prêt à se laisser tomber (sans
vitesse initiale) dans le vide. A un bout, l’élastique
est solidement attaché au rebord du pont, tandis qu’à
l’autre bout, celui-ci lui ceinture fermement les deux
pieds. A vide, l’élastique a une longueur L < H, et
son coefficient de raideur est k. Le champ de gravité
terrestre est uniforme et vertical descendant, comme
indiqué sur la figure ci-contre. On repère la position
instantané du sauteur par l’altitude z(t) de ses pieds,
et l’on supposera que le saut s’effectue parfaitement
verticalement. Le sauteur a une hauteur h et une
masse m. Le sol est au niveau z = 0. On prendra
l’origine de l’énergie potentielle au niveau du sol.
On note ~g l’accélération de la pesanteur et l’on prendra g = 10 m/s2 pour les applications numériques. On
négligera les frottements de l’air. On accompagnera, le cas échéant, les réponses aux questions par des schémas
clairs et précis.
A. Questions de cours
1. Rappelez l’expression mathématique de la force F~ exercée par un ressort de raideur k, de longueur ℓ et
de longueur à vide L. A quelle condition cette force est-elle nulle ?
2. Comment se comporte la force due à un élastique, par rapport à celle due à un ressort. A quelle condition
cette dernière force est-elle nulle ?
3. Quelle est, dans les conditions du problème posé ici, l’expression de l’énergie potentielle Ep (z) de pesanteur
associée au poids du sauteur ?
5. Enoncez le théorème de l’énergie cinétique.
B. Phases de descente
6. Dressez le bilan des forces et montrez que la descente se décompose en fait en deux phases distinctes.
7. Y-a-t-il des forces non-conservatives s’exerçant sur le sauteur ? Qu’en concluez-vous ?
8. Quelle est l’énergie E1 du sauteur sur la première phase ? Quelle est l’énergie E2 du sauteur sur la
seconde phase ? Comment se comparent-elles ?
9. Trouvez, par la méthode de votre choix (que vous expliciterez), la vitesse v(H − L) du sauteur lorsque
z = H − L. Combien de temps lui faut-il pour rejoindre cette altitude ? Quel est la nature du mouvement
pour cette première phase ?
10. Application numérique: calculez v(L) pour m = 60 kg, H = 200 m et L = 155 m.
11. On rappelle que l’énergie emmagasinée par un ressort ou un élastique allongé de ∆ℓ vaut
1
Ep = k∆ℓ2 .
2
En déduire que, si le sauteur parvient à atteindre l’altitude minimale Z < H − L avant de remonter, alors
k = 2mg
H −Z
.
(H − L − Z)2
12. Application numérique: calculez k pour m = 60 kg, H = 200 m et L = 155 m si Z = h = 1.80 m d’une
part, et si Z = 2h d’autre part.
13. Que se passe-t-il si, lors de la conception de l’élastique, l’on surestime la valeur de k par rapport à la valeur
donnée par la formule ci-dessus ? Quelles paramètres choisiriez-vous pour permettre à un maximum de
personnes de sauter sans danger ?
B. Phases de remontée
14. On suppose que, à l’issue de la descente, la tête du sauteur effleure le sol. Etablissez dans ces conditions
la relation qui donne la vitesse v ′ (H − L) à laquelle le sauteur se représente à l’altitude z = H − L
15. Le sauteur va-t-il remonter à l’altitude z = H ? Si oui, commentez (sinon précisez à quelle hauteur
maximale il remonte).
⋆⋆⋆
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Semestre 3
CPIBx
Physique
On considère un cube homogène de masse volumique ρ et d’arête a, en équilibre sur une surface
~ n et éventuellement des forces de frottement d’intensité Rt . On
plane qui exerce une réaction normale R
rappelle que ces frottements obéissent à la loi de Coulomb: Rt ne peut excéder, en intensité, une valeur
~ n ||, où µ est le coefficient de frottement statique.
limite égale à µ||R
On note ~g l’accélération de la pesanteur et l’on prendra g = 10 m/s2 pour les applications numériques.
On négligera les frottements de l’air. On accompagnera, le cas échéant, les réponses aux questions par
des schémas clairs et précis.
A. Questions préliminaires
1. Où se situe le centre de gravité G du cube ? Justifiez votre réponse.
2. Exprimez la masse m du cube. La calculer pour ρ = 10 kg/m3 et a = 31/3 m.
3. Faites un schéma de la situation d’équilibre en fonction de l’inclinaison de la surface par rapport
au champ de gravité extérieur ~g : i) le plan est perpendiculaire à ~g , ii) le plan fait un angle π2 − θ
avec la direction de ~g .
4. Dressez, dans chaque cas, le bilan précis des forces s’exerçant sur le cube (direction, sens, point
d’application, intensité).
5. Rappelez les équations décrivant l’équilibre d’un solide.
6. En quoi ces équations diffèrent-elles du cas d’une masse ponctuelle en équilibre ?
B. Equilibre à inclinaison nulle
On se place dans le cas où θ = 0.
7. Calculez l’intensité de toutes les forces en présence. Que vaut en particulier Rt ?
8. On fixe sur le cube un second cube identique, arête contre arête. Exprimez puis calculez l’intensité
de toutes les forces s’exerçant sur ce nouveau solide. Que vaut en particulier Rt ?
9. On fixe sur le solide de la question 8 un troisième cube identique au premier, toujours arête contre
arête. Exprimez puis calculez l’intensité de toutes les forces s’exerçant sur ce nouveau solide. Que
vaut en particulier Rt ?
10. Exprimez puis calculez l’intensité de toutes les forces s’exerçant sur un solide composé de n cubes
posés les uns sur les autres, arête contre arête. Que vaut en particulier Rt ?
C. Equilibre à inclinaison non-nulle
On se replace dans la configuration initiale à un cube, mais dans le cas où θ > 0.
11. En quoi ce problème diffère-t-il du précédent ?
12. Exprimez en fonction de µ les valeurs de θ pour lesquelles le cube ne pourrait tenir en équilibre,
mais glisserait ?
13. Pour quelles valeurs de θ le cube ne pourrait pas tenir en équilibre, mais pivoterait autour de
l’une de ses arêtes ? Ce résultat dépend-il de µ ?
14. Calculez l’intensité de toutes les forces en présence. Que vaut en particulier Rt ?
15. On fixe sur le cube un second cube identique, arête contre arête. La condition de glissement
est-elle modifiée ? La condition de pivotement est-elle modifiée ?
16. On fixe sur le solide un troisième cube identique au premier, toujours arête contre arête. La
condition de glissement est-elle modifiée ? La condition de pivotement est-elle modifiée ?
17. Exprimez l’intensité de toutes les forces s’exerçant sur un solide composé de n cubes posés les uns
sur les autres, arête contre arête. La condition de glissement est-elle modifiée ? La condition de
pivotement est-elle modifiée ?
18. Trouvez la relation entre l’inclinaison θ du sol et le nombre n de cubes que l’on peut ainsi empiler,
arête contre arête, et maintenir à l’équilibre.
19. Discutez l’équilibre en fonction du produit nµ. Que se passe-t-il quand n → ∞ ?
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Semestre 2
P1CP2007
Epreuve de Physique
DS du 22/04/2013
Durée 1h30
Problème.— Patineurs sur glace
Un couple AB de patineurs sur glace est modélisé comme un ensemble formé de deux masses mA et mB ,
supposées ponctuelles. AB évolue sur la surface horizontale et plane d’une patinoire, sans frottements. On
mA
sait aussi que m
= 43 . Le plan de la patinoire est muni d’une base orthonormée (~ex , ~ey ).
B
I. A et B sont initialement confondus. Le couple de patineurs s’est élancé. À l’instant “initial” t = 0,
la vitesse de AB par rapport à la patinoire est V~AB (0) = VAB ~ex .
1. La trajectoire suivie par AB peut-elle être un arc de cercle ? Justifiez votre réponse.
2. Exprimez la quantité de mouvement p~AB de AB en fonction de mB et VAB . Application numérique:
calculez pAB pour mB = 60 kg et VAB = 3 m/s.
3. La patineuse B a oublié de laisser au vestiaire son sac à dos dont la masse est µ = mB /10, et elle
souhaite s’en débarrasser. Elle réfléchit à deux possibilités:
(a) Elle lâche le sac soudainement sans lui communiquer de vitesse relative. Que vaut la vitesse ~v
′
du sac par rapport à la patinoire ? Que devient la vitesse du couple V~AB , que l’on notera V~AB
?
Justifiez votre réponse.
(b) Elle le lance vers l’arrière de telle sorte que le sac reste immobile sur la glace dans le référentiel
′
de la patinoire. Que vaut la vitesse ~v du sac par rapport à la patinoire ? Que vaut alors V~AB
?
′
Comparer VAB à VAB et montrer que la vitesse du couple s’est accrue de près de 8%.
4. Les spectateurs observent que la vitesse des patineurs change de direction pendant une durée τ . A
l’issue de cette phase, on constate que V~ ′ = VAB ~ey .
(a) Comment les forces agissant sur AB se sont-elles modifiées pendant cet intervalle de temps ? (on
pourra compléter la réponse d’un schéma)
(b) Quelle conséquence en tirez-vous sur l’hypothèse de mouvement sans frottements ? Justifiez
II. Les patineurs se séparent. A l’instant t1 = 60 s, le couple de patineurs AB est à l’arrêt sur la piste.
Ils s’écartent alors l’un de l’autre en s’aidant de leur bras pendant une durée ∆t. A t > t1 + ∆t, les évolutions
de A et B sont alors indépendantes et on suppose que les deux patineurs ne prennent aucune autre impulsion
supplémentaire. Une mesure de la vitesse de la patineuse B donne VB (t1 +∆t) = 3 m/s. On prendra ∆t = 0.1
s.
1
5. Quelle est la vitesse de la patineuse B à t > t1 + ∆t ?
6. Quelle est la vitesse du patineur A à t > t1 + ∆t ?
7. Calculez l’énergie cinétique totale Ec pour mB = 60 kg ?
8. Rappeler le théorème de l’énergie cinétique.
9. De quelle hauteur h faudrait-il soulever une masse mA +mB pour avoir une variation d’énergie potentielle
égale à Ec ?
10. Justifiez l’affirmation suivante “le patineur A a exercé une force F~A sur la patineuse B ”, en utilisant :
(a) une ou plusieurs des lois de Newton.
(b) le théorème de l’énergie cinétique.
11. On suppose que, lors de la séparation, F~A est un vecteur constant s’exerçant pendant ∆t sur une
longueur égale à celles des bras des deux patineurs, soit L.
(a) Quel est le travail de la force F~A ?
(b) En déduire FA ?
(c) Quelle est la force F~B que la patineuse B a exercé sur la patineur A.
Exercice.— Equation paramétrique
On considère un mobile de masse m en mouvement dont les deux composantes cartésiennes non-nulles de
la vitesse sont vx (t) = v0 sin(2ωt) et vy (t) = v0 cos(2ωt) avec ω > 0, et dont la position initiale à t = 0 est
M0 (a, b, c).
~ .
1. Calculez les composantes cartésiennes (x, y, z) du vecteur position OM
2. Trouvez l’équation cartésienne de la trajectoire (Γ). Qu’elle est-elle ?
3. Calculez les composantes cartésiennes (γx , γy , γz ) du vecteur accélération ~γ .
4. Montrez que le mouvement est plan et périodique (on calculera la période T du mouvement).
~ où Ω(a + v0 /2ω, b, c) et ~γ .
5. Déduire une relation simple entre ΩM
6. Calculez l’énergie cinétique du mobile. Qu’en déduisez-vous pour le travail W (f~) de la force f~ responsable de ce mouvement sachant qu’elle est conservative ?
7. Quelles sont les principales propriétés de la force f~ ? Quelle peut être son origine physique ?
2
Semestre 2
CPBx
Epreuve de Physique — P1CP2007
Durée 1h30. Barême indicatif.
Exercice 1 (6 pts). Le poids d’une brouette chargée de cailloux est P~ et son centre de gravité est G, comme
indiqué sur la figure ci-dessous.
1. Déterminez la fraction f = PF de la force verticale F~ qu’il faut exercer en M pour maintenir l’ensemble à
l’équilibre.
2. Discutez le résultat en fonction du rapport a/b.
3. Que vaut R ?
Exercice 2 (10 pts). Un système (Σ), assimilable à un point matériel M de masse m = 1 kg, est astreint à se
déplacer sur l’axe x′ Ox. Il n’est soumis qu’à une seule force F~ dont l’énergie potentielle associée vaut
Ep (x) = −(x − 1)3 − (x − 3)2 + 8,
où x est en m et Ep en J.
1.
2.
3.
4.
5.
Quelle est la propriété essentielle de cette force ?
dE
Exprimez la force F~ = − dxp ~ex .
Déterminez les 2 positions d’équilibre, x1 et x2 > x1 .
Discutez la stabilité de ces équilibres.
Calculez Ep (x1 ) et Ep (x2 ). Tracez la courbe Ep (x) sur le domaine [−2, 3].
A t = 0, on remarque que (Σ) se trouve en x = 1, sans vitesse.
6. Quelle est la force à cet endroit (intensité, direction) ?
1
7. Calculez l’énergie mécanique Em de (Σ).
8. En déduire l’énergie cinétique en x1 , puis la vitesse de (Σ) à cet endroit.
9. Montrez que l’énergie cinétique s’annule également au voisinage de x = −1.56. Quelle est la force à cet endroit
(intensité, direction) ?
10. Quel est la principale caractéristique du mouvement de (Σ) ?
Exercice 31 (10 pts). Antoine veut déplacer un meuble en chêne qui pèse 1000 N. Le meuble est un parallélépipède
de base carré a et de hauteur 3a. Pour cela, il souhaite le poser sur deux cylindres identiques de diamètre 2R (voir
la figure ci-après). Il se fait aider de Cécile. On s’intéresse à la mise en place du premier cylindre. On note f~ la force
de frottement au sol.
y
y
meuble
a
A
H
3a
F
G
β
cylindre
β
B
α
B
O
O
x
x
1. Le meuble est posé au sol. Exprimer les coordonnées (xG , yG ) du centre de gravité G du meuble. En déduire
tan β.
2. Quelles forces s’exercent sur le meuble (intensité, point d’application, direction) ?
3. Rappelez les équations traduisant l’équilibre d’un solide.
4. Montrez qu’en l’absence de frottement, Antoine pourrait déplacer le meuble sans fournir de grands efforts.
5. Antoine propose d’exercer une force horizontale variable F~ à mi-hauteur en H (a, 1.5a), comme indiqué sur la
figure, pour faire pivoter le meuble autour de l’axe z ′ Oz. Cécile lui indique qu’il est préférable d’exercer une
force au niveau de l’extrémité supérieure du meuble, soit en A. A-t-elle raison ? Expliquez.
6. Cécile met en garde Antoine sur le fait qu’il ne doit surtout pas faire trop pivoter le meuble et avoir α+β ≥ π/2,
ce qui pourrait faire tomber le meuble. Qu’en pensez-vous ? Développez.
√
7. Après de savants calculs, Cécile conclut que ”Compte-tenu que xG = a 210 cos(α + β) et du moment des forces
en O, tu devras exercer une force F en A telle que
2F
tan(α + β) = 1,
mg
ce qui me permettra de positionner le premier cylindre.” Comment Cécile a-t-elle établi cette formule ?
8. Cécile ajoute “Nous allons par la suite positionner le premier cylindre exactement à l’aplomb de l’arête du
a
, que ii) tan α2 = R/a et
meuble (voir la figure). Etant donné que i) nous avons deux cylindres de rayon R = 10
tan x+tan y
que iii) tan(x + y) = 1+tan
x tan y , tu peux facilement calculer F !”. Combien Antoine va-t-il trouver ?
⋆⋆⋆
1
Toute ressemblance avec des personnages existants ou ayant existé serait fortuite et indpendante de la volonté de l’auteur.
2
Semestre 3
CPIBx
Physique
Problème 1.— Collision entre 2 mobiles
Un mobile numéro 1, de masse m = 10 g, est astreint à se déplacer sur un rail rectiligne x′ Ox. Il est soumis
~ du rail agissant perpendiculairement au rail. Les
à trois forces, dont son poids P~ et à la réaction normale N
caractéristiques cinématiques du mobile sont contenues dans la loi horaire suivante:
x1 (t) = t2 − 4t + 4,
où t ≥ 0 représente le temps exprimé en seconde, et x1 est en mètre.
On négligera les frottements de l’air (et ceux du rail). On accompagnera, le cas échéant, les réponses aux
questions par des schémas clairs et précis.
A. Mouvement du premier mobile
1. Déterminez l’expression de la vitesse instantanée v(t) du mobile, puis son accélération a(t).
2. Quelle est la position du mobile à t = 0 ? Sa vitesse ?
3. A quel instant la vitesse du mobile change-t-elle de sens ?
4. En déduire les phases du mouvement.
5. Exprimez puis calculez numériquement la force F~ responsable du mouvement du mobile sur le rail.
6. Calculez le travail de F~ lorsque le mobile passe de l’origine à une abscisse x > 0.
7. La force F~ est-elle conservative ? Justifiez.
8. Exprimez l’énergie cinétique du mobile.
9. Exprimez l’énergie mécanique du mobile ? Est-elle conservée ?
On considère un second mobile que l’on place sur le même rail. Sa masse est 2m, et son équation horaire
est:
x2 (t) = t2 ,
où t ≥ 0, et x2 est en mètre.
B. Choc avec un second mobile
10. Montrez que les deux mobiles se rencontrent à t = 1.
11. Exprimez les quantités de mouvement p~1 et p~2 des deux mobiles en fonction du temps.
12. En déduire les quantités de mouvement à l’instant du choc.
13. Les deux mobiles peuvent rester accrochés après le choc (par exemple grâce à des petits aimants placés
de part et d’autre des mobiles). Exprimez la quantité de mouvement p~3 du mobile 3, association des
mobiles 1 et 2, puis la vitesse ~v3 .
14. Peut-on choisir la masse du mobile 2 pour que le mobile 3 soit sans vitesse ?
Exercice.— Equilibre d’un cylindre
Un cylindre homogène de section carré de coté a et de longueur b est placé sur un support (S), comme
indiqué ci-dessous; mais seule, une partie (de longueur x), est en contact avec (S). La gravité ~g est verticale et
~ la réaction du support.
dirigée vers le bas. On note N
On pourra introduire un système d’axe OxOy.
1. Indiquez la position du centre de gravité G du cylindre.
2. A partir des équations de l’équilibre, déduisez précisément la position du point d’application de la réaction
~.
N
3. Pour quelles valeurs de x l’équilibre est-il possible ? Justifiez.
On exerce en A une force verticale d’intensité f dans le même sens que ~g suffisamment faible pour que l’équilibre
soit maintenu.
~ s’est déplacé. Dans quel sens ?
4. Montrez, sans faire de calcul, que le point d’application de N
~ au bord du support (S).
5. Déterminez la distance du point d’application de N
⋆⋆⋆
2
Semestre 3
CPIBx
Physique
Exercice 1.— Un skieur sur une piste.
Un skieur de masse m se présente devant une descente dont le profil vertical h(x) varie de la façon suivante:
h(x) = 0,
h(x) =
si x ≤ 0,
πx
H
cos
−1 ,
si x ∈ [0, 2d],
2
2d
h(x) = −H,
si x ≥ 2d,
où x se mesure selon l’axe horizontal, perpendiculaire à la direction de la gravité.
On négligera les frottements de l’air et de la piste sur les deux skis. On accompagnera, le cas échéant,
les réponses aux questions par des schémas clairs et précis. On prendra l’altitude h(2d) comme origine des
énergies potentielles.
1. Tracez l’allure de la courbe h(x) pour x ∈ [0, 2d].
2. Dressez le bilan des forces s’exerçant sur le skieur. Portez ces forces sur la courbe précédente lorsque le
skieur se trouve sur la piste à l’abscisse x = d.
3. Exprimez le travail de chacune des forces lorsque le skieur suit la piste sur la portion [0, x ≤ 2d].
4. Ces forces sont-elles conservatives ? Justifiez.
5. Donnez l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur Ep (x).
6. Déterminez la vitesse v(x = 2d) du skieur en fin de piste si v(x = 0) = 0 ?
7. Calculez dans ce cas l’énergie mécanique Em du skieur pour H = 20m et d = 40m.
8. Indiquez, sans calcul, si ~v dépend du profil de la piste sur [0, 2d]. Justifiez. Qu’en est-il de v ?
Le skieur effectue une seconde tentative; il ne souhaite cette fois pas suivre le relief imposé h(x), mais retomber
sur la piste en x = 2d. Pour cela, il prend son élan et se présente en x = 0 avec une vitesse initiale v0 > 0 à
déterminer.
9. Quelle est la nature du mouvement du skieur dans ce nouveau cas ?
10. Déterminez v0 .
11. En déduire la vitesse v ′ (2d) à l’atterrissage.
Exercice 2.— Centre de gravité de la molécule HCN
On considère une molécule de cyanure d’hydrogne HCN dont la masse molaire est 27 g. C’est une molécule
linéaire toxique, voire mortelle à l’ingestion ou à l’inhalation. Les distances interatomiques sont d(H, C) =
1.06 × 10−10 m et d(C, N ) = 1.15 × 10−10 m. Les masses molaires sont M (H) = 1 g, M (C) = 12 g, et
M (N ) = 14 g
1. Calculez la position du centre de gravité de la molécule relativement au carbone central.
2. Reprenez la question pour une version non-linéaire de la molécule, l’angle des liaisons au niveau du
carbone central étant de 69 degrés.
Exercice 3.— Equilibre d’une échelle
Une échelle homogène AB de longueur 2l et de masse m est posée contre un mur dont la paroi est parfaite~ 2 perpendiculaire. Au
ment polie. L’angle par rapport à la verticale est φ. La réaction du mur est une force R
~
contraire, le sol excerce en A des frottements f1 faisant un angle α par rapport à l’horizontale.
1. Quelle hypothèse impose une réaction normale en B ?
2. A partir des équations de l’équilibre d’un solide, montrez que l’échelle ne peut rester statique si f1 = 0.
~ 1 en fonction de m, l, h et g.
3. Déterminez N
4. En déduire f1 et R2 .
5. En déduire l’expression de α en fonction des données du problème.
6. Un artisan de masse M monte sur l’échelle en G. Indiquez comment sont modifiées les forces en présence.
⋆⋆⋆
2

Annales - Laboratoire d`Astrophysique de Bordeaux

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