Espérance mathématique et jeu équitable Formule : E = p1xr1 +

Espérance mathématique et jeu équitable
Définition
De façon générale, l’espérance mathématique correspond à la moyenne des valeurs
numériques pondérées avec la probabilité que se réalise chacune de ces valeurs.
Formule : E
= p1xr1 + p2xr2 + p3xr3 + … + pnxrn
Où p1, p2, p3, … , pn correspond à la probabilité que les événements 1,2,3,…,n se
réalisent.
Où r1, r2, r3, … ,rn correspond à la valeur numériques des événements 1,2,3,…,n
En d’autres termes, l’espérance mathématique estime le gain par jeu si on joue un très
grand nombre de fois.
Exemple
a). Dans un jeu, on lance un dé à 6 faces équilibrées et selon le résultat, On gagne :
1. Résultats paire : 2$
2. Le résultat est 5 : 9$
3. Autre, on ne gagne rien
Comment trouver l’espérance mathématique?
1. Calculer la probabilité pour chaque cas
-
Résultat paire : (2, 4 ou 6)
-
Résultat est 5 :
P=
- Rien à gagner : (1, 3)
X (gains)
P(x)
X x P(X)
E (x)
E (x) = 0 + + =
= 2.5 $
P=
P=
0$
2$
9$
0x
0
2x
9x
E (x) = 2.5 $
On peut dire que le gain peut être de 2.5 $ par jeu.
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Espérance mathématique et jeu équitable
b). Trouvez l’espérance mathématique si avant de jouer on doit payer :
1) 2$;
2) 2.5$
3) 3$
Premier cas : nous avons E(x) = 2.5 $, calculée précédemment, mais on paye 2$ par
jeu. Donc ma nouvelle E (x) = 2.5 – 2 = 0.5 $
E (x) = 0.5 $
On peut conclure pour ce premier cas le jeu est favorable au joueur.
Deuxième cas : la nouvelle E (x) = 2.5 – 2.5 = 0$
E (x) = 0 $
On peut conclure pour le deuxième cas que le jeu est équitable
Troisième cas : la nouvelle E (x) = 2.5 – 3 = - 0. 5$ E (x) = - 0.5 $
Donc le jeu est défavorable au joueur, puisqu’il perd 0.5 $ par jeu.
Un jeu équitable
l’espérance mathématique est nulle, soit E(x) = 0
c). Si vous jouez 20 fois à ce jeu, combien vous pouvez gagner si vous payez :
a) 2$
b) 2.5 $
c) 3 $
a) Nous avons E (x) = 0.5 $,
b) E(x) = 0
0.5 x 20 = 10 $, donc le gain est de 10$
0 x 20 = 0 (pas de gain)
c) E (x) = - 0.5 $
- 0.5 x 20 = - 10 $, donc la perte est de 10 $
Équité :
Définition : si l’espérance mathématique est supérieure à 0, cela avantage le
participant, à l’inverse, si l’espérance mathématique est inférieure à 0, cela est à
son désavantage.
Recommandation :
-
Si E > 0, il devrait participer à cet événement.
Si E < 0, il ne devrait pas participer à cet événement.
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