fonctions hyperboliques : ch, sh, th, argch

FONCTIONS HYPERBOLIQUES : CH, SH, TH, ARGCH,…..
I. FONCTIONS HYPERBOLIQUES DIRECTES
1. Fonctions ch et sh
Les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sont définies sur
chx =
par :
e x + e− x
e x − e− x
et shx =
2
2
ch 2 x − sh 2 x = 1
On en déduit que chx + shx = e x et chx − shx = e − x d’où en multipliant
De par leur définition et les propriétés de la fonction exponentielle, ces deux fonctions sont continues et dérivables
sur .
11. Fonction ch
La fonction ch est paire. Il suffit donc de l’étudier sur [ 0; +∞[ . La courbe est symétrique par rapport à (Oy)
∀x ∈ , ch′x = shx
On en déduit que ch′x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 , ch est strictement
croissante sur [ 0; +∞[ .
+∞
0
x
−x
e −e
≥ 0 donc shx ≥ 0 ⇔ e x ≥ e− x donc ch’x
2
2x
shx ≥ 0 ⇔ e ≥ 1
shx ≥ 0 ⇔
x
0
+
+∞
ch
1
ch ' x = 0 ⇔ e2 x = 1 donc la seule tangente horizontale pour la courbe de ch est au point (0 ;1)
chx − ch0
= 0 et donc
x →0
x−0
ch′0 = sh0 = 0 ⇒ lim
lim
x →0
chx − 1
=0
x
e x + e− x e x
chx =
= (1 + e−2 x ) donc lim chx = +∞ et
x →+∞
2
2
x
x
e
e
chx = (1 + e−2 x ) = (1 + ϕ ( x)) avec lim ϕ ( x) = 0
x →+∞
2
2
1 x
e
+∞ 2
donc chx ∼
La courbe de la fonction ch est appelée une chaînette.
1
y = chx
1
y = ex
2
12. Fonction sh
shx =
e x − e− x
, la fonction sh est donc impaire. Il suffit de l’étudier sur [ 0; +∞[ . La courbe est symétrique par
2
rapport à O
∀x ∈ , sh′x = chx
Or ∀x ∈ , chx ≥ 1 donc ∀x ∈ , sh ' x > 0
sh est donc strictement croissante sur [ 0; +∞[ .
shx ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
x
0
sh’x
1
+∞
+
+∞
shx
=1
sh′0 = ch0 = 1 ⇒ lim
x →0 x
sh
0
e x − e− x e x
= (1 − e−2 x ) donc lim shx = +∞ et
x →+∞
2
2
x
x
e
e
shx = (1 − e−2 x ) = (1 + ϕ ( x)) avec lim ϕ ( x) = 0
x →+∞
2
2
y=
shx =
1 x
e
+∞ 2
1
y = ex
2
donc shx ∼
y = shx
y = shx
2. Fonction tangente hyperbolique th
thx =
shx e x − e− x e2 x − 1 1 − e−2 x
=
=
=
chx e x + e− x e2 x + 1 1 + e−2 x
La fonction tangente hyperbolique est définie, continue et dérivable sur
Elle est impaire donc sa courbe est symétrique par rapport à O.
∀x ∈ , th '( x) = 1 − th 2 x =
.
1
>0
ch 2 x
th est donc strictement croissante sur [ 0; +∞[ .
x
0
shx ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
1 − e−2 x
⇒ lim thx = 1
thx =
x →+∞
1 + e−2 x
th’x
1
+∞
+
1
th
0
2
1 x
e
2
La courbe admet les asymptotes d’équation y=1 et
y= -1
y = thx
thx
=1
th′0 = 1 ⇒ lim
x →0 x
I. FONCTIONS HYPERBOLIQUES INDIRECTES
1. Fonction Argch : argument cosinus hyperbolique
La fonction ch établit une bijection de [ 0; +∞[ vers [1; +∞[ . La bijection réciproque est appelée fonction argch :
argument cosinus hyperbolique. C’est donc une bijection de [1; +∞[ vers [ 0; +∞[
Et on a : ∀x ∈[1; +∞[ , ∀y ∈[ 0; +∞[
y = Argchx ⇔ x = chy
D’où par exemple : ch0 = 1 ⇒ Argch1 = 0
Argch est continue et dérivable sur ]1; +∞[ et,
∀x ∈]1; +∞[ Argch′x =
1
x2 −1
x
+∞
Argch’x
>0
+∞
1
+
+∞
Argch est donc strictement croissante sur ]1; +∞[ .
Argch
0
y=x
y = chx
y = Argchx
On peut montrer que :
∀x ∈ 1; +∞  Argch ( x ) = Ln( x + x 2 − 1
3
2. Fonction Argsh : argument sinus hyperbolique
. La bijection réciproque est appelée fonction Argsh : argument
La fonction sh établit une bijection de vers
sinus hyperbolique. C’est donc une bijection de vers .
sh est impaire donc Argsh est aussi impaire
y = Argshx ⇔ x = shy
Et on a : ∀x ∈ , ∀y ∈
D’où par exemple : sh0 = 0 ⇒ Argsh0 = 0
Argsh est continue et dérivable sur
Argsh′x =
1
x2 + 1
et ∀x ∈
,
x
0
Argsh’x
1
+∞
+
+∞
>0
Argsh
0
Argsh est donc strictement croissante sur
.
On peut montrer que :
∀x ∈
y=x
Argshx = Ln( x + x 2 + 1)
y = Argshx
y = shx
3. Fonction Argth : argument tangente hyperbolique
La fonction th établit une bijection de
vers ]−1;1[ . La bijection réciproque est appelée fonction Argth :
argument tangente hyperbolique. C’est donc une bijection de ]−1;1[ vers
.
th est impaire donc Argth est aussi impaire
y = Argthx ⇔ x = thy
Et on a : ∀x ∈]−1;1[ , ∀y ∈
D’où par exemple : th0 = 0 ⇒ Argth0 = 0
x
Argth est continue et dérivable sur ]−1;1[
et ∀x ∈ ]−1;1[ ,
Argth′x =
1
+
Argth’x
+∞
1
>0
1 − x2
Argth est donc strictement croissante sur
-1
Argth
.
−∞
y = Argthx
4
y=x
On peut montrer que :
∀x ∈
1
2
y = thx
1+ x
)
1− x
Argthx = Ln(
5