facteur

Transcription

facteur

La rupture
Mécanique Linéaire de la Rupture
(de la fissuration)
1943 – Schenectady : pétrolier en construction soudée
Rupture à quai
Mécanique de la rupture : Science de l’étude du comportement d’une
structure avec ses défauts.
Linéaire : Traitement élastique des discontinuités.
1
Bridge A3050, Pulaski County, MO
Approche matériau / Approche Mécanique de la
rupture
Critère de plastification
σ =
σY
P
< σY
wt
limite élastique
Critère de rupture brutale
K I = ασ π a < K IC
KIC
facteur critique
d’intensité de contrainte
2
OBJECTIF
Proposer un
CRITÈRE DE
RUPTURE
K I = ασ π a = K IC
ruptures non prévisibles
même par l’usage du critère
de plastification
car présence de défauts
CAS (I)
contrainte connue
CAS (II)
dimension du défaut connue
Détermination
des dimensions critiques
des défauts
Détermination
des contraintes critiques
Concentration de contrainte
et
Singularité de contrainte
3
Concentration de contraintes au voisinage d’un
défaut
⎛ σ xx σ xy
⎜
σ ( x, y , z ) = ⎜ σ xy σ yy
⎛0 0 0⎞
F
⎜
⎟
0 ⎟ avec σ =
S
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠
σ = ⎜0 σ
⎜ 0
⎝
0
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
Plaque infinie en traction
percée d’un trou de section elliptique
σ
contrainte en A :
⎛
a
⎜
ρ
⎝
a⎞
⎛
σ A = σ ⎜1 + 2 ⎟
b⎠
⎝
σ A = σ ⎜1 + 2
ρ
2b
A
⎞
⎟⎟
⎠
Kt
2a
σ
Facteur de
concentration de contrainte
Rq : pour un trou circulaire, Kt = σA/σ = 3
4
Défaut elliptique aplatit dans une plaque en traction
⇒ a >> b et a >> ρ
σ
contrainte en A
:
⎛
a⎞
σ A = σ ⎜1 + 2
⎟
⎜
ρ ⎟⎠
⎝
⎛1
+
⎜2
⎝
σ A = 2σ ⎜
2b
A
a⎞
⎟
ρ ⎟⎠
tant que a >> ρ :
2a
a
σ A = 2σ
ρ
σ
Singularité de contrainte
Un défaut aplatit devient une fissure quand ρ Æ 0
σ
ρ
ρ>0
fissure
2b Æ 0
contrainte en A :
A
σ A = 2σ
2a
ρ=0
a
ρ
→ ∞ !!?
singularité de contrainte
σ
5
Singularité de contrainte >> Concentration de contrainte
Lorsqu’il y a concentration de contrainte, la
contrainte s’élève mais reste finie
Lorsqu’il y a singularité de contrainte, la
contrainte devient infinie
La signification physique d’une contrainte infinie
peut être mise en doute. Cela traduit une très
grande concentration de contrainte locale
Pour arrêter la propagation de
certaines fissures :
percer un trou
Concentration de contrainte et Singularité
• Lorsque ρ Æ 0, σ A = 2 σ
(a / ρ ) → ∞
• Ce n'est pas réaliste parce qu'aucun matériau ne
peut résister à un effort infini
Rq : En absence de plasticité, le rayon minimum ρ à la pointe de la fissure peut
être pris comme la distance inter atomique et non 0
Il faut trouver une autre condition de propagation
6
MÉTHODE DES FACTEURS
D’ INTENSITÉ DE CONTRAINTE
Les 3 modes d’ouverture d’une fissure
7
Champ de contraintes au voisinage d’une fissure
σ yy
y
σ yy
contrainte
σxx
r
fissure
σ xy
θ
fissure
x
contraintes ⇒ ∞
x
à la pointe de la fissure (r ⇒ 0)
Le champ de contrainte est singulier
CHAMP DE CONTRAINTE
DANS UN MATERIAU ELASTIQUE
EN PRESENCE D’UNE FISSURE
r
θ
a
σ ij ( r ,θ ) =
Kα
2π r
fijα (θ ) + ..........
i , j = 1,2,3
1 ≡ x, 2 ≡ y , 3 ≡ z
α = I, II, III
mode d'ouverture de la fissure
8
CONTRAINTES EN POINTE DE FISSURE
En pointe de fissure (r << a), la
contribution du second terme peut être
négligée :
⎧ (I )
⎪σ ij =
⎪
⎪⎪ (II )
⎨σ ij =
⎪
⎪ (III )
⎪σ ij =
⎪⎩
r →0
KI
2π r
K II
2π r
K III
2π r
r
fij( ) (θ )
I
θ
a
II
fij( ) (θ )
III
fij( ) (θ )
KI, KII et KIII
sont les facteurs d’intensité de contrainte en mode I, II et
III
CONTRAINTES EN POINTE DE FISSURE
Les FIC (KI, KII et KIII ) sont fonction :
9 du chargement mécanique,
9 des dimensions de la fissure
9 de la géométrie du composant
Si la fissure est sollicitée suivant plusieurs modes, la contrainte
totale au point (r,θ) est donnée par :
σ
( total )
ij
(I )
(II )
= σ ij + σ ij + σ ij
(III )
i.e., σ xx (r,θ ) = σ xx (r,θ )+ σ xx (r,θ )+ σ xx
(I )
(II)
(r,θ )
(III )
K total ≠ K I + K II + K III
9
CHAMP DE CONTRAINTE EN MODE I
KI
σ xx =
2π r
KI
σ yy =
2π r
cos(
cos(
θ ⎡
θ
3θ
) ⎢1 − sin( )sin(
2 ⎣
2
2
⎤
)⎥
⎦
θ ⎡
θ
3θ ⎤
) ⎢1 + sin( )sin(
)
2 ⎣
2
2 ⎥⎦
θ
θ
3θ
cos( )sin( )cos(
)
2
2
2
2π r
KI
σ xy =
y
σ zz = 0 en contrainte plane
σ zz = ν (σ xx + σ yy ) en déformation plane
r
θ
σ xz = σ yz = 0
x
CHAMP DE DEPLACEMENT EN MODE I
ux =
KI
2μ
r
θ ⎡
θ ⎤
cos( ) ⎢κ − 1 + 2 sin2 ( )⎥
2π
2 ⎣
2 ⎦
uy =
KI
2μ
r
θ ⎡
θ ⎤
sin( ) ⎢κ + 1 − 2cos2 ( )⎥
2π
2 ⎣
2 ⎦
κ = 3 − 4ν en déformation plane
3 −ν
κ=
en contrainte plane
1+ν
y
r
θ
x
10
CHAMP DE CONTRAINTE EN MODE II
K II
σ xx = −
σ yy =
2π r
θ ⎡
θ
3θ
) ⎢ 2 + cos( )cos(
2 ⎣
2
2
⎤
)⎥
⎦
3θ
θ
θ
sin( )cos( )cos( )
2
2
2
2π r
KII
KII
σ xy =
sin(
2π r
θ ⎡
θ
3θ ⎤
cos( ) ⎢1 − sin( )sin( )⎥
2 ⎣
2
2 ⎦
σ xz = σ yz = 0
y
r
θ
x
CHAMP DE DEPLACEMENT EN MODE II
ux =
K II
2μ
uy = −
KII
2μ
θ ⎡
θ ⎤
r
sin( ) ⎢κ + 1 + 2cos2 ( )⎥
2π
2 ⎣
2 ⎦
r
θ ⎡
θ ⎤
cos( ) ⎢κ − 1 − 2sin2 ( )⎥
2π
2 ⎣
2 ⎦
3 −ν
κ=
en contrainte plane
1+ν
y
r
θ
x
11
CHAMP DE CONTRAINTE ET DE DEPLACEMENT
EN MODE III
K III
σ xz =
σ yz
θ
sin( − )
2
2π r
K III
θ
cos( )
=
2
2π r
uz = 2
K III
μ
r
θ
sin( )
2π
2
y
r
θ
x
Mode I dans le plan de la fissure (θ = 0)
σ xx =
σ yy =
KI
y
σ yy =
2π r
KI
KI
2π r
2π r
→0
σ xy = 0
σ xz = σ yz = 0
x
r = x,
θ=0
12
Champ de contrainte au voisinage de la fissure
σ∞
Champ proche
:
σ yy =
KI
2π r
Contrainte totale :
y
σ∞
x
σ yy =
KI
2π r
+ σ∞
2a
σ∞
APPROCHE DE LA RUPTURE PAR LES
FIC
• Les FIC (K) définissent complètement le champ de
contrainte au voisinage de la fissure,
• unités de K : MPa.m1/2
• Les FIC peuvent être utiliser comme critère de rupture.
Lorsque K atteint une valeur critique Kc,, la fissure se
propage brutalement : K = Kc
• Kc est appelé facteur critique d’intensité de contrainte
• Il faut donc :
– savoir mesurer expérimentalement Kc
– savoir calculer (analytiquement ou numériquement) K
Handbooks of stress intensity factors
Éléments finis
13
Identification expérimentale de KIC
Ordre de grandeur de KIC (ténacité)
à température ambiante
matériaux
KIC (MPa.m1/2)
Alliage d’aluminium
30
Alliage de titane
100
Acier trempé
120
Polymère
3
Béton
1
Bois
2
14
Exemple de critère de rupture basé sur le FIC
σ
FIC pour une fissure dans une plaque infinie
soumise à une contrainte uniaxiale homogène :
KI = σ π a
2a
KI
lorsque σ
lorsque a
A la rupture :
K I = K IC
σ
σ
Exemple de critère de rupture basé sur le FIC
Critère de rupture
2a
σ
Cas (I)
σ π a = K IC
Cas (II)
connu
KIC = 50 MPa m
connu
σ = 100 MPa
Détermination de acr
⎛ K ⎞
acr = ⎜ IC ⎟
⎝σ π ⎠
a = 5 mm
Détermination de
2
acr=7,93 cm
σ cr =
K IC
πa
σcr= 398,9 MPa
15
QUELQUES EXEMPLES DE CALCUL
DE FACTEUR D’INTENSITÉ DE
CONTRAINTE
Avec un formulaire
STRESS INTENSITY FACTOR SOLUTIONS
A. Through-Thickness Cracks
A1. Infinite Plates (width >> crack length)
A2. Finite Width “size” effect on SIF
B. Embedded Flaws
B1. Embedded Flaws in Infinite Bodies
B2. Embedded Flaws in Finite Bodies
C. Surface Flaws
C1. Surface Flaws in Infinite Bodies
C2. Surface Flaws in Finite Bodies
D. Circular Cylinders with Flaws
E. Wedge Loaded Cracks
F. Combined Loading
16
A. SIF for Through-Thickness Cracks
A1. Infinite Plates (width >> crack length)
σ
σ
a
2a
Center cracked remotely
loaded plate
KI = σ π a
Edge cracked remotely
loaded plate
K I = 1.12 σ π a
K II = K III = 0
K II = K III = 0
A1. Infinite Plates (Cont.)
τ
2a
τ
a
K II = τ πa
K II = 1.12 τ π a
KI = KIII = 0
K I = K III = 0
17
σ
Two Symmetric Cracks
Emanating from a Hole
Define,
s = a (R+ a )
K I = σ πa fλ (s)
λσ
a
R
a
Fλ (s) = (1− λ )F0 (s)+ λ F1 (s)
[
F0 (s) = 0.5(3 − s)1+1.243(1− s )
[
3
]
F1 (s ) = 1 + (1 − s ) 0.5 + 0.743 (1 − s )
2
]
Note: by setting λ=0, we reduce the problem to that of an
Uniaxially loaded plate
Example on Two Symmetric Cracks Emanating from a
Hole
σ
Let: a=0.1″, R=0.5″, σ = 50 ksi
a) λ=0 Uniaxial Loading
λσ
s = a (R+ a )
a
R
a
⇒ s = 1/ 6
Fλ (s) = F0 (s) = 2.4357
K I = 50 π (0.1) (2.4357) = 68.26 ksi in
b) λ =1 Biaxial Loading
Fλ (s) = F1 (s) = 1.8466
K I = 51.26 ksi in
Biaxial case is less severe than uniaxial case!
18
A Single Unymmetric Crack
Emanating from a Hole
σ
s = a (R+ a )
K I = σ π a fl (s)
λσ
R
a
Fλ (s) = (1− λ )F0 (s)+ λ F1 (s)
[
]
F0 (s) = 1+ 0.2(1− s)+ 0.3(1− s) F1 (s)
6
F1(s)= 2.243−2.64s+1.352s2 −0.248s3
A1. Through-Thickness Cracks - Applications
Thin-walled Pressure Vessel with a Circumferential Crack
crack
p
From Thin-Walled
Pressure vessel theory
pR
B
pR
σa =
2B
σ =
σh
R+
B
h
2a
σa
KI = σ a π a
Hoop stress does not influence SIF
19
A1. Through-Thickness Cracks - Applications
Thin-walled Pressure Vessel with an axial Crack
crack
From Thin-Walled
Pressure vessel theory
pR
B
pR
σa =
2B
σh
p
σ =
h
R+
B
σa
2a
KI = σ h π a
Axial stress does not influence SIF
A2. Finite Width Plates with Cracks
Central Crack
σ
2a
Let a = a/2W
K I = σ π a f(a)
2
f (a ) = 1+ 0.256a + 1.152a + 12.2a
3
f(a ) ⇒ 1.0 for a small
crack in a wide plate.
2W
Single Edge Crack
σ
K I = σ π a f(a)
2
3
f(a ≤ 0.6) = 1.12 − 0.231a + 10.55a − 21.72a + 30.39a
a
4
2W
f(a ) ⇒ 1.12 for a small crack in a wide plate.
20
Let a = a/2W
K I = σ π a f(a)
Central Crack
σ
2
f (a ) = 1 + 0,256a + 1,152a + 12,2a
2a
3
f(a ) ⇒ 1.0 for a small
2W
crack in a wide plate.
a = 1 cm
W = 5 cm
σ = 100 MPa
2
3
f (a ) = 1 + 0,256a + 1,152a + 12,2a = 1,0493
K I = 588,1MPa mm = 18,6 MPa m
Let a = a/2W
Two Symmetric Edge Cracks
σ
a
K I = σ π a f(a)
a
2W
2
f (a ) =
3
1.122 − 0.561a − 0.205a + 0.471a − 0.190a
4
1− a
f(a ) ⇒ 1.12 for a small crack in a wide plate.
21
Table 12.1 Flat Plates with Through-Thickness Cracks
(a) Compact specimen
(b) Disk-shaped
compact specimen
P, Δ
P, Δ
a
a
1.25W
B
W
B
W
(C) Single edge notched bend (SENB) specimen
“3-Point Bend Specimen”
P/2
B
P/2
S
a
W
P,Δ
22
(d) Middle tension (MT) panel
“Central Crack”
(e) Arc-shaped
P
P,Δ
B
B
2W
a
r1
2a
W
r2
x
(f) Single edge notched tension (SENT)
panel
B
P,Δ
a
W
L
(g) Double edge notched tension (DENT) panel
B
a
P,Δ
2W
a
L
23
(h) Edge cracked plate in pure bending
“4-Point Bend Specimen”
B
M, Ω
a
W
(i) Edge cracked plate in combined bending and tension
B
a
W
M, Ω
P
TABLE 12.2 Non-dimensional KI solutions for
through-thickness cracks in flat plates
Denote a =
a
W
(a) Compact specimen
KI =
2+a
(1− a )
3 2
[0.886 + 4.64a − 13.32a
+ 14.72a 3 − 5.60a 4
]B PW
+ 11.43 a 3 − 4.08 a 4
]B PW
2
(b) Disk shaped compact
specimen
KI =
2+a
(1 − a )
3 2
[0.76 + 4.8 a − 11.58 a
2
(c) Single edge notched bend specimen loaded in three-point
bending
S
3
a
P
W
KI =
1− a ){2.15 − 3.93a + 2.7a 2 }
3 2 1.99 − a (
B W
2(1+ 2a )(1− a )
[
]
24
TABLE 12.2- (Contd.)
a
Denote a =
W
(d) Middle tension (MT) panel
πa
KI =
4
sec
πa
[1 − 0.025a
2
2
+ 0.06a 4
]B PW
(e) Arc shaped specimen
⎛3X
⎞⎡
2⎛
P
r ⎞⎤
KI = ⎜
+ 1.9 + 1.1a ⎟ ⎢1+ 0.25(1− a ) ⎜1− 1 ⎟ ⎥ g(a )
⎝W
⎠⎣
⎝ r2 ⎠ ⎦
B W
Where
g(a ) =
a
(1− a )
3 2
[3.74 − 6.30a + 6.32a
2
− 2.43a 3
]
(f) Single edge notched tension (SENT) panel Denote a =
⎛ π a⎞
2 tan⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
KI =
⎛ π a⎞
cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
a
W
3
⎡
⎛
⎧
⎫⎞ ⎤
⎢0.752 + 2.02 a + 0.37⎜1− sin⎨π a ⎬⎟ ⎥ P
⎢⎣
⎩ 2 ⎭⎠ ⎥⎦ B W
⎝
(g) Double edge notched tension (DENT) panel
πa
KI =
2 ⎡1.122 − 0.561a− 0.205a2 + 0.471a3 + 0.190a4 ⎤ P
⎦B W
1− a ⎣
(h) Edge cracked plate subject to pure
⎛ π a⎞
bending
6 2 tan
KI =
⎜
⎟⎡
4
⎧
⎛ π a⎞ ⎫ ⎤ M
⎝ 2 ⎠⎢
0.923 + 0.199 ⎨1− sin⎜
⎟⎬ ⎥
32
⎛ π a⎞ ⎢
2
⎠ ⎭ ⎥⎦ BW
⎝
⎩
cos⎜
⎟ ⎣
⎝ 2 ⎠
25
a=
a
W
(i) Edge cracked plate subject to combined bending and
tension
1 ⎡
M
⎤
KI =
⎢Pft ( a ) + W fb ( a ) ⎥
B W ⎣
⎦
Where
⎛π a⎞
6 2 tan ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
fb (a) =
⎛π a⎞
cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
ft (a) =
⎛π a⎞
2 tan ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛π a⎞
cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
4
⎡
⎧
⎛ π a ⎞⎫ ⎤
⎢0.923 + 0.199 ⎨1 − sin ⎜
⎬
⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎭ ⎥⎦
⎩
3
⎡
⎧
⎛ π a ⎞⎫ ⎤
⎢0.752 + 2.02a + 0.37 ⎨1 − sin ⎜
⎟⎬ ⎥
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎭ ⎥⎦
⎩
B. EMBEDDED FLAWS
B1. Embedded Flaws in Infinite Bodies
σ
KI = σ
πa
Q
f(φ )
1.65
⎛a⎞
Q = 1 + 1.464 ⎜ ⎟
⎝c⎠
1
ϕ
2a
⎡
⎤4
⎛ a⎞ 2
2
2
f(φ ) = ⎢sin φ + ⎜ ⎟ cos φ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎝ c⎠
2c
26
B. EMBEDDED FLAWS
B1. Embedded Flaws in Infinite Bodies (Cont.)
Variation of KI along Crack Front
KI = σ
KI
πa
KI = K I σ
ϕ
= f (φ )
Max KI is @ ϕ = 90°,
Q
f(φ )
πa
Q
πa
K Imax = σ
Q
B. EMBEDDED FLAWS
B1. Embedded Flaws in Infinite Bodies (Cont.)
Penny Shaped Embedded Flaw; a=c
σ
KI =
A
2
π
σ πa
A
2c=2a
Section AA
27
B. EMBEDDED FLAWS
B2. Embedded Flaws in Finite Bodies (Table 12.24, Page 629 of Text)
for φ = π 2,
σ
KI = σ F
πa
Q
F = (M1+ M2 λ + M3 λ )fw
2
t
4
λ = a (a+ d );
[
M2 = 0.05 0.11 + (a c )
2W
d
⎛ πc 2a ⎞
⎟⎟
fw = sec⎜⎜
⎝ 2W t ⎠
1.5
[
]
]
M3 = 0.29 0.23 + (a c )
⎛ a⎞ 1.65
M1 = 1 & Q = 1+1.464 ⎜ ⎟ for a ≤ c
⎝ c⎠
t
⎛ ⎞
ϕ
2
a
2
M1 =
1.5
c
c
& Q = 1 + 1 .464 ⎜ ⎟
a
⎝ a⎠
1.65
fo r a > c
c
Note: as t → ∞, d → ∞, λ → 0, fW →1 We recover infinite
bodies solution
Fissure débouchante elliptique dans un
corps infini
σ
pour
φ=
K I = λsσ
2
πa
Q
1,65
⎛a⎞
Q = 1 + 1,464 ⎜ ⎟
⎝c⎠
σ
φ
a
π
⎛a⎞
λs = 1,13 − 0,09 ⎜ ⎟
c
⎝ ⎠
2c
28
C. Fissure débouchante
C1. Fissure elliptique dans corps infini
pour
φ=
K I = λsσ
π
2
πa
Q
1,65
⎛a⎞
Q = 1 + 1,464 ⎜ ⎟
⎝c⎠
φ
a
⎛a⎞
λs = 1,13 − 0,09 ⎜ ⎟
c
⎝ ⎠
2c
C. SURFACE FLAWS
C2. Surface Flaws in Finite Bodies
σm = σ
Special case: Table 12.22 (φ = π/2, σ b= 0)
KI = σ F
a
t
2c
2W
t
a
2c
⎛ a ⎞ 1.65
Q = 1+ 1.464 ⎜ ⎟
⎝ c⎠
Q
F = (M1+ M2 λ2 + M3 λ4 )fw
fw =
A (φ=π/2)
πa
⎛ πc
sec ⎜⎜
⎝ 2 W
a
t
λ =a t
⎞
⎟⎟
⎠
( c)
M 1 = 1.13 − 0.09 a
M 2 = −0.54 + 0.89 [0.2 + (a c )]
M 3 = 0.5 −
1.0
24
+ 14(1 − a c )
0.65 + (a c )
29
C2. Surface Flaws in Finite Bodies (Contd.)
Special case: Table 12.22 (φ = π/2, σ b= 0)
Alternate solution
KI =
σm = σ
a
2W
fW
[
2
]π8
fW = 1.12 for “shallow crack”
fW for various a/c and a/t
A (φ = π/2)
t
Φ
Φ = 3 + (a c )
t
2c
σ πa
a
2c
a/c
0.2
0.4
0.6
1.0
0.2
1.173
1.138
1.110
1.049
a/t
0.4 0.6
1.359 1.642
1.225 1.370
1.145 1.230
1.062 1.107
0.8
1.851
1.447
1.264
1.112
Special case (Contd.)
Example: σ = 80 MPa
2W
t
t =15 mm
a = 4 mm
2c = 20 mm
2W = 50 mm
A
a
2
c
Using Table 12.22
Q = 1.323 M1 = 1.094
M2 = 0.943 M3 = −0.452
λ = 0.267 fw = 1.027
F = 1.268
K I = 9.89 MPa m
a/t = 4/15, a/c = 4/10
Using Alternate
Read fW from
previous Slide:
fW = 1.167
Φ = 1.241
K I = 8.43 MPa m
30
D. Circular Cylinders with Flaws
P
d
D
notc
h
d
KI =
P
D
0.932 P D
π d2
for 1.2 ≤ D d ≤ 2.1
E. WEDGE LOADED CRACKS
Stress intensity factor
at Crack Tip A
y
K IA =
x´ P
A
B
P
2a
P
πa
a+ x′
a− x′
x
Stress intensity factor
at Crack Tip B
K IB =
P
πa
a− x ′
a+ x ′
31
E. WEDGE LOADED CRACKS
From Previous Slide
x′ = 0
y
P
x
A
B
KIA = KIB = KI
P
K =
πa
I
P
2a
KI
SIF decreases
with a!
a
Calcul de FIC à l’aide d’un formulaire – Plaque finie
σ
K I = σ π a f(a)
2
f (a ) = 1 + 0,256a + 1,152a + 12,2a
3
2a
2W
a = 1 cm
W = 5 cm
σ
σ = 100 MPa
a = a/2W
f (a ) = 1,0493
KI = 588,1MPa mm = 18,6 MPa m
32
CALCUL DE FACTEURS D’INTENSITÉ
DE CONTRAINTE
À l’aide de la méthode des éléments finis
Passage à la limite dans les calculs EF
déplacement d'ouverture de fissure (mode I) :
u y = u y ( r ,π ) − uy ( r , −π )
déplacement de cisaillement plan des lèvres de la fissure (mode II) :
u x = u x ( r ,π ) − u x ( r , −π )
déplacement de cisaillement antiplan des lèvres de la fissure (mode III) :
uz = uz ( r ,π ) − uz ( r , −π )
y
r
θ
x
33
Passage à la limite dans les calculs EF
⎧
KI
⎪u x =
2μ
⎪
r → 0⎨
KI
⎪
⎪u y = 2μ
⎩
r
θ ⎡
θ ⎤
cos( ) ⎢κ − 1 + 2 sin2 ( )⎥
2π
2 ⎣
2 ⎦
r
θ ⎡
θ ⎤
sin( ) ⎢κ + 1 − 2cos2 ( )⎥
2π
2 ⎣
2 ⎦
3 −ν
κ=
en contrainte plane
1+ν
y
déplacement d'ouverture de fissure : uy = uy ( r ,π ) − u y ( r , −π )
uy
K
= I
2μ
K
r
⎡κ + 1⎦⎤ − I
2π ⎣
2μ
r
( −1) ⎣⎡κ + 1⎦⎤
2π
θ
x
uy
KI
r
⎡κ + 1⎤⎦
μ 2π ⎣
extrapolation des déplacements :
uy =
r
⎛ μ
2π
KI = lim ⎜
uy
r →0 ⎜ κ + 1
r
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Calcul de KI par passage à la limite dans les calculs EF
y
r
θ
uy
⎧a = 1 cm
⎪
⎨b = 5 cm
⎪σ = 100 MPa
⎩
⎛ μ
2π
K I = lim ⎜
uy
⎜
r →0 κ + 1
r
⎝
⎞
⎟⎟ = ?
⎠
x
uy = uy ( r ,π ) − uy ( r , −π )
3 −ν
κ=
en contrainte plane
1+ν
34
Exemple ANSYS
/CLEAR, NOSTART ! CLEAR DATABASE FOR 2ND SOLUTION
/PREP7
/TITLE, VM143, FRACTURE MECHANIC STRESS INTENSITY - CRACK IN A FINITE WIDTH PLATE
/COM, ****** CRACK IN 2-DIMENSIONS USING 2-D PLANE82 ******
ET,1,PLANE82,,,2
! PLANE82 (PLANE STRAIN)
MP,EX,1,200000
MP,NUXY,1,0.3
K,1
! DEFINE KEYPOINTS AND LINE SEGMENTS
K,2,40
K,3,40,50
K,4,-10,50
K,5,-10
L,1,2
L,2,3
LESIZE,2,,,5
L,3,4
LESIZE,3,,,5
L,4,5,
LESIZE,4,,,10
L,5,1
! ESIZE,,5
KSCON,1,1.5,1,8
! DEFINE CRACK TIP ELEMENT SIZE
AL,1,2,3,4,5
DL,1,1,SYMM
! APPLY SOLID MODEL BOUNDARY CONDITIONS
DL,4,1,SYMM
SFL,3,PRES,-100.0
AMESH,1
OUTPR,ALL
FINISH
/COM
/OUTPUT,SCRATCH
/SOLU
SOLVE
FINISH
/OUTPUT
/POST1
C*** IN POST1 DETERMINE KI (STRESS INTENSITY FACTOR) USING KCALC !**
PATH,KI2,3
! DEFINE PATH WITH NAME = "KI2"
PPATH,1,1
! DEFINE PATH POINTS BY NODE
PPATH,2,72
PPATH,3,71
KCALC,,,1
! COMPUTE KI FOR A HALF-MODEL WITH SYMM. B.C.
*GET,KI1,KCALC,,K,1
! GET KI AS A PARAMETER KI1
Calcul de KII et KIII
⎛ μ
⎞
2π
K II = lim ⎜
ux ⎟
⎟
r →0 ⎜ κ + 1
r
⎝
⎠
⎛ E
⎞
2π
KIII = lim ⎜
uz ⎟
⎟
r →0 ⎜ 8 1 + ν
) r
⎝ (
⎠
35
MODE MIXTE DE RUPTURE
Pour la plupart des matériaux K IIC ≠ K IC
KII
KIIC
Exemple de critère :
⎛ KI ⎞
⎜
⎟
⎝ K IC ⎠
u
enveloppe de rupture
u
⎛ K ⎞
+ ⎜ II ⎟ = 1
⎝ K IIC ⎠
Awaji et Sato 1978
KIC
KI
u paramètre matériau
36
MODE MIXTE DE RUPTURE - exemple
Plaque infinie en traction simple. Fissure inclinée d’un angle β
σ
y′
Rappel de MMD :
y
2a
x′
β
x
⎧σ x ′x ′ ⎫
⎪
⎪
⎨σ y ′y ′ ⎬ =
⎪
⎪
⎩σ x ′y ′ ⎭
⎡ cos2 β
⎢
2
⎢ sin β
⎢ − sin β cos β
⎣
⎧σ x ′x ′ ⎫
⎪
⎪
⎨σ y ′y ′ ⎬ =
⎪σ ⎪
⎩ x ′y ′ ⎭
⎡ cos2 β
⎢
2
⎢ sin β
⎢ − sin β cos β
⎣
sin2 β
cos2 β
sin β cos β
sin2 β
cos2 β
sin β cos β
2sin β cos β ⎤ ⎧σ xx ⎫
⎥⎪ ⎪
−2sin β cos β ⎥ ⎨σ yy ⎬
2
2
cos β − sin β ⎥⎦ ⎩⎪σ xy ⎭⎪
2sin β cos β ⎤ ⎧ 0 ⎫
⎥⎪ ⎪
−2sin β cos β ⎥ ⎨σ ⎬
cos2 β − sin2 β ⎥⎦ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
⎧σ x ′x ′ ⎫ ⎧ σ sin2 β ⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪
2
⎨σ y ′y ′ ⎬ = ⎨ σ cos β ⎬
⎪σ ⎪ ⎪σ sin β cos β ⎪
⎩ x ′y ′ ⎭ ⎩
⎭
σ
MIXED MODE FRACTURE
σ
σ
y′
σ x′y′
y′ y′
σ
y
2a
x′ x′
x′
β
x
2a
σ
⎧σ xx ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨σ yy ⎬ = ⎨σ ⎬
⎪σ ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎩ xy ⎭ ⎩ ⎭
⎧σ x ′x ′ ⎫ ⎧ σ sin2 β ⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪
2
⎨σ y ′y ′ ⎬ = ⎨ σ cos β ⎬
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎩σ x ′y ′ ⎭ ⎩σ sin β cos β ⎭
37
σ
K I = σ y ′y ′ π a
Mode I :
σ x′y′
y′ y′
σ
K I = σ cos2 β π a
x′ x′
Mode II :
2a
K II = σ x ′y ′ π a
K II = σ sinβ cosβ π a
⎛ K ⎞
Critère de rupture : ⎜ I ⎟
⎝ K IC ⎠
(σ
2
πa
2
⎛K ⎞
+ ⎜ II ⎟ = 1
⎝ K IC ⎠
) ( cos β + sin β cos β ) = K
2
4
2
2
2
IC
K IC
σ =
π a ( cos β + sin2 β cos2 β )
12
4
KIC = 50 MPa m
K IC
σ =
π a cosβ
β
a = 1 cm
0
σ (MPa)
282.1
30
45
325.7
398.9
σ
1000
900
800
60
564.2
90
∞
Non contrôlé par la rupture
700
600
500
400
300
β
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
38
Plasticité confinée
Correction zone plastique
Dimension de la zone plastique - Estimation d’Irwin
y
1
ry =
2π
⎛ KI ⎞
⎜
⎟
⎝ σY ⎠
2
σ yy =
KI
2π r
σY
Zone plastique
ry ?
x
39
Limites de validité de la MLR
DIMENSION ZONE PLASTIQUE <
DIMENSION DU COMPOSANT
50
Cette condition assure un comportement global élastique linéaire du composant
ASTM Standard for KIC Test - Size Requirements
P, Δ
a
1.25W
W
B
⎛K ⎞
a, B, (W-a) ≥ 2.5 ⎜ I ⎟
⎝σY ⎠
2
Modèle d’Irwin - longueur de fissure effective & FIC effectif
y
σ yy
Champ original
rp
redistribution des contraintes
σY
x
ry
aeff
Pour obtenir un effort plus élevé dans la
région élastique, le FIC doit être plus
élevé.
Irwin a proposé d’employer une fissure
plus longue, appelée fissure effective.
Fissure effective : aeff = a + ry
40
Exemple de FIC Effectif
σ
FIC sans correction plastique : K I = σ π a
FIC avec correction plastique : K eff = σ π aeff
2aeff
2a
avec a e ff = a + r y
σ
plaque infinie
&
1 ⎛ K eff ⎞
ry =
⎜
⎟
2π ⎝ σ Y ⎠
2
2
⎡
1 ⎛ K eff ⎞ ⎤
K eff = σ π ⎢a +
⎜
⎟ ⎥
2π ⎝ σ Y ⎠ ⎥
⎢
⎣
⎦
σ πa
K eff =
1⎛ σ ⎞
1- ⎜
⎟
2 ⎝ σY ⎠
KI
=
2
1⎛ σ ⎞
1- ⎜
⎟
2 ⎝ σY ⎠
2
Exemple de FIC effectif
σ Y = 1400 MPa
a = 8 mm
σ = 350 MPa
FIC sans correction plastique :
KI = σ π a = 55,5 MPa m
FIC avec correction plastique :
K eff = σ π aeff
avec
aeff = a + ry
&
ry =
1
2π
⎛ K eff ⎞
⎜
⎟
⎝ σY ⎠
2
ry = 0,25 mm, aeff = 8,25 mm
K eff =
σ πa
1⎛ σ ⎞
1- ⎜
⎟
2 ⎝ σY ⎠
2
=
KI
1⎛ σ ⎞
1- ⎜
⎟
2 ⎝ σY ⎠
2
= 56,4 MPa m
KI et K eff ne diffère que de 2%
41
FORME DE LA ZONE PLASTIQUE
1. Critère de von Mises
1⎡
σ xx − σ yy
2 ⎣⎢
(
)
2
(
+ σ yy − σ zz
)
2
(
)
2
2
2
2 ⎤
+ σ xz
+ σ yz
+ (σ zz − σ xx ) + 6 σ xy
= σY
⎦⎥
2. Critère de Tresca
(
max σ 1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ 1
où :
rp (θ )
1 ⎡ KI ⎤
⎢ ⎥
π ⎣ σY ⎦
2
=?
)= σ
Y
σ 1 > σ 2 > σ 3 contraintes principales
σY
limite élastique uniaxiale
FORME DE LA ZONE PLASTIQUE - Critère de von Mises
σ xx =
σ yy =
σ xy =
KI
2π r
KI
2π r
cos(
cos(
θ ⎡
3θ ⎤
θ
) ⎢1 − sin( )sin(
)
2 ⎣
2
2 ⎥⎦
θ ⎡
3θ ⎤
θ
) ⎢1 + sin( )sin(
)
2 ⎣
2
2 ⎥⎦
3θ
θ
θ
cos( )sin( )cos(
)
2
2
2
2π r
KI
σ xz = σ yz = 0
y
r
θ
x
42
y
r
θ
x
2
⎛ KI ⎞ ⎧
3 2
⎫
⎜
⎟ ⎨1 + cos(θ ) + sin (θ ) ⎬ contraintes planes
σ
2
⎭
⎝ Y⎠ ⎩
2
1 ⎛ KI ⎞ ⎧
3 2
⎫
2
rp (θ ) =
⎜
⎟ ⎨(1 − 2ν ) ⎣⎡1 + cos(θ )⎦⎤ + sin (θ ) ⎬ déformations
4π ⎝ σ Y ⎠ ⎩
2
⎭
rp (θ ) =
1
4π
planes
Dans le plan de la fissure (θ = 0) :
2
1 ⎛ KI ⎞
⎜
⎟
2π ⎝ σ Y ⎠
2
1 ⎛ KI ⎞
2
rp (0) =
⎜
⎟ (1 − 2ν )
2π ⎝ σ Y ⎠
rp (0) =
contraintes planes
déformations planes
43
ZONE PLASTIQUE EN 3D
A LA POINTE D’UNE FISSURE DANS UNE PLAQUE
D’EPAISSEUR FINIE B
Plastic Zone Shape - Mode II et III
44
Ex.
45

facteur

Transcription

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