OPTIQUE, SCALAIRE, DIFFRACTION ET SYNTHESE D`OUVERTURE

Ch IV - OPTIQUE, SCALAIRE, DIFFRACTION
ET SYNTHESE D’OUVERTURE
I OBJECTIFS DE CE CHAPITRE
Onde Emergente
Sources
.
.
Onde
Incidente
.
courant
conditions aux limites
a) Décrire les phénomènes en répondant à la question : que devient une distribution
(complexe) de champs électromagnétiques qui interagit avec des obstacles, des courants… ?
En principe on devrait résoudre les équations de Maxwell avec les conditions aux limites pour
différentes polarisations. En fait ce problème est quasi-insoluble analytiquement et souvent
difficile numériquement. Pour simplifier le problème nous utiliserons un champ scalaire avec
des conditions aux limites triviales.
Zones de Fresnel
Onde
plane
onde plane Réseau
il se comporte comme un prisme (déviation)
se comporte comme
une lentille convergente
(focalisation)
1
b) Synthétiser des ouvertures, c’est à dire se demander quelle distribution de champ
électromagnétique permet de recréer certaines fonctions de l’optique : par exemple remplacer
prisme, lentille, images 3-D par des réseaux, des réseaux zonés ou des hologrammes (figure
ci-dessus). Ou comment corriger des aberrations, par (celles de l’atmosphère ou d’autres
aberrations) avec des miroirs déformables ?
Ces concepts se retrouvent dans d’autres domaines de la physique qui utilisent des ondes : les
réseaux d’antennes RADAR, les barettes de détecteurs ultrasonores pour l’échographie
acoustique, les réseaux de télescopes, etc.
II DIFFRACTION SCALAIRE
Nous savons par expérience qu’un point lumineux (petit trou) semble émettre une onde
sphérique alors qu’un faisceau parallèle de grand diamètre ne ressentira pas d’effet de bord et
se propagera sans diffraction (phénomène facilement visible avec des ondes et des obstacles à
la surface de l’eau) ou presque.
Nos hypothèses de travail sont les suivantes :
On va considérer une « fenêtre » plane dont le facteur de transmission en
amplitude est f(x,y).
Cette fenêtre est éclairée par une onde plane, d’amplitude A0, parallèle à la fenêtre.
L’espace est supposé homogène et isotrope.
L’amplitude de l’onde plane devient A0f(x,y) sur la fenêtre.
r
On cherche l’amplitude de l’onde à l’infini dans la direction du vecteur n (α, β, γ ) .
X
S
E’
sphère
à l’∞
T (X,O,Y)
A0, λ
E
K
n
O
Z
f(X,Y)
XOY « ouverture diffractante »
P
plan
à l’∞
Y
Onde Plane
Comme α 2 + β 2 + γ 2 = 1 , on cherche une fonction F(α,β) des deux seuls cosinus directeurs
α,β.
On cherche F(α,β) sur une sphère (et non un plan) à l’infini car pour une source ponctuelle,
les surfaces équiphases sont des sphères.
1
La transformation f(x,y) → F(α, β) est linéaire (car l’espace est supposé linéaire,
homogène, isotrope).
r
Pour une translation T (x,y,0) de la fenêtre dans son plan, un observateur à l’infini
dans
la
direction
(α,β,γ)
va
observer
un
déphasage
(E → E’)
r
2π r 2π
(αx + βy ) .
T.n =
Φ1 =
λ
λ
Appliquons à présent le principe de Huyghens Fresnel.
Chaque point de la fenêtre peut être considéré comme une source qui va émettre dans l’espace
une onde sphérique, chaque source émettant une onde en phase avec l’onde incidente*.
2π
− j ( αx + β y )
+∞
α
On trouve donc F(α, β ) = ∫ ∫ A 0 f ( x , y)e λ
dxdy . On voit donc (en posant
= u'
−∞
λ
β
= v' par exemple) que l’on est ramené au calcul de la transformée de Fourier de
λ
l’amplitude de la fenêtre diffractante.
* Pour une discussion du principe Huyghens, voir le livre d’optique de Hecht utilisé en
préceptorat ou le cours de première année sur les ondes.
Remarques :
1) La formule précédente impose que f(x,y) possède une transformée de Fourier.
2) On a écrit la diffraction sur une sphère à l’infini et non sur un plan, quelle est la
différence ? On voit sur la figure qu’il y a un déphasage géométrique lié à la différence de
marche δ.
M
A δ
O
Z
H
B
Plan ou sphère à l’infini ?
P
ρ2
(en général δ << z ) .
2z
La seule différence entre le plan et la sphère est la variation de phase liée à δ : 2πρ 2 / 2z .
Remarquons que cette variation de phase ne joue pas lorsque l’on mesure l’intensité du signal
(détecteur de flux) mais qu’elle peut être importante dans le cas d’une mesure du champ
complexe (par interférométrie par exemple).
2
MH = ρ 2 = MA.MB ≈ MA.AB
δ≈
2
r
3) La condition δ<<z de la remarque (2) implique que l’angle ( oz, n ) soit faible.
X
n
Z
u
v
Y
cas des angles u , v petits
Dans ce cas :
⎛π
⎞
α = cos⎜ − u ⎟ = sin u ≈ u
⎝2
⎠
β = cos u sin v ≈ v
γ = cos u cos v ≈ 1 .
On aura donc ainsi pour les angles faiblement ouverts l’expression :
+∞
F(u , v ) = ∫ ∫ A 0 f ( x , y)e
−j
−∞
2π
( ux + vy )
λ
dxdy
4) Que signifie « un observateur à l’infini » ?
M
ϕ2
T
Z
Quand peut-on considérer
que l’on est « à l’infini » ?
Σ
π
Si on prend un point M à distance finie z. Quand on calcul le déphasage sur la fenêtre il faut
r
r
2π ⎛ T 2 ⎞
⎜ ⎟
ϕ2 T ≈
ajouter un terme ϕ 2 à ce que nous avions calculé ci-dessus :
λ ⎜⎝ 2z ⎟⎠
()
Pour que notre calcul de diffraction à l’infini reste valable à distance finie il faut que ϕ 2 soit
faible (<<π)
r2
Soit z >>
= z o distance de zone lointaine (« FAR FIELD »)
λ
3
III DIVERGENCE ET ETENDUE DES FAISCEAUX
Σ
(λ)
X
x
X0=λZ/L
u
Ω
onde
plane
L
(Z : distance
fenêtre-écran)
u=λ /L
(taille de la fente)
Reprenons le cas de l’onde plane Σ tombant sur une fenêtre (à une dimension : x) de largeur L
⎛ x ⎞ ⎧A si x < L / 2
A rect ⎜ ⎟ = ⎨
⎝ L ⎠ ⎩O si x > L / 2
⎛ u ⎞
sin ⎜ π L ⎟
λ ⎠
⎛u ⎞
= AL sin c⎜ L ⎟
F(u ) = AL ⎝
u
⎝λ ⎠
π L
λ
λ
, le faisceau ne reste pas parallèle (cela à de l’importance pour les
L
Télécommunications, les Tirs sur la lune, …).
→ Divergence : u =
Plus généralement, si l’on a une fenêtre à deux dimensions de surface S et que Ω est l’angle
solide sous lequel on voit la tache de diffraction
(cte dépend de la géométrie).
SΩ = ct e * λ2
Cette expression rappelle celle de l’étendue géométrique telle que nous l’avions rencontrée en
optique géométrique :
Rappelons que nyα = n ' yα ' (Lagrange) implique
conservation de l’étendue dans un instrument.
y 2 α 2 = y' 2 α ' 2
Par analogie on appellera étendue la quantité SΩ imposée par la diffraction.
4
soit
SΩ = S' Ω'...
IV PROPRIETES DES FIGURES DE DIFFRACTION A L’INFINI
1) Dilatation ou contraction de l’ouverture.
f ( x , y) → f (ax , by ) posons ax=X by=Y
−j
+∞
2π⎛ α
β ⎞
⎜ X+ Y ⎟
a ⎠
λ ⎝a
f ( X, Y )e
dXdY . La quantité entre crochets qui est la
ab ∫ ∫−∞
translation projetée sur la direction d’observation ne change pas.
F(α, β) devient 1
⎛α β⎞
F⎜ , ⎟ (ab rend compte de l’amplitude de l’onde qui augmente ou diminue
ab ⎝ a b ⎠
en fonction de l’ouverture).
F(α, β) → 1
Pour une dilatation de l’ouverture, on observe une contraction de la figure de diffraction et
vice-versa.
2) Translation du diaphragme dans son plan.
X = x − xo
Y = y − yo
+∞
F(α, β ) = ∫ ∫ f ( x , y)e
−
2π
j( α x + β y )
λ
−∞
+∞
dxdy
devient F' (α, β) = ∫ ∫ f ( x − x o , y − y o )e
∫∫
+∞
−∞
F' (α, β) = F(α, β)e
−j
2π
( αx o + β y o )
λ
f ( X, Y )e
−
−∞
2π
2π
− j ( αx o + β y o ) − j ( αX + β Y )
λ
λ
e
2π
j( α x + β y )
λ
dxdy
dXdY
→ simple déphasage mais pas de changement pour l’intensité.
Remarque : Lorsqu’il y a plusieurs ouvertures identiques on a l’amplitude :
N
F' (α, β) = ∑ F(α, β)e
−j
2π
( αx i + β y i )
λ
i
N
Et l’intensité : F' F = F(α, β) . ∑ e
2
*
N
= ∑ F(α, β)e − jkδi
i
2
− jkδi
i =1
Terme de
Diffraction
N
∑e
i =1
2
− jkδ i
2
terme
d’interférence
2
N
N
⎛ N
⎞ ⎛ N
⎞
= ⎜ ∑ cos kδ i ⎟ + ⎜ ∑ sin kδ i ⎟ = ∑ cos 2 kδ i + sin 2 kδ i + 2∑ cos k (δ i − δ j )
1
i> j
⎝ i =1
⎠ ⎝ 1
⎠
(
Au centre δ =0 et l’intensité est ~N2
)
=N
⇒ 0 si on a une
distribution aléatoire de
l’ouverture sauf au
centre.
Pour un nombre N grand on a un aspect granulaire du champ, on appelle ce phénomène
« Tavelures » ou « Speckle » (voir le TP sur ce sujet).
5
Question : de quoi dépend la taille du «grain» dans l image de droite ?
3) Changement de l’orientation de l’onde incidente
Fenêtre diffractante
α0
β0
Si le plan d’onde est incliné, les différents points de la surface diffractante ne seront pas
2π
(α o x + β o y ) .
éclairés en phase. On aura un déphasage initial
λ
On devra donc intégrer
+∞
F' (α, β ) = ∫ ∫ f ( x , y)e
j
2π
( α o x + β o y ) − j 2 π ( αx + β y )
λ
λ
e
−∞
+∞
dxdy = ∫ ∫ f ( x , y)e
−j
2π
[(α −α o )x + (β −β o )y ]
λ
−∞
dxdy
= F((α − α o ), (β − β o )) .
On a donc une figure de diffraction analogue mais centrée dans la direction des rayons
incidents et non plus dans la direction de la normale à la fenêtre.
V DIFFRACTION A L’INFINI PAR UNE OUVERTURE CIRCULAIRE
x
-a0
M Θ
α
ρ
z
+a0
y
On éclaire cette ouverture par une onde plane parallèle au plan de l’ouverture.
Posons : x = ρ sin θ
y = ρ sin θ
6
On a une symétrie de révolution → on regarde par exemple dans la direction (α, β=0).
⎛ 2π
⎞
2J 1 ⎜ a o α ⎟
2π
a o 2 π − j ρα cos θ
⎝ λ
⎠
F(α,0 ) = ∫ ∫ e λ
ρdρdθ soit F(α,0 ) = πa o2
o
o
2π
a oα
λ
2
J1 : Fonction de Bessel d’ordre 1. L’éclairement est donnée par F(α,0 ) .
2a o ⎡ 2 J 1 ( ) ⎤
α⎢ ( ) ⎥
⎦
⎣
λ
0
1
1,22 0
Fonction d’Airy : 1,63
2,23
2,68
3,24
2
0,0175
0
0,0041
0
C’est la raison physique de la limite de résolution en absence d’aberrations.
Au foyer d’une lentille le 1er anneau noir aura pour diamètre ~ 2.f '.
1,22λ
.
2a
En fait écrivons le de façon plus rigoureuse :
Dans l’espace objet la tache de diffraction à l’infini due au diaphragme de diamètre 2a est vue
1,22λ
sous un angle
.
2a
Or on a la relation entre la taille angulaire d’un objet à l’infini et la taille linéaire de son image
pour un système stigmatique qui nous est donné par (ch IB p 18) :
nhdθ = n ' dy' sin α '
où dθ = 1,22λ / 2a , n=1, h=a.
On en déduit le rayon de la tache d’Airy :
dy' =
1,22λ
2n ' sin α'
C’est par convention la résolution d’un objectif de microscope d’ouverture sin α' , travaillant
dans un milieu d’indice n ' (n=1 dans l’air, n ' = 1,33 dans l’eau, n ' = 1,51 dans une huile
d’indice voisin du verre…). On admet en effet que deux points d’égale intensité séparés de
dy ' sont discernables.
Remarque
7
Que se passe-t-il si l’on n’est pas au foyer mais qu’on regarde l’image A’ d’un point A à
distance finie ? On peut toujours « couper la lentille en deux lentilles» dont les foyers sont A
et A’. Entre les deux on a un faisceau de rayons parallèles. Ce qui remplace f’ c’est donc la
distance entre la lentille et A’.
VI DIFFRACTION A L’INFINI PAR DEUX FENTES PARALLELES
d
z
fentes ∞t fines
x
- a/2
+ a/2
x
période 2/a
a
α/λ
fentes de largeur a
Pour deux fentes infiniment minces (Pics de Dirac) → la T.F. est une sinusoïde.
Dans « l’espace des x » les fentes de largeur d peuvent être représentées par le produit de
convolution des Pics de Dirac par une fonction rectangle.
⇒ Pour avoir l’amplitude diffractée à l’infini, il faut faire le produit simple de la figure
d’interférence par l’amplitude diffractée par une fente de largeur d.
⎛π ⎞
sin ⎜ dα ⎟
⎝ λ ⎠ cos π αa = terme de diffraction × terme d’interférence.
Amplitude : F(α ) =
π
λ
dα
λ
2
*
Intensité : F(α )F(α ) = F(α ) .
On a donc modulation du phénomène d’interférence par la diffraction.
VII DIFFRACTION PAR RESEAU PLAN
Il s’agit d’un problème simple (à une dimension) à résoudre dans le cas de l’optique scalaire.
Cependant il faut souligner que cette théorie simplifiée est loin de rendre compte
quantitativement des effets qu’on observe sur les réseaux (ne serait-ce que les forts effets de
polarisation).
Les premiers réseaux datent des années 1870 (Rowland, USA) et peu de progrès ont été faits
jusqu’à ce que, dans les années 1960-1970, Petit et son équipe (Marseille) reconsidèrent le
problème rigoureusement à partir des équations de Maxwell.
Conscients de ces limites nous garderons le formalisme de l’optique scalaire.
8
a) Cas du réseau de taille infinie avec des traits infiniment fins.
Réseau Infini - Traits Infiniment Fins
+∞
∑ δ (x
+∞
∑
− Κ p)
−∞
-4p -3p -2p p
−∞
TF
0
p
2p 3p
4p
x
-2/p
⎛
⎝
Κ
p
0
1/p
δ ⎜⎜ u −
-1/p
⎞
⎟⎟
⎠
2/p α/λ
Si ce réseau reçoit une onde plane parallèle à la « fenêtre » que constitue le plan du réseau, on
+∞
a l’amplitude sur le réseau A ( x ) = ∑ δ(x − kp ) , où p est le pas du réseau et k un entier. A est
−∞
une distribution de Poisson appelée aussi « Peigne de Dirac ».
L’amplitude diffractée est alors F(u ) =
1 +∞ ⎛
k⎞
δ⎜⎜ u − ⎟⎟ où u est la variable conjuguée de x,
∑
p −∞ ⎝
p⎠
α
. Si l’on veut utiliser l’angle d’émergence i’ on a
λ
α = cos(π / 2 − i') = sin i' , soit des maxima de diffraction dans les directions telles que
α = sin i' / λ = k / p .
λ
dans le cas présent
On retrouve bien le fait que l’on a un maximum chaque fois que les ondes élémentaires
émises par chaque trait du réseau se retrouvent en phase dans une direction donnée.
Remarques
a) Si le plan d’onde incident n’est pas normal au réseau on a une translation (angulaire
cf. IV 3) de la figure de diffraction et les formules deviennent
sin i'− sin i = k λ (i angle d’incidence).
p
l’entier k est l’ordre de diffraction.
b) Si le réseau est utilisé par réflexion la formule
devient : sin i'+ sin i = kλ / p .
c) Nous avons calculé des amplitudes. L’intensité diffractée est I=FF*.
9
ci-dessus
b) Réseau de taille infinie avec des traits de largeur finie.
F(α)
f(x)
p
0 1/p 2/p
x
α/λ
Par rapport au cas précédent, cela revient à faire le produit de convolution du peigne
représentant le réseau par une fonction rectangle ayant pour largeur celle des traits (a).
La figure de diffraction (T.F. du produit de convolution) sera le produit simple de deux
transformées de Fourier. On aura donc une « modulation » de l’amplitude diffractée par une
α 1
fonction sin c(πua ) dont le premier zéro correspond à = .
λ a
Attention aux échelles
1 >1
a p
a<p
Application : un réseau (mire) avec autant de noirs que de blancs donnera seulement des
2
2 1
2 1
harmoniques impairs d’amplitude : 1
pour des « fréquences
.
. LL
π
π 3
π 5
1
3
5
spatiales 0 ±
±
± (une fréquence spatiale est l’inverse d’une période spatiale).
p
p
p
f(x)
F(α)
Mire
(a = p/2)
sin x / x à x = π/2
p
1
2/π
p/2
0 1/p 2/p
x
10
α/λ
c) Réseau de taille finie
Réseau fini - Traits Infiniment Fins
+∞
Rect(L) ∑ δ
(x
− Κ p
+∞
∑
)
−∞
TF
−∞
⎛
⎝
0.405
d0
f λ / a = d0
-4p -3p -2p p
0
p
2p 3p
4p
x
Κ
p
δ ⎜⎜ u −
-2/p
⎞
⎟⎟ *TF(Rect(L))
⎠
0.405
d0
0.405
d0
f λ / a = d0
f λ / a = d0
0
-1/p
0.405
d0
f λ / a = d0
1/p
0.405
d0
f λ / a = d0
2/p α/λ
L
Dans ce cas, on peut écrire que l’amplitude sur la fenêtre diffractante est celle d’un réseau
infini multipliée par une fonction rectangle de largeur L, taille du réseau.
La figure de diffraction en amplitude est donc celle obtenue pour un réseau infini (suite de pic
de Dirac d’amplitudes égales ou différentes selon la largeur des traits) convoluée par :
L sin(παL / λ ) / (παL / λ )
Remarque : Notez la différence d’échelle entre « L » largeur totale des traits du réseaux et
« a » ou « p » largeur ou pas des traits typiquement 104 ou 105 fois plus faibles.
d) Réseau sinusoïdal
On sait aujourd’hui (en photographiant des franges d’interférence par exemple) réaliser des
1
réseaux dont la fonction transmission en amplitude est f ( x ) = (1 + cos 2πx / p ) .
2
La transformée de Fourier de f(x) fait apparaître les ordres 0 et ± 1 correspondant à α = 0
λ
ou ± 1 .
p
VIII UTILISATION DES RESEAUX EN SPECTROSCOPIE
a) Réseaux par transmission ou réflexion
Rappelons les formules, on avait :
kλ
sin i'− sin i =
p
kλ
sin i'+ sin i =
p
(1)
par transmission
et
(2)
11
par réflexion
b) Pouvoir dispersif
C’est la quantité
kdλ
di'
k
di'
=
.
en dérivant (1) ou (2) cos i' di' =
soit
p
dλ p cos i'
dλ
c) Pouvoir de résolution théorique
Lorsque la résolution est imposée par la diffraction due à la taille finie du réseau.
di'
λ
Dans le plan focal de 02 on a d o = f = f
∆λ = f∆i' (premier zéro de diffraction par la
a
dλ
« fente » de largeur a).
Réseaux et spectroscopie
O1
O2
a
Ecran ou barette de
photodétecteurs
Fente
∞t fine
Violet
f
rouge
0 .4 0 5
d0
f λ / a = d0
On trouve un pouvoir de résolution : R =
λ
di'
ka
k
=a
=
=
= kN
∆λ
dλ p cos i' pL
où ∆λ est le plus petit intervalle spectral que le spectromètre peut séparer, par convention on
suppose que la séparation entre les deux pics correspondants est égale au premier zéro de la
figure de diffraction associée à la taille du réseau.
Exemple :
⎧1000 traits/mm
⎪
⎨ L = 100mm
⎪ N = 10 5
⎩
K=2
R=2 105
12
à comparer avec un Fabry Pérot.
⎧ e = 2,5cm
⎪F ~ 100
⎨
⎪⎩λ = 0,5µm
p=
2e
50
=
= 10 5
−3
λ 0,510
R=107.
d) Intervalle Spectral Libre
Dans une même direction on observe plusieurs radiations diffractées, les nombres d’ondes
associés σ vérifient :
k
σ=
= k∆σ o
p(sin i'± sin i )
p(sin i'± sin i )
ou λ =
.
k
Cela impose parfois un filtrage préalable pour séparer les différents ordres.
Calculons le nombre de « canaux de mesure » utiles ∆σ o / ∆σ ~rapport entre la « distance »
angulaire de deux ordres successifs et la largeur angulaire de la tache de diffraction :
⎛⎜ λ ⎞⎟
⎝ p⎠
(λ L) = Lp = N
Plus précisément :
1
p(sin i'± sin i )
σ
σ
σ
∆σ = =
=
R kN δσN
car k = δ / λ
∆σ o =
or δ = p (sin i'± sin i ) =
1
∆σ o
∆σ o
= ∆σ o δN = N
∆σ
N ≈ 105 >> F du Fabry Pérot.
↑
nombre d’éléments spectraux (ayant pour largueur la résolution
théorique) sans risque de recouvrement d’ordres.
e) Montages
-
En Spectrographe (Détecteur Image).
En Spectromètre (Détecteurs de flux).
13
f) Réseaux « Blazés » (voir Préceptorat).
L’utilisation d’un « Profil à échelette » va favoriser un ordre équivalent à ce que l’on a pour
les traits de largeur finis mais dans une direction qui ne correspond pas à i= ± i’, c’est à dire
l’ordre 0, mais à l’ordre dans lequel le réseau est utilisé.
g) Fabrication et contrôle des réseaux.
Dans les anciens réseaux on observait des raies parasites ou « ghost » à côté des raies
attendues. Cela était dû aux erreurs périodiques dans le tracé du réseau.
A présent on a un contrôle interférométrique du tracé et ces défauts n’existent plus .
Un original de réseau coûte cher (il faut environ une semaine pour faire une matrice avec un
outil diamanté) mais on peut faire de très bonne copies par moulage. Aujourd’hui les
« Réseaux Holographiques » qu’on obtient directement en photographiant des franges sur des
polymères photosensibles ont tendance à remplacer les réseaux gravés.
Le contrôle de la qualité du réseau peut s’effectuer sur un spectromètre en regardant la
« fonction d’appareil » ou avec un interféromètre de Michelson qui analyse le front d’onde.
IX RESEAUX ZONES
TRANSMISSION
“sinusoïdal”
S∞
1
S ∞'
S1
0
δ0+2λ
S1'
δ0
ρp
Avec un réseau à profil sinusoïdal on a l’ordre 0 S' 0 ∞ , ces réseaux sont constitués de cercles
concentriques de largeur variable (cf. la figure « zones de Fresnel en début de chapitre) puis
une image réelle représentant l’ordre
+1 S’1, puis une image virtuelle représentant l’ordre
–1 S1.
On a l’analogue des réseaux sinusoïdaux avec les ordres 0 ± 1.
Avec un réseau zoné noir et blanc on observera des ordres ± 1 ± 2 ± 3…
“noir et blanc”
TRANSMISSION
1
0
Remarques :
14
1
2
3 4
5 6 7
ρ
p
1) Grand chromatisme, mais aussi grand domaine spectral possible (on peut focaliser
des Rayons X avec un réseau coné fabriqué avec les techniques de
microlithographie).
2) On peut obtenir (pour une λ) un stigmatisme parfait.
3) On réalise ainsi des Optiques Non Réfractives (pas d’usinage pour créer des
surfaces sphériques par exemple).
2