LE PRISME

LE PRISME
I. DÉFINITIONS ET QUATRE RELATIONS FONDAMENTALES
I.1 Définition
Un prisme est un dièdre d’angle A formé de l’association de deux
dioptres plans air/verre et verre/air. Ces deux dioptres forment les
faces utiles du prisme.
L’intersection des faces utiles constitue l’arête du prisme.
La troisième face est la base du prisme.
On étudie des rayons lumineux dans un plan orthogonal à l’arête, appelé
plan de section principale.
Les lois de Descartes de la réfraction permettent de conclure que les
rayons réfractés sont dans le plan d’incidence.
Tous les rayons lumineux transmis sont donc dans le plan de section
principale.
Par la suite, on fera une projection dans ce plan.
arête
A
face
d’entrée
face
de sortie
base
I.2 Quatre relations fondamentales
L’angle A du prisme est un angle géométrique positif.
Attention à l’orientation des angles du prisme. On a deux orientations
différentes pour les angles. Les angles suivants peuvent être positifs ou
négatifs.
Orientation dans le sens trigonométrique : i1, r1.
Orientation dans le sens des aiguilles d’une montre : i2, r2 et D.
i1
A
r 1 r2
i2 D
On ne représente pas les rayons réfléchis.
Dans certaines applications en TP, on aura besoin du rayon réfléchi sur la face d’entrée.
On distingue :
• Lois de Descartes sur la face d’entrée : sin i1 = n sin r1
•
•
•
Lois de Descartes sur la face de sortie : sin i2 = n sin r2
π
 π

On un triangle d’angle au sommet A : A +  − r1  +  − r2  = π , d’où A = r1 + r2
2
2

 

La déviation du rayon lumineux vaut : D = D1 + D2 = ( i1 − r1 ) + ( i2 − r2 ) . Comme A = r1 + r2 , on a : D = i1 + i2 − A
On en déduit les 4 relations fondamentales du prisme à connaître par cœur avec le schéma associé :
sin i1 = n sin r1

sin i2 = n sin r2

 A = r1 + r2
 D = i1 + i2 − A
i1
A
r 1 r2
i2 D
On verra par la suite que l’on travaille très souvent dans une configuration proche du schéma représenté, c'est-à-dire
r1 et r2 proches ainsi que i1 et i2 proches et positifs.
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I.3 Conditions d’émergence du prisme (HORS PROGRAMME)
Nous allons étudier dans ce paragraphe les conditions d’émergence d’un rayon lumineux.
Cette étude n’est pas au programme et donnée à titre d’approfondissement.
−π
π
• L’angle i1 peut varier entre
et . On en déduit que r1 peut varier entre −λ et λ tel que : 1 = n sin λ .
2
2
On a alors −λ ≤ r1 ≤ λ
•
La condition d’émergence sur la face de sortie est que sin i2 soit défini. Il faut donc avoir n sin r2 ≤ 1 , soit
1
. On doit avoir : −λ ≤ r2 ≤ λ . Or A = r1 + r2 . On doit avoir : −λ ≤ A − r1 ≤ λ , soit −λ ≤ r1 − A ≤ λ et
n
finalement : −λ + A ≤ r1 ≤ λ + A .
sin r2 ≤
−λ ≤ r1 ≤ λ
On représente un diagramme r1 en fonction de A. Les deux conditions doivent être vérifiées : 
−λ + A ≤ r1 ≤ λ + A
r1
i2 =
λ
i1 =
λ
π
2
π
2
2λ
A
−λ
•
Si A > 2λ , aucune rayon lumineux ne sort du prisme.
•
Si λ ≤ A ≤ 2λ , r1 varie entre r0 (positif) et λ . Donc i1 varie entre i0 (tel que i2 =
•
Si A ≤ λ , r1 varie entre r0 (négatif) et λ . Donc i1 varie entre i0 (négatif) et
π
2
π
2
) et
π
2
.
.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/prisme/prisme.html
II. ÉTUDE DE LA DÉVIATION DU RAYON ÉMERGENT
II.1 Déviation en fonction de l’indice
sin i1 = n sin r 1

sin i2 = n sin r2

On part des 4 relations du prisme : 
 A = r 1 + r2

 D = i1 + i2 − A
L’angle i1 est fixé. Par contre, la lumière incidente est une lumière polychromatique, c'est-à-dire qu’elle est constituée
B
de plusieurs longueurs d’onde. D’après la loi de Cauchy, n = A + 2 , l’indice dépend de la longueur d’onde. Les
λ
angles r1, r2, i2 et D vont donc dépendre de la longueur d’onde. On a entouré les grandeurs variables.
Méthode : écrire la différentielle des 4 relations précédentes avec i1, A constants. Le calcul se termine facilement.
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0 = dn sin r1 + n cos r1 dr1

cos i2 di2 = dn sin r2 + n cos r2 dr2
dn sin r2 + n cos r2 dr2
dn sin r1

, d’où dD =
avec dr2 =

cos i2
n cos r1
0 = dr1 + dr2

dD = di2
dn sin r1
dn sin r2 + n cos r2
sin ( r1 + r2 )
sin r2 cos r1 + cos r2 sin r1
n cos r1
= dn
= dn
On a : dD =
cos i2
cos i2 cos r
cos i2 cos r
On en déduit :
dD
sin A
= dn
>0.
dn
cos i2 cos r
D’après la loi de Cauchy : n = A +
B
λ2
. On a λR > λB , donc nR < nB et DR < DB .
Application : dispersion de la lumière blanche dans un prisme. On a donc un étalement du spectre.
Pour un prisme, le rouge est moins dévié que bleu.
Pour un réseau, le rouge est plus dévié que le bleu (voir cours sur le réseau – 2ème année)
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/prisme/prisme.html
II.2 Déviation en fonction de l’angle d’incidence sur la face d’entrée
sin i1 = n sin r 1

sin i2 = n sin r2

On part des 4 relations du prisme : 
.
 A = r 1 + r2

 D = i1 + i2 − A
On travaille avec n et A fixés. Il suffit de repérer une raie particulière. En TP, on utilisera une lampe à vapeur de
sodium. On travaillera par exemple avec une raie jaune qui correspond à une longueur d’onde bien déterminée et donc
un indice bien déterminé.
Si on tourne le prisme, l’angle d’incidence i1 varie, ainsi que r1, r2, i2 et D.
cos i1di1 = n cos r1 dr1

cos i2 di2 = n cos r2 dr2

La différentielle des 4 relations du prisme s’écrit : 
0 = dr1 + dr2

dD = di1 + di2
dD = di1
cos i2 cos r1 − cos r2 cos i1
cos i2 cos r1
On cherche le minimum de déviation :
dD
= 0 ⇔ cos i2 cos r1 − cos r2 cos i1 = 0
di1
On cherche une relation entre i1 et i2. On élève au carré et on utiliser cos 2 x + sin 2 x = 1 puis les lois de Descartes.
cos 2 i2 cos 2 r1 = cos 2 r2 cos 2 i1 , d’où (1 − sin 2 i2 )(1 − sin 2 r1 ) = (1 − sin 2 r2 )(1 − sin 2 i1 )
1 − sin 2 i2
sin 2 i1
sin 2 i1
sin 2 i2
sin 2 i2
2
2
−
sin
i
−
=
1
−
−
sin
i
−
sin 2 i1
2
1
n2
n2
n2
n2
1 
1 


sin 2 i1  1 − 2  = sin 2 i2 1 − 2  , d’où sin 2 i1 = sin 2 i2 et i1 = ±i2 .
 n 
 n 
• Si i1 = −i2 , alors r1 = −r2 et A = 0. C’est impossible.
•
 A+ D 
sin i1 = n sin r1
sin 


 2 
Si i1 = i2 , alors r1 = r2 . On a alors  A = 2r1
. D’où n =
 A
 D = 2i − A
sin  
1

2
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On retient qu’au minimum de déviation, le tracé du rayon lumineux est symétrique par rapport au plan
bissecteur de l’angle du prisme. On a alors i1 = i2 et r1 = r2 . La déviation minimale est notée Dm.
 A + Dm 
sin 

 2 .
On en déduit facilement à partir des relations fondamentales du prisme n =
 A
sin  
2
D
A
i1
r1 r
i2
2
indice n
Avec Regressi, on peut représenter la courbe D en fonction de i. On vérifie expérimentalement et avec Regressi qu’il
s’agit bien d’un minimum.
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