La formule de Taylor et les développements limités

La formule de Taylor et les développements
limités
I) La formule
formule de Taylor
1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral
On considère une fonction de classe (c’est-à-dire 1 fois dérivables et à dérivées
continues, en particulier la 1-ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel .
En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe .
On a la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) :
, 2!
!
1
! Ce que l’on écrit habituellement :
1 , !!
! "#
Cette formule se démontre assez facilement par récurrence en utilisant l’intégration par parties.
Pour 0, on doit avoir l’égalité :
# #
1 # 0!
0! Or
# #
1 #
0!
0! La propriété est initialisée.
On suppose qu’elle est vraie à l’ordre et l’on montre qu’elle est alors vraie à l’ordre 1. Ce qui
bien sûr suppose implicitement que la fonction soit de classe .
On a
, "#
1 ! !!
On procède à une intégration par parties dans l’intégrale (les conditions d’une telle intégration étant
vérifiées évidemment).
On pose
& donc & + donc + 1
Ce qui donne
1
- ,
1 1
1 1
/
.
!!
1
1 !
On en déduit facilement que :
"#
"#
"#
1
1 1
1
1! 1!
!!
1
1! !!
Ce qui montre bien l’hérédité.
2.2) Majoration du reste
Le reste intégral est très précis mais n’est pas très pratique quand il s’agit d'en estimer la valeur ou du
moins d'en connaître un majorant.
On a pour tout compris entre et ,
0 1 1
On se place dans le cas où 0 .
On a alors 2 0 et donc 2 0.
La fonction 1
0 1 1
1 étant continue sur tout intervalle 3, 4 de , elle est bornée et atteint ses bornes.
Il existe donc un nombre 5 de 3, 4 tel que 3, 4, 1 1 0 1 51.
On a donc
Or
On a enfin
Et donc
On a en valeur absolue
1 1 0 1 51 ,
- 1 1
1 1 1
51
1
0 1
! !
1
1 1 1 0 1 51
1!
! 6 "#
6 0 61 51
6
1!
!!
On présente souvent cette écriture sous d'autres formes. Posons tout d'abord 7. On a :
7 7 51
67 6 0 61
6
1!
!!
Or
8
Posons
"#
5
7 1 51|7 |
8
1!
1!
: sup 1 1
3,>4
On a donc
On a en définitive
8 5
Et donc
67 "#
On pose souvent
1 51 0 :
7 :|7 |
80
1!
1!
7 :|7 |
6 0
1!
!!
7 ?
On en déduit que
6 ? Dans le cas particulier où 0, on a :
"#
6? "#
? :|?|
6 0
1!
!!
? :|?|
06 0
1!
!!
On démontre et nous admettrons ici que ces formules restent vraies si 0 (on peut procéder par
changement de variable par exemple).
II) Développements limités
Considérons une fonction dérivable au voisinage d'un point (c'est-à-dire dans un intervalle ouvert
contenant ).
On sait que
lim
C
Appelons ε la fonction défini dans un voisinage de 0 par :
D D'après le calcul précédent, on a
lim D 0
2.1) Position du problème
Or on peut écrire :
Et donc
C
D D avec lim D 0
C
Cette formule est vraie pour toute fonction dérivable au voisinage d'un point .
Comparons-la avec la formule de Taylor quand 1 (en supposant évidemment que la fonction est
maintenant de classe H
"#
1 !!
1! I II
Nous retrouvons en partie l'écriture précédente.
Nous avons vu également que
| | 0 6| 5|
6
2!
Or 5 3, 4, et la fonction est continue, donc quand tend vers , 5 tend aussi vers et 5 tend
vers . On a donc
lim 6| 5|
60
C
2!
Et donc
lim 0
C
Ce que nous savions.
Mais on peut faire un peu mieux en divisant les deux membres par | |:
5| 8
8|
2!
| |
0
| |
| |
Le quotient de valeurs absolues est égal à la valeur absolue du quotient :
|K|
K
M M
|L|
L
Donc
| 5|
2! N
80N
8
Et donc
Cette fois-ci, on a
Et donc
Si l'on pose
On retrouve bien
8
8 0 8| 5|
8
2!
lim O 5
C
O0
2!
0
C
lim
D D avec lim D 0
C
Si maintenant la fonction est de classe P , on a par la formule de Taylor :
"#
1 P !!
2! On a aussi
1 P 2!
2! 8 . On a comme dans le calcul précédent :
8 . | |
Ce qui donne
N
N
P
/8 0 61 P 5 1
6
2!
3!
/8
2!
. Or
/
2!
lim 81 P 5 1
C
Donc
lim
80
3!
. Posons
C
On a
D lim D 0
P
8
3!
| |
N 0 81 P 5 1 8
N
3!
/
2!
. C
0
81 P 5 1
0
/
2!
D avec lim D 0
C
2!
La formule de Taylor a permis de généraliser la formule obtenue par la dérivée : nous avions au
départ un polynôme de degré 1 en . Nous avons obtenu par l'application de la formule de Taylor à
l'ordre 2, un polynôme de degré 2 en .
Nous pouvons maintenant donner la définition générale d'un développement limité.
On a donc :
Soit un nombre réel, et une fonction définie dans un voisinage de .
On dit que admet un développement limité d’ordre RS en pour signifier qu’il existe
un polynôme T de degré et une fonction D de limite nulle quand tend vers tels que
T D
2.2) Développement limité
La définition implique que si admet un développement limité d’ordre , elle admet un
développement limité d’ordre inférieur à .
Le polynôme T est de degré H il appartient donc à U 3V4.
U 3V4 est un espace vectoriel de dimension 1.
La famille de polynômes T définis par T pour 0 0 ! 0 est une famille libre de
U 3V4.
Considérons 1 réels : # , , … , tels que U H
# 0
Posons X .
On a
# # X X Si U, # 0, alors X U,
# X X 0
Nous avons dit qu’un polynôme de degré quand il n’est pas nul ne peut prendre la valeur 0 que pour
au plus nombres réels. Ici, ce polynôme prendrait la valeur 0 pour une infinité de réels : il est donc
nul et donc
# 0
La famille Y1, , … , étant libre, comme elle contient 1 vecteurs dans un espace de
dimension 1, c’est une base de cet espace.
Tout polynôme de U 3V4 peut donc s’écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette
famille.
Pour le polynôme T du développement limité de , c’est le cas.
On a donc
T Z# Z Z D
Considérons un nombre K inférieur à .
On a
T Z# Z[ [ Z[ [ Z D Z# Z[ [ [ Z[ Z \[ \[ D Posons
On a
Et l’on a
D Z[ Z \[ \[ D
lim D 0
C
Z# Z[ [ [ D avec lim D 0
C
Ce qui donne un développement limité de la fonction au voisinage de à l’ordre K.
En pratique dans un développement limité, seul le polynôme est connu, la fonction D étant en général
inconnue, seule son existence est connue.
2.3) Unicité d’un développement limité à un ordre donné
Un théorème important est qu’un développement limité d’un ordre donné est unique.
Pour le démontrer, procédons de la façon suivante :
supposons que la fonction admettent deux développements limités d’ordre au voisinage de H
T D avec lim D 0
C
] D avec lim D 0
C
On a donc pour tout (
étant un intervalle ouvert contenant .
T ] ^D D _
S
Comme T U 3V4 et ] U 3V4, T ] U 3V4.
On peut écrire T ] dans la base T #a a .
On a
T ] # Pour b , l’égalité (*) devient :
#
D D Posons
1
c
On a alors
# X . D D Quand tend vers , X tend vers l’infini.
On a donc
# X . ~# X Si # b 0, on a
lim # X ∞
C
lim T ] ∞
Donc
C
lim D D 0
Or
Il y a contradiction : donc # 0.
On a donc
C
T ] X \ X\ ~ X \
On a toujours à l’infini
Et si b 0,
lim X \ ∞
fC
Comme précédemment, on en déduit que 0.
Ainsi, de proche en proche, on démontre que tous les coefficients sont nuls et donc que le polynôme
T ] est le polynôme nul.
On a donc
^D D _ 0, On en déduit que la fonction D D est la fonction nulle sur (on peut éventuellement la prolonger
par continuité en .
Ce résultat signifie que si l’on trouve un moyen d’obtenir un développement limité, le polynôme
obtenu est « le bon ».
Or la formule de Taylor nous fournit pour une fonction possédant des propriétés de dérivabilité
suffisante un tel développement limité.
En effet nous avons vu que
51
6 6 0 61
6
1!
!!
"#
Quand tend vers la limite du terme de droite est nulle quand tend vers .
Mieux que cela, on peut écrire pour b ,
∑"#
!!
8
N
N 0 81 51
1!
La limite du terme de droite reste nulle quand tend vers .
On en déduit que celle du terme de gauche l’est aussi et donc que l’on peut écrire
∑"#
!!
D
Avec
lim D 0
Ou encore que
"#
C
D
!!
On obtient donc un développement limité d’ordre au voisinage de .
La formule de Taylor apparaîtra ainsi comme un véritable constructeur de développements limités.
2.4) Cas particulier
Les développements limités permettent de « remplacer » des fonctions au voisinage d’un réel par une
fonction plus simple : un polynôme. Cela peut être très efficace dans le calcul des limites.
Mais pour calculer la limite en une valeur , on peut se ramener souvent au cas où 0 par un
changement de variable X .
D’où l’idée de privilégier les développements limités en 0.
La formule de Taylor en 0 donne pour une fonction de classe au voisinage de 0 :
"#
0 D avec lim D 0
C#
!!
Cela va fournir les principaux développements limités classiques.
Per exemple si h , alors , h^ et donc 0 h # 1, donc
On a donc
h "#
D avec lim D 0
C#
!!
jk l k km kn
ko
ko pk
m! n!
o!
En pratique la question est donc de connaître la dérivée n-ième d’une fonction : cela se fait assez
souvent par récurrence.
Et cela recommence.
2.5) D’autres façons d’obtenir des développements
développements limités
Certains développements limités sont plus faciles à obtenir qu’en utilisant le passage par ce
« constructeur » qu’est la formule de Taylor.
Bien entendu, le développement limité d’un polynôme à un ordre donné est ce polynôme ou un
morceau de ce polynôme (tous les termes dont le degré est inférieur ou égal à l’ordre choisi).
Per exemple, si
T 5 r s P 3 1
T 1 3 P s 5 r D
pour tout 2 5, avec D 0.
Et l’on a par exemple
T 1 3 D
Avec
D 5 P
On a
Il y a d’autres situations simples comme la recherche du développement limité à l’ordre de \.
1 1
On a en effet
"#
Donc
On a bien
1
1
1
1
"#
"#
0
C# 1 lim
On pose
Et l’on a bien
D o
1
l
kt ko pk l k km ko ko pk
lk
t"u
1
3 ln1 4# ln 1 # 1
Nous admettrons le théorème suivant :
Si la fonction admet un développement limité d’ordre au voisinage de 0, alors la fonction v
définie par :
Nous avons de plus
v #
admet un développement limité d’ordre 1 donné en intégrant terme à terme le
développement limité de la fonction .
On a donc ici :
Et donc
ln1 ol
"
wxl k t"l
D avec lim D 0
C#
!
kt
kol pm k avec D D t
2.6) Un autre théorème bien utile
On peut composer des développements limités de même ordre sous certaines conditions :
Si une fonction admet un développement limité d’ordre au voisinage de 0 de la forme
T D
Et si la fonction & admet également un développement limité d’ordre au voisinage de 0 de la
forme
& ] D Si de plus
yz{ & 0
C#
Alors la fonction ^&_ admet un développement limité d’ordre au voisinage de 0 que l’on
obtient en remplaçant par ] dans le polynôme T et en ne conservant que les termes
de degré inférieurs ou égaux à .
Un cas d’application simple est celui où l’on transforme en – .
La fonction } étant une fonction polynôme du premier degré, elle est son propre
développement limité au voisinage de 0 à n’importe quel ordre supérieur ou égal à 1.
Or
lim 0
C#
D !!
On a donc en application du théorème :
h
On a également
Donc
Ou encore
Soit
\
"#
1
1 P
D
2
6
!
1
1
D 1 D
1 1 "#
"#
l
l k km kn lo ko ko pk
lk
1 ln1 ln^1 _ D D !
!
wxl k k "
"
lol ko
km kn
ko pk
m
n
o
On peut prendre des exemples plus compliqués comme la recherche d’un développement limité
d’ordre 3 au voisinage de 0 de ln1 .
On a
lim 0
C#
s 
P D P D
2
3
On ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à 3.
Donc
ln1 2.7) D’autres opérations sur les développements limités
On peut additionner, soustraire, multiplier des développements limités de même ordre à condition de
ne conserver que les termes de degré inférieur ou égal à l’ordre commun.
La division est également possible, mais sous une forme particulière : la division selon les puissances
croissantes (au lieu de l’habituelle division euclidienne qui est selon les puissances décroissantes).
Par exemple on peut obtenir le développement limité au voisinage de 0 de
suivante :
On a
1
1
0
0 0 P
P
P
0
à l’ordre 3 de la façon
1
1 P
On peut également ajouter, soustraire, multiplier des développements limités de même ordre à
condition de ne conserver que les termes de degré plus petit ou égal à l'ordre commun.
Par exemple pour la multiplication, si l'on veut obtenir le développement limité au voisinage de 0 à
l'ordre 3 de la fonction :
h
1
On écrit
P
h 1 P D 2
6
1
1 P P D 1
On effectue le produit :
P
.1 / 1 P 2
6
On trouve :
P
s r 
1 2 2
3
3
3
6
On a donc
h
P
1 P D
1
2
3
Dans un développement limité d’ordre , le terme principal est le polynôme et le terme
complémentaire est D.
On a
lim D 0
2.8) La notation de Landau
Donc
C#
D lim D 0
C#
C#
lim
Donc D € On écrit souvent un développement limité sous la forme
T € Nous savons que si  € alors ~
On a donc ici
T € ~T
Et donc
~T
Les développements limités fournissent donc des équivalents simples au voisinage de 0.
On aura par exemple
h ~1 2.9) Développements limités et équivalents
Mais comme l’on peut également écrire que
On aura pour 1 H
On en déduit que
Mais tout aussi bien
Et donc
h 1 #
€ 2
!
h 1 €
h 1~
h 1 #
€ 2
h 1 ~
#
2
III) Utilisations des développements limités
3.1) Calcul de limites
En fournissant des équivalents simples, les développements limités permettent de calculer de
nombreuses limites.
Mais le passage par les équivalents est souvent très contraignant. Les développements limités peuvent
être en général plus utilisés plus simplement sous leur forme globale.
Considérons la fonction :
h 1 ln1 On veut étudier la limite de cette fonction en 0.
On vient de voir que
h 1 ~
2
Mais remplacer ln 1 par un équivalent est inutile ici puisque on ne peut pas ajouter deux
équivalents.
Si l'on écrit un développement limité d'ordre 1 de ln1 , on a :
ln1 €
Or est un polynôme de degré 1, égal à son propre développement limité à l'ordre 1. Or on peut
ajouter deux développements limités de même ordre :
ln1 2 €
Donc
On en déduit que
ln1 ~2
‚2ƒ
h 1
~
ln1 2
4
Donc
h 1 0
C# ln1 lim
h 1 C# ln1 La situation est un peu différente. En effet en utilisant les développements limités d'ordre 1, on peut
toujours écrire que
ln1 €
Mais il est impossible d'en déduire autre chose que
ln1 …†‡ 0
C#
Ce qui ne sert à rien en termes d'équivalents.
On doit donc passer à des développements limités d'ordre 2.
Le polynôme } est de degré inférieur à 2 et reste donc égal à son développement limité à l'ordre
2. On a d'autre part :
ln1 € 2
On en déduit que
ln1 € 2
On a donc
‚2ƒ
h 1 ~
1
ln1 ‚ 2 ƒ
Donc
h 1 lim
1
C# ln1 Si l'on cherche
lim
Nous ne sommes pas obligés d'utiliser les équivalents quand on peut raisonner plus simplement.
Considérons par exemple :
1h 1 lim
C#
2
On a bien entendu une forme indéterminée sinon il serait parfaitement inutile d'utiliser un
développement limité.
On pourrait chercher un développement limité d'ordres 1 ou 2 au voisinage de 0 du numérateur, mais
cela risque d'entraîner des calculs assez compliqués.
Un développement limité étant une égalité « réelle », il peut remplacer une fonction dans n’importa
quelle égalité. Par exemple ici, si l’on écrit :
h 1 D avec lim D 0
On aura
C#
Donc
On a donc
h 1 D
1h 1 1^ D _ 2
2
ˆ 1^1 D_ 1‰
2
1^1 D _ 1
2
1^1 D _ 1
lim
1
C#
2
3.2) Limites au voisinage d’un point
Les développements limités usuels (ce qu'il faudra savoir) sont donnés au voisinage de 0. Dans le cas
du calcul d'une limite en un autre point, il faut donc adapter la méthode.
Calculons par exemple la limite suivante :
√ 1
lim
ŠC ln
C'est bien entendu une forme indéterminée.
Les fonctions } √ et } ln sont de classe au voisinage de 1. On peut donc utiliser la
formule de Taylor pour en déterminer un développement limité.
On a
1
1
ln , ln 1
1
1
^√_ , ^√_ P 2√
4 √
4 On a donc en appliquant la formule de Taylor à l'ordre 2 les développements limités suivants au
voisinage de 1 :
1 1
1
ln ln1 1 Œ S ‚ ƒ 1 D avec lim D 0
C
2!
1
1
Soit
1
ln 1 1 D 2
De même
1
1
1
Œ ‚
ƒ 1 D avec lim D 0
√ √1 1 Œ
C
2!
2√1
4 Œ 1 Œ √1
Soit
1 1
1 D √ 1 2
8
On peut écrire à l'ordre 1 :
ln 1 1DP avec lim DP 0
C
Ou encore
1
1Ds avec lim Ds 0
√ 1 C
2
ln ~ 1
√ 1 ~
1
2
1
√ 1 ˆ 2 ‰ 1
~
2
ln 1
On a donc
1
√ 1
ŠC ln 2
Donc
lim
Une autre méthode (utilisée plus souvent) est de changer de variable pour pouvoir utiliser les
développements limités connus au voisinage de 0. On pose ici
X 1
Et donc
X1
On a
Quand tend vers 1, X tend vers 0, donc
Nous verrons plus loin que
On a donc
On retrouve bien que
ŽX 1 1
√ 1
ln
lnX 1
ŽX 1 1
√ 1
lim
C ln fC# lnX 1
lim
X
XDr X avec lim Dr X 0
fC#
2
lnX 1 X XD X avec lim D X 0
ŽX 1 1 ŽX 1 1~
#
fC#
X
et lnX 1 ~X
#
2
X
ŽX 1 1 ˆ 2 ‰ 1
~
lnX 1 # X
2
3.3) Développements limités et dérivabilité
La formule de Taylor fournit des développements limités pour une fonction "suffisamment" dérivable
au voisinage d'un point.
Examinons la réciproque.
Et commençons par le cas d'une fonction admettant un développement limité d'ordre 1 au voisinage
d'un point .
Nous avons vu qu'un tel développement limité peut s'écrire :
Z  D avec lim D 0
On a
lim Z
C
C
On peut prolonger par continuité la fonction en en posant
Z
On a alors
 D
Et donc pour b  D

C
La fonction est donc dérivable en et l'on a
 On en déduit que
k ‘  ‘k ‘ k ‘pk
On a donc
lim
Exemple :
On a par exemple :
h Posons
√ 2
h 1 5h 1 1
1D avec lim D 0
C
3
18
On a donc
(La vérification est immédiate).
Et l'on a
h √ 2
1 1 h1
3
5h 1
18
Ce qui est beaucoup moins évident.
Il arrive assez souvent que l'on obtienne des développements limités à partir d'opérations sur
d'autres développements limités.
Ainsi on peut connaître la valeur du nombre dérivé en un point sans calculer la dérivée de la fonction
qui peut être parfois assez délicate.
La méthode se généralise mais nous ne regarderons ici que le cas de la dérivée seconde.
Considérons une fonction admettant un développement limité d'ordre 2 au voisinage d'un point .
On a
Z  ’ D
On montre comme précédemment que
Z  Supposons que la fonction soit dérivable dans le voisinage de considéré.
On a vu qu'un développement limité à l'ordre 1 de la fonction dérivée est obtenu en dérivant le
polynôme du développement limité de .
On a
2’ D On vérifie alors aisément que
lim
2’
C
Et donc
2’ Et donc
’
2
On peut ainsi remonter dans les termes successifs du développement limité. On retrouve la formule de
Taylor (ce que l'on pouvait prévoir du fait de l'unicité d'un développement limité).
Considérons une fonction admettant un développement limité d'ordre 2 au voisinage d'un point .
Nous venons de voir qu'un tel développement limité est de la forme :
3.4) Développement limité et tangente
’ D avec lim D 0
C
On reconnaît dans l'équation de la tangente en .
On a donc
^ _ ’ D Or le signe de la quantité ^ _ permet d'étudier la position de la courbe par
rapport à sa tangente.
On sait que
D € Si ’ b 0, alors
’ D ~’ Donc
^ _~’ Si ’ “ 0, alors au voisinage de , la quantité ^ _ est positive et la courbe est
au dessus de sa tangente en .
Si ’ ” 0, alors au voisinage de , la quantité ^ _ est négative et la courbe est
au dessous de sa tangente en .
Si ’ 0, on ne peut plus passer aux équivalents.
On essaie alors d'obtenir un développement limité d'ordre supérieur.
Supposons qu'il existe un développement limité d'ordre 3 de la forme :
• P P D avec lim D 0
C
(bien entendu le terme en est absent sinon la question ne se poserait pas).
On supposera • b 0.
Par un raisonnement identique au précédent, on a
^ _~• P
Mais ici quel que soit le signe de δ, comme P change de signe suivant que est supérieur ou
inférieur à , la quantité • P change également de signe. La courbe est soit au-dessus de la
tangente avant puis au-dessous, soit au-dessous puis au-dessus.
Une telle situation a déjà été rencontrée : on a en un point d'inflexion.
d'inflexion
– /
\
Considérons par exemple la fonction h
en 1.
On a
1
1 1P
1P D
3√h
√h
√h
On en déduit que la tangente au point 1 a pour équation :
On a
X
1
√h
X~
1
√h
1P
3√h
Cette quantité change de signe en 1 : la courbe représentative admet un point d'inflexion au voisinage
de 1.