I - Définition des liaisons.

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CHAPITRE I
I - Définition des liaisons.
Soit un système de N points (Mi) ou de N’ solides en interaction. S’il s’agit de solides les forces intérieures ou de contact
doivent assurer l’invariabilité des distances mutuelles. On définit ainsi des liaisons :
z
- holonomes (l.h)
- non holonomes (l.n.h)
- parfaites ou à résistances passives
- stationnaires ou non
- bilatérales ou unilatérales.
x Mi (xi, yi, zi)
(S)
J
(Se)
Le solide (S) est en contact avec (Se), (Se) pouvant être mobile
ou non.
y
1.1 Liaisons holonomes.
x
Ce sont des liaisons se définissant par des relations entre les coordonnées, elles s’écrivent sous la forme :
k ∈ [1, r ]
fk (x i, yi , zi ) = 0
i ∈ [1,N]
si r est le nombre de ces liaisons.
Comme exemple donnons celui du pendule simple oscillant dans le
plan vertical z = 0 :
il y a deux liaisons holonomes :
O
y
!
M
(m)
x2 + y2 − !2 = 0
ou f1(x,y,z) = 0 et z = 0
ou f2(x,y,z) = 0
x
soit ici r = 2.
1.2 Liaisons non holonomes (l.n.h).
Elles se traduisent par des relations linéaires entre les vitesses et s’expriment sous la forme :
l ∈ [1, r ']
ali x i + al = 0
i ∈ [1,3N]
les ali et al étant des fonctions des coordonnées et éventuellement du temps (si obstacle mobile).
Donnons deux exemples :
a) roulement dans un plan vertical.
b) cerceau roulant et pivotant.
z
z
G
a
Z’
#
#
Z
VJ∈(C) = VG + JG ∧ ω
(m)
X
ϕ
G
O
J
v
θ
α
x
Y
u
a
O’
n
ψ
J
r
G’
Vr
x
y
u’
Vt
t
Cerceau dans un plan vertical : la condition de non glissement V J = 0 donne : x" − aα" = 0 , c'est-à-dire une liaison non
holonome (en apparence).
Cerceau roulant et pivotant : dans le repère de projection Rp : Jt, Jr, Jn on a, avec toujours : V J = 0 :
{
VG
x" cos ψ + y" sin ψ
− x" sin ψ + y" cos ψ
z"
0
JG a cos θ
a sin θ
Vt = x" cos ψ + y" sin ψ + a(ϕ" + ψ" cos θ) = 0
soit : VJ Vr = − x" sin ψ + y" cos ψ + aθ" sin θ = 0
Vn = z" − aθ" cos θ = 0
}
θ"
ω − ϕ" sin θ
ψ" + ϕ" cos θ
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Vn = 0 = z" − aθ" cos θ
s'intègre en z − a sin θ = 0 soit une liaison holonome : r = 1.
Il existe deux liaisons non holonomes : r' = 2, soit :
x" cos ψ + y" sin ψ + a(ϕ" + ψ" cos θ) = 0
− x" sin ψ + y" cos ψ + aθ" sin θ = 0
de la forme :
a li x" i + al = 0 avec ici a l = 0
1.3 Liaisons parfaites ou à résistances passives.
Liaisons parfaites :
R i , réaction de contact, :
Ri .dr i = 0 avec
R i ⊥ dr i
(absence de frottement de glissement)
dr i = 0
ou non glissement, cf cerceau.
C'est précisément parce qu'il existe des forces de frottement de glissement suffisantes…qu'il n'y a pas de glissement au point de
contact.
Résistances passives : Ri .dr i ≠ 0 .
1.4 Liaisons stationnaires (ou instationnaires).
Exemple : dans x 2 + y 2 − ! 2 = 0 le temps t n'apparaît pas de façon explicite (obstacle fixe).
Forme générale (par exemple pour des liaisons holonomes) : fk (x i , y i , zi , t ) = 0 .
1.5 Liaisons unilatérales - bilatérales.
Dans le cas du pendule simple de longueur ! = OA oscillant dans un plan vertical, soit un anneau M de coordonnées x et y se
déplaçant sur la longueur du pendule : OM ≤ OA ou encore : x 2 + y 2 − ! 2 < 0 : inégalité donc liaison unilatérale (liaison
bilatérale dans le cas de l'égalité).
II - Coordonnées généralisées (,qs).
i : [1,3N]
Soit un système matériel (ex : N points) possédant r liaisons holonomes : fk (x i , t ) = 0 . k : [1, r ]
Il existe donc r fonctions implicites de 3N coordonnées cartésiennes. On admettra le théorème d'analyse sur les fonctions
implicites qui indique que r coordonnées (par exemple les r premières) peuvent s'exprimer en fonction des 3N-r autres
coordonnées :
x1 = x1(x r +1,...x 3N )
avec : x1, x 2 , x 3 pour x1, y1, z1 …
…….
x r = x r (x r +1,...x 3N )
Il reste donc n = 3N-r coordonnées indépendantes (au sens algébrique).
2.1 Définition du nombre n de degrés de liberté d'un système mécanique.
Un système mécanique est à n degrés de liberté lorsque ses liaisons holonomes traitées comme bilatérales réduisent à n le
nombre de paramètres indépendants qu'on désignera par les variables qs. Les qs définissent les coordonnées généralisées du
système.
Notation : n = 3N+6N'-r, s'il y a N points matériels et N' solides en interaction.
Exemples :
a) Pendule oscillant dans un plan vertical (N = 1). Les liaisons holonomes :
x2 + y2 − !2 = 0
z=0
et
donnent r = 2 d'où n = 3x1-2 = 1 degré de liberté (par exemple l'angle
{, q s } = {ϕ } .
b) Cerceau roulant et pivotant (N' = 1). La liaison holonome :
z − a sin θ = 0
donne r = 1 d'où n = 6x1-1 = 5 degrés de liberté :
{, qs } = {x, y, ψ, θ, ϕ} par exemple.
ϕ de rotation).
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2.2 Equations de transformation.
Soit N points matériels repérés par :
s : [1, n]
r i = r i (q1,...qs ,...qn , t )
noté : r i = r i (, qs , t )
Il existe 3N équations de transformation.
Exemple : pendule simple N = 1 : q = ϕ .
i : [1,N]
x = ! cos ϕ
r : y = ! sin ϕ
z=0
Il y a bien 3 équations de transformation.
III - Déplacements naturels (ou réels) et déplacements virtuels.
3.1 Déplacement naturel (ou réel)
(dq ,dr )
i
s
Supposons résolu le mouvement du système : on connaît alors les n fonctions du temps : q1(t ),...qn (t ) . Les
dq s sont les
variations infinitésimales dans le mouvement réel (c'est-à-dire dans le temps) des quantités qs ou encore les différentielles :
dq s. = q" s dt . En utilisant les équations de transformation, les déplacements élémentaires des points Mi sont donnés par :
dr i =
∂r i
∂r i
dqs +
dt
∂qs
∂t
3.2 Déplacement virtuel (hors du temps)
(δq , δr ).
s
i
On se préoccupe du nombre de configurations infiniment voisines de la réalité à un instant t fixé (relevé notamment des
vitesses, accélérations…à cet instant). On ne se préoccupe plus du mouvement mais des configurations possibles à cet instant
en tenant compte des liaisons (varaiations infinitésimales géométriquement admissibles), les paramètres qs variant de δqs
(variation et non différentielle) ce qui donne pour un point Mi :
δr i =
∂r i
δqs
∂qs
déplacement virtuel de Mi.
Exemple de déplacement réel, virtuel :
Soit un solide glissant sur un plan horizontal lui même en translation verticale.
Le déplacement virtuel
δr i compatible avec la liaison (à t fixé) sera horizontal.
M'i
dr i
z
O
Ici
(S e ) , représenté en grisé, est mobile (mouvement vertical).
Mi
à t+dt
δr i
M*i
àt
x