Couples de variables aléatoires réelles à densité

S4 Maths 2011-2012
Probabilités 1
Couple de variables aléatoires réelles à densité
Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
2011-2012
Licence mention Mathématiques - Semestre 4
Probabilités 1
Couples de variables aléatoires réelles à densité
1 - Généralités.
Soient , A, P un espace probabilisé et X, Y un couple de variables aléatoires réelles (v.a.r.) définies
sur , A, P . Nous avons déjà étudié le cas de deux v.a.r. discrètes ; nous nous intéressons maintenant au cas
de deux v.a.r. à densité.
On rappelle que la fonction de répartition du couple X, Y est la fonction F X,Y définie par :
2
F
et que pour tout réel a, ylim F
X,Y
:
a, y
X,Y
0, 1
x, y
P X
F X a et xlim F
x
Y
x, a
X,Y
y
FY a .
Dans tout ce qui suit, les fonctions de deux variables considérées sont supposées continues et bornées sur
, sauf éventuellement sur un nombre fini de droites ou d’arcs de courbes définis par des fonctions à dérivées
bornées. Les domaines considérés sont soit 2 , soit une partie de 2 limitée par des courbes continues.
2
2 - Loi conjointe. Lois marginales.
F
Soit X, Y un couple de v.a.r. Définir la loi conjointe de X, Y , c’est se donner sa fonction de répartition
2
dans vérifiant la relation
X,Y , ou une densité de probabilité f X,Y , fonction de
x
F
Une densité de probabilité sur
Proposition.
Pour tout domaine D de
2
2
X,Y
y
x, y
f
u, v dudv
X,Y
est une fonction positive vérifiant
, on a P X, Y
D
f
f
X,Y
x, y dxdy.
F
X,Y
b, c
Proposition.
Soit X, Y un couple de v.a.r. de densité de probabilité f
densités de probabilité respectives définies par
X,Y
D
Pour tous réels a b et c
P a X b
c
d,
Y
d
fX x
F
f
X,Y
X,Y
b, d
F
X,Y
X,Y
a, d
x, y dxdy
F
X,Y
1.
a, c .
. Alors X et Y sont des v.a.r. à densité, de
x, y dy et f Y y
f
X,Y
x, y dx.
Les densités f X et f Y sont appelées densités marginales de X et Y.
Preuve.
On a F X x
PX
fonction x
f
x
X,Y
x
P X, Y
,x
f
X,Y
u, y dy du, ce qui prouve que la
x, y dy est une densité de probabilité de X.
On procède de même pour Y.
Stéphane Ducay
1
S4 Maths 2011-2012
Probabilités 1
Couple de variables aléatoires réelles à densité
3 - Lois conditionnelles.
Soit X, Y un couple de v.a.r. de densité de probabilité f X,Y , de densités marginales f X et f Y .
Définir la loi de probabilité de X conditionnelle à Y y reviendrait à calculer P X x / Y y , ce qui
n’aurait pas de sens puisque P Y y
0. Cherchons la limite de P X x / y h Y y h lorsque h
tend vers 0. On a
P X x
y h Y y h
P X x/y h Y y h
Py h Y y h
y h
x
f
y h
X,Y
y h
1
2h
u, v du dv
f
y h
y h
y h
x
u, v du dv
X,Y
y h
1
fY v
2h
y h
y h
f Y v dv
y h
f Y v dv
.
dv
x
Si f Y est continue en y, alors lim 1
f Y y . Si v
f X,Y u, v du est continue en y, alors
h 0 2h
y h
x
x
lim 1
f X,Y u, v du dv
f X,Y u, y du.
h 0 2h
y h
Supposons de plus que f Y y
0. On peut alors définir P X x / Y y par
x
f
lim P X
h 0
h
Y
y
h
X,Y
u, y du
x
fY y
x, y
est bien une densité de probabilité sur car
fY y
f X,Y x, y dx
fY y
f YX y x dx
1 ; les propriétés de continuité de f
fY y
fY y
f YX y est continue sur sauf éventuellement en un nombre fini de points.
La fonction f YX y : x
Définitions.
Si f X x
f
x/y
f YX
y
u du .
X,Y
X,Y
assurent par ailleurs que
0 et f Y y
0, alors les fonctions
f X,Y x, y
f X,Y x, y
f YX y : x
et f XY x : y
fY y
fX x
sont des densités de probabilité sur définissant respectivement la loi de X conditionnelle à Y y et la loi de
Y conditionnelle à X x. Elles permettent de définir les fonctions de répartition conditionnelles par
x
F YX
y
x
P X
x/Y
y
et F XY
x
y
P Y
y/X
x
y
f YX
y
u du
f XY
x
v dv.
Remarque.
La densité conditionnelle f YX y a été définie pour des valeurs y telles que f Y y
0. Lorsque f Y y
f X,Y x, y
0 pour tout réel x ; on pose alors f YX y x
0. De cette façon, pour tous réels x et y, on a
f X,Y x, y
f YX y x f Y y .
De même, on a f X,Y x, y
f X x f XY x x , en posant f XY x y
0 lorsque f X x
0.
0, alors
4 - Indépendance de deux v.a.r. à densité.
On a déjà vu que deux v.a.r. X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tous réels x et y, on a
F X,Y x, y
P X x
Y y
PX x PY y
FX x FY y .
Proposition.
Soient X et Y deux v.a.r. à densité. X et Y sont indépendantes si et seulement si le couple X, Y admet pour
densité la fonction f X,Y définie pour tous réels x et y par
f X,Y x, y
fX x fY y .
Stéphane Ducay
2
S4 Maths 2011-2012
Probabilités 1
Preuve.
X et Y sont indépendantes si et seulement si
x
F X,Y x, y
f X u du
FX x FY y
Couple de variables aléatoires réelles à densité
y
x
y
f Y v dv
f X u f Y v dv du, ce qui signifie
(par définition) que le couple X, Y admet pour densité la fonction définie par f
x, y
X,Y
fX x fY y .
Remarques.
a) Si X et Y sont indépendantes, les lois conditionnelles sont égales aux lois marginales :
f YX y f X si f Y y
0 et f XY x f Y si f X x
0.
b) Si un couple X, Y admet une densité de la forme f X,Y x, y
g x h y , alors X et Y sont
indépendantes, de densités de probabilité respectives f X g et f Y h à une constante multiplicative près.
5 - Somme de deux v.a.r. à densité indépendantes.
Soit X, Y un couple de v.a.r. de densité de probabilité f X,Y , de densités marginales f X et f Y .
Posons Z X Y. La fonction de répartition de Z est définie par :
2
FZ z
PZ z
f X,Y x, y dxdy, avec D z
x, y
/x y z ,
Dz
z x
f
z
x, y dy dx
X,Y
z
f
X,Y
x, t
x dt dx
f
X,Y
x, t
x dx dt.
On peut intervertir le rôle de X et Y.
Proposition.
La somme X
Y admet pour densité de probabilité la fonction f Z définie par
fZ z
f
X,Y
x, z
Proposition.
Si X et Y sont indépendantes, alors la somme X
par
fZ z
fX
Y
fX x fY z
De façon analogue au cas discret, on dit que f Z
fX fY fY fX.
x dx
f
z
X,Y
y, y dy.
Y admet pour densité de probabilité la fonction f Z définie
x dx
fX
Y
fX z
y f Y y dy.
est le produit de convolution de X et de Y et on note
Exemple. Somme de deux v.a.r. indépendantes Uniformes sur 0, 1 .
Soient X et Y deux v.a.r. indépendantes de lois Uniformes sur 0, 1 . On a :
1 si x
0, 1
1 si y
0, 1
fX x
et f Y y
.
0 si x
0, 1
0 si y
0, 1
1
Pour tout z
, fX
Y
z
fX x fY z
0 si z
d’où f X
Y
z
2
x dx
0
,0
z si z
0, 1
z si z
1, 2
2,
x dx
z
f(z)
z
fY u
du
z 1
f Y u du,
1.0
0.5
-2
0 si z
z 1
fY z
-1
0
1
2
3
4
z
Proposition.
1) Si X et Y sont deux v.a.r. indépendantes de lois Normales N 1 ; 1 et N 2 ; 2 , alors X Y suit la loi
2
2
N 1
2;
1
2 .
2) Si X et Y sont deux v.a.r. indépendantes de lois de Chi-deux 2 p 1 et 2 p 2 , alors X Y suit la loi de
Chi-deux 2 p 1 p 2 .
3) Si X et Y sont deux v.a.r. indépendantes de lois Gamma G a, p 1 et G a, p 2 , alors X Y suit la loi
Gamma G a, p 1 p 2 .
Stéphane Ducay
3
S4 Maths 2011-2012
Probabilités 1
Couple de variables aléatoires réelles à densité
On peut généraliser les résultats de ce paragraphe à la somme de n variables aléatoires indépendantes. On
a en particulier les résultats suivants.
Proposition.
1) Si X 1 , X 2 , ..., X n sont des v.a.r. indépendantes de lois Normales N 1 ; 1 , N 2 ; 2 , ..., N n ; n ,
2
2
2
X n suit la loi N 1
alors X 1 X 2
2
n;
n .
1
2
2
p 1 , 2 p 2 , ..., 2 p n , alors
2) Si X 1 , X 2 , ..., X n sont des v.a.r. indépendantes de lois de Chi-deux
2
X1 X2
p1 p2
X n suit la loi de Chi-deux
pn .
3) Si X et Y sont deux v.a.r. indépendantes de lois Gamma G a, p 1 , G a, p 2 , ..., G a, p n , alors
X1 X2
X n suit la loi Gamma G a, p 1 p 2
pn .
6 - Linéarité de l’espérance mathématique.
On a pu noter une analogie entre les formules définissant l’espérance mathématique de v;a.r. discrètes et à
densité. En gros, on remplace les séries par des intégrales, et les probabilités ponctuelles P X x par des
probabilités infinitésimales f x dx.
Cette analogie s’explique par l’existence d’une théorie de l’intégration qui unifie ces deux cas. Cette
théorie n’est pas au programme de ce cours. Elle est cependant indispensable si l’on veut établir correctement
une propriété aussi naturelle que la linéarité de l’espérance mathématique.
En effet, il est facile de trouver des exemples de v.a.r. X et Y admettant des densités et une espérance
mathématique, et telles que X Y n’est pas de densité (par exemple, X de loi Uniforme sur 0, 1 , Y 1 X).
On admettra lors le résultat plus général suivant.
Proposition.
Soient X et Y deux v.a.r. définies sur un même espace probabilisé , A, P , admettant une espérance
mathématique. Soit un réel. Alors X Y et X admettent une espérance mathématique et on a
EX Y
E X E Y et E X
EX .
Ainsi, l’espérance mathématique est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des v.a.r. définies sur
, A, P et admettant une espérance mathématique.
7 - Covariance de deux v.a.r. à densité.
Les résultats (et leur preuve) sont analogues à ceux du cas de v.a.r. discrètes.
Proposition.
Si X et Y sont deux v.a.r. à densité admettant une espérance mathématique, alors X
espérance mathématique donnée par E X Y
EX EY .
Y admet une
Proposition.
Si X et Y sont deux v.a.r. à densité admettant une espérance mathématique et un moment d’ordre 2 (i.e.
E X 2 et E Y 2 existent), alors XY admet une espérance mathématique donnée par
E XY
xyf X,Y x, y dxdy.
2
Corollaire.
Si X et Y sont deux v.a.r. à densité admettant un moment d’ordre 2, alors X
2.
Y admet un moment d’ordre
Définition.
Soient X et Y deux v.a.r. à densité admettant un moment d’ordre 2. On appelle covariance de X et Y le réel
Cov X, Y
E X EX Y EY .
Stéphane Ducay
4
S4 Maths 2011-2012
Probabilités 1
Couple de variables aléatoires réelles à densité
Proposition.
i Cov X, Y
E XY E X E Y .
ii Var X Y
Var X Var Y 2Cov X, Y .
Remarque.
Pour toutes v.a.r. à densité X, X et Y admettant un moment d’ordre 2, pour tous réels et , on a :
Cov X, Y
Cov X , Y
Cov X
X ,Y
Cov X, Y
Cov Y, X
Cov X, X
E X2
E X 2 Var X .
La covariance est donc une forme bilinéaire symétrique sur l’espace vectoriel des v.a.r. admettant un
moment d’ordre 2 ; sa forme quadratique associée est la variance.
Il en résulte, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que :
Var X Var Y
|Cov X, Y |
X Y.
Définition.
On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y le réel
De l’inégalité de Cauchy-Schwarz on déduit que 1
tel que Var X
Y
0, et donc un réel a tel que P X
X,Y
Y
Cov X, Y
X,Y
X
1. De plus, si |
a
1.
Y
.
X,Y |
1, il existe un réel
Proposition.
Soient X et Y deux v.a.r. à densité indépendantes admettant un moment d’ordre 2. Alors
i E XY
E X E Y , i.e. Cov X, Y
0.
ii Var X Y
Var X Var Y .
Ainsi, si X et Y sont indépendantes, alors Cov X, Y
0. Mais la réciproque est fausse.
8 - Exercices.
Exercice 1.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi Exponentielle de paramètre
Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire Z X Y.
0.
Exercice 2.
Considérons l’expérience qui consiste à choisir au hasard un nombre X dans 0, 1 puis
un nombre Y dans 0, X .
1) Quelle est la loi de probabilité de X ? de Y conditionnelle à X x ?
2) En déduire la densité de probabilité du couple X, Y , puis celle de Y.
Exercice 3.
Soit X, Y un couple de variables aléatoires de densité de probabilité f X,Y définie par
1 e x22 xy y 2 pour tout couple x, y de 2 .
f X,Y x, y
2
1) Vérifier que f X,Y est bien une densité de probabilité.
2) Déterminer les lois de probabilité marginales de X et Y. Reconnaitre des lois usuelles.
3) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
4) Déterminer la loi de Y conditionnelle à X x.
Stéphane Ducay
5