Dérivation, cours, terminale S

Dérivation, cours, terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation, cours, terminale S
27 septembre 2016
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a.
Dire que f est dérivable en a de nombre dérivé f 0 (a), signi(a)
fie que le taux d’accroissement f (a+h)−f
tend vers f 0 (a)
h
quand h tend vers 0. Lorsque f est dérivable en tout réel
a de I, f est dite dérivable sur I et f 0 : x 7→ f 0 (x) pour tout
x ∈ I est appelée fonction dérivée de f sur I.
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Dire que f est dérivable en a, signifie que la courbe représentative de f dans un repère admet au point A de coordonnées (a; f (a)) une tangente T de coefficient directeur
f 0 (a).
L’équation de la tangente T est alors
y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
Plan
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
f 0 (x)
Df 0
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
f 0 (x)
0
Df 0
R
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
mx + p
f 0 (x)
0
1
Df 0
R
R
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
mx + p
x2
f 0 (x)
0
1
m
Df 0
R
R
R
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
f 0 (x)
0
1
m
2x
Df 0
R
R
R
R
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
1
x
f 0 (x)
0
1
m
2x
nx n−1
Df 0
R
R
R
R
R
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
1
√x
x
f 0 (x)
0
1
m
2x
nx n−1
− x12
Df 0
R
R
R
R
R
R∗
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
1
√x
x
1
xn
f 0 (x)
0
1
m
2x
nx n−1
− x12
1
√
2 x
Df 0
R
R
R
R
R
R∗
]0; +∞[
Dérivation,
cours,
terminale S
f (x)
k
x
mx + p
x2
xn
1
√x
x
1
xn
f 0 (x)
0
1
m
2x
nx n−1
− x12
1
√
2 x
1
−n x n+1
Df 0
R
R
R
R
R
R∗
]0; +∞[
R∗
Plan
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
k un réel. Alors u + v , ku, uv sont dérivables sur I, vu est
dérivable pour tout a ∈ I tel que v (a) 6= 0 et :
(u + v )0 =
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
k un réel. Alors u + v , ku, uv sont dérivables sur I, vu est
dérivable pour tout a ∈ I tel que v (a) 6= 0 et :
(u + v )0 = u 0 + v 0
(k u)0 =
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
k un réel. Alors u + v , ku, uv sont dérivables sur I, vu est
dérivable pour tout a ∈ I tel que v (a) 6= 0 et :
(u + v )0 = u 0 + v 0
(k u)0 = k u 0
(uv )0 =
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
k un réel. Alors u + v , ku, uv sont dérivables sur I, vu est
dérivable pour tout a ∈ I tel que v (a) 6= 0 et :
(u + v )0 = u 0 + v 0
(k u)0 = k u 0
(uv )0 = u 0 v + v 0 u
u
( )0 =
v
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
k un réel. Alors u + v , ku, uv sont dérivables sur I, vu est
dérivable pour tout a ∈ I tel que v (a) 6= 0 et :
(u + v )0 = u 0 + v 0
(k u)0 = k u 0
(uv )0 = u 0 v + v 0 u
u0v − v 0u
u
( )0 =
v
v2
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
k un réel. Alors u + v , ku, uv sont dérivables sur I, vu est
dérivable pour tout a ∈ I tel que v (a) 6= 0 et :
(u + v )0 = u 0 + v 0
(k u)0 = k u 0
(uv )0 = u 0 v + v 0 u
u0v − v 0u
u
( )0 =
v
v2
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soient a et
b deux réels et J l’ensemble des réels x tels que ax + b ∈ I.
Alors la fonction g : x 7−→ f (ax + b) est dérivable sur J et
pour tout x réel de J,
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soient a et
b deux réels et J l’ensemble des réels x tels que ax + b ∈ I.
Alors la fonction g : x 7−→ f (ax + b) est dérivable sur J et
pour tout x réel de J,
g 0 (x) = af 0 (ax + b)
En particulier,
((ax + b)n )0 =
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soient a et
b deux réels et J l’ensemble des réels x tels que ax + b ∈ I.
Alors la fonction g : x 7−→ f (ax + b) est dérivable sur J et
pour tout x réel de J,
g 0 (x) = af 0 (ax + b)
En particulier,
((ax + b)n )0 = a × n(ax + b)n−1
√
( ax + b)0 =
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soient a et
b deux réels et J l’ensemble des réels x tels que ax + b ∈ I.
Alors la fonction g : x 7−→ f (ax + b) est dérivable sur J et
pour tout x réel de J,
g 0 (x) = af 0 (ax + b)
En particulier,
((ax + b)n )0 = a × n(ax + b)n−1
√
a
( ax + b)0 = √
2 ax + b
Dérivation,
cours,
terminale S
Exemple :
• Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (4x − 5)2 .
Dérivation,
cours,
terminale S
Exemple :
• Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (4x − 5)2 . g
est dérivable sur R et :
g 0 (x) = 2 × 4 × (4x − 5) = 8(4x − 5) = 3x − 40.
Dérivation,
cours,
terminale S
Exemple :
• Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (4x − 5)2 . g
est dérivable sur R et :
g 0 (x) = 2 × 4 × (4x − 5) = 8(4x − 5) = 3x − 40.
• Soit h la fonction définie sur I =] −1
3 ; +∞[ par
√
h(x) = 5 3x + 1.
Dérivation,
cours,
terminale S
Exemple :
• Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (4x − 5)2 . g
est dérivable sur R et :
g 0 (x) = 2 × 4 × (4x − 5) = 8(4x − 5) = 3x − 40.
• Soit h la fonction définie sur I =] −1
3 ; +∞[ par
√
h(x) = 5 3x + 1. h est dérivable sur I et :
3
h0 (x) = 5 × 2√3x+1
= 2√15
.
3x+1
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
• Soit n un entier relatif. Soit u une fonction dérivable
sur un intervalle I et ne s’annulant pas sur I dans le
cas n < 0. Alors u n est dérivable sur I et :
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
• Soit n un entier relatif. Soit u une fonction dérivable
sur un intervalle I et ne s’annulant pas sur I dans le
cas n < 0. Alors u n est dérivable sur I et :
(u n )0 = nu 0 u n−1
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
• Soit n un entier relatif. Soit u une fonction dérivable
sur un intervalle I et ne s’annulant pas sur I dans le
cas n < 0. Alors u n est dérivable sur I et :
(u n )0 = nu 0 u n−1
• On considère une fonction u strictement positive et
dérivablepsur un intervalle I. La fonction
g : x 7→ u(x) est dérivable sur I et :
Dérivation,
cours,
terminale S
Propriété :
• Soit n un entier relatif. Soit u une fonction dérivable
sur un intervalle I et ne s’annulant pas sur I dans le
cas n < 0. Alors u n est dérivable sur I et :
(u n )0 = nu 0 u n−1
• On considère une fonction u strictement positive et
dérivablepsur un intervalle I. La fonction
g : x 7→ u(x) est dérivable sur I et :
√
u0
( u)0 = √
2 u
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n,
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n, (u n )0 = nu 0 u n−1 .
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n, (u n )0 = nu 0 u n−1 .
Alors u n+1 = u × u n
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n, (u n )0 = nu 0 u n−1 .
Alors u n+1 = u × u n donc en utilisant la dérivation de
produits (u n+1 )0 = (u n )0 u + u 0 u n .
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n, (u n )0 = nu 0 u n−1 .
Alors u n+1 = u × u n donc en utilisant la dérivation de
produits (u n+1 )0 = (u n )0 u + u 0 u n . En outre, par
hypothèse de récurrence, on a (u n ) = nu 0 u n−1 .
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n, (u n )0 = nu 0 u n−1 .
Alors u n+1 = u × u n donc en utilisant la dérivation de
produits (u n+1 )0 = (u n )0 u + u 0 u n . En outre, par
hypothèse de récurrence, on a (u n ) = nu 0 u n−1 . D’où
(u n+1 )0 = nu 0 u n−1 u + u 0 u n = nu 0 u n + u 0 u n = (n + 1)u 0 u n .
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n, (u n )0 = nu 0 u n−1 .
Alors u n+1 = u × u n donc en utilisant la dérivation de
produits (u n+1 )0 = (u n )0 u + u 0 u n . En outre, par
hypothèse de récurrence, on a (u n ) = nu 0 u n−1 . D’où
(u n+1 )0 = nu 0 u n−1 u + u 0 u n = nu 0 u n + u 0 u n = (n + 1)u 0 u n .
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
Dérivation,
cours,
terminale S
Preuve du cas u n avec n ≥ 1 :
• Initialisation : Pour n = 1, (u 1 )0 = u 0 et nu 0 u n−1 = u 0
donc la propriété est vraie au rang 1.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang
n ≤ 1, c’est à dire que pour un rang n, (u n )0 = nu 0 u n−1 .
Alors u n+1 = u × u n donc en utilisant la dérivation de
produits (u n+1 )0 = (u n )0 u + u 0 u n . En outre, par
hypothèse de récurrence, on a (u n ) = nu 0 u n−1 . D’où
(u n+1 )0 = nu 0 u n−1 u + u 0 u n = nu 0 u n + u 0 u n = (n + 1)u 0 u n .
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
• Conclusion : Par récurrence, la propriété est donc vraie
pour tout n ≤ 1.
Dérivation,
cours,
terminale S
Exemple :
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (5x 4 + 7)3 .
Dérivation,
cours,
terminale S
Exemple :
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (5x 4 + 7)3 . g est
dérivable sur R et :
g 0 (x) = 3 × (5 × 4x 3 + 0)(5x 4 + 7)2 = 60x 3 (5x 4 + 7)2
Dérivation,
cours,
terminale S
Remarque :
Si u est une fonction définie sur un intervalle I et dérivable
en x ∈ I et si v est une fonction dérivable en u(x), alors la
fonction g définie par g(x) = v (u(x)) est dérivable en x et :
g 0 (x) = v 0 (u(x)) × u 0 (x)
.