Exercices supplémentaires : Etude de fonctions

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions
Partie A : Dérivabilité
Exercice 1
Etudier la dérivabilité de la fonction : √ 1 en 1.
Exercice 2
On considère la fonction définie sur 1; ∞ par
Etudier la dérivabilité de en 1.
1 √ 1
Exercice 3
En utilisant la définition d’un nombre dérivé, déterminer les limites suivantes :
sin2
√ 3 2
√3 4 1 1
lim
lim
lim
1
Exercice 4
On considère la fonction définie sur par
2 si 1
"
1
si ! 1
1) Démontrer que est continue en 1.
2) Démontrer que n’est pas dérivable en 1.
Partie B : Etude de fonctions
Exercice 1
On considère la fonction définie sur $1% par
3 5 5
1
1) Calculer les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En donner une interprétation graphique
lorsque cela est possible.
2) Démontrer que la droite ' d’équation ( 1 est une asymptote oblique à la courbe ) de .
3) Etudier la position relative de ) et '.
4) Calculer la dérivée de .
5) Etudier le signe de * après avoir factorisé le numérateur à l’aide de racines évidentes.
6) Dresser le tableau de variations complet de .
Exercice 2
On considère la fonction définie sur $1,5% par
2 3
1) Déterminer une équation de la tangente , à la courbe de au point d’abscisse 1.
2) Existe-t-il un autre point de la courbe de pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à , ? Si oui,
déterminer ses coordonnées et l’équation de cette seconde tangente.
Exercice 3
. Etudier la fonction : -/0
(ensemble de définition, de dérivabilité, limites et variations)
Exercice 4
Etudier la fonction : √ 4 3
Etudier la fonction : Exercice 5
√ 1 /
Exercice 6
On considère la fonction définie sur par √ 8
1) Etudier les limites de en ∞ et en ∞.
2) Démontrer que est décroissante sur . Donner le tableau de variations complet de .
3) Démontrer que la courbe ) de admet deux asymptotes dont la droite d’équation ( 2.
Partie C : Trouver la fonction
Exercice 1
On considère une fonction polynôme de degré 3, c’est-à-dire 3 4 5 6.
Déterminer 3, 4, 5 et 6 sachant que la tangente au point 70; 1 de la courbe de a pour équation ( 1 et celle au
point 91; 4 a pour équation ( 12 8.
Exercice 2
On considère une fonction définie et dérivable sur :2; ∞" par
Où 3, 4, 5 et 6 sont des réels non nuls.
Le tableau de variations de est le suivant :
* 3 4 2
∞
5
6
0
0
5
∞
∞
La courbe représentative de passe par 71; 6.
1) Quelle asymptote parallèle à l’axe des ordonnées la courbe de possède-t-elle ? En déduire 6.
2) Déterminer les trois autres nombres 3, 4 et 5.
3) Démontrer que la courbe de admet une asymptote oblique '. Etudier la position relative de ' et ).
Exercice 3
On considère la fonction définie sur par
3 6 5
4
Déterminer 3 et 4 pour que soit continue et dérivable en 1.
Partie D : Fonctions et paramètres
si si
1
!1
"
Exercice 1
On considère un réel < non nul et la fonction = définie sur $2% par
<
5 2
1) Prouver que les différentes courbes )= admettent en commun deux asymptotes.
2) Calculer la fonction dérivée de la fonction = et étudier selon les valeurs de < le signe de cette dérivée.
Correction
Partie A : Dérivabilité
Exercice 1
Ensemble de définition de : 1 > 0 ? 1 1 > 0 or 1 est toujours positif car son
discriminant Δ vaut 3 donc 1 > 0 ou encore 'A 1; ∞
Pour B C 0 (et B > 0) :
3
3
1 B 1 D1 B 1 0 √1 3B 3B B 1 EB -B 3 B0 |B|EB 3 B
B
B
B
B
B
3
3
lim B 3 3 ; lim ∞ donc par addition lim B 3 ∞
G B
G
G
B
GH
lim √B ∞ donc par composition lim QB 3 G.P
G
Comme B > 0, |B| B et donc nous avons
1 B 1
lim
∞
G
B
Ceci indique que n’est pas dérivable en 1.
3
∞
B
Exercice 2
Pour B > 0 :
√B
1B
B V1 W 1 1
1
B
1 B 1 1 √1 B 1
1 B T1 √BU
B √B
√B
B
B
BT1 √BU
BT1 √BU BT1 √BU
1 √B
1
1
lim √B 0 donc lim
∞ et alors lim 1 ∞
G
G √B
G
√B
1 B 1
De plus lim 1 √B 1 donc par quotient lim
∞
G
G
B
Ceci montre que n’est pas dérivable en 1.
Exercice 3
On considère la fonction : √ 3 définie sur . Elle est la composée d’une fonction polynôme, dérivable sur
et strictement positive et de la fonction racine carrée dérivable sur :0; ∞ donc est dérivable sur :0; ∞ et
1
* 2 [
2√ 3 √ 3
En particulier en 1 \
1
√ 3 2 1
lim
* 1 ou encore lim
2
1
1
On considère la fonction ]: sin2 définie sur . C’est la composée entre la fonction sinus dérivable sur et
une fonction affine dérivable sur donc ] est dérivable sur et
]* 2 cos2. En particulier en 0 \
] ]0
sin2
lim
g * 0 ou encore lim
2
_
0
On considère la fonction B: √3 4 1 définie sur `∞; ` a 1; ∞b car 3 4 1 a pour
discriminant Δ 4 et est donc positif sauf entre les racines 1 et . Elle est la composée d’une fonction
polynôme, dérivable sur et strictement positive sur `∞; c a :1; ∞ et de la fonction racine carrée dérivable sur
:0; ∞ donc B est dérivable sur `∞; c a :1; ∞ et
1
3 2
* B
6 4 [
2√3 4 1 √3 4 1
En particulier en 0\
B B0
√3 4 1 1
B* 0 ou encore lim
2
0
lim
Exercice 4
1) En 1 à gauche :
lim lim 2 2 1 1 1
d
d
1
1 1
1
Donc est bien continue en 1.
2) En 1 à gauche :
1 1 1
2 1
1 lim
lim
lim
lim
lim 1 2
1
1
1
1
d
d
d
d
d
En 1 à droite
1
1
1
1
1
lim
lim lim
lim 1
1
1
1
H
H
H
H
Les limites à gauche et à droite sont différentes donc n’est pas dérivable en 1.
En 1 à droite :
lim lim
H
1
d
Partie B : Etude de fonctions
Exercice 1
1) A l’infini :
lim ∞ et de même lim ∞
.P .P
/P
lim lim
.P
En -1 :
lim 3 5 5 1 3 5 5 2 et lim 1 0. donc par quotient lim ∞
/
/
/
Ceci montre que la droite d’équation 1 est une asymptote verticale à la courbe de .
2) A l’infini :
3 5 5 1 3 5 5 3 3 1
2 4
1 1
1
1
1
2 4
2
2
lim 1 lim
lim lim 0 et de même lim 1 0
.P
.P 1
.P .P /P
Donc la droite ' d’équation ( 1 est bien une asymptote oblique à ).
.f
3) Pour étudier la position relative de ) et ', on étudie le signe de 1 soit de .1 .
Le dénominateur est clairement positif donc c’est du signe de 2 4.
Sur :∞; 2:, 2 4 g 0 donc ) est en dessous de '.
Sur 2; ∞, 2 4 ! 0 donc ) est au dessus de '.
4) est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et
3 6 5 1 2 1 3 5 5
* 1f
1T3 6 5 1 2 6 10 10U
1f
3 3 6 6 5 5 2 6 10 10 3 5
1
1
5) 1 est une racine évidente du numérateur donc il existe 3, 4 et 5 avec
3 5 13 4 5
3 5 3 4 3 5 4 5 d’où par identification
31
31
1 4 5
4 3 3"
? 4 4" et donc * h
54 1
1
55
5 5
Pour le signe de 4 5 : Δ 4 donc c’est toujours positif.
1
4 5
1
* ∞
Variation de 1
∞
∞
0
1
0
∞
0
7
2
∞
∞
Exercice 2
1) est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et
22 3 2 [ 4 6 2 2 3
* 2 3
2 3
2 3
L’équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse 1 est ( * 1 1 1 soit
( 4 1 1 ou encore ( 4 3
2) La tangente à la courbe de au point d’abscisse 3 est parallèle à , si elle a le même coefficient directeur , à
savoir 4. On doit donc résoudre * 4 dans $1,5%.
22 3
4 ? 4 6 44 12 9 ? 20 56 36 0
* 4 ?
2 3
? 5 14 9 0
f.f
f/
Δ 16 donc il y a deux solutions 1,8 et 1
Donc il existe bien une autre tangente à la courbe de parallèle à ,. Il s’agit de la tangente au point d’abscisse 1,8.
9 - 0
9
81 5 27
5
1,8 k l [ 9
5
5
2 [ 3 25 3
5
m o
m
o
p
L’équation de la tangente au point -n ; n 0 est ( 4 - n0 n soit ( 4 n .
Exercice 3
est la composée d’une fonction rationnelle définie sur $2% et de la fonction cube définie et dérivable sur donc est dérivable sur $2% et
4
2 12 2
* k
l
[
3
k
l
0
2
2f
2
Pour les limites, on utilise la limites des fonctions composées… Voici le détail pour la limite en ∞ :
2
lim
lim 1 et lim 1 donc par composition lim 1
.P 2
.P .P
* ∞
2
1
∞
∞
∞
1
Exercice 4
Ensemble de définition : on résout 4 3 ! 0 et donc 'A :∞; 1: a 3; ∞.
Ensemble de dérivabilité : la fonction √ 4 3 est la composée d’une fonction polynôme dérivable sur et strictement positive sur :∞; 1 a :3; ∞ et de la fonction racine carré dérivable sur :0; ∞ . La fonction est
le produit de cette fonction dérivable sur :∞; 1 a :3; ∞ et de la fonction dérivable sur donc est
dérivable sur :∞; 1 a :3; ∞ et
1
2 6 3
* D 4 3 [ 2 4 [
2√ 4 3 √ 4 3
Le dénominateur est strictement positif donc * est du signe de 2 6 3 : Δ 12 donc * est du signe
de 3 2 sauf entre les racines p.√
f
.√
et /√
∞
* Variations de lim 4 3 .P
∞
3 √3
2
0
q 0,63
1
3
3 √3
2
0
0
∞
lim ∞ et lim √ ∞ donc par composition lim D 4 3 ∞
.P
.P
.P
Par produit avec lim ∞,on trouve lim ∞
.P
∞
De la même manière, lim ∞
/P
.P
Exercice 5
Ensemble de définition : on doit avoir 1 ! 0 et C 0 autrement dit u :∞; 1: a 1; ∞
Ensemble de dérivabilité : on doit avoir 1 > 0 autrement dit u :∞; 1 a :1; ∞
Dérivation : est de la forme w avec x 1 dérivable et strictement positive sur 'Ay et z dérivable
aussi sur 'Ay donc est dérivable sur 'Ay et
x* [ z z * Dx
√ 1
1
1
1
2Dx
√
* √ 1
√ 1
TzU
√v
{ est strictement positive clairement donc est strictement croissante sur chaque intervalle où elle est définit.
Limite en ∞ : pour > 0 \
1
1
√ 1 E -1 0 ||E1 1
Q1 car > 0 donc || 1
lim
0 donc lim 1
.P .P
Limite en ∞ :pour 0, c’est la même démarche mais || donc
Q1 1
donc
* Variations de Exercice 6
1) En ∞ \
lim 1
/P
∞
1
1
0
1
0
∞
1
lim ∞

" lim 8 lim ∞
et par addition lim ∞
/P
/P
"
/P
| donc par composition lim D 8 ∞~
/P
lim √ ∞
}
.P
/P
En ∞ : il s’agit d’une forme indéterminée. On utilise l’expression conjuguée pour trouver , pour assez grand,
8
et donc lim D 8 ∞ et lim 0
.P
.P
8
√
2) est la somme d’une fonction affine dérivable sur et d’une fonction de la forme √x avec x 8
dérivable et strictement positive sur donc est dérivable sur et
2
√ 8
* 1 2√ 8
√ 8
Or, pour tout réel , 8 > et comme la fonction racine carrée est croissante sur 0; ∞, √ 8 > √ et de plus √ || ! donc √ 8 ! et √ 8 g 0
Donc * est négative sur et est strictement décroissante.
∞
Variations de ∞
∞
0
3) Grâce à la limite en ∞, on peut dire que la courbe de a une asymptote horizontale d’équation ( 0 en
∞. En ∞ :
8
2 D 8 2 D 8 √ 8
lim D 8 ∞ donc lim 2 0
/P
/P
La droite d’équation ( 2 est donc bien une asymptote à la courbe de en ∞.
Partie C : Trouver la fonction
Exercice 1
La tangente en 70; 1 a pour équation ( 1 donc la courbe de passe par le point 7 et 0 1 et par ailleurs le
coefficient directeur de la tangente est nul donc * 0 0.
La tangente au point 91; 4 à la courbe de a pour équation ( 12 8 donc la courbe de passe par 9 et
1 4 et le coefficient directeur est alors de 12 donc * 1 12.
Ceci nous donne quatre conditions. Il ne reste plus qu’à écrire les relations sur 3, 4, 5 et 6 que cela donne.
est un polynôme donc est dérivable sur et * 33 24 5.
0 1
61
61
61
61
‚ *
0 0 "
50
50
50 "
50 "
"
"
?h
?h
?h
?h
1
4
3
4
5
6
4
3
4
5
4
3
5
4
3

33 24 5 12
33 24 12
32
32
€ * 1 12
Donc 2 3 1.
Exercice 2
1) D’après le tableau de variations, la limite de en 2 est égale à ∞ ce qui signifie que la droite d’équation
2 est une asymptote verticale à la courbe de . Ceci indique que 2 est une valeur interdite, autrement dit
que 2 6 0 donc 6 2.
2) La courbe de passe par 71; 6 donc 1 6.
D’après le tableau de variation 0 5 et * 0 0.
Calculons la dérivée de qui est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition :
5
* 3 2
Les trois conditions donnent :
5
5
5 5 6
3 4 5 6
‚
‚
2
1 6
54
„ 4
„ 45 5
5
"?
" ? 4 3 "
4 5
ƒ 0 5 " ?
2
2
5


31
* 0 0
5
„ 3 0
„
3
4
€
€
4
f
Donc 3 .
3) On considère la droite ' d’équation ( 3. Alors
4
3 donc lim 3 0
.P
2
Ceci montre que la droite ' est une asymptote oblique à la courbe de en ∞.
f
Pour étudier la position relative de ' et ), on étudie le signe de 3 autrement dit de
or sur
.
:2; ∞, 2 est positif et donc
Exercice 3
continue en 1 signifie que
f
.
également. Ceci indique que ) est au dessus de '.
lim 1
Or 1 4 1. En utilisant la limite à gauche, on trouve 3 1 4 1 ou encore 3 4 2
dérivable en 1 signifie que la dérivée à droite et à gauche de sont égales.
23 6 si 1
"
* 4
1 si ! 1
En 1, on a donc 23 6 4 1. On a donc :
3 42
3 42
"?…
" ? …3 3"
…
23 6 4 1
24 4 6 4 1
4 1
Or,
Partie D : Fonctions et paramètres
Exercice 1
1) En 2 :
<
∞ si < > 0"
…
donc par addition lim 0
2
∞ si < 0
lim 5 7 et lim
H
H
Ceci montre que la droite d’équation 2 est une asymptote verticale à la courbe )= pour tout réel <.
De plus :
<
<
et lim
0
5 .P 2
2
Donc la droite ' d’équation ( 5 est une asymptote oblique à la courbe )= en ∞.
2) = est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et
2 <
<
=* 1 2
2
Le dénominateur est clairement positif donc =* est du signe de 2 <.
2 < > 0 ? 2 > <
Si < 0, cette inéquation admet comme solution et donc =* est strictement positif donc = est strictement
croissante.
∞
2
∞
* =
∞
∞
=
∞
∞
Si < > 0, alors on utilise la fonction racine carrée qui est strictement croissante sur 0; ∞
2 < > 0 ? 2 √< > 0 ? T 2 √<UT 2 √<U > 0
On construit un tableau de signe :
∞
2
2 √<
* =
0
∞
=
∞
∞
2 √<
0
∞
∞