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Étude de fonctions
Études de fonctions Études de fonctions Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 Études de fonctions 1 Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = exp(tan x). cos x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x >0 1−x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 1−x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x 1−x 2 1.2 f (−x) = (x − 1) ln 1+x = −f (x) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x 1−x 2 1.2 f (−x) = (x − 1) ln 1+x = −f (x) La fonction est impaire, l’étude sur [0 , 1[ suffit. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x 1−x 2 1.2 f (−x) = (x − 1) ln 1+x = −f (x) La fonction est impaire, l’étude sur [0 , 1[ suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim f (x) x→1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x 1−x 2 1.2 f (−x) = (x − 1) ln 1+x = −f (x) La fonction est impaire, l’étude sur [0 , 1[ suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim f (x) x→1 É f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x 1−x 2 1.2 f (−x) = (x − 1) ln 1+x = −f (x) La fonction est impaire, l’étude sur [0 , 1[ suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim f (x) x→1 É É f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) lim u ln(u) = 0 ⇒ lim (x − 1) ln(1 − x) = 0 u→0 Paris Descartes x→1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x 1−x 2 1.2 f (−x) = (x − 1) ln 1+x = −f (x) La fonction est impaire, l’étude sur [0 , 1[ suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim f (x) x→1 É É f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) lim u ln(u) = 0 ⇒ lim (x − 1) ln(1 − x) = 0 u→0 É x→1 lim f (x) = 0 x→1 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction logarithme est définie pour x > 0. Il faut que : 1+x > 0 ⇔ (1 + x)(1 − x) > 0 ⇔ x ∈] − 1 , 1[ 1−x 1−x 2 1.2 f (−x) = (x − 1) ln 1+x = −f (x) La fonction est impaire, l’étude sur [0 , 1[ suffit. 1.3 limites aux bornes, calcul de : lim f (x) x→1 É É f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) lim u ln(u) = 0 ⇒ lim (x − 1) ln(1 − x) = 0 u→0 É x→1 lim f (x) = 0 x→1 On étudiera f sur [0 , 1] en posant f (1) = 0 et on complètera par symétrie par rapport à (0 , 0) (fonction impaire). Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 2. La dérivée : Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 2. La dérivée : 2 2 x −1 − 2x ln(1 − x) + (−1) f (x) = 2x ln(1 + x) + 1+x 1−x 0 Paris Descartes x −1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 2. La dérivée : 2 2 x −1 − 2x ln(1 − x) + (−1) f (x) = 2x ln(1 + x) + 1+x 1−x 1 + x = 2x ln −2 1−x 0 Paris Descartes x −1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 2. La dérivée : 2 2 x −1 − 2x ln(1 − x) + (−1) f (x) = 2x ln(1 + x) + 1+x 1−x 1 + x = 2x ln −2 1−x 1 + x 1 = 2x ln − 1−x x 0 Paris Descartes x −1 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 2. La dérivée : 2 2 x −1 − 2x ln(1 − x) + (−1) f (x) = 2x ln(1 + x) + 1+x 1−x 1 + x = 2x ln −2 1−x 1 + x 1 = 2x ln − 1−x x x −1 0 0 Sur ]0 , 1[, f (x) est donc du signe de g(x) = ln Paris Descartes 2012 — 2013 1+x 1−x − 1 x Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Étude du signe de : 1 + x 1 g(x) = ln − 1−x x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Étude du signe de : 1 + x 1 1 g(x) = ln − = ln(1 + x) − ln(1 − x) − x 1−x x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Étude du signe de : 1 + x 1 1 g(x) = ln − = ln(1 + x) − ln(1 − x) − x 1−x x 0 g (x) = = 1 1+x + 1+x 2 1 1−x + 1 x 2 2 2 x (1 − x ) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Étude du signe de : 1 + x 1 1 g(x) = ln − = ln(1 + x) − ln(1 − x) − x 1−x x 0 g (x) = = 1 1+x + 1+x 2 1 1−x + 1 x 2 2 2 x (1 − x ) g est donc strictement croissante sur ]0 , 1[. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Étude du signe de : 1 + x 1 1 g(x) = ln − = ln(1 + x) − ln(1 − x) − x 1−x x 0 g (x) = = 1 1+x + 1+x 1 1−x + 1 x 2 2 2 2 x (1 − x ) g est donc strictement croissante sur ]0 , 1[. lim+ g(x) = −∞ et lim g(x) = +∞ x→0 x→1 Paris Descartes − 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Étude du signe de : 1 + x 1 1 g(x) = ln − = ln(1 + x) − ln(1 − x) − x 1−x x 0 g (x) = = 1 1+x + 1+x 2 1 1−x + 1 x 2 2 2 x (1 − x ) g est donc strictement croissante sur ]0 , 1[. lim+ g(x) = −∞ et lim g(x) = +∞ ⇒ ∃x0 ∈]0 , 1[ : g(x0 ) = 0 x→0 x→1 Paris Descartes − 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 1 + x 1 0 − = 2x g(x) 2. La dérivée f (x) = 2x ln 1−x x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 1 + x 1 0 − = 2x g(x) 2. La dérivée f (x) = 2x ln 1−x x É s’annule donc une seule fois en x0 ∈]0 , 1[ Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 1 + x 1 0 − = 2x g(x) 2. La dérivée f (x) = 2x ln 1−x x É s’annule donc une seule fois en x0 ∈]0 , 1[ É si 0 < x < x0 , Paris Descartes 0 f (x) < 0 et si 2012 — 2013 x0 < x < 1, 0 f (x) > 0 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 1 + x 1 0 − = 2x g(x) 2. La dérivée f (x) = 2x ln 1−x x É s’annule donc une seule fois en x0 ∈]0 , 1[ É si 0 < x < x0 , É 0 f (x) < 0 et si x0 < x < 1, 0 f (x) > 0 On a prolongé par continuité f en 1 : il faut étudier la dérivabilité au point de prolongement : Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x f (x) = (x + 1)(x − 1) ln(1 + x) − (x + 1)(x − 1) ln(1 − x) 1 + x 1 0 − = 2x g(x) 2. La dérivée f (x) = 2x ln 1−x x É s’annule donc une seule fois en x0 ∈]0 , 1[ É si 0 < x < x0 , É 0 f (x) < 0 et si x0 < x < 1, 0 f (x) > 0 On a prolongé par continuité f en 1 : il faut étudier la dérivabilité au point de prolongement : lim x→1 − Paris Descartes f (x) − f (1) x−1 = lim (x + 1) ln(1 + x) − ln(1 − x) = +∞ x→1 − 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x 3. Tableau des variations. x 0 x0 1 0 f (x) −2 − 0 + +∞ f (x) 0 0 & f (x0 ) % Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x y 0 x0 1 x f (x0 ) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x y 0 x0 1 x f (x0 ) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x Études de fonctions 2 f (x) = (x − 1) ln 1+x 1−x y −f (x0 ) 0 −1 −x0 x0 1 x f (x0 ) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. Paris Descartes 2012 — 2013 π 2 + kπ, k ∈ R ; donc Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R ; donc f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. 1.2 f (x + 2π) = exp tan(x + 2π) . cos(x + 2π) = f (x) puisque la tangente est π-périodique et le cosinus 2π-périodique. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R ; donc f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. 1.2 f (x + 2π) = exp tan(x + 2π) . cos(x + 2π) = f (x) puisque la tangente est π-périodique et le cosinus 2π-périodique. On fera l’étude sur : ] − Paris Descartes π 2 , 3π [ 2 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R ; donc f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. 1.2 f (x + 2π) = exp tan(x + 2π) . cos(x + 2π) = f (x) puisque la tangente est π-périodique et le cosinus 2π-périodique. On fera l’étude sur : ] − π 2 , 3π [ 2 De plus : f (x + π) = −f (x) : on fera l’étude sur ] − π2 , π2 [ et on complètera par une symétrie par rapport au point : ( π2 , 0) Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R ; donc f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. 1.2 f (x + 2π) = exp tan(x + 2π) . cos(x + 2π) = f (x) puisque la tangente est π-périodique et le cosinus 2π-périodique. On fera l’étude sur : ] − π 2 , 3π [ 2 De plus : f (x + π) = −f (x) : on fera l’étude sur ] − π2 , π2 [ et on complètera par une symétrie par rapport au point : ( π2 , 0) 1.3 limites aux bornes : Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R ; donc f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. 1.2 f (x + 2π) = exp tan(x + 2π) . cos(x + 2π) = f (x) puisque la tangente est π-périodique et le cosinus 2π-périodique. On fera l’étude sur : ] − π 2 , 3π [ 2 De plus : f (x + π) = −f (x) : on fera l’étude sur ] − π2 , π2 [ et on complètera par une symétrie par rapport au point : ( π2 , 0) 1.3 limites aux bornes : É lim + tan x = −∞ ⇒ x→− π2 Paris Descartes lim + f (x) = 0 x→− π2 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R ; donc f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. 1.2 f (x + 2π) = exp tan(x + 2π) . cos(x + 2π) = f (x) puisque la tangente est π-périodique et le cosinus 2π-périodique. On fera l’étude sur : ] − π 2 , 3π [ 2 De plus : f (x + π) = −f (x) : on fera l’étude sur ] − π2 , π2 [ et on complètera par une symétrie par rapport au point : ( π2 , 0) 1.3 limites aux bornes : É lim + tan x = −∞ ⇒ x→− π2 É lim tan x = +∞ ⇒ x→ π2 Paris Descartes − lim + f (x) = 0 x→− π2 lim f (x) = +∞ x→ π2 − 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 1. Domaine de définition et domaine d’étude : 1.1 la fonction tangente n’est définie que pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R ; donc f est définie pour x 6= π2 + kπ, k ∈ R. 1.2 f (x + 2π) = exp tan(x + 2π) . cos(x + 2π) = f (x) puisque la tangente est π-périodique et le cosinus 2π-périodique. On fera l’étude sur : ] − π 2 , 3π [ 2 De plus : f (x + π) = −f (x) : on fera l’étude sur ] − π2 , π2 [ et on complètera par une symétrie par rapport au point : ( π2 , 0) 1.3 limites aux bornes : É lim + tan x = −∞ ⇒ x→− π2 É lim tan x = +∞ ⇒ x→ π2 − lim + f (x) = 0 x→− π2 lim f (x) = +∞ x→ π2 − On prolongera f par continuité en − π2 en posant : f (− π2 ) = 0. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée : Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée : 0 f (x) = exp(tan x) 2 cos x Paris Descartes cos x + exp(tan x).(− sin x) 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée : 0 f (x) = exp(tan x) 2 cos x = exp(tan x) Paris Descartes cos x + exp(tan x).(− sin x) 1 − cos x. sin x cos x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée : 0 f (x) = exp(tan x) 2 cos x = exp(tan x) = exp(tan x) Paris Descartes cos x + exp(tan x).(− sin x) 1 − cos x. sin x cos x 2 − sin 2x 2 cos x 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée : 0 f (x) = exp(tan x) 2 cos x = exp(tan x) = exp(tan x) cos x + exp(tan x).(− sin x) 1 − cos x. sin x cos x 2 − sin 2x 2 cos x 0 f (x) est donc du signe de cos x Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée : 0 f (x) = exp(tan x) 2 cos x = exp(tan x) = exp(tan x) cos x + exp(tan x).(− sin x) 1 − cos x. sin x cos x 2 − sin 2x 2 cos x 0 f (x) est donc du signe de cos x : sur ] − Paris Descartes 2012 — 2013 π 2 , π2 [, 0 f (x) > 0 ; Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée : 0 f (x) = exp(tan x) 2 cos x = exp(tan x) = exp(tan x) cos x + exp(tan x).(− sin x) 1 − cos x. sin x cos x 2 − sin 2x 2 cos x 0 f (x) est donc du signe de cos x : sur ] − π 2 , π2 [, 0 f (x) > 0 ; f est donc strictement croissante. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée É On a prolongé par continuité f en − π2 ; étude de la dérivabilité en − π2 : Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée É On a prolongé par continuité f en − π2 ; étude de la dérivabilité en − π2 : π f (x) − f (− π2 ) cos x 0 f (− ) = lim = lim exp(tan x) π + + 2 x − (− 2 ) x + π2 x→− π2 x→− π2 Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée É On a prolongé par continuité f en − π2 ; étude de la dérivabilité en − π2 : π f (x) − f (− π2 ) cos x 0 f (− ) = lim = lim exp(tan x) π + + 2 x − (− 2 ) x + π2 x→− π2 x→− π2 lim exp(tan x) = 0 + x→− π2 Paris Descartes lim + x→− π2 2012 — 2013 cos x x+ π 2 π = − sin − =1 2 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 2. La dérivée É On a prolongé par continuité f en − π2 ; étude de la dérivabilité en − π2 : π f (x) − f (− π2 ) cos x 0 f (− ) = lim = lim exp(tan x) π + + 2 x − (− 2 ) x + π2 x→− π2 x→− π2 lim exp(tan x) = 0 + x→− π2 lim + x→− π2 cos x x+ π 2 π = − sin − =1 2 La tangente en (− π2 , 0) est donc horizontale. Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x 3. Tableau des variations. x 0 π 2 − π2 f (x) 0 + +∞ f (x) 0 % Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x y 1 − π2 Paris Descartes π 2 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x y 1 − π2 Paris Descartes π 2 2012 — 2013 x Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x y 1 − π2 Paris Descartes π 2 2012 — 2013 3π 2 x Mathématiques et calcul 1 f (x) = exp(tan x). cos x Études de fonctions f (x) = exp(tan x). cos x y 1 − 5π 2 − 3π 2 Paris Descartes − π2 π 2 2012 — 2013 3π 2 5π 2 7π 2 x Mathématiques et calcul 1
