1 Chap.III. Diffraction de la lumière

Chap.III.
Diffraction de la lumière
1. Mise en évidence expérimentale
2. Principe de Huygens-Fresnel
3. Diffraction de Fraunhofer
4. Diffraction et interferences par les
fentes d’Young
5. Réseau
Mise en évidence du phénomène de diffraction
Diffraction d’un faisceau laser par une pupille circulaire
Diffraction d’un faisceau laser par une pupille circulaire
Faisceau diffracté
Faisceau Laser
Faisceau diffracté
Faisceau Laser
Faisceau diffracté
Ecran
Répartition’éclairement
de l
’écran
sur l
Diffraction par une fente rectangulaire (largeur<<longueur)
Diffraction par une fente rectangulaire (largeur<<longueur)
Faisceau Laser
Faisceau Laser
Répartition
’éclairement
de l
’écran
sur l
Fig.1, 2 : Diffraction de la lumière par des fentes 1. Circulaire, 2. Rectangulaire avec une faible dimension
La Diffraction nécessite une ouverture de petite taille
(non négligeable devant la longueur d’onde)
La répartition lumineuse dépend de la forme de l’ouverture
1
Rappel
Surfaces d'onde émises par une source monochromatique
Ce sont les surfaces où la fonction d'onde est constante à t donné.
Dans le cas d'une source ponctuelle monochromatique, les surfaces
d'onde (front d'onde) sont des surfaces sphériques centrées sur la
source.
Source
monochromatique
Re[s0(r,0)]
s (r , t ) =
A i (ωt −kr +φ0 )
e
r
r
Surfaces d ’onde
(sphériques)
Fig.3 : Source lumineuse émettant une onde sphérique dont l’amplitude décroît en s’éloignant de la source.
Source émet des ondes sphériques
A. Principe de Huygens Fresnel
Il donne une interprétation qualitative et quantitative du phénomène de diffraction.
Il permet d’expliquer et de calculer la répartition de l’intensité lumineuse dans une
tâche de diffraction.
Contribution de Huygens (Fig.4)
•Soit une source lumineuse placée dans un milieu homogène d'indice de réfraction
n, chaque point non obstrué de la surface d'onde primaire est une source
secondaire qui émet des ondelettes sphériques.
Principe de HuygensHuygens-Fresnel
Construction de Huygens (1678)
Surface d’
d’onde primaire Σ(t)
=ensemble de sources
secondaires qui émettent des
ondelettes sphé
sphériques.
Source
Primaire
Σ(t)
Σ(
Surfaces d ’onde émises par des sources
secondaires= surfaces sphé
sphériques de
rayon v∆ t
Surface d ’onde primaire Σ(t+
Σ( +∆t)) : enveloppe des
surfaces d ’onde émises par les sources secondaires.
2
Contribution de Fresnel (Fig.5)
L'amplitude complexe de l'onde lumineuse en un tout point M,
s(M , t )
est la superposition des amplitudes complexes des ondelettes, qui sont émises
par toutes les sources secondaires appartenant à
et atteignent le point M.
Σ(t )
M
Source
P
P
Primaire
Σ(t)
Σ(
Diaphragme muni d’une ouverture
(Pupille)
c- Formulation Mathématique du Principe de Huygens Fresnel
Valable avec des rayons faiblement incliné
inclinés
par rapport à la normale du diaphragmme
s( M , t ) = C
∫∫ s( P,0).τ ( P).
e
( Pupille )
−i
2π
λ
PM
PM
dS P
dSp: élément de surface entourant le point P de la pupille.
s (P,0) dSP: amplitude complexe des ondelettes émises par les points de dSP dans la direction PM.
τ (P) : Transparence de la pupille au point P 1: trou
0: obstrué (opaque)
τ ( P ) = τ 0e
s(P,0)
e
−i
2π
λ
−i
2π
λ
( n −1) e
: lame de verre transparente d’indice n et d’épaisseur e
PM
PM
dSP
: ondelettes sphériques issues des points dans dSp et se superposant en M
3
Diffraction de Fraunhofer et de Fresnel
La diffraction de Fraunhofer ou diffraction en champ-lointain nécessite d’éclairer avec une
source à l’infini (plans d’onde) et l’observation à l’infini (écran très loin du diaphragme).
Diffraction de Fraunhofer
S
Source
à « l’infini »
Observation à « l ’infini »
La diffraction de Fresnel
ou diffraction en champ proche ne nécessite
aucune restriction sur les distances. Mathématiquement, ce cas est plus complexe.
Diffraction de Fraunhofer
(fente rectangulaire de centre O)
X
x
kd
ki
z
P
dS
P
S
Source
à « l’infini »
Observation à « l ’infini »
L’onde lumineuse diffractée par P est :
r
r
r
s ( P, t ) = s0 ei (ωt −ki .SP ) = s0 e i (ωt − ki .SO ) e − iki .OP e −ik .PM = e −ik .PO e −ik .OM
r
r
d
r
d
r
d
L’amplitude de l’
l’onde lumineuse est :
s( M , t ) =
r
r
r r
r
C
s0 ei (ωt − k d .OM −k i . SO ) ∫∫ t ( P )e − i ( k i − k d ).OP dS
OM
( Diaph )
4
Soient les cosinus directeurs des vecteurs d’onde incident et diffracté :
avec
r
k
i
r
k
d
r
r
r
2π
( α iu x + β iu y + γ iu z )
λ
r
r
r
2π
=
(α du x + β du y + γ du z )
λ
=
r
r
r
OP = xux + yuy
et la fonction transparence est donnée par :
t( x, y) = 1 si − b / 2 ≤ x ≤ +b / 2 et − d / 2 ≤ y ≤ +d / 2

t( x, y) = 0 ailleurs
l’amplitude de l’
l’onde diffracté
diffractée en M est :
s( M ) =
2π
r
r
+b / 2 + d / 2 −i
C
s0ei (ωt − k d .OM −k i .SO ) ∫ ∫
e λ
−b / 2 −d / 2
OM
(α i −α d ) x
.e
−i
2π
λ
(βi −βd ) y
dxdy
Avec les constantes définis par la direction des vecteurs d’onde incident et diffracté :
u=
s(M ) =
(α i − α d )
(β − β d )
; v= i
λ
λ
r
r
C
s0ei (ωt − k d .OM −k i . SO ) .b.d . sin c(πub ). sin c(πvd )
OM
Cas d’une fente infiniment fine dans la direction Ox (diffraction négligeable dans la direction Oy)) :
r
r
C
i (ωt − k d .OM − k i . SO )
s(M ) =
s0e
.a.b.sin c(πub ).
OM
l’intensité lumineuse en M peut être établie à partir de la forme :
I(M) =
K
s(M).s * (M)
2
5
Diffraction par une fente carrée
Diffraction par une fente rectangulaire d=10b
Diffraction de Fraunhofer :Fente fine // Ox et de grande dimension //Oy
X
x
Source
θ
S
f’
Ecran
Amplitude complexe, en un point M ,
de l’onde diffractée par la fente fine dans la direction
s( M , t ) =
r
r
r r
r
C
s0ei (ωt − k d .OM −k i .SO ) ∫∫ t ( P )e − i ( k i − k d ).OP dS
OM
( Diaph )
r
r
r
r
r
u = αu x + γu z = sin(θ )u x + cos(θ )u z
+
b
2
s( M , t ) = B ∫ e
−
Intensité lumineuse au point M :
I (M ) =
i
2π
λ
sin( θ ) x
Direction de diffraction
dx
b
2
K
π sin(θ )b 
2  πXb 
s ( M ).s * ( M ) = ℑ0 sin c 2 
 = ℑ0 sin c  λf ' 
2
λ




6
Représentation de la fonction de diffraction et de l’intensité diffractée
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,4
0,6
0,2
0,4
0,0
0,2
-0,2
0,0
-6
-0,4
-6
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
6
6
(bX/λf’)
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
-6
-4
-2
0
2
4
6
Intensité diffractée par une fente fine //OX
1 ,0
0 ,8
0 ,6
0 ,4
0 ,2
0 ,0
- 6
I (M ) =
- 4
- 2
0
2
4
6
πXb 
K
π sin(θ )b 
s( M ).s * ( M ) = ℑ0 sin c 2 
= ℑ0 sin c 2 


2
λ


 λf ' 
Largeur de la tâche de diffraction
∆X = 2
λf
b
7
Diffraction sous faisceau incliné / axe optique
x
kd
r
k
i
r
k
d
2π
(cos
λ
2π
(cos
=
λ
=
r
θ iu
r
+ sin θ i u z )
x
r
θ du
x
r
+ sin θ d u z )
z
ki
S
 π(sin θi − sin θ)b  : fonction de diffraction
A(θ) = sin c

λ


fonction dont les extremums sont ré
réalisé
alisées pour
π
λ
 π(sin θ i − sin θ)b 

 = 0, ( 2m + 1) ⇒ sin θ = sin θ i , sin θ i + ( 2m + 1)
λ
2
2b


La fonction s’annule pour
mλ
 π(sin θ i − sin θ)b 

 = mπ, m ≠ 0 ⇒ sin θ = sin θ i +
λ
b


Translation de la figure de diffraction
Effet de la translation de la fente sur la figure de diffraction
X
x
Source
θ
S
f’
Ecran
Ouverture [d-b/2, d+b/2]
d+
s( M , t ) = B
∫
d−
b
2
e
i
2π
λ
sin(θ ) x
dx
b
2
Figure de diffraction inchangée
8
Diffraction et interférences par les fentes d’Young
b largeur d’
d’une fente dans la direction Ox.
Ox.
O1 et O2 centres des deux fentes
x
X
O2
M
z
S
O1
Expression de l’intensité diffractée par les deux fentes
dans la direction
θ
d
s1 ( M , t ) = B
b a
+ +
2 2
∫
e
i
2π
λ
sin(θ ) x
b a
− +
2 2
b a
+ −
2 2
s 2 (M , t ) = B ∫ e
b a
− −
2 2
i
2π
λ
sin( θ ) x
 i λ sin( θ ) 2
π sin(θ ).b  
dx =  B.e
sin c 
 
λ




dx =  B.e

2π
i−
a
2π
λ
sin( θ )
a
2
π sin(θ ).b  
sin c 
 
λ


L’amplitude complexe résultante en M :
π sin(θ ) a
−i
π sin(θ )b  i π sin(λθ ) a

λ
s ( M ) = s 1 ( M ) + s 2 ( M ) = B. sin c 
e
+
e



λ



 π sin(θ )b   πa sin(θ ) 
= 2.B. sin c 

 cos
λ
λ

 

L’intensité résultante en M :
I (M ) =
πXb 
πXa 
K
s( M ).s * ( M ) = 4ℑ0 sin c 2 
cos 2 


2
 λf ' 
 λf ' 
Diffraction
Interférences
9
L’intensité sur l’écran est de la forme :
http://www.u-picardie.fr/~dellis/TpMaitrise/Diffraction%20de%20Frauhofer3.htm
Diffraction et Interférences à trois Ondes
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Diffraction par un réseau de pas a et de nombre de fentes N
Application: Le spectroscope à réseau
Dispersion de la lumière avec une résolution
meilleure que pour un prisme
Dispersion de la lumiè
lumière par un ré
réseau en ré
réflexion:CD
Les sillons du CD jouent le rôle
d’un réseau qui par diffraction
disperse la lumière blanche.
La distance interinter-sillons:1.6
sillons:1.6 micron
Nombre de sillons par mm: 625
11
Un réseau peut être employé en transmission
ou en réflexion.
Il disperse la lumière.( voir expérience)
Phénomène de dispersion de la lumière par
un réseau en Transmission
12
Un réseau plan est constitué de N fentes de largeur b et dont la distance
entre les centres de deux fentes successives est égale à a.
4
M
3
2
1
a
O
b
Différence de marche rayon 2/1
Amplitude complexe de l’onde lumineuse
diffractée par les fentes d’un réseau :
point M – direction de diffraction θ
2π r
 π sin θb 
u.O M ). sin c
.
λ
λ
 λ 
.(1 + exp( −i∆ϕ ) + exp( −2i∆ϕ ) + exp( −3i∆ϕ ) + .... + exp(−i ( N − 1) ∆ϕ )
s ( M , t ) = s0 exp i (ωt −
∆ϕ =
Math
2π
λ0
δ
,
2π
S∞O −
δ = a sinθ
1 + x + x 2 + x 3 + ...... + x N −1 =
1 − exp( −iN∆ϕ )
sin( N∆ϕ / 2)
= exp( −i ( N − 1)∆ϕ / 2).
1 − exp( −i∆ϕ )
sin( ∆ϕ / 2)
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L’intensité Diffractée
 Nπa sin θ 
sin 2 

2λ
 πb sin θ 


I ( M ) = I 0 sin c
.
 λ  sin 2  πa sin θ 


 2λ 
Maximums
πa sin θ
= kπ
2λ
, k ordre du réseau (0, 1,2),…
Faisceau polychromatique
Dispersion
Numérateur s’annule pour
Nπδ / 2 = mπ ⇒ sin θ =
2mλ
Na
Dénominateur s’annule pour
πδ / 2 = kπ ⇒ sin θ =
2 kλ
a
Si le numérateur est nul , il en est de même du dénominateur, c’est la position
des maxima principaux.
Entre deux maxima principaux il existe (N-1) maxima secondaire
14
15