Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

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Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles
Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maxima. Les commandes en ligne sont précédée de (%i) en
police courrier. Ce logiciel est disponible sur internet (google: calcul formel maxima)
I - Continuité
1/ Définition
Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Soit un réel a
appartenant à I.
La fonction f est continue en a si
lim
x→a
f(x) = f(a)
Par extension, f est dite continue sur I si elle est continue en tout réel a de I.
Remarques :
- Si f est continue en a, alors f doit être définie sur un « voisinage » de a de la forme ]a-ε ;a+ε[, ε>0.
- f est continue à droite en a si f est définie sur un « voisinage » de a de la forme [a ;a+ε[, ε>0 et
lim+ f(x) = f(a).
x →a
- On reconnaît graphiquement qu’une fonction est continue sur un intervalle I si elle peut être tracée sans
lever le crayon.
Corollaire 1 : L’image d’un intervalle fermé borné
[a ;b] par une fonction continue est un intervalle fermé
borné [m ;M]. De plus la fonction atteint ses bornes.
Corollaire 2 :
- En appliquant les propriétés sur les opérations avec les limites, le produit, la somme de fonctions
continues est continue (voir le cours sur les limites).
- Les fonctions polynômes, cos x et sin x, ex sont continues sur Ë.
- La fonction
x est continue sur [0 ;+õ[, ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[.
- Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de
définition.
-Les fonctions construites algébriquement à partir des fonctions usuelles sont continues sur leur
ensemble de définition.
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Exemple : Montrer que la fonction f définie par
f(x)=x² ln x pour x >0
et
f(0)=0
est continue en 0 puis sur [0;+õ[ .
(%i) f(x):=x^2*log(x);
(%i) limit(f(x)), x, 0, plus);
(%i) plot2d([x^2*log(x),[x,0,2]);
2/ Application : Existence de solutions pour l'équation f(x) = k
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b].
Alors, pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b),
il existe au moins un réel c compris dans [a ;b] tel que f(c) = λ.
Justification graphique :
Remarque : Ce théorème ne montre que l’existence mais pas l’unicité.
Exemple : Montrer que la fonction f(x) = cos x admet un point fixe sur [0;
1.6
cos(x)
x
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1
1.2
1.4
(%i20) plot2d([cos(x),x],[0,%pi/2]);
(%i25) find_root(x=cos(x), x, 0, %pi/2);
π
2
].
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II Nombre dérivé
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, un réel a ∈ I, et h un réel non nul (a+h ∈ I).
f(a+h)-f(a)
f est dérivable en a si le taux d’accroissement
admet une limite finie l quand h
h
tend vers 0.
l est appelé le nombre dérivé de f en a et on note f’(a)=l.
Interprétation géométrique : Tangente
Si f est dérivable en a, la tangente (Ta) à Cf au point A
d’abscisse a a pour coefficient directeur f’(a).
Une équation de (Ta) est :
(Ta) y = f’(a) (x-a) + f(a)
Interprétation numérique
• Si f est dérivable en a, on a f(a+h) = f(a) + f’(a) h + h ε(h) avec lim ε(h) =0
h →0
• f(a) + f’(a) h + h ε(h) est appelé développement limité d’ordre 1 de f en a.
• Si h voisin de 0, on a f(a+h) ≈ f(a) + f’(a) h, approximation affine de f(a+h) au voisinage de a.
Exemple d’application :
1/ Démontrer que la fonction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est dérivable en 0.
(%i) limit(f(x)/x,x,0,plus);
2/ Déterminer la meilleure approximation affine de (1+x)n pour x voisin de 0.
(%i20) diff((1+x)^n,x);
(%i28) taylor((1+x)^n,x,0,1);
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III Fonction dérivée
Définition : Lorsque f est dérivable en tout point de l’intervalle I, on dit que f est dérivable sur I et on
note f’(x) la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x.
1/ Dérivées des fonctions usuelles
Le tableau ci-dessous sera complété au cours de l’année
f(x)=
xn
f’(x)=
f dérivable sur
k
cos x
x
sin x
(n∈N*
)
tan x
ex
xα (α ∈ Ë)
ln x
x
2/ Opérations et fonctions dérivées
•
Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur I alors u+v, k × u (k∈Ë) et uv le sont aussi et :
(u+v)’ = u’ + v’
•
(ku)’=k u’
Si u et v sont dérivables sur I et v non nul sur I,
(
1
)’=v
v’
v²
(
(uv)’= u’v + uv’
1
u
et
sont dérivables sur I et :
v
v
u
u’v-uv’
)’=
v
v²
Conséquence : Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de
définition.
Exemple : Calculer la dérivée de f(x)=x ln x - x après avoir précisé Df.
(%i29) diff(x*log(x)-x,x);
3/ Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée (admis): Soit v une fonction dérivable sur J.
Soit u une fonction dérivable sur I telle que pour tout x de I, u(x) appartient à J.
Alors la fonction f(x) = v o u (x) est dérivable sur I et :
f’(x)= v’(u(x)) × u’(x)
(
(v o u)’ = (v’ o u) u’ )
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Applications de la dérivée d’une fonction
composée
f
Exemple : Calculer la dérivée de ln
e2x² après avoir précisé Df
I
f'
x +1
et de
x² + 1
u(ax+b)
(%i29) diff(log((x+1)/(x^2+1)),x);
sin (ax+b)
un ,
n ∈ É
xα (α ∈ Ë)
eu
ln u
4/ Classe d’une fonction
Dérivées successives : Soit f une fonction dérivable sur I.
f’(x) est appelée dérivée première de f sur I.
Si f’(x) est également dérivable sur I alors on définit la fonction dérivée de f’(x) notée f’’(x) et appelée
fonction dérivée seconde de f : (f’(x))’=f’’(x).
Pour la dérivée d’ordre 3, 4, on note f(3)(x) f(4)(x)
Classe d’une fonction : Soit n ∈ É. On dit que f est de classe Cn sur I ssi :
- f est n fois dérivable sur I
- f(n) est continue sur I
f est de classe C0 si f est continue sur I et de classe Cõ si f est infiniment dérivable (cos x).
Propriété : Si f et g sont de classe Cn alors : (f+g), fg,
f
(g non nulle sur I) g o f sont de classe Cn.
g
Exemple : Calculer la dérivée première, deuxième, troisième de ln(1+x) et (1+x)n
(%i40) diff(log(1+x),x,4);
5/ Notations différentielles.
Notation différentielle : En posant ∆x = h et ∆y= f(x+∆x) –f(x), on obtient :
∆y = f’(x) ∆x + ∆x ε(∆x) avec lim ε(∆x ) =0 et au voisinage de x : ∆y ≈ f’(x) ∆x
h →0
df
En physique on note f’(x) =
dx
f’’(x) =
d²f
dx²
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IV Fonction réciproque
1/ Définition
Théorème fondamental : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un
intervalle I alors,
- f(I) est un intervalle dont les bornes sont les limites des bornes de I.
- f réalise une bijection de I sur f(I)
- La fonction réciproque de f, notée f -1, est strict. monotone et de même sens que f.
- La fonction réciproque f -1 est continue sur f(I).
Exemple : Déterminer l'image des intervalles suivant par une fonction continue strictement monotone
Intervalle
f ↑
[a,b]
]a,b[
[a,b[
]a,b]
f↓
Application : Résoudre l’équation f(x)=λ
λ
• Si f est une fonction dérivable sur [a ;b],
• Si f est strictement monotone sur [a;b],
• et Si λ est compris entre f(a) et f(b),
alors, l’équation f(x)=λ
λ admet une unique solution sur [a ;b].
Théorème fondamental suite : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur
un intervalle I.
Si de plus f est dérivable en x0 ∈I avec f’(x0) non nul alors f -1 est dérivable en y0=f(x0) et :
1
(f -1)’(y0)=
f’(x0)
En particuliers si f ’(x) ne s’annule pas sur I, (f-1)’=
1
f ' of −1
2/ Application aux fonctions trigonométriques réciproques arc sin et arc tan
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IV Applications de la fonction dérivée
1/ Sens de variation
Théorème 1 (admis): Soit f une fonction dérivable sur I,
• si f’(x) est positive sur I, alors f est croissante sur I
• si f’(x) est négative sur I, alors f est décroissante sur I
• si f’(x) est nulle sur I, alors f est constante sur I
Remarque : Si f conserve le même sens de variation sur I, f est dite monotone sur I.
Application : Résoudre l’équation f(x)=0
• Si f est une fonction dérivable sur [a ;b],
• Si f’(x)>0 ou f’(x) <0 sur ]a ;b[
• Si f(a) et f(b) sont de signes contraires
alors f réalise une bijection de [a;b] dans f( [a;b]) et f(x)=0 admet une unique solution sur [a ;b].
Exemple : Montrer l'existence et l'unicité d'un point fixe pour la fonction x ln x sur ]0; + õ[. En déduire
un encadrement de e à 10-3.
3.5
x*log(x)
x
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
(%i5) solve(x*log(x)-x=0,x);
(%o5) [x=%e,x=0]
2/ Extremum local
Définition : Soit f une fonction définie sur I et c un point de I. On dit que f(c) est un maximum local de f
si il existe un intervalle ouvert J contenant c tel que f(c) soit un maximum de f sur J.
Donc pour tout x de J on aura f(x) ≤ f(c)
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Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I=]a,b[ et c un réel
appartenant à I,
• Si f admet un extremum local en c, alors f’(c)=0
• Si f’(c)=0 et change de signe, alors f(c) est un extremum local.
Remarque : Si f admet un extremum local en c, alors sa courbe Cf admet une tangente horizontale au
point d’abscisse c.
Exemple : On découpe un secteur angulaire dont l’angle au centre mesure x (0 ≤ x ≤ 2 π) d’un disque de
rayon r. On construit alors un cône en ajustant les rayons découpés. Quelle est la valeur x qui maximise le
volume du cône ?
V/ Théorème de Rolle et des accroissements finis
Théorème de Rolle :
Soit deux réels a et b, a<b et f une application de [a ;b] dans Ë.
Si f est continue sur [a ;b], dérivable sur ]a ;b[, et f(a)=f(b)
alors il existe un réel c ∈ ]a ;b[ tel que f’(c)=0.
Démonstration :
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Théorème des accroissements finis
Soit deux réels a et b, a<b, et f une fonction de [a ;b]dans Ë.
Si f est continue sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ alors il existe un réel c ∈]a ;b[ tel que
f(b)-f(a)
f’(c)=
b-a
Démonstration
Interprétation graphique :
Application 1 : Démontrer le lien entre sens de variation et signe de la dérivée.
Application 2 : Démonstration d'inégalité
Exemple: Démontrer que pour tout x>0 on a
x
1+ x 2
< arctan(x) < x
Application 3 : Inégalité des accroissements finis
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I telle que pour tout x de I f ' ( x) ≤ M .
Alors pour tout couple (x,y) de I (x≠y), on a :
Démonstration
f ( y) − f ( x)
≤M.
y−x