Fonctions hyperboliques

I.U.T. de Brest
Département GMP
Fondamentaux d’analyse (F111)
compléments de cours
Fonctions hyperboliques
1. La fonction cosinus hyperbolique
• La fonction cosinus hyperbolique est définie sur R par
ch x =
ex + e−x
.
2
• Elle est paire : pour tout réel x, ch(−x) = ch x. La courbe représentative de ch admet l’axe des
ordonnées comme axe de symétrie, et l’étude de la fonction est ramenée sur l’intervalle [0; +∞[.
• 0n a ch(0) = 1 et lim ch x = +∞.
x→+∞
• La dérivée de la fonction cosinus hyperbolique est x 7→ sh x sur R.
• La fonction ch est croissante sur [0; +∞[.
En effet, pour tout x ∈ [0; +∞[, on a −x 6 x, donc e−x 6 ex . Donc ∀x ∈ [0; +∞[, ch0 (x) = sh x > 0.
ex
ex
e−x
• Comme lim (ch x − ) = lim
= 0, la courbe d’équation y =
est asymptote à la courbe
x→+∞
x→+∞ 2
2
2
représentative de ch.
• Tableau de variation sur [0; +∞[ et tracé :
x
0
ch0 (x)
ch
0
1
+∞
+
+∞
%
y = ch x
1
1
0
Remarque. La courbe représentative de la fonction ch sur R décrit une chaı̂nette, c’est-à-dire la forme d’un
câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.
1
2. La fonction sinus hyperbolique
• La fonction sinus hyperbolique est définie sur R par
sh x =
ex − e−x
.
2
• Elle est impaire : pour tout réel x, sh(−x) = − sh x. La courbe représentative de sh admet l’origine
du repère pour centre de symétrie, et l’étude de la fonction est ramenée sur l’intervalle [0; +∞[.
• 0n a sh(0) = 0 et lim sh x = +∞.
x→+∞
• La dérivée de la fonction sinus hyperbolique est x 7→ ch x sur R.
• La fonction sh est croissante
sur R. −x
ex
e
ex
• Comme lim (sh x − ) = lim −
= 0, la courbe d’équation y =
est asymptote à la courbe
x→+∞
x→+∞
2
2
2
représentative de sh.
• Tableau de variation sur [0; +∞[ et tracé :
x
0
sh0 (x)
sh
1
0
+∞
+
+∞
%
y = sh x
1
0
1
Remarque. La fonction sh réalise une bijection de R dans R.
2
3. La fonction tangente hyperbolique
• La fonction tangente hyperbolique est définie sur R par
th x =
ex − e−x
.
ex + e−x
• Elle est impaire : pour tout réel x, th(−x) = − th x. La courbe représentative de th admet l’origine
du repère pour centre de symétrie, et l’étude de la fonction est ramenée sur l’intervalle [0; +∞[.
• 0n a th(0) = 0 et lim th x = 1. En effet, on peut écrire :
x→+∞
ex (1 − e−2x )
1 − e−2x
=
.
ex (1 + e−2x )
1 + e−2x
th x =
Il en résulte que la droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de th.
1
• La dérivée de la fonction tangente hyperbolique est x 7→ 2 , c’est-à-dire encore x 7→ 1 − th2 x,
ch x
sur R.
• La fonction th est croissante sur R.
• On a th0 (0) = 1. La tangente à l’origine à la courbe représentative de th a pour équation y = x.
• Tableau de variation sur [0; +∞[ et tracé :
x
0
+∞
th0 (x)
th
0
+
0
%
1
1
y = th x
0
1
−1
Remarque. La fonction th réalise une bijection de R dans ] − 1; 1[.
3
4. Remarques
Remarque 1. La formule d’Euler s’écrit pour tout réel x : eix = cos x + i sin x, où i est le nombre complexe
ix
−ix
ix
−ix
vérifiant i2 = −1. Il en découle que cos x = e +2e
et que sin x = e −2ie , ce qui est à rapprocher des
définitions ci-dessus.
Remarque 2. De même que les fonctions circulaires cos et sin sont liées au cercle d’équation x 2 + y 2 = 1,
les fonctions hyperboliques ch et sh sont liées à l’hyperbole d’équation x2 − y 2 = 1 (d’où leurs noms).
5. Formulaire
Relations fondamentales
ch x + sh x = ex
ch x − sh x = e−x
ch2 x − sh2 x = 1
1 − th2 x =
1
ch2 x
Formules d’addition (cas particulier)
ch(2x) = ch2 x + sh2 x = 2 ch2 x − 1 = 1 + 2 sh2 x
sh(2x) = 2 sh x ch x
2 th x
th(2x) = 1+th
2
x
Formules d’addition
ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b
sh(a + b) = sh a ch b + sh b ch a
th a+th b
th(a + b) = 1+th
a th b
ch(a − b) = ch a ch b − sh a sh b
sh(a − b) = sh a ch b − sh b ch a
th a−th b
th(a − b) = 1−th
a th b
6. Fonctions hyperboliques réciproques (hors-programme)
Il est possible de procéder comme avec les fonctions trigonométriques et de définir des fonctions réciproques
aux fonctions hyperboliques. En effet, on a vu que :
1. La fonction ch réalise une bijection de [0; +∞[ dans [1; +∞[.
2. La fonction sh réalise une bijection de R dans R.
3. La fonction th réalise une bijection de R dans ] − 1; 1[.
Les fonctions réciproques de ces fonctions sont respectivement les fonctions argument cosinus hyperbolique
notée argch, argument sinus hyperbolique notée argsh et argument tangente hyperbolique notée argth.
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