Chapitre 10 Séries numériques

Chapitre 10
Séries numériques
Le but de ce chapitre est de définir, lorsque cela est possible, la somme infinie
+∞
X
u n , et
n=0
de l’utiliser dans des calculs.
10.1 Généralités
10.1.1 Définitions
Dénition 10.1
Série numérique
Soit (u n )n≥n0 une suite de nombre réels définie à partir d’un rang n 0 . On lui associe une suite
(S n )n≥n0 définie par :
n
X
uk
Sn =
k=n0
La suite (S n )n≥n0 est appelée série de terme général u n , et est notée
X
un .
n≥n0
Pour n ≥ n 0 donné, le réel S n est appelé somme partielle de rang n associée à la série
et le réel u n est appelé terme général de cette série.
X
un ,
n≥n0
B ATTENTION ! Il ne faut pas confondre la série (qui est une suite de réels) et ses sommes
partielles (qui sont des nombres réels).
Exemple : La série
X 1
est appelée série harmonique.
n≥1 n
Proposition
10.2
X
Les sommes partielles donnent le terme général
u n est une série numérique, alors :
Si
n≥n0
∀n ≥ n 0 + 1,
u n = S n − S n−1
189
CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES
190
Dénition 10.3
Nature
X d’une série
On dit que la série
u n converge lorsque la suite (S n )n≥n0 est convergente, ie lorsque
n
X
lim
n→+∞
n≥n0
u k existe et est finie.
k=n0
Dans le cas contraire (la limite est infinie ou elle n’existe pas), on dit que la série
X
un
n≥n0
diverge.
Deux séries sont dites de même nature lorsqu’elles sont toutes les deux convergentes ou
toutes les deux divergentes.
Déterminer la nature d’une série c’est déterminer si elle converge ou si elle diverge.
Rédaction
: Pour montrer
X
X que deux séries sont de même nature il faut donc montrer que :
u n converge ⇐⇒
v n converge.
n≥n0
n≥n0
Pour
X cela on montre que
X:
X
X
«
u n converge =⇒
v n converge » et «
v n converge =⇒
u n converge ».
n≥n0
n≥n0
n≥n0
n≥n0
n≥n0
n≥n0
n≥n0
OuX
par contraposée : X
X
X
v n diverge ».
u n diverge =⇒
v n converge » et «
u n converge =⇒
«
n≥n0
OuX
encore :
X
X
X
«
u n diverge =⇒
v n diverge » et «
v n diverge =⇒
u n diverge ».
n≥n0
n≥n0
n≥n0
n≥n0
Proposition 10.4 Les premiersXtermes ne
Xchangent pas la nature de la série
Si n 1 ≥ n 0 , alors les deux séries
u n et
u n sont de même nature.
n≥n0
n≥n1
Dénition 10.5
Somme et reste d’une série convergente
n
X
X
On suppose que
u k sa somme partielle de
u n converge et pour n ≥ n 0 , on note S n =
n≥n0
rang n.
1.
lim
n→+∞
n
X
k=n0
k=n0
u k est appelée somme de la série et est notée S =
+∞
X
n=n0
def
u n = lim S n .
2. Pour tout n ≥ n 0 , R n = S − S n est appelé reste d’ordre n de la série
Proposition 10.6XPropriétés du reste d’une série convergente
On suppose que
n≥n0
n→+∞
X
un .
n≥n0
u n converge et pour n ≥ n 0 , on note R n son reste d’ordre n.
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10.1. GÉNÉRALITÉS
191
1. Pour tout n ≥ n 0 , R n =
+∞
X
u k . Au passage, on peut noter que la relation de
k=n+1
Chasles est vraie pour les sommes de séries.
2.
lim R n = 0.
n→+∞
B
X ATTENTION aux notations :
•
u n désigne la série (donc une suite réelle) ;
n≥n0
• Sn =
n
X
u k désigne la somme partielle de rang n de la série (donc un nombre réel) ;
k=n0
et pour une série convergente :
+∞
X
u k désigne la somme de la série (donc un nombre réel) ;
• Rn =
•S=
k=n+1
+∞
X
u n désigne la somme de la série (donc un nombre réel).
n=n0
Dans la somme de la série, la variable est muette :
+∞
+∞
+∞
X
X
X
S=
uk =
un =
up = . . .
n=n0
k=n0
p=n0
par contre pour le reste d’ordre n il ne faut pas prendre n comme variable de la somme, cela
+∞
X
u n n’existe pas !
n’a aucun sens :
n=n+1
B ATTENTION ! La somme d’une série convergente dépend des premiers termes. Si n 1 >
n 0 , la relation de Chasles donne :
+∞
X
n=n0
Exemple : La série harmonique
+∞
X
n=n1
X 1
diverge.
n≥1 n
Exemple : La série géométrique
Xénon).
un =
un +
nX
1 −1
un
n=n0
X 1
converge vers 2 (ce qui lève le fameux paradoxe de
n
n≥0 2
10.1.2 Propriétés des séries
Théorème 10.7
Dualité suite/série
Si (v n )n≥n0 est une suite réelle, on pose pour tout n ≥ n 0 + 1 : u n = v n − v n−1 . Alors :
X
X
(v n )n≥n0 est convergente ⇐⇒
un =
(v n − v n−1 ) est convergente
n≥n0 +1
Dans ce cas :
+∞
X
n=n0 +1
un =
+∞
X
n≥n0 +1
(v n − v n−1 ) =
n=n0 +1
³
´
lim v n − v n0
n→+∞
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CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES
192
Exemple : La série
1
converge vers 1.
n≥2 n(n − 1)
Théorème 10.8
1. Soit
X
n≥n0
X
Condition nécessaire de convergence
u n une série numérique convergente. Alors : lim u n = 0.
n→+∞
2. Par contraposée : si la suite (u n )n≥n0 ne converge pas vers 0, alors la série
verge.
X
u n di-
n≥n0
B ATTENTION : la réciproque est fausse comme le montre la série harmonique.
DénitionX
10.9
Une série
vergente.
n≥n0
Série grossièrement divergente
u n , telle que lim u n 6= 0 ou n’existe pas, est appelée série grossièrement din→+∞
Exemple : Les séries
X
(−1)n et
n≥0
Théorème 10.10
X
Si les séries
n≥n0
X
n! sont grossièrement divergentes.
n≥0
Linéarité
de la convergence
X
X
X
u n et
v n convergent, et si λ ∈ R, alors les séries
(u n + v n ) et
λ.u n
n≥n0
n≥n0
convergent aussi. De plus :
+∞
X
n=n0
(u n + v n ) =
+∞
X
n=n0
un +
+∞
X
vn
+∞
X
et
n=n0
n=n0
λ.u n = λ.
n≥n0
+∞
X
un
n=n0
Corollaire 10.11 Espace vectoriel des séries convergentes
On note E l’ensemble des séries numériques convergentes, définies à partir d’un même rang
n 0 . Alors E muni des opérations naturelles est un R-espace vectoriel et l’application :
ϕn 0 :
E
X
n≥n0
un
−→ R
+∞
X
7−→
un
n=n0
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10.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS
Corollaire 10.12
193
Addition de deux séries
1. On peut écrire :
+∞
X
n=n0
(u n + v n ) =
+∞
X
n=n0
un +
+∞
X
vn
n=n0
dès qu’au moinx deux séries convergent.
X
X
X
(u n + v n )
v n converge et l’autre diverge, alors
u n ou
2. Si l’une des séries
n≥n0
diverge.
n≥n0
n≥n0
X
X
3. Si les deux séries
u n et
v n divergent, alors on ne peut rien dire de général sur
n≥n0
n≥n0
X
(u n + v n ) (on a une forme indéterminée).
n≥n0
Corollaire 10.13
Multiplication
d’une
X
X série par une constante
Pour tout λ ∈ R , les séries
u n et
λ.u n sont de même nature.
∗
n≥n0
Si on multiplie
X
n≥n0
n≥n0
u n par λ = 0, on obtient la série nulle, qui converge vers 0. Ce cas n’est
donc pas particulièrement intéressant. . .
10.2 Séries à termes positifs
En multipliant une série à termes négatifs par −1, on obtient une série à termes positifs,
et ces deux séries sont de même nature. Tout ce qui suit concerne donc aussi les séries à
termes négatifs, et plus généralement les séries dont le terme général est de signe constant
à partir d’un certain rang (car la nature d’une série ne dépend pas de ses premiers termes).
10.2.1 Règles de comparaison
Soit (S n )n≥n0 une suite croissante à partir d’un rang n 0 . On rappelle que d’après le théorème de la limite monotone, on a seulement deux alternatives possibles :
• (S n )n≥n0 converge vers un réel ℓ vérifiant : ∀n ≥ n 0 , S n ≤ ℓ ;
• (S n )n≥n0 diverge vers +∞.
Dénition 10.14
Série
X à termes positifs
On dit que la série
u n est à termes positifs lorsque : ∀n ≥ n 0 ,u n ≥ 0.
n≥n0
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CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES
194
Théorème 10.15
Soit
X
n≥n0
Nature d’une série à termes positifs
u n une série à termes positifs. Pour n ≥ n 0 , on note S n =
de rang n. Alors :
n
X
u k sa somme partielle
k=n0
1. (S n )n≥n0 est croissante.
X
2.
u n converge ⇐⇒ (S n )n≥n0 est majorée. Dans ce cas si M est un majorant de
n≥n0
(S n )n≥n0 :
n
X
∀n ≥ n 0 ,
3. Si (S n )n≥n0 non majorée, alors
X
n≥n0
k=n0
+∞
X
n=n0
+∞
X
k=n0
uk ≤ M
u n diverge et lim S n = +∞.
n→+∞
Si (S n )n≥n0 non majorée, alors on peut poser
tifs, la notation
uk ≤
+∞
X
n=n0
u n = +∞. Pour une série à termes posi-
a donc toujours un sens dans R ∪ {+∞}. Par exemple :
B ATTENTION : par contre la notation
+∞
X
+∞
X
1
= +∞.
n=1 n
(−1)n n’ a aucun sens (la limite n’existe pas) !
n=0
Théorème 10.16
Théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes posi-
tifs
Soient (u n )n≥n0 et (v n )n≥n0 deux suites réelles telles que 0 ≤ u n ≤ v n a.p.c.r..
+∞
+∞
X
X
X
X
Alors :
v n converge =⇒
u n converge, et dans ce cas 0 ≤
un ≤
vn .
n≥n0
n≥n
n=n
n=n
0
0
0
X
X
Donc par contraposée :
v n diverge =⇒
u n diverge.
n≥n0
n≥n0
Rédaction : On rédige de la manière suivante : ∀n ≥ n 0 , 0 ≤ u n ≤ v n et
X
v n converge,
X
un
donc d’après le théorème comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs,
n≥n0
n≥n0
converge.
B ATTENTION, la rédaction suivante est fausse :
+∞
+∞
X
X
X
∀n ≥ n 0 , 0 ≤ u n ≤ v n , donc 0 ≤
un ≤
v n et
v n converge, donc d’après le théon=n0
n=n0
n≥n0
X
rème comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs,
u n converge.
n≥n0
En effet, on ne peut pas utiliser la notation
série.
Exemple : ∀n ≥ 2, 0 ≤
+∞
X
u n tant qu’on a justifié la convergence de la
n=n0
X
X 1
1
1
1
≤
et
converge,
donc
converge.
2
n 2 n(n − 1) n≥2 n(n − 1)
n≥1 n
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10.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS
195
X
B ATTENTION : la réciproque est fausse, ie si
v n converge, alors on ne peut rien
n≥n0
X
u n . On peut considérer le contre-exemple suivant : ∀n ≥ 2, 0 ≤
dire sur la nature de
n≥n0
X 1
X
1
1
1
≤ mais
diverge et
converge.
n(n − 1) n
n≥1 n
n≥2 n(n − 1)
Dans le théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, on ne peut
donc pas dire que les deux séries sont de même nature.
B ATTENTION ! Ce théorème n’est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe
constant) ! Nous verrons un contre-exemple en TD (il n’est pas simple d’en construire un).
Corollaire 10.17
Théorème de comparaison par équivalents pour des séries à termes po-
sitifs
Soient (u n )n≥n0 et (v n )n≥n0 deux suites réelles telles que u n ∼ v n et v n ≥ 0 a.p.c.r..
n→+∞
X
X
Alors
u n et
v n sont de même nature.
n≥n0
n≥n0
Le résultat est donc plus fort que pour la comparaison par inégalité, puisque les deux
séries sont de même nature
B ATTENTION ! Ce théorème n’est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe
constant).
µ
¶
µ ¶
X
X
1
1
ln 1 + 2 converge.
diverge et
sin
Exemple :
n
n
n≥1
n≥1
Corollaire 10.18 Théorème de comparaison par « petit o » pour des séries à termes positifs
Soient (u n )n≥n0 et (v n )n≥n0 deux suites réelles telles que u n ≥ 0 et v n ≥ 0 a.p.c.r., et u n =
n→+∞
o (v n ). X
X
Alors :
v n converge =⇒
u n converge.
n≥n0
X n≥n0
X
Donc par contraposée :
v n diverge =⇒
u n diverge.
n≥n0
n≥n0
B ATTENTION : cette fois les deux séries ne sont pas de même nature.
B ATTENTION ! Ce théorème n’est vrai que pour des séries à termes positifs (ou de signe
constant).
¶
µ
X 1
1
1
Exemple :
= o p donc
p diverge.
n n→+∞
n
n≥1 n
µ ¶
p
X −pn
1
− n
e
= o 2 donc
converge.
Exemple : e
n→+∞
n
n≥0
Ces résultats sont très utiles pour étudier la nature d’une série. Par contre, on peut remarquer qu’ils ne donnent aucune information sur la valeur de sa somme en cas de convergence.
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CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES
196
10.2.2 Convergence absolue
Dénition 10.19
Convergence
absolue
X
X
u n converge absolument lorsque la série
On dit que la série
|u n | converge.
n≥n0
n≥n0
Dans le cas d’une série à termes positifs (ou de signe constant), la convergence absolue
coïncide avec la convergence. Pour les séries dont le terme général change de signe, l’intérêt
de cette notion repose sur le théorème suivant.
Théorème
10.20
X
La convergence absolue implique la convergence
u n converge absolument alors elle converge.
Si
n≥n0
Démonstration : On remarque que, pour tout n ≥ n 0 : u n = (u n +|u n |)−|u n |. On conclut grâce
au théorème de comparaison par inégalité pour les séries à termes positifs, et par linéarité
de la convergence.
CQFD X (−1)n
Exemple :
converge.
2
n≥1 n
On peut donc dans certains cas se ramener à l’étude de
X
n≥n0
|u n |. On travaille alors avec
une série à termes positifs, et tous les résultats du paragraphe précédent s’appliquent.
Proposition 10.21
X
On se donne
n≥n0
Propriétés
des séries absolument convergentes
X
u n et
v n deux séries absolument convergentes.
n≥n0
1. Inégalité triangulaire. On a :
¯
¯
¯ +∞
¯ +∞
¯X
¯ X
un ¯ ≤
|u |
¯
¯n=n0 ¯ n=n0 n
2. Linéarité de l’absolue convergence. Pour tout λ ∈ R, les séries
sont aussi absolument convergentes.
X
n≥n0
(u n +v n ) et
X
λ.u n
n≥n0
Dénition X
10.22
Série semi-convergente
Une série
u n est dite semi-convergente lorsqu’elle est convergente, mais non absolun≥n0
X
X
ment convergente, ie que
u n converge et
|u n | diverge.
n≥n0
Exemple : La série
− ln(2)).
n≥n0
X (−1)n
est semi-convergente (c’est loi d’être évident ; sa somme vaut
n
n≥1
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10.3. SÉRIES DE RÉFÉRENCE
197
Les séries semi-convergentes sont « pathologiques ». On a en particulier le résultat suivant, du à Riemann.
Théorème
10.23
X
Commutativité des termes dans un série convergente
u n une série convergente.
Soit
n≥n0
1. Si elle est absolument convergente, alors on peut commuter ses termes sans changer
la valeur de sa somme. Autrement dit, pour tout bijection σ : N −→ N on a :
+∞
X
n=n0
u σ(n) =
+∞
X
un
n=n0
2. Si elle est semi-convergente, alors toute commutation des termes peut changer la valeur de la somme. On peut même montrer que pour ℓ ∈ R, il existe une bijection
σ : N −→ N on a :
+∞
X
u σ(n) = ℓ
n=n0
Ce théorème est hors-programme ! Mais il faut retenir que pour une série absolument
convergente, l’ordre des termes n’intervient pas dans le calcul de la somme. Ce résultat aura
son importance dans le chapitre sur les variables aléatoires discrètes.
10.3 Séries de référence
10.3.1 Séries de Riemann
Théorème 10.24
Soit α ∈ R. Alors :
Séries de référence de Riemann
+∞
X
1
converge ⇐⇒ α > 1
α
n=1 n
Dans ce cas la convergence est absolue, puisque la série est à termes positifs.
Démonstration : Pour α ≤ 0, la série est grossièrement divergente. Pour α > 0, on utilise une
comparaison à une intégrale.
CQFD P+∞ 1
n=1 α , sauf dans des cas parn
ticuliers. La fonction ζ est appelée fonction de Riemann, et elle est reliée à de nombreux
problèmes. Il est bien de connaître la valeur suivante :
Dans le cas α > 1, on ne connaît pas la valeur de ζ(α) =
ζ(2) =
1
π2
=
2
6
n=1 n
+∞
X
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CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES
198
Corollaire
10.25
X
Règles du n α u n pour des séries à termes positifs
u n une série à termes positifs.
Soit
n≥n0
1. S’il existe α > 1 tel que lim n α u n = 0, alors la série
n→+∞
X
u n converge (absolument).
n≥n0
2. S’il existe α < 1 tel que lim n α u n = +∞, alors la série
n→+∞
X
u n diverge.
n≥n0
En pratique, il est conseillé de redémontrer ce critère à chaque fois.
Exemple : La série
X ln3 (n)
est convergente (absolument).
2
n≥1 n
10.3.2 Séries géométriques et leurs dérivées
Théorème 10.26
Séries géométriques
Soit x ∈ R. Alors :
X
n≥0
x n converge ⇐⇒ |x| < 1
Dans ce cas la convergence est absolue et on a :
+∞
X
n=0
xn =
1
1−x
et
∀p ∈ N,
+∞
X
n=p
xn =
xp
1−x
Ces formules sont à connaître parfaitement.
Théorème 10.27
Formule du binôme négatif
Soient x ∈ R et r ∈ N. Alors :
à !
X n n
x converge ⇐⇒ |x| < 1
n≥r r
Dans ce cas la convergence est absolue et on a :
à !
+∞
X n n
xr
x =
(1 − x)r +1
n=r r
à !
N n
X
Démonstration : On pose S(N , r ) =
x n , pour x ∈ R et N ∈ N tel que N ≥ r .
r
n=r
Pour tout N ≥ r + 1, on peut vérifier que :
Ã
!
N
x N+1 + xS(N − 1, r )
(1 − x)S(N , r + 1) = −
r +1
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10.3. SÉRIES DE RÉFÉRENCE
199
Par récurrence sur r on peut donc montrer que lim S(N , r ) =
N→+∞
xr
.
(1 − x)r +1
Cette formule est utilisée en pratique sous la forme suivante.
Corollaire 10.28
Dérivées de la série géométrique
Soient x ∈ R et r ∈ N. Alors :
X
n(n − 1) × · · · × (n − p + 1)x n−p converge ⇐⇒ |x| < 1
n≥r
Dans ce cas la convergence est absolue et on a :
+∞
X
n=r
n(n − 1) × · · · × (n − p + 1)x n−p =
r!
(1 − x)r +1
De manière mnémotechnique, on peut retenir que :
«
+∞
X
n=0
dérivée p fois de x n = dérivée p fois de
1
»
1−x
Les formules les plus souvent utilisées sont les suivantes, valables pour |x| < 1 :
+∞
X
n=1
nx n−1 =
1
(1 − x)2
et
+∞
X
n=2
n(n − 1)x n−2 =
2
(1 − x)3
10.3.3 Séries exponentielles
Théorème 10.29
Séries exponentielles
X xn
Pour tout x ∈ R, la série
converge absolument (et donc converge). De plus :
n≥0 n!
xn
= ex
n!
n=0
+∞
X
En particulier :
+∞
X
1
= e (la constante de Néper).
n=0 n!
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CQFD CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES
200
10.4 Exercices
Exerie 10.1
Déterminer la nature de la série de terme général u n dans les cas suivants :
p
1. u n = e− n
¡ ¢
5. u n = n sin 31n
Exerie 10.2
2
n −5
2. u n = n(2n
+ 1)
n
6. u n = n+1
p
n
2−1
4. u n = 2n+3
1
8. u n = pn(n+1)
3. u n = 2n−2
n −1
7. u n = n3cos(n!)
+cos(n!)
Étudier la nature de la série de terme général u n en fonction des paramètres
indiqués :
¡p
p ¢α
1. u n = n + 1 − n , α ∈ R
3. u n = ln(n) + a ln(n + 1) + b ln(n + 2), (a, b) ∈ R2
¢
¡
2. u n = ln 1 + n1α , α ∈ R
Exerie 10.3
n 1
X
et u n = S n − ln(n).
k=1 k
µ ¶
1
1
(a) Montrer que u n+1 −u n = − 2 +o 2 . En déduire que la suite (u n)n∈N converge.
n→+∞ 2n
n
n −n p
n e
n
2. Pour n ∈ N, on pose xn =
.
n!
¶
µ ¶
µ
1
1
xn+1
=
+o 2 . En déduire qu’il existe une constante
(a) Montrer que ln
2
n→+∞
xn
12n
n
p ³ n ´n
.
C > 0 telle que : n! ∼ C n
n→+∞
e
1. Pour n ∈ N∗ , on pose S n =
Exerie 10.4
Montrer la convergence de la série de terme général u n puis calculer sa somme :
1
1. u n = n(n+1)(n+2)
n
2
5. u n = (−1)n (n+1)!
Exerie 10.5
2
6
2. u n = 5n+2
6. u n = n
2
+n+1
n!
On considère la série
X
nÊ0
4. u n = (−1)n n5+3
3. u n = 2n(n+1)
n
´
³3n
n
3
(
)
n
k
8. u n = n!
7. u n = ln (n+2)(n−1)
, k ∈ N∗ fixé
2
u n où u n =
³ ´
sin 2πn
2n
.
1. Montrer que cette série converge.
2. On note S la somme de la série, et S n sa somme partielle de rang n. Vérifier que :
∀n ∈ N,
|S − S n | É
1
2n
3. Écrire un programme Turbo-Pascal qui calcule une valeur approchée de S à 10−3 près.
Exerie 10.6
¶
(−1)n
.
1. Étudier la convergence et calculer la somme de la série
ln 1 +
n
n≥2
¶
n µ
Y
(−1)k
1+
2. Établir la convergence de la suite (P n )nÊ2 définie par : P n =
.
k
k=2
X
Exerie 10.7
µ
Soit (an )n∈N une suite décroissante de réels positifs, convergente vers 0. Pour
n
X
(−1)k ak .
tout n ∈ N, on pose : S n =
k=0
1.
(a) Monter que les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes.
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10.4. EXERCICES
201
(b) En déduire que la série
X
(−1)n an est convergente.
nÊ0
¯
¯
¯
¯ +∞
X
¯
¯
(−1)k u k ¯ ≤ u n
(c) Montrer que si ∈ N : ¯
¯
¯k=n
X (−1)n
, en fonction du paramètre α ∈ R. En déduire un
α
nÊ1 n
X
X
v n sont de nature différente.
u n et
∼ v n et les séries
2. Étudier la nature de la série
contre-exemple ou u n
Exerie 10.8
n→+∞
n≥n0
n≥n0
u
Soient (u n )n∈N une suite de réels positifs et (v n )n∈N définie par : v n = 1+un n .
X
X
Montrer que les séries
u n et
v n sont de même nature.
nÊ0
nÊ0
π
On considère la suite (u n )n∈N définie par u 0 = et u n+1 = sin(u n ).
2
h πi
1. Étudier la fonction f : x 7−→ sin(x) − x sur 0, , puis montrer que (u n ) est strictement
2
positive et convergente vers 0+ .
Exerie 10.9
x3
2. Dans les questions suivantes, on admettra que : sin(x) − x ∼ − .
x→0
6
X
X 3
(a) À l’aide de l’étude la série
u n+1 − u n , montrer que
u n converge.
nÊ0
(b) À l’aide de l’étude la série
X
nÊ0
nÊ0
ln(u n+1 ) − ln(u n ), montrer que
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X
nÊ0
u n2 diverge.
202
CHAPITRE 10. SÉRIES NUMÉRIQUES
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