Le cercle inscrit dans un triangle rectangle.

Le cercle inscrit dans un triangle rectangle.
G.Huvent
21 décembre 2009
On utilise les notations de la figure ci dessous.
On sait que r =
a+b−c
, ainsi
2
b−r=
d’où
CI2 = (b − r)2 + r2 =
de même, par échange des rôles,
b + (c − a)
b − (c − a)
et r =
2
2
1
1 2
2b + 2 (c − a)2 =
b2 + c2 + c2 − 2ac = c (c − a) car c2 + b2 = a2
4
2
BI2 = c (c − b)
Ainsi
AI2 BI2 = c2 (c − a) (c − b)
1
Il suffit donc de prouver que
(c − a) (c − b) = 2r2 ⇐⇒ r2 =
(c − a) (c − b)
2
Or
et
r2
=
(c − a) (c − b)
2
=
1 2
1 2
a + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc =
c + ab − ac − bc
4
2
1 2
c + ab − ac − bc
2
On peut donner une autre preuve, plus éclairante de ce sangaku et qui s’appuie sur deux autres résultats. Le premier
CA × CB
où H est la
s’énonce ainsi. Soit C un cercle et [A, B] une corde de C. Lorsque C décrit l’arc AB, le rapport
CH
projection orthogonale de C sur [A, B] est constant.
Dans le triangle ABC, soit α, β et γ les angles aux sommets A, B et C. On a alors
CH = CA sin α = CB sin β =⇒ CA × CB =
CH2
sin α sin β
(1)
Mais la loi des sinus dans le triangle ABC donne
CA
CB
AB
AB2
sin α sin β
=
=
=⇒ CA × CB =
sin β
sin α
sin γ
sin2 γ
(2)
En multipliant les deux égalités (1) et (2) , il vient
2
AB
CA × CB
AB2
CA × CB
=⇒
=
=
2
CH
CH
sin γ
sin γ
CA × CB
D’après le théorème de l’arc capable, l’angle γ est constant lorsque C décrit l’arc AB, ce qui prouve que le rapport
CH
est constant.
Le second résultat concerne le lieu du cercle du cercle inscrit à un triangle rectangle. Soit C un cercle de diamètre [A, B] ,
lorsque C décrit l’arc AB le centre du cercle inscrit au triangle (rectangle) ABC décrit un arc de cercle.
2
En effet, soit I le centre du cercle inscrit, dans le triangle ABC, soit α et β les angles aux sommets A et B, dans le triangle
α
β
BCI, les angles aux sommets A et B valent
et . On en déduit que lorsque C décrit l’arc AB, l’angle au sommet I du
2
2
a+β
π
3π
=π− =
. D’après le théorème de l’arc capable, le point I décrit un arc
triangle BCI est constant égal à π −
2
4
4
de cercle (dont le centre est le point D de la figure) passant par A et B.
En appliquant le premier résultat, on obtient
√
AI × BI
AB
=
= 2AB
3π
r
sin 4
ce qui est le résultat demandé par le sangaku.
3