MÉCANIQUE DU VOL TOME 1 PERFORMANCES DES AVIONS

MÉCANIQUE DU VOL
TOME 1
PERFORMANCES DES AVIONS
P. GUICHETEAU
ONERA
Tel. 01 69 93 63 54
Fax 01 69 93 63 00
E-mail : [email protected]
TABLE DES MATIERES
1.
INTRODUCTION.................................................................................................................................... 5
2.
GÉNÉRALITÉS....................................................................................................................................... 7
2.1.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.2.6.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.4.
2.4.1.
2.4.2.
3.
POSITION DU PROBLEME ....................................................................................................................... 7
RAPPELS DE CINEMATIQUE ................................................................................................................... 7
REPERES D’ESPACE............................................................................................................................... 7
REFERENTIELS ...................................................................................................................................... 8
TRAJECTOIRE ........................................................................................................................................ 8
VITESSE DANS UN REFERENTIEL .......................................................................................................... 8
ACCELERATION DANS UN REFERENTIEL............................................................................................... 8
CHANGEMENT DE REFERENTIEL ........................................................................................................... 8
RAPPELS DE MECANIQUE .................................................................................................................... 10
LES TROIS LOIS DE NEWTON .............................................................................................................. 10
APPLICATION DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ........................................................ 11
MOMENT CINETIQUE .......................................................................................................................... 12
APPLICATION AU CALCUL DES PERFORMANCES ................................................................................ 13
MOUVEMENT DU CENTRE DE MASSE .................................................................................................. 13
MOUVEMENT AUTOUR DU CENTRE DE MASSE.................................................................................... 14
REPÈRES ............................................................................................................................................... 17
3.1. RAPPEL SUR LES ROTATIONS PLANES ................................................................................................. 17
3.2. REPERES DE REFERENCE ET AUTRES NOTATIONS ............................................................................. 17
3.2.1. REPERE TERRESTRE ............................................................................................................................ 17
3.2.2. REPERE NORMAL TERRESTRE ............................................................................................................. 17
3.2.3. REPERE NORMAL TERRESTRE PORTE PAR L’AVION ............................................................................ 18
3.2.4. REPERE AVION .................................................................................................................................... 18
3.2.5. REPERE AERODYNAMIQUE ................................................................................................................. 18
3.2.6. REPERE CINEMATIQUE........................................................................................................................ 18
3.3. POSITIONS RELATIVES DES DIVERS REPERES ..................................................................................... 19
3.3.1. POSITION DU REPERE AVION PAR RAPPORT AU REPERE NORMAL TERRESTRE PORTE PAR L'AVION ... 19
3.3.2. POSITION DU REPERE AERODYNAMIQUE PAR RAPPORT AU REPERE AVION ........................................ 21
3.3.3. POSITION DU REPERE AERODYNAMIQUE PAR RAPPORT REPERE NORMAL TERRESTRE ...................... 22
3.3.4. POSITION DU REPERE CINEMATIQUE PAR RAPPORT AU REPERE NORMAL TERRESTRE PORTE PAR
L’AVION ........................................................................................................................................................... 23
3.4. VITESSES ANGULAIRES DE L'AVION .................................................................................................... 24
3.4.1. DEFINITION DES VITESSES ANGULAIRES ............................................................................................ 24
3.4.2. DETECTION DES VITESSES ANGULAIRES............................................................................................. 25
3.5. APPLICATION DES QUATERNIONS AUX CHANGEMENTS DE REPERE ................................................. 25
3.5.1. GENERALITES ..................................................................................................................................... 25
3.5.2. APPLICATION AUX CHANGEMENTS DE REPERE .................................................................................. 26
3.5.3. APPLICATION AUX ANGLES D’EULER ................................................................................................. 26
4.
FORCES DE MASSE ............................................................................................................................ 29
4.1. PESANTEUR .......................................................................................................................................... 29
4.1.1. FORCE GRAVITATIONNELLE – POIDS .................................................................................................. 29
4.1.2.
4.1.3.
4.2.
4.2.1.
4.2.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.5.1.
4.5.2.
5.
ATMOSPHÈRE ET VITESSES ........................................................................................................... 35
5.1.
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.2.
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.
5.2.5.
5.3.
5.4.
5.4.1.
5.4.2.
5.4.3.
5.5.
5.5.1.
5.5.2.
6.
ALTITUDE GEOPOTENTIELLE .............................................................................................................. 29
ALTITUDE TOTALE.............................................................................................................................. 30
NOTION DE FACTEUR DE CHARGE....................................................................................................... 30
FACTEUR DE CHARGE TANGENTIEL .................................................................................................... 31
FACTEUR DE CHARGE NORMAL .......................................................................................................... 31
VOL EN VIRAGE .................................................................................................................................... 32
REMARQUES ......................................................................................................................................... 32
MESURES ACCELEROMETRIQUES ....................................................................................................... 33
PRINCIPE DE L’ACCELEROMETRE ....................................................................................................... 33
DEPLACEMENT DE LA MESURE ACCELEROMETRIQUE ........................................................................ 34
ATMOSPHERE ....................................................................................................................................... 35
ATMOSPHERE STANDARD ................................................................................................................... 35
ATMOSPHERE STANDARD + ∆T DEGRES............................................................................................. 38
APPLICATION NUMERIQUE ................................................................................................................. 40
ATMOSPHERE REELLE ........................................................................................................................ 40
VITESSES UTILISEES EN MECANIQUE DU VOL .................................................................................... 41
RAPPELS DE THERMODYNAMIQUE ..................................................................................................... 41
VITESSE-AIR ....................................................................................................................................... 42
VITESSE CONVENTIONNELLE.............................................................................................................. 42
VITESSE PROPRE ................................................................................................................................. 43
EQUIVALENT VITESSE......................................................................................................................... 43
DEPENDANCE DES QUANTITES VC, M, HP .......................................................................................... 43
MESURE DES GRANDEURS ANEMOMETRIQUES .................................................................................. 45
MESURE DE L’ALTITUDE-PRESSION .................................................................................................... 45
MESURE DE LA VITESSE EN VOL ......................................................................................................... 45
MESURE DE L’INCIDENCE ET DU DERAPAGE ...................................................................................... 46
TABLES D’ATMOSPHERE STANDARD ................................................................................................... 47
ATMOSPHERE STANDARD DE 0 A 47000 METRES ............................................................................... 47
ATMOSPHERE STANDARD DE 0 A 60000 PIEDS ................................................................................... 49
FORCES DE SURFACE DE NATURE AÉRODYNAMIQUE......................................................... 51
6.1.
6.2.
6.2.1.
6.2.2.
6.2.3.
6.2.4.
6.2.5.
6.3.
6.3.1.
6.3.2.
6.3.3.
6.3.4.
6.3.5.
6.4.
6.4.1.
6.4.2.
6.5.
UN PEU DE VOCABULAIRE ................................................................................................................... 51
EXPRESSION GENERALE DES FORCES AERODYNAMIQUES ................................................................ 52
EXPRESSION DE LA FORCE DANS LE REPERE AVION ........................................................................... 53
EXPRESSION DE LA FORCE DANS LE REPERE AERODYNAMIQUE......................................................... 53
COEFFICIENT DE PORTANCE ............................................................................................................... 54
COEFFICIENT DE TRAINEE .................................................................................................................. 55
POLAIRE NON EQUILIBREE.................................................................................................................. 55
EXPRESSION GENERALE DU MOMENT AERODYNAMIQUE ................................................................. 56
EXPRESSION DU MOMENT DANS LE REPERE AVION ............................................................................ 56
EXPRESSION DU MOMENT DANS LE REPERE AERODYNAMIQUE ......................................................... 57
EXPRESSION DU COEFFICIENT DE MOMENT DE TANGAGE .................................................................. 57
CENTRE DE POUSSEE .......................................................................................................................... 58
FOYER................................................................................................................................................. 58
ÉQUILIBRAGE DU MOMENT DE TANGAGE .......................................................................................... 59
EFFICACITE DE LA GOUVERNE DE PROFONDEUR ................................................................................ 59
POLAIRE EQUILIBREE ......................................................................................................................... 59
INFLUENCE DU NOMBRE DE MACH ..................................................................................................... 60
7.
FORCES DE SURFACE DE NATURE PROPULSIVE .................................................................... 63
7.1.
7.2.
7.2.1.
7.2.2.
7.3.
7.3.1.
7.3.2.
7.4.
7.4.1.
7.4.2.
7.5.
8.
RENDEMENT DE PROPULSION DES MOTEURS AEROBIES ................................................................... 64
CONSOMMATION HORAIRE ET CONSOMMATION SPECIFIQUE .......................................................... 65
CONSOMMATION HORAIRE ................................................................................................................. 65
CONSOMMATION SPECIFIQUE ............................................................................................................. 66
CARACTERISTIQUES DES MOTEURS GTR .......................................................................................... 66
COURBES "MOTEUR" .......................................................................................................................... 66
SENSIBILITE DE LA POUSSEE DES TURBOREACTEURS AUX CONDITIONS DE VOL ............................... 67
CARACTERISTIQUES DES MOTEURS GTR .......................................................................................... 68
COURBES "MOTEUR" GMP................................................................................................................. 68
SENSIBILITE DE LA PUISSANCE DES MOTOPROPULSEURS AUX CONDITIONS DE VOL .......................... 68
MODELISATION UTILISEE EN MECANIQUE DU VOL ........................................................................... 69
ÉQUATIONS DU VOL ......................................................................................................................... 71
8.1. GENERALITES....................................................................................................................................... 71
8.2. ÉQUATIONS DU MOUVEMENT .............................................................................................................. 71
8.3. ÉQUATIONS DANS LES DIVERS CAS DE VOL ........................................................................................ 72
8.3.1. VOL EN PALIER RECTILIGNE STABILISE .............................................................................................. 72
8.3.2. VOL EN PALIER RECTILIGNE ACCELERE OU DECELERE ...................................................................... 73
8.3.3. MONTEE OU DESCENTE RECTILIGNE STABILISEE ............................................................................... 73
8.3.4. VIRAGE STABILISE EN PALIER ............................................................................................................ 73
9.
VOL RECTILIGNE STABILISÉ ........................................................................................................ 75
9.1.
9.1.1.
9.1.2.
9.1.3.
9.2.
9.2.1.
9.2.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.5.1.
9.5.2.
9.6.
9.7.
9.7.1.
9.7.2.
ÉQUILIBRE EN VOL RECTILIGNE STABILISE ....................................................................................... 75
RAPPELS DES HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES .................................................................................. 75
INVENTAIRE DES FORCES.................................................................................................................... 75
ÉQUILIBRE .......................................................................................................................................... 75
COURBES "PLANEUR" ......................................................................................................................... 76
DIAGRAMME DES POUSSEES GTR ...................................................................................................... 76
DIAGRAMME DES POUSSEES GMP ..................................................................................................... 77
VITESSE MINIMALE DE VOL................................................................................................................. 77
VITESSE ASCENSIONNELLE TOTALE/EXCEDENT DE POUSSEE DISPONIBLE ..................................... 77
PLAFONDS DE SUSTENTATION ET PROPULSION.................................................................................. 78
PLAFOND DE SUSTENTATION .............................................................................................................. 79
PLAFOND DE PROPULSION .................................................................................................................. 79
DOMAINE DE VOL ................................................................................................................................. 80
AUTONOMIE, DISTANCE MAXIMALE FRANCHISSABLE ...................................................................... 80
AUTONOMIE ....................................................................................................................................... 80
DISTANCE MAXIMALE FRANCHISSABLE ............................................................................................. 80
10.
PALIER DES AVIONS MUNIS DE GMP ET DE GTR.................................................................. 83
10.1. AVION MUNI D’UN GMP .................................................................................................................... 83
10.1.1. PROPRIETES DU VOL EN PALIER........................................................................................................ 83
10.1.2. AUTONOMIE ..................................................................................................................................... 83
10.1.3. DISTANCE MAXIMALE FRANCHISSABLE ........................................................................................... 83
10.1.4. POINTS CARACTERISTIQUES DE LA POLAIRE .................................................................................... 84
10.2. AVION MUNI D’UN GTR..................................................................................................................... 84
10.2.1. PROPRIETES DU VOL EN PALIER........................................................................................................ 84
10.2.2.
10.2.3.
10.2.4.
11.
AUTONOMIE ..................................................................................................................................... 85
DISTANCE MAXIMALE FRANCHISSABLE ........................................................................................... 85
POINTS CARACTERISTIQUES DE LA POLAIRE .................................................................................... 86
VOLS STABILISÉS EN MONTÉE OU EN DESCENTE ............................................................... 87
11.1. MONTEE RECTILIGNE UNIFORME ..................................................................................................... 87
11.1.1. ÉQUILIBRE EN MONTEE RECTILIGNE UNIFORME............................................................................... 87
11.1.2. PERFORMANCES CARACTERISTIQUES ............................................................................................... 87
11.2. DESCENTE RECTILIGNE UNIFORME .................................................................................................. 89
11.2.1. ÉQUILIBRE EN DESCENTE RECTILIGNE UNIFORME............................................................................ 89
11.2.2. PERFORMANCES CARACTERISTIQUES ............................................................................................... 90
12.
VOL EN VIRAGE................................................................................................................................ 93
12.1.
12.1.1.
12.1.2.
12.1.3.
12.2.
12.2.1.
12.2.2.
12.2.3.
12.3.
12.3.1.
12.3.2.
12.3.3.
12.4.
12.5.
13.
ÉQUILIBRE .......................................................................................................................................... 93
RAPPELS DES HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES ................................................................................ 93
INVENTAIRE DES FORCES.................................................................................................................. 93
ÉQUILIBRE ........................................................................................................................................ 93
VIRAGE NON STABILISE ..................................................................................................................... 94
LIMITE DE MANŒUVRE ..................................................................................................................... 94
RAYON DE VIRAGE MINIMAL NON STABILISE ................................................................................... 94
VITESSE ANGULAIRE MAXIMALE DE CHANGEMENT DE CAP NON STABILISEE ................................. 95
VIRAGE STABILISE ............................................................................................................................. 95
MARGE DE MANŒUVRE .................................................................................................................... 95
RAYON DE VIRAGE MINIMAL STABILISE ........................................................................................... 95
VITESSE ANGULAIRE MAXIMALE DE CHANGEMENT DE CAP STABILISEE ......................................... 96
LE VIRAGE DERAPE ............................................................................................................................ 96
LE VIRAGE GLISSE ............................................................................................................................. 97
DÉCOLLAGE ET ATTERRISSAGE................................................................................................ 99
13.1. DECOLLAGE ....................................................................................................................................... 99
13.1.1. DISTANCES ASSOCIEES AU DECOLLAGE ........................................................................................... 99
13.1.2. VITESSES ASSOCIEES AU DECOLLAGE. ........................................................................................... 100
13.1.3. LES SEGMENTS AU DECOLLAGE ..................................................................................................... 102
13.1.4. PERFORMANCES EXIGEES SUR LES SEGMENTS ............................................................................... 102
13.1.5. PARAMETRES OPERATIONNELS AU DECOLLAGE ............................................................................ 102
13.1.6. ÉQUATION DE ROULEMENT AU DECOLLAGE .................................................................................. 104
13.1.7. LIMITATIONS DECOLLAGE .............................................................................................................. 105
13.1.8. TROUEE. D’ENVOL .......................................................................................................................... 105
13.2. ATTERRISSAGE................................................................................................................................. 106
13.2.1. VITESSES ASSOCIEES A L’ATTERRISSAGE ....................................................................................... 106
13.2.2. REMISE DE GAZ............................................................................................................................... 106
13.2.3. LES PARAMETRES OPERATIONNELS A L'ATTERRISSAGE ................................................................. 107
1.
INTRODUCTION
La mécanique du vol atmosphérique est une branche particulière de la mécanique générale consacrée à
l’étude du mouvement des aéronefs pour le décrire, le quantifier, le modifier éventuellement et, plus
généralement, pour aider à la conception de véhicules aériens dotés de capacités définies a priori.
Comme tout corps de l’espace, l’aéronef, assimilé généralement à un solide indéformable, est à chaque
instant en équilibre sous l’action des forces qui lui sont directement appliquées et des forces d’inertie.
L’étude du mouvement du véhicule réduit à son centre de masse requiert la mise en œuvre des théorèmes
généraux de la mécanique du solide et de nombreuses autres connaissances relatives à l’aérodynamique,
l’énergétique et à l’automatique pour ne citer que les plus importantes. Ceci confère à cette discipline une
difficulté particulière qui nécessite un effort de synthèse important.
En mécanique du vol, on distingue les performances des qualités de vol.
• Les performances traitent des trajectoires des aéronefs permettant de concevoir et d’optimiser le
transport d’une charge d’un point à un autre. Elles ne s’intéressent donc, dans la plupart des cas,
qu’au mouvement du centre de masse sous l’action des forces appliquées. Le plus souvent ces
trajectoires sont dans un plan vertical confondu avec le plan de symétrie de l’avion.
• Les qualités de vol sont consacrées à l’étude et à l’optimisation des qualités intrinsèques de stabilité
et de maniabilité de l’avion. Elles s’intéressent à l’ensemble des mouvements de l’avion, notamment
autour du centre de masse sous l’effet des couples.
Pour simplifier, on dira que les performances analysent ce que l’avion est capable de faire alors que les
qualités de vol étudient sa maniabilité et sa stabilité.
Ce cours de performances traitera de l’équilibre des aéronefs dans différentes conditions de vol. Après avoir
rappelé les principes fondamentaux de la mécanique et présenté les caractéristiques de l’atmosphère dans
lequel ils évoluent, les forces de masse et de surface auxquelles ils sont soumis seront exposées.
Tous les éléments utiles à la modélisation du mouvement étant désormais rassemblés, les équations du vol
seront écrites et les différentes trajectoires typiques du vol des aéronefs seront précisées.
Puis, chaque cas de vol sera étudié afin d’en établir ses caractéristiques et sa sensibilité vis à vis des
éléments de la modélisation. Enfin, un chapitre de synthèse du cours traitera de la démarche d’avant-projet
de conception ou d’optimisation d’un aéronef répondant à des spécifications données et sera l’occasion de
balayer rapidement les différents éléments de performances traités précédemment. Ce dernier chapitre est
en cours de rédaction et ne figure pas encore dans ce document.
Comme vous pourrez le constater, le document que vous avez entre les mains n’est qu’une ébauche bien
imparfaite que je vous encourage vivement à critiquer. N’hésitez donc pas à le parcourir avec un esprit
curieux, à remettre en cause tous les résultats présentés et à me faire part de vos commentaires. Quels
qu’ils soient, ils seront accueillis avec intérêt et permettront l’édition d’une version corrigée probablement
plus complète pour vos successeurs. Je vous en remercie par avance.
P. Guicheteau
5
bla
6
2.
GENERALITES
2.1.
Position du problème
Ainsi qu’il a été dit, le problème des performances consiste généralement en l’optimisation d’une mission
impliquant le transport d’une charge d’un point à un autre. Cette mission comprend un décollage, un trajet
pouvant comporter lui-même divers types de trajectoires (montées, paliers, descentes et accessoirement
virages) et un atterrissage. On conçoit que, suivant la nature de la mission, différents types d’optimisation
soient souhaitables.
Le mouvement de l’appareil étant créé par la force motrice d’un propulseur incorporé, qui implique une
consommation de carburant et parfois même de comburant (fusée), cette consommation sera dans tous les
cas un élément fondamental de l’optimisation.
Les autres paramètres, sur lesquels l’optimisation peut porter, peuvent être mis en évidence en prenant
quelques exemples d’avions types.
• Avion d’attaque au sol : l’appareil transporte sa charge largable à faible altitude sur une distance
déterminée. Une partie du parcours est effectuée à la consommation la plus faible possible.
• Intercepteur haute altitude : La mission consiste en une montée aussi rapide que possible, en un
palier à une altitude élevée et à vitesse maximum suivie d’une descente aussi économique que
possible après largage d’un engin.
• Bombardier haute altitude : L’appareil doit atteindre une altitude aussi élevée que possible et y voler
à grande vitesse sur une distance aussi grande que possible.
• Avion de transport : On demande généralement à ce type d’appareil d’emporter sur des étapes
déterminées une charge aussi élevée que possible dans des conditions les plus économiques tout
en étant le plus rapide possible compte tenu des longueurs de pistes qu’il a à sa disposition.
• Pour tous les avions : La mission peut comporter une attente aussi économique que possible.
L’optimisation pourra donc porter sur :
• Les distances de décollage et d’atterrissage,
• Les problèmes de montée,
• Les vitesses maximales en palier à différentes altitudes,
• Le rayon d’action en déterminant des altitudes et des vitesses donnant la consommation minimale
• La durée maximale d’attente à régime économique, c’est à dire l’autonomie de vol.
La réalisation de ces optimisations présuppose évidemment la connaissance des variations des forces
intervenant dans le mouvement en fonction des paramètres qui les déterminent.
2.2.
Rappels de cinématique
2.2.1. Repères d’espace
On appelle solide tout système matériel
restent invariables au cours du temps.
(S )
dont les distances entre deux points quelconques de
(S )
∀(N , P ) ∈ (S ) : NP = cte
Un système de coordonnées est dit lié au solide (S ) lorsque l’origine et les axes de ce système sont fixes
par rapport à ce solide.
Un repère d’espace (R ) lié à un solide de référence (S ) est défini par l’ensemble des systèmes de
coordonnées liées à ce solide. Généralement l’utilisateur utilise des systèmes de coordonnées dont les axes
sont orthogonaux munis d’une base orthonormée directe.
(
)
Dans un système d’axes orthogonaux (Ox, Oy, Oz ) d’origine O et de vecteurs unitaires u x , u y , u z , on
peut poser
7
OM = x.u x + y.u y + z.u z
(x, y, z ) étant les coordonnées d’un point M dans le système d’axes considéré.
2.2.2. Référentiels
Pour connaître l’instant d’existence d’un phénomène physique, un observateur se réfère à une échelle de
temps composée d’une origine (t = 0 ) , d’une unité de temps (ut ) orientée suivant les temps croissants.
On appelle référentiel (ℜ ) lié à un solide
(S ) de référence, le repère d’espace-temps qui associe une
échelle de temps à un repère spatial (R ) lié à (S ) .
C’est donc dans un référentiel que sont définies les notions de trajectoire, de vitesse et d’accélération d’un
point M .
2.2.3. Trajectoire
La courbe représentant l’ensemble des positions M (t ) , en fonction du temps d’un mobile supposé
ponctuel, définit sa trajectoire pendant l’intervalle de temps considéré.
L’équation caractéristique d’une trajectoire en coordonnées cartésiennes s’écrit
x = x(t )
y = y (t ) z = z (t )
2.2.4. Vitesse dans un référentiel
Relativement au référentiel (ℜ ) , d’origine O , la vitesse v d’un mobile ponctuel M est la dérivée temporelle
du vecteur position OM par rapport à ce référentiel.
En coordonnées cartésiennes OM = x(t ).u x + y (t ).u y + z (t ).u z
()
Soit v
ℜ
⎛ d OM
= ⎜⎜
⎝ dt
⎞
⎟ = x& (t ).u x + y& (t ).u y + z& (t ).u z
⎟
⎠ℜ
2.2.5. Accélération dans un référentiel
Relativement au référentiel (ℜ ) , d’origine O , l’accélération a d’un mobile ponctuel M est la dérivée
temporelle du vecteur vitesse v par rapport à ce référentiel.
()
En coordonnées cartésiennes v
()
Soit a
ℜ
ℜ
= x& (t ).u x + y& (t ).u y + z& (t ).u z
⎛ dv ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ = &x&(t ).u x + &y&(t ).u y + &z&(t ).u z
⎝ dt ⎠ℜ
2.2.6. Changement de référentiel
Soient
• un référentiel (ℜ ) associé au repère spatial (R ) d’origine O et de vecteurs unitaires
•
•
•
un référentiel
(u
x1
, u y1 , u z1 )
(ℜ1 )
associé au repère spatial
(R1 )
(u , u , u )
x
y
z
d’origine O1 et de vecteurs unitaires
Ω le vecteur rotation du repère spatial (R1 ) par rapport au repère spatial (R )
un mobile ponctuel M de coordonnées ( x, y , z ) dans le repère spatial (R ) et ( x1 , y1 , z1 ) dans le
repère spatial (R1 )
8
Alors
⎛ d OM
⎜
⎜ dt
⎝
⎞
⎟ = x& (t ).u x + y& (t ).u y + z& (t ).u z
⎟
⎠ℜ
⎛ d O1 M
⎜
⎜ dt
⎝
⎞
⎟ = x&1 (t ).u x1 + y&1 (t ).u y1 + z&1 (t ).u z1
⎟
⎠ ℜ1
Il s’ensuit
⎛ d OM
⎜
⎜ dt
⎝
⎞
⎛
⎟ = ⎜ d O1M
⎟
⎜
⎠ℜ ⎝ dt
⎛ du ⎞
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎟ + x1.⎜ d u x1 ⎟ + y1.⎜ y1 ⎟ + z1.⎜ d u z1 ⎟
⎟
⎜ dt ⎟
⎜
⎟
⎜ dt ⎟
⎠ ℜ1
⎝
⎠ℜ
⎝ dt ⎠ℜ
⎝
⎠ℜ
ou encore
⎛ d OM
⎜
⎜ dt
⎝
⎞
⎛
⎟ = ⎜ d O1M
⎟
⎜
⎠ℜ ⎝ dt
⎞
⎟ + Ω ∧ O1M
⎟
⎠ ℜ1
dans laquelle
•
•
Ω est le vecteur rotation du repère spatial (R1 ) par rapport au repère spatial (R )
O1M est la position de M dans le repère (R1 )
2.2.6.1.
Application à la vitesse
En dérivant par rapport au temps la position du mobile ponctuel
M dans le référentiel (ℜ)
OM = OO1 + O1M
on obtient l’expression suivante
(v ) = (v ) + Ω ∧ O M
+ (v )
M ℜ
ventrainement
1
O1 ℜ
vrelative
M ℜ1
dans laquelle
•
(v )
(v )
(v )
•
Ω est le vecteur rotation du repère spatial (R1 ) par rapport au repère spatial (R )
•
•
•
M ℜ
O1 ℜ
M ℜ1
est la vitesse de
M dans le référentiel (ℜ )
()
est la vitesse de O1 dans le référentiel (ℜ ) également appelée vitesse d’entraînement ve
est la vitesse de
M dans le référentiel (ℜ1 ) , nulle si M est fixe dans (R1 )
O1M est la position de M dans le repère (R1 )
2.2.6.2.
Application à l’accélération
Pour cela, il suffit de dériver la relation précédente.
M ℜ
O1
( )
⎛ d vM
⎜
+
ℜ
⎜ dt
⎝
(a ) = (a )
ℜ1
⎞ ⎛ dΩ ⎞
⎛
⎟ +⎜
⎟ ∧ O1M + Ω ∧ ⎜ d O1M
⎜
⎟
⎜ dt
⎟ ⎝ dt ⎠
⎝
ℜ
⎠ℜ
qui peut être transformée sous la forme suivante
9
⎞
⎟
⎟
⎠ℜ
ℜ
(a ) = (a )
M ℜ
O1 ℜ
( )
⎛ d vM
+⎜
⎜ dt
⎝
ℜ1
⎞
⎟ +Ω∧ v
M
⎟
⎠ ℜ1
( )
ℜ1
(( )
⎛ dΩ ⎞
⎟ ∧ O1M + Ω ∧ vM
+ ⎜⎜
⎟
dt
⎝
⎠ℜ
ℜ1
+ Ω ∧ O1M
)
pour aboutir à l’expression de l’accélération
(a ) = (a )
M ℜ
O1 ℜ
⎛ dΩ ⎞
⎟ ∧ O1M + Ω ∧ Ω ∧ O1M
+ ⎜⎜
⎟
dt
⎠ℜ
⎝
( )
+ 2Ω ∧ v M
( )
+ aM
(a )
(a )
•
M ℜ
•
•
O1 ℜ
acoriolis
ℜ1
arelative
ℜ1
dans laquelle
est l’accélération de
aentrainement
M dans le référentiel (ℜ )
est l’accélération de O1 dans le référentiel (ℜ )
⎛ dΩ ⎞
⎟
⎜
⎜ dt ⎟ est la dérivée temporelle vecteur rotation du repère spatial (R1 ) par rapport au repère
⎠ℜ
⎝
spatial (R ) dans le référentiel (ℜ )
O1M est la position de M dans le repère (R1 )
•
Ω le vecteur rotation du repère spatial (R1 ) par rapport au repère spatial (R )
•
En faisant l’hypothèse que le mobile ponctuel est immobile dans le repère (R1 ) et que le vecteur rotation du
repère spatial (R1 ) par rapport au repère spatial
précedente se simplifie.
(a ) = (a )
M ℜ
2.3.
O1 ℜ
(R )
dans le référentiel (ℜ ) est constant, la relation
+ Ω ∧ Ω ∧ O1M
Rappels de mécanique
2.3.1. Les trois lois de Newton
2.3.1.1.
Première loi – Principe d’inertie
On postule l’existence de référentiels ℜ g dits galiléens dans lesquels une particule mécaniquement isolée,
c’est à dire soumise à aucune force extérieure1, en mouvement dans ℜ g , est en translation rectiligne
uniforme. Si cette particule se trouve initialement au repos dans ℜ g , elle se maintient dans l’état de repos.
En conséquence, si ℜ g et ℜ g1 sont deux référentiels galiléens, ils sont en translation rectiligne et uniforme
( )
l’un par rapport à l’autre puisque vM
(v )
e ℜg
ℜg
( )
= vM
ℜ g1
( ) , (v )
+ ve
ℜg
M ℜg
( )
= cte et vM
ℜ g1
= cte , entraînent
= cte
2.3.1.2.
Exemples de référentiels galiléens
Référentiel de Copernic
1
Une telle particule ne peut exister au voisinage au voisinage de la Terre à cause de l’attraction terrestre.
10
Son origine est confondue avec le centre d’inertie du système solaire (c’est à dire le barycentre des
distributions de matière) et ses trois axes orthonormés sont dirigés vers trois étoiles lointaines
considérées comme fixes.
Référentiel géocentrique
Son origine est confondue avec le centre de la Terre et ses trois axes orthonormés sont dirigés vers
trois étoiles lointaines considérées comme fixes. Ce référentiel se trouve donc en mouvement de
translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic.
Expérimentalement, on montre que ce repère géocentrique peut être assimilé à un repère galiléen
avec une bonne approximation dans la mesure où on peut négliger les interactions gravitationnelles
des autres astres au voisinage de la Terre excepté pour quelques cas particuliers comme le
phénomène des marées pour lequel il est nécessaire de faire intervenir l’action conjuguée du soleil
et de la lune.
Référentiel terrestre
Un référentiel terrestre est lié à la Terre. Il effectue un mouvement de rotation autour de l’axe des
pôles avec une période de 24 heures.
On assimilera un référentiel terrestre à un référentiel galiléen si l’on peut négliger les conséquences
de la rotation de la Terre ce qui sera quasiment toujours le cas dans ce cours. Attention cependant si
l’on s’intéresse aux centrales inertielles.
2.3.1.3.
Deuxième loi – Principe fondamental de la dynamique
Soit un point matériel M , de masse m , soumis à diverses forces de résultante F . Le principe fondamental
de la dynamique exprime l’accélération a du point
M dans un référentiel galiléen ℜ g
F = ma
Remarques
•
Lorsque le point est mécaniquement isolé F = 0 , l’accélération est nulle et la vitesse est constante.
•
La résultante F des actions appliquées étant indépendante du référentiel choisi, le postulat
fondamental de la dynamique est invariant par changement de référentiel galiléen.
•
M , de masse m , soumis à diverses forces de résultante F dans un
référentiel galiléen ℜ g est caractérisé par F ( M ) = 0 . Cette condition nécessaire d'équilibre n’est
L’équilibre d’un point matériel
pas suffisante car elle implique un mouvement rectiligne. Il faut en outre que la vitesse du point soit
nulle à l’instant initial.
2.3.1.4.
Troisième loi – Principe de l’action et de la réaction
Soient deux points matériels M 1 et M 2 dont les forces d’interaction réciproque sont notées f 12 (exercées
par M 2 sur M 1 ) et f
21
(exercées par M 1 sur M 2 ).
La troisième loi de Newton exprime que ces forces sont opposées et sont portées par la droite joignant les
deux points matériels.
f 12 = − f 21 ,
f 12 ∧ M 1M 2 = 0
2.3.2. Application du principe fondamental de la dynamique
2.3.2.1.
Théorème de la quantité de mouvement
Soit un point matériel M , de masse m , se déplaçant à la vitesse v dans un référentiel ℜ .
La quantité de mouvement p de ce point matériel dans le référentiel ℜ .est définie par :
p = mv
11
Soit un point matériel M , de masse m , en mouvement dans un référentiel galiléen ℜ g . Ce point est soumis
à des forces de résultante F .
Le théorème de la quantité de mouvement s’obtient simplement en faisant intervenir la quantité de
mouvement dans la formulation du principe fondamental de la dynamique :
F = ma = m
dv
dp
⇒F=
dt
dt
2.3.2.2.
Théorème du centre d’inertie pour un système de deux points matériels
Soit un système de deux points matériels (M 1 , M 2 ) en mouvement dans un référentiel galiléen ℜ g sous
l’action des forces extérieures de résultante F .
En appliquant le principe fondamental de la dynamique aux particules M 1 (m1 ) et M 2 (m2 ) et en faisant
intervenir le centre d’inertie G du système (M 1 , M 2 ) ,
OG =
m1 OM 1 + m2 OM 2
,
m1 + m2
le théorème du centre d’inertie s’exprime de la façon suivante :
⎛
⎞
(m1 + m2 )⎜⎜ d vG ⎟⎟
⎝ dt ⎠ℜ g
=F
Remarques
• Le centre d’inertie d’un système de deux points matériels (M 1 , M 2 ) mécaniquement isolé est en
mouvement de translation rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen ℜ g .
•
La quantité de mouvement totale d’un système de deux points matériels (M 1 , M 2 ) mécaniquement
isolé est constante dans un référentiel galiléen ℜ g .
•
Ce théorème se généralise directement à un système de n points matériels.
2.3.3. Moment cinétique
2.3.3.1.
Moment cinétique d’un point matériel
Le moment cinétique, par rapport à O , d’un point matériel M masse m en mouvement dans un référentiel
ℜ est défini par le moment par rapport à O du vecteur quantité de mouvement du point M dans ℜ .
H O (M ) ℜ = OM ∧ p (M ) ℜ = OM ∧ m v (M ) ℜ
[
]
[ ]
[ ]
La projection de H O sur un axe ∆ passant par O et de vecteur unitaire u∆ est appelé moment cinétique
par rapport à l’axe.
H ∆ = H O ⋅ u∆
2.3.3.2.
Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen
Soit un point matériel M , de masse m , en mouvement dans un référentiel galiléen ℜ g . Ce point de quantité
de mouvement p = mv est soumis à des forces de résultante F .
En dérivant le moment cinétique par rapport au temps dans le référentiel galiléen,
12
(
)
d H O d OM ∧ mv
dp
dp
=
= v ∧ mv + OM ∧
= OM ∧
dt
dt
dt
dt
et en appliquant le théorème de la quantité de mouvement, on obtient le théorème du moment cinétique
d HO
= OM ∧ F
dt
2.3.3.3.
Extension au solide
Soit un système de n points matériels (M 1 ,L, M n ) de masse respectivement (m1 ,L, mn ) en mouvement
dans un référentiel ℜ à la vitesse respectivement (v1 ,L, vn )
La quantité de mouvement de ce système est
n
p = ∑ mi vi
i =1
Le moment résultant par rapport à un point O est
[H ]
[
n
O ℜ
]
[ ]
n
= ∑ OM i ∧ p ( M i ) ℜ = ∑ OM i ∧ mi v (M i ) ℜ
i =1
i =1
Si le système est un solide rigide, v ( M i ) = Ω ∧ OM i
Il s’ensuit
[H ]
O ℜ
(
n
= ∑ mi OM i ∧ Ω ∧ OM i
i =1
)
⎛ xi ⎞
⎜ ⎟
Si l’on suppose OM i = ⎜ yi ⎟ et que l’on introduit les notations suivantes :
⎜z ⎟
⎝ i⎠
n
(
)
A = ∑ yi + zi mi
i =1
2
2
n
i =1
2
2
)
E = ∑ ( zi xi )mi
i =1
i =1
[ ]
2.4.
(
n
D = ∑ ( yi zi )mi
alors H O
n
B = ∑ zi + xi mi
ℜ
⎛ A
⎜
= ⎜− F
⎜− E
⎝
n
(
)
C = ∑ xi + yi mi
i =1
2
2
n
F = ∑ ( xi yi )mi
i =1
−F
− E⎞
⎟
B − D ⎟ ⋅ Ω = [I ]⋅ Ω
− D C ⎟⎠
Application au calcul des performances
Ces lois fondamentales ne sont valides que pour un mouvement absolu, c’est à dire considéré par rapport à
un référentiel fixe lié aux étoiles, par exemple le repère de Copernic. Cependant, on assimilera
généralement la Terre, supposée plate et non tournante, à un tel référentiel sans oublier que cette
hypothèse limite l’analyse des mouvements dans le temps et l’espace.
2.4.1. Mouvement du centre de masse
Ce mouvement est décrit par la loi fondamentale :
r
r
dV
∑ Fext = m dt = ma
13
i( 1 )
dans laquelle :
r
∑F
ext
m
r
dV r
=a
dt
est la somme des forces extérieures composée des forces de surface, nommées
également forces de contact, et du poids
est la masse de l’avion,
est la dérivée du vecteur vitesse absolue par rapport au temps.
Les forces de surface sont des actions que l'air ou les gaz exercent à la surface des ailes, du fuselage, des
pièces mobiles ou fixes du propulseur, etc. Ces forces de surface peuvent également être décomposées en
force de propulsion, forces aérodynamiques dues au déplacement du mobile par rapport à l’air ambiant et
force aérostatique due à la présence du mobile dans l’air ambiant. À noter que les forces aérostatiques sont
négligées pour les aéronefs en raison de leur petitesse vis à vis des autres. Cependant, pour des ballons,
des dirigeables ou même des sous marins, ces forces sont essentielles. Il en résulte un accroissement de la
complexité des équations du mouvement qui doivent alors prendre en compte l’inertie du fluide déplacé dans
le mouvement. Toutes ces forces ne s’appliquant pas au centre de masse, elles y génèrent des moments.
À côté des forces de surface, on définit les forces de masse (ou massiques) qui s'exercent à l'intérieur de la
matière. Elles comprennent le poids et les forces d’inertie.
Cette nouvelle décomposition des forces en jeu dans le mouvement conduit à transformer la relation cidessus en exprimant que la somme géométrique des forces de masse et de surface est nulle.
r
r r r
Fsurface + m( g − a ) = 0
r
r
r
Fsurface + Fmasse = 0
Nous serons également amenés à exprimer la relation fondamentale de la dynamique dans des référentiels
mobiles pour en faciliter son interprétation.
Pour simplifier les calculs et les raisonnements qui vont suivre, il sera supposé que le vol est symétrique,
c'est à dire que le vecteur vitesse est situé dans le plan de symétrie de l'avion.
Sauf indication contradictoire, la résultante des forces extérieures sera généralement supposée être dans le
plan de symétrie de l’avion.
Il ne reste donc plus que la composante
longitudinale des forces aérodynamiques, portée
par le vecteur vitesse, ainsi que sa composante
normale perpendiculaire à ce vecteur dans le plan
de symétrie de l’aéronef.
La poussée du ou des propulseurs sera supposée
parallèle au vecteur vitesse dans le plan de
symétrie.
Le vent est constant en direction et en intensité. Dans la plupart des cas, on prendra le vent nul.
2.4.2. Mouvement autour du centre de masse
Ce mouvement est décrit par la loi fondamentale :
r
r
dΩ
[I ] = ∑ Qext
dt
dans laquelle :
14
i( 2 )
r
∑Q
[I ]r
dΩ
dt
est la somme des moments extérieurs par rapport au centre de masse
ext
est la matrice d’inertie de l’avion,
est la dérivée du vecteur vitesse de rotation autour du centre de masse par rapport
au temps.
Il sera supposé que le moment résultant de l’action des forces extérieures par rapport au centre de masse
de l’aéronef est nul pour exprimer que le vecteur rotation instantanée de l’aéronef autour de son centre de
masse est constant.
Lorsque le vecteur instantané de rotation est nul, la trajectoire de l’avion est rectiligne.
Lorsque le vecteur instantané de rotation est non nul, la trajectoire de l’avion sera une hélice d’axe vertical
avec le virage dans le plan horizontal comme cas particulier. En étendant la notion de constance du vecteur
rotation à celle de constance sur un horizon fini, nous pourrons également traiter le cas des points bas et
haut des boucles dans le plan vertical.
15
16
3.
REPERES
3.1.
Rappel sur les rotations planes
Soit un repère orthonormé direct (OX , OY ) d'origine O et un point M de coordonnées ( x, y ) par rapport
à ce repère.
Soit un autre repère orthonormé direct (OX ' , OY ') de même origine O déduit du repère précédent par une
rotation d'un angle α positif. Dans ce nouveau repère, les coordonnées du point M sont ( x ' , y ') .
r r
( )
(OX , OY ) et
Si l'on appelle i , j les vecteurs unitaires du repère
(OX ' , OY ') , les coordonnées du point
r r
(i ' , j ') les vecteurs unitaires du repère
M s'expriment de la façon suivante :
r
r
r
r
OM = x ⋅ i + y ⋅ j = x'⋅i '+ y '⋅ j '
Comme par ailleurs,
r
r
r
i ' = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j
r
r
r
j ' = − sin α ⋅ i + cos α ⋅ j
on en déduit les relations entre les coordonnées du point M dans les deux repères considérés.
⎡ x'⎤ ⎡ cos α sin α ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ y '⎥ = ⎢− sin α cos α ⎥ ⎢ y ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦
⎡ x ⎤ ⎡cos α
⎢ y ⎥ = ⎢ sin α
⎣ ⎦ ⎣
3.2.
− sin α ⎤ ⎡ x'⎤
cos α ⎥⎦ ⎢⎣ y '⎥⎦
Repères de référence et autres notations
Le choix d'un repère spatial pour exprimer les équations du mouvement d’un solide dépend du problème à
résoudre car un choix judicieux permet bien souvent de simplifier les équations. Dans le cas de la
mécanique du vol, le choix est rendu très délicat par le fait que les différentes forces agissant sur l'avion, de
natures différentes, ne s'expriment aisément que dans des trièdres différents. On est donc amené à définir
plusieurs repères spatiaux et à préciser les divers angles permettant de passer des uns aux autres.
Le but de la mécanique du vol étant de traiter du mouvement de l'avion par rapport à la terre, il est judicieux
de définir un repère lié à la terre. Dans ce système l’accélération de la pesanteur a une direction connue.
Par contre les forces d'inertie s'expriment plus aisément dans un repère lié instantanément à la vitesse. En
outre les aérodynamiciens mesurant les efforts aérodynamiques en soufflerie, ils les rapportent
naturellement à un repère lié à la soufflerie donc à la vitesse de l’écoulement de l’air par rapport à l’avion. Il
faut enfin repérer la position de l'avion par rapport à l'espace donc définir un repère lié à l'avion.
Très généralement, les équations de force sont ainsi exprimées dans le trièdre lié à la vitesse et les
équations de moment sont exprimées dans le trièdre lié à l’avion. Les équations obtenues permettent des
raisonnements simples.
3.2.1. Repère terrestre
Ce repère dont l’origine et les axes sont liés à la terre est choisi suivant les besoins.
3.2.2. Repère normal terrestre
Ce repère est noté (Tx 0 y 0 z 0 ) . Son origine (T ) est fixe par rapport à la terre supposée plate et immobile.
L'axe (Tz 0 ) est orienté suivant la verticale descendante. Les deux autres axes (Tx 0 ) et (Ty 0 ) sont deux
directions rectangulaires arbitrairement choisies dans le plan horizontal.
17
3.2.3. Repère normal terrestre porté par l’avion
Ce repère (Ox0 y 0 z 0 ) est équipollent au repère normal terrestre. Son origine (O ) est un point lié à l’avion,
usuellement le centre de masse.
L'axe (Oz 0 ) est vertical et orienté positivement vers
le bas.
Les axes (Ox0 ) et (Oy 0 ) complètent le trièdre direct,
l'axe
(Ox0 )
étant arbitrairement choisi, orienté par
exemple dans la direction du nord.
Dans ce trièdre, l’accélération de la pesanteur est
dirigée suivant l’axe (Oz 0 ) .
3.2.4. Repère avion
Ce repère (Oxyz ) est lié à l’avion. Son origine (O ) est un point fixe de l'avion. Il est quelquefois commode
de prendre le centre de masse de l'avion comme origine en se souvenant tout de même que sa position par
rapport à l’avion évolue au cours d'un vol.
Les axes
(Ox )
et
(Oz )
sont deux directions
arbitraires du plan de symétrie. L'axe (Ox ) est
une direction généralement voisine de l"axe du
fuselage". Il est orienté positivement de l'arrière à
l'avant de l'avion.
L'axe (Oz ) est dirigé positivement vers le ventre
de l'avion.
L'axe (Oy ) complète le trièdre trirectangle positif.
3.2.5. Repère aérodynamique
Ce repère (Ox a y a z a ) est lié à la vitesse de déplacement de l’avion par rapport à la masse d’air ambiante,
appelée vitesse-air ou vitesse aérodynamique. Son origine (O ) est un point fixe de l'avion, généralement le
même que l'origine du repère avion.
L'axe des abscisses
(Oxa )
est porté par la
vitesse-air et orienté positivement dans le sens de
la vitesse-air.
L'axe (Oz a ) est perpendiculaire à l’axe (Ox a ) . Il
est situé dans le plan de symétrie de l'avion et
orienté positivement vers le ventre de l'avion.
L'axe des ordonnées (Oy a ) complète le trièdre
trirectangle direct.
3.2.6. Repère cinématique
Ce repère (Oxc y c z c ) est lié à la vitesse de l’avion par rapport au sol. Son origine est usuellement la même
que celle du repère avion. L'axe (Oxc ) est porté par le vecteur vitesse de l’avion par rapport au sol et
18
orienté positivement dans le sens du déplacement. L'axe (Oz c ) est normal à l’axe (Oxc ) et situé dans le
plan vertical contenant le vecteur vitesse. Il est orienté positivement vers le bas. L'axe latéral
(Oyc )
appartient au plan horizontal. Ii est normal aux axes (Oxc ) et (Oz c ) . Il est orienté positivement vers le côté
droit de l’avion.
3.3.
Positions relatives des divers repères
3.3.1. Position du repère avion par rapport au repère normal terrestre porté par l'avion
La position du repère avion (Oxyz ) peut être repérée par rapport au repère normal terrestre porté par
l’avion (Ox0 y 0 z 0 ) par un grand nombre de systèmes d’angles d’Euler. On en retient généralement les deux
suivants.
Rotations ( ψ ,θ , ϕ )
3.3.1.1.
Considérons un repère auxiliaire (Ox' y ' z ') confondu avec le repère local terrestre porté par l’avion et
amenons-le en coïncidence avec le repère avion à l’aide de trois rotations successives.
Une première rotation d’angle
(Oz 0 )
ψ
autour de l’axe
amène l’axe (Ox') dans le plan vertical
passant par l’axe (Ox ) .
Une deuxième rotation d’angle θ autour de la
nouvelle position de l’axe (Oy ') , perpendiculaire
au
(Oxz0 ) ,
plan
amène
coïncidence avec l’axe (Ox ) .
Enfin, une troisième rotation d’angle
l’axe
(Ox )
amène l’axe
(Ox')
l’axe
(Oy')
ϕ
en
autour de
en coïncidence
avec l’axe (Oy ) de même que l’axe (Oz ') vient
en coïncidence avec l’axe (Oz ) .
L’azimut
ψ
est l’angle de rotation (positive si effectuée dans le sens d’horloge puisque l'axe (Oz 0 ) est
dirigé vers le bas) autour de l’axe (Oz 0 ) qui amène l’axe (Ox') en coïncidence avec la projection de l’axe
longitudinal sur le plan horizontal passant par l’origine. La matrice de passage du repère terrestre au repère
terrestre déplacé est Rψ :
⎡ cosψ
Rψ = ⎢⎢− sinψ
⎢⎣ 0
L’assiette longitudinale
θ
sinψ
cosψ
0
0⎤
0⎥⎥
1⎥⎦
est l’angle de rotation dans un plan vertical, faisant suite à la rotation de l’angle ψ
qui amène l’axe (Ox') déplacé en coïncidence avec l’axe longitudinal (Ox ) . Il est positif quand la partie
positive de l’axe longitudinal se trouve au-dessus du plan horizontal passant par l’origine. Par convention:
−
π
2
≤θ ≤
π
2
Une rotation positive du point de vue de la convention correspondant à une rotation négative du point de vue
de l'orientation des axes, la matrice de rotation Rθ s'écrit :
19
⎡cos θ
Rθ = ⎢⎢ 0
⎢⎣ sin θ
L’angle de gîte
ϕ
0 − sin θ ⎤
1
0 ⎥⎥
0 cos θ ⎥⎦
est l’angle de rotation, positive si effectuée dans le sens d’horloge, autour de l’axe
longitudinal qui amène l’axe (Oy ') déplacé dans sa position finale (Oy ) à partir de la position atteinte après
la rotation ψ . La matrice de rotation Rϕ s'écrit :
0
⎡1
⎢
Rϕ = ⎢0 cos ϕ
⎢⎣0 − sin ϕ
0 ⎤
sin ϕ ⎥⎥
cos ϕ ⎥⎦
Le passage du repère terrestre au repère avion est obtenu en appliquant la relation suivante :
⎡ x⎤
⎢ y ⎥ = R [R ] R
ϕ
θ
ψ
⎢ ⎥
⎢⎣ z ⎥⎦
⎡ x0 ⎤
⎡ x0 ⎤
⎢ y ⎥ = [R ]⎢ y ⎥
⎢ 0⎥
⎢ 0⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
⎢⎣ z0 ⎥⎦
[ ] [ ]
avec
cosψ cos θ
⎡
⎢
[R ] = ⎢− sin ψ cos ϕ + cosψ sin θ sin ϕ
⎢⎣ sin ψ sin ϕ + cosψ sin θ cos ϕ
3.3.1.2.
sin ψ cos θ
cosψ cos ϕ + sin ψ sin θ sin ϕ
− cosψ sin ϕ + sin ψ sin θ cos ϕ
− sin θ ⎤
cos θ sin ϕ ⎥⎥
cos θ cos ϕ ⎥⎦
Rotations ( ψ 1 , ϕ 1 ,θ 1 )
L’azimut ψ 1 est l’angle de rotation, positive si
effectuée dans le sens d’horloge, autour de l’axe
(Oz 0 ) .
L’angle de gîte ϕ 1 est l’angle de rotation,
positive si effectuée dans le sens d’horloge,
autour de l’axe longitudinal qui amène l’axe
(Oy') déplacé dans sa position finale (Oy ) à
partir de la position atteinte après la rotation ψ 1 .
L’assiette longitudinale θ 1 est l’angle de rotation
dans le plan de symétrie, faisant suite à la
rotation de l’angle ϕ 1 qui amène l’axe (Ox')
déplacé en coïncidence avec l’axe longitudinal
(Ox ) .
Ce dernier angle est positif quand la partie positive de l’axe longitudinal se trouve au-dessus du plan
horizontal passant par l’origine. Par convention:
−
π
2
≤ θ1 ≤
π
2
Le passage du repère terrestre porté par l’avion au repère avion est alors donné par les relations suivantes :
20
⎡ x⎤
⎡ x0 ⎤
⎢ y ⎥ = [R ]⎢ y ⎥
1 ⎢ 0⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ z ⎥⎦
⎢⎣ z0 ⎥⎦
⎡cosψ 1 cos θ 1 − sin ψ 1 sin θ 1 sin ϕ 1
[R1 ] = ⎢⎢
− sin ψ 1 cos ϕ 1
⎢⎣cosψ 1 sin θ 1 + sin ψ 1 sin ϕ 1 cos θ 1
3.3.1.3.
sin ψ 1 cos θ 1 + cosψ 1 sin θ 1 sin ϕ 1
cosψ 1 cos ϕ 1
sin ψ 1 sin θ 1 − cosψ 1 sin ϕ 1 cos θ 1
− cos ϕ 1 sin θ 1 ⎤
⎥
sin ϕ 1
⎥
cos θ 1 cos ϕ 1 ⎥⎦
Remarques
Pour passer du repère avion au repère normal terrestre, il faut faire le produit des 3 rotations dans le sens
inverse en observant que l'inverse d'une matrice de rotation est égale à sa transposée.
x0
x
x
y 0 = [R ] y = [R1 ] y
T
z0
T
z
z
On notera également que l’égalité terme à terme des matrices R et R1 permet d’établir les relations entre
les angles ( ψ ,θ , ϕ ) et ( ψ 1 , ϕ 1 ,θ 1 ).
tanψ =
tanψ 1 + sin ϕ1 tan θ1
1 − tanψ 1 tan θ1 sin ϕ1
tanψ − sin θ tan ϕ
1 + tanψ sin θ tan ϕ
tan θ
tan θ1 =
cos ϕ
tanψ 1 =
sin θ = cos ϕ1 sin θ1
tan ϕ =
tan ϕ1
cosθ1
sin ϕ1 = cosθ sin ϕ
3.3.2. Position du repère aérodynamique par rapport au repère avion
Il faut généralement trois angles pour définir la
position d'un repère par rapport à un autre. Dans
le cas particulier qui nous intéresse ici où l'axe
(Oz a ) est situé par définition dans le plan de
symétrie de l'avion, deux angles suffisent.
α est l'angle entre l'axe (Ox )
(Oxa y a ) du repère aérodynamique
L'angle d'incidence
avec le plan
compté positivement lorsque l'axe longitudinal est
situé au-dessus du plan
L'angle de dérapage
(Oxa )
β
est l'angle entre l'axe
avec le plan de symétrie de l'avion. Cet
angle est positif si l'air souffle sur le côté droit du
fuselage.
21
Le passage du repère aérodynamique au repère avion est donné par 2 rotations successives. La première
rotation d’angle (− β ) autour de l’axe (Oz a ) amène l’axe (Oya ) en coincience avec l’axe (Oy ) . La
seconde rotation d’angle
(α ) autour de l’axe (Oy ) amène l’axe (Oz a ) en coincidence avec l’axe (Oz ) .
⎡ x⎤
⎡ xa ⎤
⎡cos α cos β − cos α sin β − sin α⎤
⎢ y ⎥ = [T ]⎢ y ⎥ avec T = ⎢ sin β
cos β
0 ⎥
[ ] ⎢
⎢ ⎥
⎢ a⎥
⎥
⎢⎣ z ⎥⎦
⎢⎣ z a ⎥⎦
⎢⎣ sin α cos β − sin α sin β cos α ⎥⎦
Ainsi les composantes de la vitesse aérodynamique dans le trièdre avion sont données par les relations
générales suivantes :
⎡ u ⎤ ⎡V cos α cos β ⎤
[V ] = ⎢⎢ v ⎥⎥ = ⎢⎢ V sin β ⎥⎥
⎢⎣ w⎥⎦ ⎢⎣V sin α cos β ⎥⎦
3.3.3. Position du repère aérodynamique par rapport repère normal terrestre
Trois angles sont nécessaires pour définir la position relative des deux repère.
L'azimut aérodynamique
χa
est l'angle entre
l'axe (Ox0 ) avec le plan vertical passant par la
vitesse-air. Cet angle est positif quand la
composante de la projection de la vitesse-air sur
l'axe (Oy 0 ) est positive
La pente aérodynamique
γa
est l'angle entre
l'axe (Ox a ) porté par la vitesse-air avec le plan
horizontal. La pente aérodynamique est positive si
le vecteur vitesse-air est au-dessus du plan
horizontal.
Enfin l'angle
µa
est l'angle entre l'axe
(Oy a )
avec le plan horizontal. Cet angle est positif
quand la composante de la projection de la
vitesse-air sur l'axe (Oz 0 ) est positive.
Le passage du repère terrestre au repère aérodynamique est obtenu en appliquant les relations suivantes :
⎡ xa ⎤
⎡ x0 ⎤
⎢ y ⎥ = [R']⎢ y ⎥
⎢ a⎥
⎢ 0⎥
⎢⎣ za ⎥⎦
⎢⎣ z0 ⎥⎦
cos χ a cos γ a
⎡
⎢
[R'] = ⎢− sin χ a cos ϕ + cos χ a sin γ a sin µ a
⎢⎣ sin χ a sin ϕ + cos χ a sin γ a cos µ a
sin χ a cos γ a
cos χ a cos µ a + sin χ a sin γ a sin µ a
− cos χ a sin µ a + sin χ a sin γ a cos µ a
− sin γ a ⎤
cos γ a sin µ a ⎥⎥
cos γ a cos µ a ⎥⎦
En observant alors qu’il existe plusieurs chemins pour passer du repère terrestre au repère avion, on peut
en déduire des relations très utiles entres les différents angles.
22
⎡ x⎤
⎡ x0 ⎤
⎡ x0 ⎤
⎢ y ⎥ = [R ]⎢ y ⎥ = [T ][R']⎢ y ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0⎥
⎢ 0⎥
⎢⎣ z ⎥⎦
⎢⎣ z0 ⎥⎦
⎢⎣ z0 ⎥⎦
sin γ = (sin θ cosα − cosθ sin α cos ϕ )cos β − cosθ sin ϕ sin β
sin ϕ cosθ
sin µ =
+ tan β tan γ
cos γ cos β
1
cos µ =
(sin θ sin α + cosθ cosα cos ϕ )
cos γ
sin θ = cos γ (sin α cos µ + cos α sin β sin µ ) + sin γ cos α cos β
sin ϕ1 = cosθ sin ϕ = sin µ cos γ cos β − sin β sin γ
3.3.4. Position du repère cinématique par rapport au repère normal terrestre porté par l’avion
La position du repère cinématique par rapport au repère normal terrestre porté par l’avion est repéré par les
deux angles γ K et χ K puisque l’axe (Oy c ) est horizontal.
Le cap de la trajectoire, également appelé route,
χK
est l’angle de rotation, positive si effectuée dans le
sens d’horloge, autour de l’axe (Oz 0 ) qui amène l’axe (Ox') en coïncidence avec la projection de l’axe
(Oxc ) du repère aérodynamique sur le plan horizontal passant par l’origine.
γ K est l’angle de rotation dans un plan vertical, faisant suite à la rotation de l’angle
χ K qui amène l’axe (Ox') en coïncidence avec l’axe (Oxc ) du trièdre cinématique. Elle est positive quand
la partie positive de l’axe (Oxc ) se trouve au-dessus du plan horizontal passant par l’origine. Par
La pente de la trajectoire
convention:
−
π
2
≤γK ≤
π
2
Le passage du repère terrestre au repère cinématique est obtenu en appliquant les relations suivantes :
⎡ xc ⎤
⎡ x0 ⎤
⎢ y ⎥ = [R ]⎢ y ⎥
c ⎢ 0⎥
⎢ c⎥
⎢⎣ zc ⎥⎦
⎢⎣ z0 ⎥⎦
⎡cos γ K cos χ K
[Rc ] = ⎢⎢ cos γ K sin χ K
⎢⎣ − sin χ K
− sin χ K
cos χ K
0
sin γ K cos χ K ⎤
sin γ K sin χ K ⎥⎥
⎥⎦
cos γ K
Pour passer du repère cinématique au repère normal terrestre, il faut faire le produit des 2 rotations dans le
sens inverse :
⎡ x0 ⎤
⎡ xc ⎤
⎡ xc ⎤
⎢ y ⎥ = [R ]−1 ⎢ y ⎥ = [R ]T ⎢ y ⎥
c
c
⎢ 0⎥
⎢ c⎥
⎢ c⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
⎢⎣ zc ⎥⎦
⎢⎣ zc ⎥⎦
23
Quand la masse d’air est calme et immobile par rapport au sol, la vitesse-air est également la vitesse de
l’avion par rapport au sol. Dans ces conditions le cap aérodynamique et la pente aérodynamique deviennent
respectivement le cap de la trajectoire et la pente de la trajectoire.
3.4.
Vitesses angulaires de l'avion
La position angulaire du trièdre avion
(Ox0 y 0 z 0 )
(Oxyz )
est définie par les angles
par rapport au trièdre normal terrestre porté par l’avion
ψ ,θ et ϕ
et il est utile de connaître les relations entre les
()
coordonnées, dans le trièdre avion, du vecteur instantanée de rotation de l’avion Ω et les dérivées des
angles
ψ ,θ et ϕ .
3.4.1. Définition des vitesses angulaires
En reprenant la définition des angles ψ ,θ et ϕ , une rotation ψ& s’effectue autour de l’axe Oz0 , une rotation
θ& autour de l’axe Oyh et une rotation ϕ& autour de l’axe longitudinal. Par conséquent :
r
r
r
r
Ω = ψ& k0 + θ&jh + ϕ& i
r
où :
k0 est le vecteur unitaire de l’axe Oz0
r
j est le vecteur unitaire de l’axe Oyh
rh
i est le vecteur unitaire de l’axe Ox
La matrice de transformation entre les deux trièdres permet d’écrire les vecteurs unitaires dans le repère
avion.
r
r
r
r
k0 = − sin θ i + cosθ sin ϕ j + cosθ cos ϕ k
r
r
r
jh = cos ϕ j − sin ϕ k
Le vecteur instantané de rotation peut alors être exprimé dans le repère avion.
(
) (
)
Ω = (− ψ& sin θ +ϕ& )i + ψ& cos θ sin ϕ +θ& cos ϕ j + ψ& cosθ cos ϕ −θ& sin ϕ k
Les vitesses de roulis, de tangage et de lacet s’expriment alors de la façon suivante.
p = −ψ& sin θ + ϕ&
q = ψ& cosθ sin ϕ + θ& cos ϕ
r = ψ& cosθ cos ϕ − θ& sin ϕ
Les relations inverses s’écrivent alors :
ϕ& = p + tgθ ( q sin ϕ + r cos ϕ )
θ& = q cos ϕ − r sin ϕ
q sin ϕ + r cos ϕ
ψ& =
cosθ
Lorsqu'on simule des évolutions de grande amplitude, comme des décrochages ou des vrilles, l'angle θ peut
approcher et atteindre la valeur ± π 2 . On se heurte alors à des problèmes de précision, voire
d'indétermination lorsque θ = ± π 2 , que l'on peut résoudre en utilisant une formulation fondée sur l’usage
de quaternions à la place des angles d'Euler ψ ,θ ,ϕ .
Pour des évolutions plus courantes, l’usage des angles d’Euler est préférable puisqu’ils ont l'avantage de
fournir une approche plus physique et de donner les valeurs de leur dérivée directement.
24
3.4.2. Détection des vitesses angulaires
La figure ci-dessous présente le principe de la mesure des vitesses
angulaires. L'effet gyroscopique tend à
r
r
faire tourner l'équipage mobile de façon à rendre ω et Ω colinéaires. Un ressort der rappel maintient
l'ensemble en équilibre et un détecteur de position donne une indication proportionnelle à Ω .
Dans la pratique, l'équipage mobile ne bouge pas car un moteur empêche le mouvement. La variation
d'intensité de commande de ce moteur sert de détecteur.
3.5.
Application des quaternions aux changements de repère
3.5.1.
Généralités
De même qu'on associe un nombre complexe à une rotation plane, on associe un quaternion
r
rotation d'espace θδ dans un trièdre orthonormé direct de vecteurs unitaires (i, j , k ) .
λ à une
λ est une expression de la forme :
λ = λ0 + λ1i + λ2 j + λ3k
composée d’une partie réelle λ0 et d’une partie imaginaire λ1i + λ2 j + λ3k dans laquelle :
λ0 , λ1 , λ2 , λ3 sont des nombres réels
i, j , k sont des grandeurs vérifiant les relations suivantes
i 2 = j 2 = k 2 = −1
i. j = − j.i = k
j.k = − k . j = i
k .i = −i.k = j
Un quaternion
À un vecteur
:
(
)
r r
r r
r r
= i.(u . X ) + j.(u .Y ) + k .(u .Z )
r r r
r
u exprimé dans un repère X , Y , Z on associe le quaternion imaginaire pur u* dans ce repère
u*
Comme pour les nombres complexes, on définit également le conjugué et le module du quaternion
λ = λ0 − λ1i − λ2 j − λ3k
ρ 2 = λλ = λ0 2 + λ12 + λ2 2 + λ32
À la rotation d'espace
r
θδ , on associe le quaternion λ défini par :
25
λ:
θ
θ
λ = cos sin .δ *
2
2
r
r
r
δ le quaternion associé à δ . Il s’ensuit qu’un vecteur y transformé de x par la rotation θδ est tel
*
*
que son quaternion associé y est relié à x par la relation :
y * = λ.x*.λ
avec
r
*
3.5.2. Application aux changements de repère
Le quaternion
(
)
r r r
r r r
λ associé à la rotation transformant X , Y , Z en X S , YS , Z S a même mesure dans les
(
)
deux repères et on peut écrire :
u * ( X , Y , Z ) = λ.u * ( X S , YS , Z S ).λ
u * ( X S , YS , Z S ) = λ .u * ( X , Y , Z ).λ
(θ .δr ) = Ωr
°
Le mouvement angulaire
*
s’écrit sous la forme :
1
2
λ& = λ .ω *
ω * = i. p + j.q + k .r est
r r r
repère mobile X S , YS , Z S
où
(
r*
le quaternion associé au vecteur rotation instantanée Ω , exprimé dans le
)
3.5.3. Application aux angles d’Euler
La rotation de quaternion λ permettant de passer du repère terrestre porté par l’avion (Ox0 y 0 z 0 ) au
repère avion (Oxyz ) est la composée des trois rotations élémentaires d'angles ψ , θ et ϕ .
Les matrices de changement de repère sont données par :
⎛X⎞
⎛ X0 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
u ( X , Y , Z ) = λ .u ( X 0 , Y0 , Z 0 ).λ ⇔ ⎜ Y ⎟ = [R ]⎜ Y0 ⎟
⎜Z⎟
⎜Z ⎟
⎝ ⎠
⎝ 0⎠
*
*
⎛X⎞
⎛X⎞
⎛ X0 ⎞
⎟
⎟
⎜ ⎟
−1 ⎜
T⎜
u ( X 0 , Y0 , Z 0 ) = λ .u ( X , Y , Z ).λ ⇔ ⎜ Y0 ⎟ = [R ] ⎜ Y ⎟ = [R ] ⎜ Y ⎟
⎜Z⎟
⎜Z⎟
⎜Z ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ 0⎠
*
*
Le développement de la première relation permet d'obtenir pour expression de R dont l’expression est à
rapprocher de celle obtenue précédemment.
⎡ 2(λ0 2 + λ12 ) − 1 2(λ1.λ2 + λ0λ3 ) 2(λ1λ3 − λ0 .λ2 ) ⎤
[R] = ⎢⎢2(λ1.λ2 − λ0λ3 ) 2(λ0 2 + λ2 2 ) − 1 2(λ2λ3 + λ0 .λ1 ) ⎥⎥
⎢2(λ1λ3 + λ0 .λ2 ) 2(λ2λ3 − λ0 .λ1 ) 2(λ0 2 + λ3 2 ) − 1⎥
⎣
⎦
Aussi, en identifiant les termes, on en déduit les relations permettant de passer du quaternion
anglesψ , θ et ϕ .
26
λ aux
⎛ λ1.λ2 + λ0λ3 ⎞
⎟
2
2
⎟
+
−
0
.
5
λ
λ
1
⎝ 0
⎠
ψ = arctg ⎜⎜
λ1 = cos
θ = arcsin 2(λ0 .λ2 − λ1λ3 )
ϕ
ψ
θ
ϕ
ψ
θ
ϕ
ψ
θ
ϕ
cos sin − sin sin cos
2
2
2
2
2
2
2
λ3 = sin
Les équations du mouvement angulaire en
1
2
θ
cos cos + sin sin sin
2
2
2
2
2
2
ψ
θ
ϕ
ψ
θ
ϕ
λ2 = cos sin cos + sin cos sin
⎛ λ λ + λ .λ ⎞
ϕ = arctg ⎜⎜ 22 3 2 0 1 ⎟⎟
⎝ λ0 + λ3 − 0.5 ⎠
λ& = λ .ω *
ψ
λ0 = cos
ψ
2
θ
2
ϕ
2
ψ
2
θ
2
ϕ
cos cos − cos sin sin
2
2
2
2
2
2
ψ , θ et ϕ sont remplacées par le développement de
:
°
λ0 = −0.5(λ1. p + λ1.q + λ3 .r )
°
λ1 = +0.5(λ0 . p + λ2 .r − λ3 .q )
°
λ2 = +0.5(λ0 .q + λ3 . p − λ1.r )
°
λ3 = +0.5(λ0 .r + λ1.q − λ2 . p )
27
28
4.
FORCES DE MASSE
Comme nous l'avons vu précédemment, les forces de masse comprennent la pesanteur et les forces
d'inertie dues aux accélérations. Toutes ces forces sont proportionnelles à la masse de l'élément considéré.
La résultante de ces forces joue un rôle très important dans la détermination des contraintes engendrées
dans la structure. Nous sommes ainsi conduits à introduire la notion fondamentale du facteur de charge.
4.1.
Pesanteur
4.1.1. Force gravitationnelle – Poids
Il existe une force gravitationnelle d’attraction entre deux particules ponctuelles
de masses m et m' , distantes de r = MM
f m→m'
M et M ' respectivement
'
MM '
= −Gmm
avec G = 6.672 10 −11 Nm 2 kg −2
3
r
'
i( 3 )
Près de la Terre le poids d’une particule M de masse m s’identifie en pratique à la force gravitationnelle
exercée par la Terre, de centre OT de rayon RT et de masse mT , sur la particule située à une altitude
géométrique H geom du sol terrestre, soit :
P = −GmT m
OT M
= mg
(RT + H geom )3
En appelant g 0 le module de l’accélération de pesanteur en un point sur la Terre, le module de
l’accélération de pesanteur en un lieu situé au voisinage de la Terre s’exprime sous la forme :
⎛
⎞
RT
⎟
g = g0 ⎜
⎜R +H
⎟
geom ⎠
⎝ T
dans laquelle g 0 = G
2
mT
= 9.80665ms − 2
2
RT
La pesanteur étant dirigée suivant l'axe (Oz 0 ) , les composantes du poids dans le repère avion sont donc
naturellement proportionnelles à la troisième colonne des matrices R et R1 soit :
⎡ − mg sin θ ⎤ ⎡− mg cos ϕ1 sin θ1 ⎤
[P] = ⎢⎢ mg cosθ sin ϕ ⎥⎥ = ⎢⎢ mg sin ϕ1 ⎥⎥
⎢⎣mg cosθ cos ϕ ⎥⎦ ⎢⎣ mg cosθ1 cos ϕ1 ⎥⎦
4.1.2. Altitude géopotentielle
Pour tenir compte de l’amoindrissement du module de l’accélération de la pesanteur en fonction de l’altitude
géométrique, distance entre la masse et le sol terrestre, on introduit la notion d’altitude géopotentielle.
L’altitude géopotentielle est l’altitude géométrique à laquelle l’énergie potentielle d’une masse placée dans
un champ de pesanteur constant en fonction de l’altitude et de module g 0 est égale à l’énergie potentielle
dans le champ de pesanteur terrestre défini dans le paragraphe précédent.
29
Si l’attraction de la pesanteur était constante, une masse m pourrait acquérir une énergie potentielle égale
à mg 0 H gpot en s’élevant du sol à l’altitude H gpot . Mais comme l’attraction de la pesanteur n’est pas
constante, une masse m n’acquiert réellement cette énergie qu’en s’élevant à une altitude géométrique
H geom supérieure à H gpot .
H geom
H geom
0
0
∫ mg (s )ds = ∫
mg 0 H gpot =
Il vient alors : H gpot =
2
RT
mg 0
ds
(RT + s )2
RT H geom
RT + H geom
où H geom est l’altitude géométrique, H gpot est l’altitude équipotentielle, et RT = 6356.766km , le rayon
terrestre fictif pour une latitude de 45° nord.
H geom ( m)
0
5000
10000
20000
30000
H gpot ( m)
0
4996
9984
19937
29859
Cet écart étant en pratique négligeable dans le domaine d'évolution des avions, on supposera que le champ
d'accélération de la pesanteur est uniforme.
4.1.3. Altitude totale
Pour définir la notion d’altitude totale, il faut introduire celle d’énergie totale. L’énergie totale d’un avion de
masse m volant à la vitesse VK à l’altitude géométrique H geom est la somme de son énergie potentielle et
de son énergie cinétique.
1
2
E = mgH geom + mVK
2
L'altitude totale est le quotient de l’énergie totale par le poids du véhicule.
2
Ht =
2
E
V
V
= H geom + K = H gpot + K
mg
2g
2g0
La vitesse ascensionnelle totale est la dérivée de l’altitude totale par rapport au temps.
Wt =
4.2.
dH t dH geom VK dVK
=
+
⋅
dt
dt
g dt
Notion de facteur de charge
Le vecteur facteur de charge est égal au rapport entre la résultante des forces de masse et le module du
poids.
r
r Fmasse
n=
mg
Par définition, les composantes du facteur de charge sont des grandeurs sans dimension à ne pas
r
confondre avec l’accélération ( n g ) exprimée en ms
−2
ou en
g.
De part l’application de la relation fondamentale de la dynamique, le vecteur facteur de charge peut aussi
être défini par la relation :
r
Fsurface
r
n=−
mg
30
En faisant l’hypothèse que la trajectoire de l’avion est contenue dans un plan vertical et en l’absence de
vent, l’application de la définition du facteur de charge conduit à la relation
dV ⎞
⎛
⎛ nxa ⎞
⎛ − mg sin γ a ⎞ ⎜ m dt ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
ma = m⎜ n ya ⎟ g = ⎜
0
0
⎟−⎜
⎟
⎜n ⎟
⎜ mg cos γ ⎟ ⎜ − mV dγ a ⎟
a ⎠
⎝ za ⎠
⎝
⎜
dt ⎟⎠
⎝
Par convention, on désigne par facteur de charge ni suivant un axe i quelconque le rapport entre la
somme des projections des forces de masse sur cet axe et le module du poids. Suivant que l’on s’intéresse
aux projections dans le repère aérodynamique ou dans le repère avion, on définit :
• Facteur de charge tangentiel (nxa, nx)
• Facteur de charge transversal (nya, ny)
• Facteur de charge normal (nza, nz)
Lorsqu’on parle du facteur de charge sans préciser davantage, il s’agit toujours du facteur de charge normal.
4.2.1. Facteur de charge tangentiel
Le facteur de charge tangentiel nxa est dirigé suivant la vitesse.
⎛
1 dV ⎞
W
⎟⎟ = − t
nxa = −⎜⎜ sin γ a +
g dt ⎠
V
⎝
Il est donc un indicateur de l’énergie de l’avion.
• Si nxa > 0 l'énergie emmagasinée par l'avion diminue
•
Si nxa < 0 l'énergie emmagasinée par l'avion augmente
À vitesse constante, le facteur de charge tangentiel indique la pente de montée ou de descente.
À pente nulle, le facteur de charge tangentiel indique l’accélération de l’avion.
4.2.2. Facteur de charge normal
La composante des forces massiques perpendiculaires à la vitesse dans le plan de symétrie de l'avion
donne naissance au facteur de charge normal nza. Il est représentatif de la sensation d’écrasement (g
positifs) ou de flottement (g négatifs) ressentie par les occupants d’un aéronef en évolution.
En faisant l’hypothèse que la trajectoire de l’avion est contenue dans un plan vertical et en l’absence de
vent, l’application de la définition du facteur de charge conduit à la relation
n za = cos γ a −
4.2.2.1.
Facteur de charge en vol rectiligne
En vol rectiligne horizontal stabilisé et en
l’absence de vent, la pente aérodynamique est
nulle
nz a = 1
31
1 dγ a
g dt
En montée ou en descente stabilisée et en
l’absence de vent, la pente aérodynamique est
constante
nz a = cos γ a
4.2.2.2.
Facteur de charge en ressource
Pour la boucle de rayon R décrite dans un plan
vertical à la vitesse V en l’absence de vent, la
variation de la pente aérodynamique correspond à
la vitesse angulaire du mouvement. Il s’ensuit :
dγ a V
=
dt
R
D’où :
nz a = cos γ a +
V2
Rg
à l'arrondi, au bas de la ressource
nz a = 1+
4.3.
V2
Rg
Vol en virage
Dans ce cas la trajectoire n’est dans un plan horizontal. En supposant que la résultante des forces de
surface est dans le plan de symétrie de l’appareil, l’application du théorème de Pythagore à l’équilibre des
forces de masse et de surface conduit à la relation
2
2
⎛
⎞
(mg ) + ⎜⎜ mV ⎟⎟ = (nza mg )2
⎝ R ⎠
2
qui conduit à l’expression :
nza =
1
V4
= 1+ 2 2
cos Φ1
R g
Si de plus on considère que l’assiette longitudinale est nulle, alors nz a =
4.4.
1
V4
= 1+ 2 2 .
cos Φ
R g
Remarques
Le facteur de charge est un élément capital dans la conception et la réalisation d'un avion. En effet, c'est lui
qui fixe le domaine de vol de l'avion (diagramme de vol en manœuvre/diagramme de vol en rafales.
La composante normale est la plus importante pour la résistance des matériaux. La composante normale et
la composante tangentielle sont toutes deux importantes pour le calcul des performances. La composante
transversale n'a d'intérêt que dans l'étude de la stabilité.
Avec l'entrée en service des avions à commandes de vol électriques, le facteur de charge s'est introduit
dans les lois de pilotage. Par l'intermédiaire de l'effort sur le manche en longitudinal, le pilote commande du
facteur de charge n z .
32
La moindre manœuvre, la moindre turbulence engendrent du facteur de charge, directement ressenti par le
passager et "absorbé" par la cellule de l'avion. Le facteur de charge est donc bien un paramètre vital
puisqu'il touche à la conception de l’avion, au pilotage de l’avion, au confort du passager et surtout à la
sécurité du vol.
4.5.
Mesures accélérométriques
4.5.1. Principe de l’accéléromètre
Un accéléromètre est constitué par une masse ma astreinte à se déplacer le long d'un axe Ox et liée au
point 0 par un ressort exerçant un effort TR dirigé suivant Ox , sur la masse ma . L'élongation du ressort
permet de connaître par étalonnage de la force TR .
Installons cet instrument au centre de masse d'un avion. La masse ma est soumise aux diverses forces
suivantes :
• poids ma g
•
traction du ressort TR proportionnelle à son allongement
•
réaction TL des parois du tube normale à l'axe
Ox puisque nous supposons les frottements nuls.
La masse ma étant située au centre de masse, elle subit la même accélération que l’avion.
r
r
ma = Fsurface + mg
r r
r
ma a = TR + TL + ma g
Il s’ensuit une relation entre les forces de surface appliquées à l’avion et les forces exercées sur la masse
d’épreuve.
r
r r
TR + TL Fsurface
a−g =
=
ma
m
En projetant cette équation sur l'axe Ox de l'accéléromètre appelé également axe de mesure ou axe
sensible, on obtient la relation − TR =
r
ma
X avec X composante de Fsurface sur l'axe de mesure
m
Pour étalonner cet accéléromètre, posons-le sur le sol terrestre, l'axe
alors nulle et l'équation fondamentale projetée sur la verticale donne:
TR = ma g 0 = T1
33
Ox étant vertical. L'accélération est
Si maintenant nous prenons cette valeur T1 comme unité de graduation de l'accéléromètre, la mesure de
l'accéléromètre placé dans l'avion est alors :
n=
TR
X
=−
T1
mg 0
En conséquence, un accéléromètre mesure (au signe près) le rapport du module de la composante, suivant
son axe de mesure, de la résultante des forces de surface appliquées à l'avion au module du poids terrestre
mg 0 de l'avion. L'accéléromètre mesure donc aussi la composante suivant l'axe de mesure de la somme
géométrique, au point de mesure, de l'accélération du véhicule et de l'accélération locale de la pesanteur
r
soit g − a divisée par l'accélération de la pesanteur. En conclusion, un accéléromètre mesure le facteur de
charge dans le direction de mesure
4.5.2. Déplacement de la mesure accélérométrique
Trois accéléromètres calés sur les axes avion Ox , Oy , Oz mesurent les composantes n x , n y , n z du
r
vecteur facteur de charge n à l’endroit de l’accéléromètre.
Pratiquement, ces accéléromètres ne sont jamais placés au centre de masse de l’appareil car ce point varie
en fonction du vol. Ils sont donc placés en un autre point de l’avion et il convient alors de savoir transporter
les mesures par exemple au centre de masse ou en un autre point de l’appareil où cette mesure est utile.
Supposons que trois accéléromètres placés en un point M de coordonnées ( xM , y M , z M ) dans le repère
(
)
mobile d’origine le centre de masse mesurent nxM , n yM , nzM . En appliquant la loi de composition des
accélérations, on peut calculer l’accélération spécifique, c’est à dire l’accélération due aux forces de surface
en un point P de coordonnées ( xP , y P , z P )
(
)
a M = a P + Ω ∧ Ω ∧ PM +
dΩ
∧ PM
dt
En appelant ( p, q, r ) les composantes du vecteur Ω dans le repère mobile, alors
(
a yM
a zM
)
dq
dr
⋅ ( z M − z P ) − ⋅ ( y M − y P ) + ( y M − y P ) pq − ( xM − x P ) ⋅ r 2 + q 2 + ( z M − z P )rp
dt
dt
dr
dp
= a yP + ⋅ ( xM − x P ) −
⋅ (z M − z P ) + ( z M − z P )qr − ( y M − y P ) ⋅ p 2 + r 2 + ( xM − xP ) pq
dt
dt
dp
dq
= a zP +
⋅ ( yM − yP ) −
⋅ ( xM − xP ) + (xM − x P )rp − ( z M − z P ) ⋅ p 2 + q 2 + ( y M − y P )qr
dt
dt
a xM = a xP +
(
)
(
)
Dans la réalité, les termes correctifs des mesures accélérométriques peuvent être plus grands que les
mesures elles même sans oublier que les axes des accéléromètres peuvent ne pas être parallèles aux axes
du repère du mobile et nécessiter ainsi des corrections angulaires supplémentaires.
Enfin, le transport de l’accélération par le calcul requiert la connaissance de la dérivée temporelle des
composantes du vecteur rotation qui n’est quasiment jamais mesurée ou trop bruitée.
34
5.
ATMOSPHERE ET VITESSES
Après avoir traité les forces de masse, il reste à aborder la description des forces de surfaces. Quelles
qu’elles soient, ces forces dépendent des conditions ambiantes (pression, température) de la vitesse
aérodynamique et du nombre de Mach.
Nous allons donc étudier en premier lieu les conditions ambiantes et la façon de déterminer la vitesse de vol.
5.1.
Atmosphère
Suivant le lieu où l'on se trouve sur la terre, à un instant donné et à une altitude déterminée au-dessus du
niveau de la mer, les conditions atmosphériques peuvent être très différentes compte tenu des nombreux
facteurs météorologiques.
Il a été observé qu'en un point du globe et à un instant donné, la pression statique (P ou Ps) et la
température (T) varient en fonction de l'altitude (H). De plus, la confrontation des variations de ces deux
quantités en fonction de l'altitude en différents endroits et à différentes périodes de l'année montre que
l'allure des courbes Ps et T = f(H) présente des analogies; les différences consistant grossièrement en un
décalage des origines Ps0 et T0 à l’altitude nulle.
Il est donc apparu possible d'établir un profil d'atmosphère type qui rende compte des conditions moyennes
de température et de pression existant au cours de l'année pour une latitude moyenne (≈ 40° de latitude
Nord). Cette atmosphère est appelée atmosphère standard.
L'atmosphère standard est une atmosphère fictive que l'on ne rencontre pratiquement jamais dans la réalité
mais qui permet d'effectuer les calculs de performances avec des hypothèses d'atmosphère communes à
tous les avionneurs et les utilisateurs ; Il est donc licite de se définir les hypothèses simplificatrices que l'on
désire tout en étant pas trop éloigné de la réalité.
5.1.1. Atmosphère standard
L'atmosphère standard définit de façon purement conventionnelle les relations entre l'altitude géopotentielle,
la pression atmosphérique et la température ambiante. Elle est fondée sur les hypothèses suivantes.
•
L'accélération due à la pesanteur est constante. L’altitude considérée est donc une altitude
géopotentielle.
•
L'air est assimilé à un gaz parfait. Il satisfait par conséquent l’équation d’état.
p = ρrT
avec
o
o
o
o
•
p : pression statique ( Pa ) ,
ρ : masse volumique de l'air ( kg m 3 ) ,
r : constante des gaz parfaits (287,053J kg × K ) ,
T : température statique (K ) .
L'air est supposé pesant et immobile par rapport au sol. La distribution de la pression en fonction de
l’altitude géopotentielle satisfait l'équation d'équilibre hydrostatique de Laplace laquelle n'est autre
que l'expression différentielle du principe d'Archimède.
dp = − ρg 0 dH gpot
avec
o
o
g 0 : l’accélération de la pesanteur, g 0 = 9.80665 ms −2
H gpot : l’altitude géopotentielle (m).
35
•
La loi de variation de la température en fonction de l’altitude géopotentielle est supposée linéaire par
tranche d’altitude. Elle est donnée par le tableau suivant dans lequel il convient de noter que
l’altitude géopotentielle de 84852 m correspond à l’altitude géométrique de 86 km, limite haute de
l’atmosphère standard.
de H gpot (m )
à H gpot (m )
dT H gpot (K m )
0
11000
20000
32000
47000
51000
71000
11000
20000
32000
47000
51000
71000
84852
-0.0065
0.0
0.0010
0.0028
0.0
-0.0028
-0.0020
La combinaison de la relation des gaz parfaits et de l’équation de Laplace fournit la relation fondamentale de
l'atmosphère standard.
dp = −
g0
dH gpot
rT
Ainsi, la donnée de la masse volumique de l'air et de la pression atmosphérique au niveau de la mer
associée à la définition de la loi d'évolution de la température en fonction de l'altitude géopotentielle permet
de relier la pression atmosphérique à l'altitude géopotentielle. Dans ces conditions l’altitude géopotentielle
est aussi appelée altitude-pression.
Une autre relation utile pour la suite du cours exprime la variation de la masse volumique en fonction de la
variation d’altitude géopotentielle. En effet, la dérivation de l’équation d’état par rapport à l’altitude
géopotentielle :
1 ⎛
dρ
dp ⎞⎟
p dT
− 2
= 2 ⎜T
dH gpot rT ⎜⎝ dH gpot ⎟⎠ rT dH gpot
combinée à la formule de Laplace conduit à l’expression suivante :
ρ⎛g
dρ
dT
=− ⎜ 0 +
dH gpot
T ⎜⎝ r dH gpot
⎞
⎟
⎟
⎠
5.1.1.1.
Altitude géopotentielle comprise entre 0 et 11000 m
La température de référence au sol ( H 0 = 0m ) est de +15°C, soit T0 = 288.150K . Son évolution est
linéaire décroissante avec l'altitude géopotentielle ( k = 0.0065° K / m ) :
T = 288.150 − 0.0065H gpot
Il s'ensuit :
⎛ k (H gpot − H 0 ) ⎞
⎟⎟
p = p0 ⎜⎜1 +
T0
⎝
⎠
Entre la pression au sol
(P0 = 101352 Pa )
−
g
rk
et la pression atmosphérique à l’altitude géopotentielle de
11000m, (P = 22632 Pa ) , la loi de variation de l’altitude géopotentielle est donnée par la relation :
H gpot
T
= H0 + 0
k
36
rk
−
⎡
⎤
g
⎛
⎞
p
⎢⎜ ⎟ − 1⎥
⎢⎜⎝ p0 ⎟⎠
⎥
⎢⎣
⎦⎥
Autour d’un point défini par la masse volumique
ρ et la température T ,
ρ
dρ
= −0.00276632
dH gpot
T
5.1.1.2.
Altitude géopotentielle comprise entre 11000 m et 20000 m
Dans cette tranche d'altitude la température est constante à T11000 = 216.650° K . Il s'ensuit :
p = p11000 e
⎡
⎤
g
H gpot − H 11000 ⎥
⎢−
⎣ rT11000
⎦
(
)
et la loi de variation de l’altitude géopotentielle est donnée par la relation :
H gpot = H 11000 −
Autour d’un point défini par la masse volumique
rT11000 ⎛ p ⎞
⎟⎟
ln⎜⎜
g
p
⎝ 11000 ⎠
ρ et la température T = 216.65° K ,
dρ
= −1.57688 10 − 4 ρ
dH gpot
5.1.1.3.
Caractéristiques résumées de l'atmosphère standard
Le tableau suivant donne les formules analytiques liant la pression atmosphérique et la température à
l'altitude-pression. Cependant, pour éviter de recalculer toutes ces quantités pour chaque altitude
considérée, l'évolution des grandeurs caractéristiques de l'atmosphère standard en fonction de l'altitude fait
l'objet de tableaux numériques à la fin de ce chapitre.
H gpot (m )
T (° K )
Pr ession p ( pascals)
de 0 à 11000
288150
.
− 0.0065 H
101325(1 − 22.5576934.10 −6 H)
de 11000 à 20000
216. 650
22632e −157.6884460.10
de 20000 à 32000
216.650 + 0.001( H − 20000)
5474.9 1 + 4.615739810
. −6 ( H − 20000)
de 32000 à 47000
228.650 + 0.028( H − 32000)
868.014 1 + 12.2457904.10 −6 ( H − 32000)
[
−6
5. 2558774
( H −11000 )
[
]
−34.1632031
]
−12 . 2011445
Pratiquement, on dit que l'on est en atmosphère standard si, à un niveau de pression donné, la température
est celle de l'atmosphère standard à ce niveau de pression même si l'altitude réelle est différente de l'altitude
géopotentielle. Par exemple, si :
Ps = 101325Pa
T = 15°C
H réelle = 100m
l'atmosphère est standard.
Parmi les autres grandeurs caractérisant l'atmosphère standard, il convient de rappeler la loi d'évolution de
la viscosité cinématique en fonction de la température et de la masse volumique:
µ µ (1 + S T0 ) T 2 1.457910 −6 T 2
υ= = 0
=
ρ ρ
ρ
T + 110.4
T0 T + S
3
3
avec
•
•
µ 0 = 17.893610−6 kg m.s
à
T0 = 288.150 K (coefficient de viscosité),
S = 110. 4° K (constante de Sutherland pour les gaz parfaits),
37
• T : température en K,
• ρ : masse volumique de l'air,
qui est utilisée pour déterminer le nombre de Reynolds d'un écoulement sur un corps:
Re =
avec
VL
υ
V : vitesse de l'écoulement,
L : grandeur caractéristique du corps placé dans l'écoulement,
υ : viscosité cinématique.
Enfin, il convient de rappeler la définition de la vitesse du son (a en m/s) donnée par la formule:
avec
γ
: Rapport des chaleurs
(γ
a = γ rT
= 1 .4 ) .
La figure suivante illustre les caractéristiques de l’atmosphère standard.
5.1.2. Atmosphère standard + ∆T degrés
Pour tenir compte des variations atmosphériques, on effectue souvent les calculs dans des atmosphères
différentes de l'atmosphère standard en supposant qu'à une altitude-pression donnée, la température diffère
de la température standard d'une valeur ∆T ; la loi de pression en fonction de l'altitude-pression étant
inchangée. On introduit alors la notion de calculs en atmosphère standard +∆T degrés. Par exemple, si :
Ps = 101325Pa
T = 30°C
l'atmosphère est dite standard + 15°.
On peut dans ce cas établir la correspondance entre l'altitude géopotentielle ( H gpot ) et l'altitude-pression
(Hp). En effet, la loi de pression étant inchangée, on peut toujours écrire :
38
p
gdH gpot
rT
dp = −
d’où l’on tire
dH gpot =
Tst + ∆T
dH p
Tst
et, en intégrant de 0 à Hp
Hp
H gpot = H p +
0
5.1.2.1.
∆T
∫T
dH p
st
Altitude-pression comprise entre 0 et 11000 m
En remplaçant la température standard par son expression en fonction de l’altitude dans la relation
précédente, on obtient la relation exacte
H gpot = H p +
∆T ⎛ kH p ⎞
⎟
ln⎜1 +
k ⎜⎝
T0 ⎟⎠
ou encore :
H gpot = H p −
⎛ 0.0065 H p ⎞
∆T
⎟
ln⎜⎜1 −
0.0065 ⎝
288.15 ⎟⎠
Dans ce cas, l'altitude-pression n'est plus égale à l'altitude géopotentielle. À une altitude-pression donnée,
l'avion vole à une altitude géopotentielle plus élevée en atmosphère chaude et à une altitude géopotentielle
inférieure en atmosphère froide. Cette notion est utilisée le plus fréquemment pour présenter les
performances au décollage ou en croisière.
À noter que le palier de température commence à l'altitude-pression de 11000 m, donc à l'atitude
géopotentielle de 11658 m et à la pression de 22632 pascal pour ∆T=+15K.
Une approximation usuellement rencontrée consiste à déclarer que la relation liant l’altitude pression à la
température dans les conditions de l’atmosphère standard est toujours valide à condition de remplacer T0
par T0+∆T.
rk
⎡
⎤
−
T0 + ∆T ⎢⎛ p ⎞ g
⎥
H gpot = H0 +
−
1
⎢⎜⎝ p ⎟⎠
⎥
k
⎢⎣ 0
⎥⎦
Il s’ensuit une relation approchée entre l'altitude géopotentielle et l'altitude-pression.
∆T ⎞
⎛
H gpot = H p ⎜ 1 +
⎟
⎝ 28815
. ⎠
Cette approximation correspond au développement au premier ordre de la relation exacte. En effet, le
module de kH p / T0 étant inférieur à 1 on peut alors appliquer la formule du développement limité de
ln(1+x) .
ln(1 + x ) = x −
x2 x3
+ +L
2
3
avec − 1 < x ≤ 1
Il apparaît alors que l’approximation correspond au terme linéaire du développement de la formule exacte.
⎛
∆T ⎞ k∆T
k 2 ∆T
H gpot = H p ⎜ 1 +
H p2 +
H p 3 +L
⎟−
2
3
T0 ⎠ 2T0
⎝
3T0
À titre d’illustration, pour une altitude-pression de 11000 m dans une atmosphère standard+15°C, l’altitude
géopotentielle vraie est de 11658m au lieu de 11573 m pour son approximation pour ∆T=+15K.
5.1.2.2.
Altitude-pression comprise entre 11000 m et 20000 m
Par un raisonnement analogue à celui du paragraphe précédent, l’altitude géopotentielle est donnée par la
formule suivante.
39
H gpot = 11000 −
∆T ⎞
∆T
⎛ 0.0065
⎞
⎛
ln⎜1 −
11000 ⎟ + (H p − 11000)⎜1 +
⎟
0.0065 ⎝ 288.15
⎠
⎝ 216.65 ⎠
ou encore:
∆T ⎞
⎛
H gpot ≈ 11000 + 43.877∆T + (H p − 11000)⎜1 +
⎟
⎝ 216.65 ⎠
valide jusqu'à la pression de 5474.9 Pascal.
En suivant la résolution approchée traitée dans le paragraphe précédent et en utilisant les résultats du §xxx,
on peut encore écrire :
r ( 216.65 + ∆T ) ⎛ p ⎞
∆T ⎞
⎛
ln⎜
H gpot − 11000⎜ 1 +
⎟
⎟ =−
⎝
. ⎠
28815
g
⎝ p11000 ⎠
d'où on en déduit la relation approchée liant l'altitude géopotentielle et l'altitude-pression.
∆T ⎞
⎛
H gpot = H p ⎜ 1 +
⎟ − 12.5986∆T
⎝
216.65⎠
Pour l’altitude-pression de 20000m m dans une atmosphère standard+15°C, l’altitude géopotentielle vraie
est de 21281m alors que l’altitude géopotentielle approchée est de 21193m.
5.1.3. Application numérique
Le tableau ci-dessous récapitule les résultats numériques issus des paragraphes précédents.
Pression
Ps (Pa)
101325
54019.9
30742.5
22362
12044.5
5474.9
Atmosphère standard
-15 °C
Altitude Vitesse du son
Hgpot (m) a (m/s)
0
331.32
4724
310.96
8476
293.70
10342
284.67
14065
284.67
18719
284.67
Atmosphère standard
Altitude
Hp (m)
0
5000
9000
11000
15000
20000
Atmosphère standard
+15 °C
Vitesse du son Altitude
Vitesse du son
a (m/s)
Hgpot (m)
a (m/s)
340.29
0
349.04
320.53
5276
329.80
303.79
9524
313.56
295.07
11658
305.11
295.07
15935
305.11
295.07
21281
305.11
À noter cependant que, dans la réalité, la connaissance de l'altitude-pression et de la température ne
suffisent pas à déterminer l'altitude géopotentielle puisque les formules de correction altimétrique reposent
sur l'hypothèse que l'écart entre la température mesurée au point de vol et la température standard est
constant depuis le sol ce qui est vraisemblablement inexact.
5.1.4. Atmosphère réelle
La tropopause est, en atmosphère réelle, l’altitude à partir de laquelle la température cesse de décroître.
Dans les régions polaires ou tropicales, les caractéristiques de l'atmosphère sont différentes de l'atmosphère
standard. À l'atmosphère polaire est associée une tropopause assez basse et une température à haute
altitude plus élevée qu'en atmosphère standard. C'est l'inverse en atmosphère tropicale et l'écart de
température à haute altitude est d’environ −20° C par rapport à l'atmosphère standard ( I. S. A.−20°) .
Les conditions atmosphériques rencontrées par un avion peuvent être très différentes de celles considérées
précédemment parce que l'atmosphère, généralement en mouvement par rapport à la terre, n'est pas
homogène. En dehors des phénomènes quasi-stationnaires (vents constants, ...), les perturbations
atmosphériques sont généralement associées à leur probabilité supposée d'apparition.
Indépendamment de ces considérations statistiques, établies le plus souvent expérimentalement, les
perturbations atmosphériques habituellement modélisées dans les calculs de mécanique du vol sont les
suivantes:
• vents constants horizontaux et verticaux,
• rafales verticales dont l'allure est généralement sinusoïdale,
40
•
•
•
•
•
gradients horizontaux de vent dont l'évolution est supposée linéaire en fonction de la distance
parcourue,
gradient vertical de vent horizontal variable en fonction de l'altitude,
gradient horizontal de température,
turbulence,
cisaillement de vents et damp burst (vents verticaux et pluie battante).
Cette liste n'est pas exhaustive. Les normes de qualité de vol définissent l'amplitude et la probabilité
d'apparition de chaque type de perturbations.
5.2.
Vitesses utilisées en mécanique du vol
Après avoir défini le milieu dans lequel évolue l'avion, on se propose maintenant de caractériser la vitesse
de son déplacement par rapport à l'air et d'énumérer les différentes vitesses utilisées en mécanique du vol.
5.2.1. Rappels de thermodynamique
Sans revenir sur les considérations de thermodynamique relatives aux propriétés des écoulements
isentropiques (adiabatique et réversible), subsonique ou supersonique, il est utile de rappeler les relations
qui lient la pression d'arrêt de l'écoulement à la pression statique et au nombre de Mach de l'écoulement.
Pour mémoire, on appelle nombre de Mach, le rapport, en un point, entre la vitesse de l'écoulement et la
vitesse du son dans les mêmes conditions ambiantes:
M =V a .
Au moyen d'un tube pitot placé parallèlement à l'écoulement de l'air à un nombre de Mach (M) dans une
atmosphère caractérisée par sa pression atmosphérique également dénommée pression statique, on a
accès à la différence (dp) entre la pression d'arrêt ( Pi ) et la pression statique ( P ).
En subsonique, les pressions d'arrêt et statique sont liées au nombre de Mach par la formule de St Venant.
γ
⎛ γ − 1 2 ⎞ γ −1
Pi = P⎜1 +
M ⎟
2
⎠
⎝
Lorsque le nombre de Mach est suffisamment petit pour ne conserver que les deux premiers termes du
développement limité de la relation ci-dessus sans perte de précision,
⎛ γ
⎞
Pi = P⎜1 + M 2 + ...⎟
⎝ 2
⎠
on obtient alors la formule dite de Bernoulli qui exprime que la pression dynamique est uniquement fonction
de la vitesse de l’écoulement et de la masse volumique de l’air ambiant.
q = Pi − P =
γP
2
M2 =
1
ρV 2
2
En supersonique, on peut considérer qu'une onde de choc droite se forme en amont de la zone de mesure
et qu’au lieu de détecter la pression d'arrêt à l'infini amont (Pi), l'instrument détecte la pression d'arrêt (Pi1)
derrière l'onde de choc. Dans ce cas, le nombre de Mach est fourni par la relation de Lord Rayleigh.
⎛ γ + 1⎞
Pi1 = P⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
γ +1
γ −1
⎛ 2 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ γ −1⎠
1
γ −1
M
2γ
γ −1
1
⎛ 2γ
⎞ γ −1
⎜⎜
M 2 − 1⎟⎟
⎝ γ −1
⎠
En résumé, les relations entre dp, la pression statique et le nombre de Mach sont fournies par les formules
suivantes :
41
(
)
3.5
dp
= 1 + 0.2M 2 − 1 si M ≤ 1
P
dp 166.92158M 7
=
− 1 si M > 1
2.5
P
7M 2 − 1
(
)
On observe que le nombre de Mach est une information locale uniquement déterminé par les mesures de
pressions statique et d'arrêt. Il est donc indépendant de la température.
5.2.2. Vitesse-air
En introduisant la connaissance de la température statique par l'intermédiaire de la mesure de la
température d'arrêt mesurée à bord de l'appareil :
⎛ γ −1 2 ⎞
Ti = T ⎜1 +
M ⎟,
2
⎝
⎠
la vitesse de déplacement de l'appareil par rapport à l'air, appelée vitesse-air ou vitesse aérodynamique, est
donnée par la formule :
V =
2
γrTi M 2
γ −1
1+
2
M2
L’unité légale de la vitesse-air est le mètre/seconde (m/s).
5.2.3. Vitesse conventionnelle
Considérons qu’un avion mesure la pression statique à l’altitude de vol et la pression d’arrêt.
La vitesse conventionnelle de cet appareil est la vitesse-air qu’il aurait si, volant à l'altitude nulle ( H = 0)
en atmosphère standard, il mesurait la même différence de pression (dp). Autrement dit, c’est la vitesse-air
que devait avoir cet avion pour observer la même différence de pression en volant au niveau de la mer en
atmosphère standard.
Cette grandeur est exprimée en nœud. Pour mémoire rappelons qu’il existe une correspondance, au sol,
entre le nœud et l’unité légale de vitesse.
1knt =
1852
≈ 0.514m / s
3600
En remplaçant alors la pression statique par la pression statique au niveau de la mer (H = 0) et le nombre de
Mach par Vc/a0, on peut établir une relation entre la différence de pression observée et la vitesse
conventionnelle et graduer ainsi le badin selon la loi de St Venant en régime subsonique
(Vc ≤ a0 = 661.471knts ) et selon la loi de Lord Rayleigh en supersonique.
2
⎡
dp
⎛ Vc ⎞ ⎤
= ⎢1 + 0.2⎜
⎟ ⎥
101325 ⎢⎣
⎝ 661.471 ⎠ ⎥⎦
3.5
− 1 si Vc ≤ 661.471knts
7
⎛ Vc ⎞
166.92158⎜
⎟
dp
661.471 ⎠
⎝
=
− 1 si Vc ≥ 661.471knts
2.5
2
101325 ⎡
⎤
⎛ Vc ⎞
⎟ − 1⎥
⎢ 7⎜
⎢⎣ ⎝ 661.471 ⎠
⎥⎦
42
5.2.4. Vitesse propre
La vitesse propre est la projection sur le plan horizontal du vecteur vitesse-air. Il s'ensuit qu'un avion volant
suivant la verticale a une vitesse propre nulle.
5.2.5. Equivalent vitesse
L’équivalent vitesse est le produit de la vitesse-air par la racine carrée de la densité de l’air à l’infini amont à
l’altitude de vol.
EV = V σ = V
ρ
ρ0
Aux basses vitesses, tant que le fluide est incompressible, la loi de Bernoulli est appllicable.
dp = q =
1
1
ρV 2 = ρ 0Vc 2
2
2
Dans ces conditions, l’équivalent vitesse se confond avec la vitesse conventionnelle puisque cet équivalent
vitesse est la vitesse-air à laquelle devrait voler l’avion au niveau de la mer pour observer la même
différence de pression.
5.3.
Dépendance des quantités Vc, M, Hp
L'ensemble des relations entre ces différentes quantités peut être schématisé sous la forme suivante:
Vc
Hp
dp
Ps
Ti
dp/Ps
Pi/Ps
M
Ts
a
V
Du fait des relations qui lient ces différentes quantités, on peut tracer un abaque sur lequel figurent Vc, M et
Hp en notant que la température n'intervient pas dans ces relations. En conséquence, cet abaque sera
valide pour toutes les atmosphères. La température intervient seulement pour le calcul de la vitesse-air.
Pour faciliter son utilisation cet abaque est tracé en atmosphère standard en portant l’altitude-pression en
ordonnée et la vitesse propre en abscisse.
Sur cet abaque, on pourra observer :
• En atmosphère standard, à vitesse conventionnelle constante, on va d'autant plus vite qu'on est plus
haut quel que soit le régime du vol.
• À nombre de Mach donné et pour les altitudes inférieures à 11000m, on va d'autant plus vite qu'on
est plus bas.
• À haute altitude et grande vitesse, les courbes Vc = Cte s'inclinent et deviennent presque parallèles
à des iso-altitudes. Ainsi, une vitesse conventionnelle maximale autorisée (VMO) pour les avions
modernes est donc presque équivalente à un plancher minimal imposé. Il faut ralentir avant de se
mettre en descente.
43
44
Dans l’hypothèse où l’atmosphère n’est pas standard, il est
loisible d’introduire la notion d’altitude-température.
L’altitude-température est l’altitude géopotentielle à laquelle la
température statique est égale à la température statique de
l’atmosphère standard pour le même Mach de vol.
La figure ci-contre présente la relation graphique entre
l’altitude-pression et l’altitude- température.
5.4.
Mesure des grandeurs anémométriques
5.4.1. Mesure de l’altitude-pression
La mesure de l'altitude est généralement réalisée au moyen d’un altimètre. Un altimètre est un baromètre
dont la graduation est exprimée en unité de longueur selon la correspondance entre la pression et l’altitude
fournie par l'atmosphère standard. La grandeur ainsi mesurée s'appelle altitude-pression. Elle n'est égale à
l'altitude géopotentielle que dans le cas improbable où l'atmosphère réelle correspond à l'atmosphère
standard. Dans tous les autres cas, les plus courants, l’altitude-pression est différente de l’altitude
géopotentielle. Lorsqu'un pilote lit sur son altimètre une altitude de 11000m, cela signifie rien d'autre que le
fait que l'avion est à une altitude où règne une pression de 22631 pascals.
En Mécanique du vol, on utilise essentiellement l'altitude pression car c'est le niveau de pression qui fixe la
valeur des forces aérodynamiques et la poussée ou la puissance du moteur, et non de l'altitude
géométrique. L'altitude géométrique n'intervient que dans la mesure de l'énergie potentielle et l'étude des
phases de décollage et d'atterrissage. Dans la pratique, on appelle altitude-pression indiquée (Hpi) l'altitude
lue sur l'atimètre calé sur la pression au sol de référence de l'atmosphère standard. Cette altitude diffère de
l'altitude-pression par l'erreur propre de l'altimètre et par l'erreur de pression statique (dPs) due à ce que la
pression vue par l'altimètre (Psi) est différente de la pression atmosphérique réelle.
dps = Psi − ps
Cette dernière erreur dépend essentiellement des configurations de vol (incidence, Mach). Elle est mesurée
au cours d'essais en vol et peut donc être corrigée.
5.4.2. Mesure de la vitesse en vol
L'instrument utilisé pour mesurer la vitesse en vol est un anémomètre (le badin du nom de son inventeur)
relié à un tube pitot, placé sur le nez de l’avion, qui délivre la pression d’arrêt et la pression statique
Cet appareil détecte la différence entre la pression totale et la pression statique. Il est étalonné au niveau de
la mer ( H = 0) dans les conditions standard, sans vent. Il est gradué en vitesse conventionnelle selon la loi
de St Venant pour les vitesses inférieures à 661 knts et selon la loi de Lord Rayleigh au-delà. Ainsi, dans
ces mêmes conditions, cet appareil, supposé parfait, indiquerait la vitesse réelle de l'appareil. Un
anémomètre parfait indique donc la vitesse aérodynamique de l'avion uniquement dans le cas improbable,
où l’atmosphère réelle suit la loi de l’atmosphère standard.
Un anémomètre réel fournit une grandeur Vi dite vitesse indiquée. La différence entre la vitesse indiquée et
la vitesse conventionnelle est égale aux erreurs de mesure; c'est à dire aux erreurs sur la mesure des
pressions statique et d'arrêt et aux erreurs de l'instrument lui-même.
45
5.4.3. Mesure de l’incidence et du dérapage
L'incidence et le dérapage sont détectées par des girouettes fixées sur l'avion. Ces girouettes donnent des
incidences locales qui sont perturbées par l'avion. Généralement :
αvraie = αmesurée * k1+ αo
βvrai = βmesuré * k2
Dans ces relations, l'ordre de grandeur des coefficients k est de 0.5.
De plus, ces sondes n'étant pas situées au centre de gravité de l'appareil, leurs indications sont affectées
par les vitesses induites par l’éventuelle rotation de l’avion autour de son centre de masse.
Vsonde = VG + Ω ∧ GS
A titre d'exemple, pour une sonde d'incidence placée sur la référence horizontale du fuselage, à l'avant (Xs
> 0) et à droite (Ys > 0) de l'avion, la correction de vitesse due aux rotations est fournie par les relations cidessous:
∆Vx = - rYs
∆Vs = Ω ∧ GS =
∆Vy = rXs
∆Vz = pYs - qXs
46
5.5.
Tables d’atmosphère standard
5.5.1. Atmosphère standard de 0 à 47000 mètres
5.5.1.1.
Altitude variant de 0 à 20000 m
Altitude
H (km)
Pression
p (Pa)
Température
T (°K)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
17
17.5
18
18.5
19
19.5
20
101325
95461
89875
84556
79495
74683
70109
65764
61640
57728
54020
50507
47181
44035
41061
38251
35600
33099
30743
28524
26436
24474
22632
20916
19330
17865
16510
15259
14102
13033
12045
11131
10287
9507
8787
8120
7505
6936
6410
5924
5475
288.150
284.900
281.650
278.400
275.150
271.900
268.650
265.400
262.150
258.900
255.650
252.400
249.150
245.900
242.650
239.400
236.150
232.900
229.650
226.400
223.150
219.900
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
Masse
volumique
ρ (kg/m3)
1.2250
1.1673
1.1116
1.0581
1.0065
0.9569
0.9091
0.8632
0.8191
0.7768
0.7361
0.6971
0.6597
0.6238
0.5895
0.5566
0.5252
0.4951
0.4663
0.4389
0.4127
0.3877
0.3639
0.3363
0.3108
0.2873
0.2655
0.2454
0.2268
0.2096
0.1937
0.1790
0.1654
0.1529
0.1413
0.1306
0.1207
0.1115
0.1031
0.0953
0.0880
47
Densité
σ = ρ/ρ0
1.0000
0.9529
0.9075
0.8637
0.8216
0.7811
0.7421
0.7047
0.6687
0.6341
0.6009
0.5691
0.5385
0.5093
0.4812
0.4544
0.4287
0.4042
0.3807
0.3583
0.3369
0.3165
0.2971
0.2746
0.2537
0.2345
0.2167
0.2003
0.1851
0.1711
0.1581
0.1461
0.1350
0.1248
0.1153
0.1066
0.0985
0.0910
0.0841
0.0778
0.0719
Vitesse
son
a (m/s)
340.29
338.37
336.43
334.49
332.53
330.56
328.58
326.58
324.58
322.56
320.53
318.49
316.43
314.36
312.27
310.18
308.06
305.94
303.79
301.64
299.46
297.27
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
du
Viscosité
cinématique
ν.106 (m2/s)
14.607
15.195
15.813
16.463
17.148
17.870
18.630
19.432
20.279
21.173
22.118
23.117
24.174
25.293
26.479
27.737
29.072
30.490
31.997
33.600
35.306
37.125
39.064
42.269
45.736
49.488
53.548
57.941
62.694
67.838
73.403
79.424
85.940
92.990
100.619
108.873
117.804
127.469
137.926
149.240
161.484
5.5.1.2.
Altitude variant de 20000 m à 32000 m
Altitude
H (km)
Pression
p (Pa)
Température
T (°K)
20
20.5
21
21.5
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
26.5
27
27.5
28
28.5
29
29.5
30
30.5
31
31.5
32
5475
5060
4678
4325
4000
3700
3422
3167
2930
2712
2511
2325
2153
1994
1847
1712
1586
1470
1363
1264
1172
1087
1008
935
868.01
216.650
217.150
217.650
218.150
218.650
219.150
219.650
220.150
220.650
221.150
221.650
222.150
222.650
223.150
223.650
224.150
224.650
225.150
225.650
226.150
226.650
227.150
227.650
228.150
228.650
5.5.1.3.
Masse
volumique
ρ (kg/m3)
0.0880
0.0812
0.0749
0.0691
0.0637
0.0588
0.0543
0.0501
0.0463
0.0427
0.0395
0.0365
0.0337
0.0311
0.0288
0.0266
0.0246
0.0227
0.0210
0.0195
0.0180
0.0167
0.0154
0.0143
0.013255
Densité
σ = ρ/ρ0
Vitesse du
son
a (m/s)
0.0719
0.0663
0.0611
0.0564
0.0520
0.0480
0.0443
0.0409
0.0378
0.0349
0.0322
0.0298
0.0275
0.0254
0.0235
0.0217
0.0201
0.0186
0.0172
0.0159
0.0147
0.0136
0.0126
0.0117
0.0107963
295.07
295.41
295.75
296.09
296.43
296.77
297.11
297.44
297.78
298.12
298.46
298.79
299.13
299.46
299.80
300.13
300.47
300.80
301.14
301.47
301.80
302.14
302.47
302.80
303.13
Densité
σ.106 = ρ/ρ0
Vitesse du
son
a (m/s)
10.7963
9.1939
7.8444
6.7057
5.7428
4.9271
4.2346
3.6458
3.1441
2.7159
2.3498
2.0363
1.7673
1.5362
1.3373
1.1658
303.13
304.98
306.82
308.65
310.47
312.27
314.07
315.86
317.63
319.40
321.16
322.90
324.64
326.37
328.09
329.80
Viscosité
cinématique
ν.106 (m2/s)
161.484
175.457
190.603
207.015
224.799
244.065
264.932
287.529
311.995
338.479
367.144
398.163
431.723
468.028
507.291
549.749
595.655
645.277
698.911
756.863
819.478
887.117
960.172
1039.061
1124
Altitude variant de 32000 m à 47000 m
Altitude
H (km)
Pression
p (Pa)
Température
T (°K)
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
868.01
748.22
646.12
558.92
484.31
420.36
365.45
318.22
277.52
242.39
212.03
185.74
162.94
143.13
125.91
110.91
228.650
231.450
234.250
237.050
239.850
242.650
245.450
248.250
251.050
253.850
256.650
259.450
262.250
265.050
267.850
270.650
Masse
volumique
ρ (kg/m3))
13.255
11.262
9.609
8.214
7.034
6.035
5.187
4.466
3.851
3.326
2.878
2.494
2.164
1.881
1.638
1.428
48
Viscosité
cinématique
ν.106 (m2/s)
1124
1334
1578
1865
2198
2586
3038
3561
4167
4867
5675
6606
7677
8907
10318
11934
5.5.2. Atmosphère standard de 0 à 60000 pieds
5.5.2.1.
Altitude variant de 0 à 37000 pieds
Altitude
H (ft)
Pression
p (Pa)
Température
T (°K)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
21000
22000
23000
24000
25000
26000
27000
28000
29000
30000
31000
32000
33000
34000
35000
36000
37000
101325
97717
94213
90812
87511
84307
81200
78185
75262
72429
69682
67020
64441
61943
59524
57182
54915
52722
50600
48548
46563
44645
42792
41001
39271
37601
35989
34433
32932
31485
30090
28745
27449
26201
24999
23842
22729
21663
288.150
286.169
284.188
282.206
280.225
278.244
276.263
274.282
272.300
270.319
268.338
266.357
264.376
262.394
260.413
258.432
256.451
254.470
252.488
250.507
248.526
246.545
244.564
242.582
240.601
238.620
236.639
234.658
232.676
230.695
228.714
226.733
224.752
222.770
220.789
218.808
216.827
216.650
Masse
volumique
ρ (kg/m3)
1.2250
1.1896
1.1549
1.1210
1.0879
1.0556
1.0239
0.9930
0.9629
0.9334
0.9046
0.8766
0.8491
0.8224
0.7963
0.7708
0.7460
0.7218
0.6981
0.6751
0.6527
0.6308
0.6095
0.5888
0.5686
0.5489
0.5298
0.5112
0.4931
0.4754
0.4583
0.4417
0.4255
0.4097
0.3944
0.3796
0.3652
0.3483
49
Densité
σ = ρ/ρ0
Vitesse du
son
a (m/s)
1.0000
0.9711
0.9428
0.9151
0.8881
0.8617
0.8359
0.8106
0.7860
0.7620
0.7385
0.7156
0.6932
0.6713
0.6500
0.6292
0.6090
0.5892
0.5699
0.5511
0.5328
0.5150
0.4976
0.4807
0.4642
0.4481
0.4325
0.4173
0.4025
0.3881
0.3741
0.3605
0.3473
0.3345
0.3220
0.3099
0.2981
0.2844
340.29
339.12
337.95
336.77
335.58
334.39
333.20
332.00
330.80
329.60
328.39
327.17
325.95
324.73
323.50
322.27
321.03
319.79
318.54
317.29
316.03
314.77
313.50
312.23
310.95
309.67
308.38
307.09
305.79
304.48
303.17
301.86
300.54
299.21
297.88
296.54
295.19
295.07
Viscosité
cinématique
ν.106 (m2/s)
14.587
14.941
15.307
15.683
16.072
16.473
16.887
17.314
17.755
18.210
18.680
19.165
19.667
20.186
20.722
21.277
21.850
22.443
23.057
23.693
24.350
25.032
25.737
26.468
27.226
28.012
28.827
29.672
30.549
31.459
32.404
33.385
34.405
35.464
36.565
37.711
38.902
40.756
5.5.2.2.
Altitude variant de 36000 à 60000 pieds
Altitude
H (ft)
Pression
p (Pa)
Température
T (°K)
36000
37000
38000
39000
40000
41000
42000
43000
44000
45000
46000
47000
48000
49000
50000
51000
52000
53000
54000
55000
56000
57000
58000
59000
60000
22729
21663
20646
19677
18754
17874
17035
16236
15474
14748
14056
13396
12767
12168
11597
11053
10534
10040
9569
9120
8692
8284
7895
7525
7172
216.827
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
216.650
Masse
volumique
ρ (kg/m3)
0.3652
0.3483
0.3320
0.3164
0.3016
0.2874
0.2739
0.2611
0.2488
0.2371
0.2260
0.2154
0.2053
0.1957
0.1865
0.1777
0.1694
0.1614
0.1539
0.1466
0.1398
0.1332
0.1270
0.1210
0.1153
50
Densité
σ = ρ/ρ0
Vitesse du
son
a (m/s)
0.2981
0.2844
0.2710
0.2583
0.2462
0.2346
0.2236
0.2131
0.2031
0.1936
0.1845
0.1758
0.1676
0.1597
0.1522
0.1451
0.1383
0.1318
0.1256
0.1197
0.1141
0.1087
0.1036
0.0988
0.0941
295.19
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
295.07
Viscosité
cinématique
ν.106 (m2/s)
38.902
40.756
42.763
44.868
47.078
49.396
51.828
54.380
57.057
59.866
62.814
65.907
69.152
72.557
76.129
79.878
83.811
87.937
92.267
96.810
101.577
106.578
111.826
117.332
123.109
6.
FORCES DE SURFACE DE NATURE AERODYNAMIQUE
6.1.
Un peu de vocabulaire
L’objet de ce premier paragraphe est également de rappeler, si cela était nécessaire, une partie du
vocabulaire élémentaire indispensable à connaître pour être en mesure de suivre ce cours.
La figure suivante présente les principales caractéristiques dimensionnelles d’un avion. On distingue
notamment :
1. La corde du profil qui est la ligne joignant le bord d'attaque (BA) au bord de fuite (BF) du profil.
Nous verrons plus tard que cette corde est également une longueur de référence pour
exprimer les forces de nature aérodynamique.
2. Le maître-couple qui est l’épaisseur maximale du profil de la voilure. Sa position est repérée
en pour cent de la corde du profil à partir du bord d'attaque.
3. L'épaisseur relative qui est le rapport de l'épaisseur maximale du profil (maître-couple) à la
corde du profil. Plus les avions sont rapides, plus cette épaisseur relative diminue. De 15% en
1935, elle atteint de 3 à 4% à l'heure actuelle.
4. La surface en plan de la voilure qui est généralement considérée comme surface de référence
pour exprimer les forces de nature aérodynamique.
Pour décrire le mouvement de l’avion autour de
son centre de masse, il est usuel de définir trois
axes particuliers :
• Axe de roulis
• Axe de tangage
• Axe de lacet
51
Un avion pivote autour de l'axe de roulis sous
l'action différentielle des ailerons ou le braquage
unilatéral des spoilers.
L’illustration présente un braquage positif des
ailerons et des spoilers qui crée une vitesse de
roulis négative.
Un avion pivote autour de l'axe de tangage sous
l'action de la profondeur ou/et d’un plan canard.
L’illustration présente un braquage négatif de la
profondeur ou/et d’un plan canard qui crée une
vitesse de tangage positive.
Un avion pivote autour de l'axe de lacet sous
l'action de la gouverne de direction.
L’illustration présente un braquage négatif de la
direction qui crée une vitesse de lacet positive.
6.2.
Expression générale des forces aérodynamiques
La résultante aérodynamique
ambiant de masse volumique
(R )
A
agissant sur un corps se déplaçant à la vitesse-air (V ) dans l'air
(ρ ) est généralement exprimée sous la forme :
RA =
avec
•
•
•
•
1
ρSV 2 C = qS C
2
S : surface de référence du corps
1
ρSV 2 : force de référence
2
C : vecteur de coefficients sans dimension
1
R A = ρSV 2 C = qS C : pression dynamique
2
Cette définition exprime que la résultante des efforts aérodynamiques est un vecteur de dimension
trois dont chaque composante est égale au module d’une force de référence multiplié par un terme
correctif qui exprime que cette composante de la résultante des efforts aérodynamique dans la
direction d’observation est proportionnelle à la force de référence.
Pour préciser un peu plus cette définition, considérons une plaque plane placée perpendiculairement
dans un courant d’air ou votre main à la fenêtre de votre voiture. Si le courant d’air ne pouvait
s’échapper par les côtés de la plaque, la force qui s’exercerait sur celle-ci serait égale à la pression de
l’air sur la plaque multipliée par sa surface. Lorsque maintenant l’air a la possibilité de passer autour
de la plaque, l’intensité de la force aérodynamique est modifiée. Pour exprimer cette modification, on
fait intervenir un coefficient sans dimension qui corrige la force obtenue précédemment.
Ce coefficient sans dimension dépend des paramètres de vol. Dans le domaine d’application des
performances, on supposera qu’il peut être exprimé par un développement limité fonction des
52
différents paramètres de vol, par exemple l'incidence, le dérapage, le braquage des gouvernes et la
vitesse angulaire de rotation autour des axes. Généralement, le développement sera limité au premier
terme non nul.
Dans le cadre strict du calcul des performances, on supposera que les coefficients détaillés cidessous ne dépendent pas des vitesses angulaires de rotation autour du centre de masse. Ces effets
seront traités en introduction du cours de dynamique du vol.
6.2.1. Expression de la force dans le repère avion
En projetant la résultante aérodynamique suivant les axes du repère avion, on obtient trois
composantes;
1
1
ρSV 2C X = − ρSV 2C A
2
2
1
Y A = ρSV 2CY
2
1
1
Z A = ρSV 2CZ = − ρSV 2C N
2
2
XA =
Sur OX
Sur OY
Sur OZ
Le coefficient C A est appelé coefficient de force axiale. Il est positif quand la force
(
X A est négative.
X A ) est appelée force axiale.
A
Le coefficient CY est appelé coefficient de force latérale. Il est positif quand la force Y est positive.
A
La force Y est appelée force latérale.
A
Le coefficient C N est appelé coefficient de force normale. Il est positif quand la force Z est dirigée
La force −
(
vers la tête du pilote. La force − Z
A
) est appelée force normale.
6.2.2. Expression de la force dans le repère aérodynamique
En projetant la résultante aérodynamique suivant les axes du repère aérodynamique, on obtient trois
composantes;
Sur
OXa
Sur
OYa
Sur
OZa
Le coefficient
1
1
ρSV 2C Xa = − ρSV 2C x
2
2
1
YaA = ρSV 2CYa
2
1
1
Z aA = ρSV 2CZa = − ρSV 2C z
2
2
Xa =
A
A
C x est appelé coefficient de traînée. Il est positif quand la force X a est opposée à la
(
vitesse. La force −
Le coefficient
A
Xa
) est appelée force de traînée ou plus simplement traînée.
CYa est appelé coefficient de force latérale aérodynamique. Il est positif quand la force
A
a
Y est dirigée suivant la droite du pilote
Le coefficient C z est appelé coefficient de portance. Il est positif quand la force
(
tête du pilote. La force − Z a
A
A
Z a est dirigée vers la
) est appelée force de portance ou plus simplement portance.
Dans la suite de ce cours de performances, nous supposons que la vitesse-air appartient toujours au
plan de symétrie de l’aéronef et qu’il en est de même pour la résultante des efforts aérodynamiques.
En conséquence, les coefficients CY et CYa sont nuls. Dans le repère aérodynamique il ne reste donc
que la portance et la traînée désignées respectivement par Rz et Rx.
53
6.2.3. Coefficient de portance
L’allure générale de la courbe du coefficient de
portance en fonction de l’incidence est présentée
sur la figure ci-contre. Elle comprend
généralement une portion quasiment linéaire aux
incidences faibles.
Au-delà des phénomènes non linéaires se
produisent. Par exemple, le phénomène de
décrochage se traduit par une valeur maximale,
dénommée C z max .
Pour les valeurs d’incidence supérieures à
l’incidence de portance maximale, la portance
s’écroule et entraîne des comportements
particuliers du véhicule qui seront traités
principalement dans le cours de dynamique du
vol.
Dans la suite de ce chapitre, on s’intéressera seulement à la modélisation de la partie linéaire de la
courbe de portance.
Quand le profil est symétrique, le coefficient de portance est modélisé par une équation linéaire en
fonction de l’incidence dans laquelle le gradient de portance dépend de l’allongement de la voilure.
C z = C zαα ≈ (πλ ) α
−1
Quand le profil n’est pas symétrique, comme dans le cas présenté sur la figure ci-dessus, la
modélisation devient
C z = C z 0 + C zα α
= C zα (α − α 0 )
dans laquelle :
• α 0 est l’incidence de portance nulle
•
C z 0 est le coefficient de portance à incidence nulle
54
6.2.4. Coefficient de traînée
En régime subsonique, quand le profil est
symétrique, la courbe représentative de l’évolution
du coefficient de traînée en fonction de l’incidence
est modélisée par l’équation :
C x = C x 0 + C xα 2 (α − α 0 )
2
dans laquelle :
• C x 0 est la traînée à portance nulle
•
d’après le paragraphe précédent.
C xα 2 est la traînée induite par la
portance.
En effet, quand l’incidence est petite, on assimile la traînée induite à la projection de la portance sur
l’axe porté par la vitesse. Il s’ensuit que :
C x ≈ C x 0 + C zα (α − α 0 )sin (α − α 0 )
≈ C x 0 + C zα (α − α 0 )
2
≈ Cx0 +
1
2
Cz
C zα
Quand le profil n’est pas symétrique la modélisation devient
C x ≈ C x 0 + k1C z + k2C z
2
≈ C x 0 + k1C zα (α − α 0 ) + k2C z2α (α − α 0 )
2
dans laquelle :
• C x 0 est la traînée à portance nulle composée de la traînée de frottement et de la traînée de
•
forme
k1 caractérise la dissymétrie du profil
•
k 2 caractérise la traînée induite par la portance
Si la vitesse approche ou dépasse la vitesse du son, des ondes de choc prennent naissance, et aux
traînées précédentes il faut ajouter la traînée d’onde.
6.2.5. Polaire non équilibrée
À chaque incidence correspondent une valeur de portance et une valeur de traînée. On peut alors
tracer la courbe du coefficient de portance en fonction du coefficient de traînée qu’il est loisible de
graduer en incidence. Cette courbe est appelée polaire non équilibrée.
D’après la formulation de la traînée proposée plus haut, on fait habituellement une approximation de
la polaire ou d'une partie de la polaire par une équation de forme parabolique
C x = C x 0 + K .C z
2
Par ailleurs, on notera que K est inversement proportionnel à
théorique 1 πλ pour une aile droite elliptique.
La finesse
(f )
λ.
Il a même pour expression
est égale au rapport de C z / C x pour une incidence donnée. Si l’on reprend
l’approximation parabolique de la polaire, on montre que la finesse dépend de la portance par la
relation :
55
f =
Cz
2
C x 0 + K .C z
Lorsque la portance est nulle, la finesse l’est aussi. La finesse passe par un maximum
( f max ) lorsque
la portance évolue.
2
⎛ ∂f max ⎞
C − K .C z
⎜⎜
⎟⎟ = x 0
=0
2 2
C
∂
z ⎠
Cx 0 + K .Cz
⎝
(
)
En ce point la portance et la traînée prennent des valeurs particulières.
(Cx ) f
6.3.
max
= 2C x 0 et (C z ) f max =
K
=
Cx0
Expression générale du moment aérodynamique
2K
(Cx ) f max
( )
Par rapport à un point fixe de référence pour l’aéronef, la résultante aérodynamique R
moment que l’on exprime sous la forme :
QA =
avec
•
•
•
A
exerce un
1
ρSlV 2 C
2
S : surface de référence du corps
1
ρSlV 2 : moment de référence
2
C : vecteur de coefficients sans dimension
Cette définition exprime que moment aérodynamique, en un point fixe de l’aéronef, engendré par la
résultante des efforts aérodynamiques, est un vecteur de dimension trois dont chaque composante est
égale au module d’un moment de référence multiplié par un terme correctif qui exprime que cette
composante du moment aérodynamique dans la direction d’observation est proportionnelle au
moment de référence.
Pour préciser un peu plus cette définition, rappelons que le moment de référence est égal au couple
crée par la force aérodynamique de référence en un point situé à une distance du point fixe de
référence égale à la longueur de référence. Il apparaît donc clairement que les coefficients sans
dimension rendent compte de l’évolution de la résultante aérodynamique mais aussi du déplacement
de son point d’application sur l’aéronef appelé centre de poussée.
Ce coefficient sans dimension dépend des paramètres de vol. Dans le domaine d’application des
performances, on supposera qu’il peut être exprimé par un développement limité en fonction des
différents paramètres de vol, par exemple l'incidence, le dérapage, le braquage des gouvernes et la
vitesse angulaire de rotation autour des axes. Généralement, le développement sera limité au premier
terme non nul.
Dans le cadre strict du calcul des performances, on supposera que les coefficients détaillés cidessous ne dépendent pas des vitesses angulaires de rotation autour des axes. Ces effets seront
traités en introduction du cours de dynamique du vol.
6.3.1. Expression du moment dans le repère avion
En projetant le moment aérodynamique suivant les axes du repère avion, on obtient trois
composantes;
Sur OX
LA =
1
ρSlV 2Cl
2
56
Sur OY
Sur OZ
1
ρSlV 2Cm
2
1
N A = ρSlV 2Cn
2
MA =
Le coefficient Cl est appelé coefficient de moment de roulis. Il est positif quand le moment de roulis
LA créé une accélération angulaire de roulis positive.
Le coefficient Cm est appelé coefficient de moment de tangage. Il est positif quand le moment de
tangage M
A
crée une accélération angulaire de tangage positive. Lorsque le Cm est positif, on parle
de coefficient de moment de tangage cabreur car il génère une accélération angulaire de tangage
positive tendant à faire lever le nez de l’avion. Dans le cas contraire, on parle de coefficient de
moment de tangage piqueur.
Le coefficient Cn est appelé coefficient de moment de lacet. Il est positif quand le moment de lacet
N A créé une accélération angulaire de lacet positive.
Dans la suite de ce cours de performances, nous supposerons que les moments aérodynamiques de
roulis et de lacet sont constamment nuls. Il ne reste donc que le moment de tangage que nous allons
étudier juste après avoir présenté l’expression du moment aérodynamique dans le repère
aérodynamique.
6.3.2. Expression du moment dans le repère aérodynamique
Cette expression est donnée ici uniquement pour mémoire car elle n’est quasiment jamais mise en
œuvre.
En projetant le moment aérodynamique suivant les axes du repère aérodynamique, on obtient trois
composantes;
Sur OXa
Sur OYa
Sur OZa
1
ρSlV 2Cla
2
1
M aA = ρSlV 2Cma
2
1
N aA = ρSlV 2Cna
2
La =
A
6.3.3. Expression du coefficient de moment de tangage
Avant d’aborder l’expression du coefficient de moment de tangage, rappelons qu’il est défini par
rapport à un point de référence lié à l’aéronef.
Quand le profil est symétrique, le coefficient de moment de tangage en un point du profil est
proportionnel à l’incidence
Cm = Cmαα
Quand le profil est dissymétrique, il apparaît un terme de moment à portance nulle.
Cm = Cm 0 + Cmα (α − α 0 )
Compte tenu de la modélisation de la portance, le coefficient de moment de tangage peut s’exprimer
simplement par rapport au coefficient de portance.
C m = Cm 0 +
57
Cmα
Cz
C zα
6.3.4. Centre de poussée
Le point d’application (P) de la résultante aérodynamique est appelé centre de poussée. Si
l’écoulement de l’air autour de l’avion est symétrique par rapport au plan de symétrie de l’appareil, le
centre de poussée appartient à ce plan de symétrie. En ce point le moment aérodynamique est nul.
Localisons le centre de poussée par rapport au point de référence pour le calcul des moments
aérodynamiques. Pour faciliter la démonstration, supposons que le moment aérodynamique est donné
à l’origine du repère avion, usuellement le centre de masse (G).
( ) = (Q )
En ce point Q
A
A
G
P
+ GP ∧ R A
⎛ xp ⎞
⎛ CX ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
1
A
A
2
Comme : GP = ⎜ 0 ⎟ et que R = ρSV ⎜ CY ⎟ , il vient M
2
⎜0⎟
⎜C ⎟
⎝ ⎠
⎝ Z⎠
( )
Puisqu’à faible incidence, on peut écrire C z ≈ −C Z alors x p ≈ l
G
=
1
1
ρSlV 2Cm = − ρSV 2CZ ⋅ x p
2
2
Cm
Cz
Ainsi,
en
admettant
que
les
coefficients
aérodynamiques
s’expriment
sous
la
forme : Cm = Cm 0 + Cmα (α − α 0 ) et C z = C zα (α − α 0 ) , on montre que le centre de poussée se
déplace avec les variations d'incidence quand le profil est dissymétrique.
x p Cm 0 + Cmα (α − α 0 )
Cm 0
C
=
=
+ mα
l
C zα (α − α 0 )
C zα (α − α 0 ) C zα
6.3.5. Foyer
Le foyer (F) d’un profil ou d’une voilure est le point par rapport auquel le coefficient du moment
résultant des forces aérodynamiques est indépendant de l’incidence. En d’autres termes, c’est donc le
point d’application des variations des forces aérodynamiques créées par les variations d’incidence.
Localisons le foyer par rapport au point de calcul des moments aérodynamiques. Pour faciliter la
démonstration, supposons que le moment aérodynamique est donné à l’origine du repère avion,
usuellement le centre de masse (G).
( ) = (Q )
En ce point Q
A
A
G
F
+ GF ∧ R A
⎛ xF ⎞
⎜ ⎟
1
1
1
2
2
2
A
Comme : GF = ⎜ 0 ⎟ on en déduit : M = ρSlV (Cm )G = ρSlV (Cm )F − ρSV C z ⋅ xF
2
2
2
⎜0⎟
⎝ ⎠
Ou encore (Cm ) F ⋅ l = (Cm 0 + Cmα (α − α 0 ) )G ⋅ l + (C Zα (α − α 0 ) )⋅ xF
Le
moment
au
foyer
étant
indépendant
de
l’incidence,
il
s’ensuit
que :
x
Cm
Cmα (α − α 0 ) ⋅ l = −CZα (α − α 0 ) ⋅ xF , c’est à dire que F = − α
l
Czα
Puisqu’à faible incidence, on peut écrire C z ≈ −C Z , la position du foyer est donnée par la relation
suivante.
xF =
Cmα
l
C zα
58
La quantité ( xF l ) est appelée centrage. À faible incidence, la position du foyer est indépendante des
variations d'incidence. Il est situé généralement au voisinage du quart avant du profil en subsonique.
Ce point recule en supersonique.
Pour conclure, on peut également établir la relation entre la position du foyer et celle du centre de
poussée.
xP
Cm 0
x
=
+ F
l
C zα (α − α 0 ) l
6.4.
Équilibrage du moment de tangage
6.4.1. Efficacité de la gouverne de profondeur
Un braquage de la gouverne de profondeur génère une modification de la portance au foyer de celleci.
Il en résulte que l’efficacité en portance de la gouverne de profondeur correspond quasiment au
gradient de portance de son profil en fonction de l’incidence rapporté à la surface de référence de
l’appareil. Comme on peut le remarquer sur la figure ci-dessus, un braquage positif de la gouverne de
profondeur génère une portance positive en conséquence, le signe du coefficient C Zδm est négatif.
Un braquage positif de la gouverne créé un accroissement de portance au niveau de la gouverne
lequel génère un moment de tangage autour du centre de masse.
1
1
ρSlV 2Cmδmδm = ρSV 2C zδmδm ⋅ Le
2
2
d’où l’on tire que Cmδm =
Le
C zδm . Le coefficient C mδm est donc négatif.
l
Un braquage de la gouverne de profondeur conduit généralement à une augmentation de la traînée
qui ne sera pas détaillée ici. On se référera au modèle fourni par les aérodynamiciens.
6.4.2. Polaire équilibrée
Par définition, on appelle polaire équilibrée la relation liant les coefficients de portance et de traînée
sous la contrainte du moment de tangage nul qui lie l’incidence et le braquage de la gouverne de
profondeur.
Cm 0 + Cmα (α eq − α 0 ) + Cmδmδmeq = 0
Dans ces concditions, l’incidence est appelée incidence d’équilibre (α eq ) et le braquage de la
gouverne de profondeur est appelé braquage équilibré de la gouverne de profondeur (δmeq ) .
On peut donc en déduire simplement la relation reliant l’incidence d’équilibre et le braquage équilibré
de la gouverne de profondeur lorsque le moment de tangage est nul à l’origine du repère avion.
59
δmeq = −
Cm 0 + Cmα (α eq − α 0 )
Cmδm
Il s’ensuit que l’on peut exprimer le coefficient de portance équilibré seulement en fonction de
l’incidence.
C zeq = C zα (α eq − α 0 ) −
C zeq = −
C zδm
C m 0 + C mα (α eq − α 0 )
C mδm
⎛
⎞
C zδm
C
C m 0 + ⎜⎜ C zα − zδm C mα ⎟⎟(α eq − α 0 )
C mδm
C mδm
⎝
⎠
Cette dernière formulation peut s’exprimer sous la forme :
C zeq = −
⎛
C
C zδm
C m 0 + C zαeq (α eq − α 0 )
C mδm
⎞
avec C zαeq = ⎜⎜ C zα − zδm C mα ⎟⎟
C mδm
⎝
⎠
Le rapport des efficacités de la gouverne de profondeur étant négatif, la pente de la courbe de
portance équilibrée est plus petite que celle de la courbe non équilibrée lorsque le terme C mα est
négatif. Elle est plus grande quand le terme C mα est positif.
En ce qui concerne la traînée due à l’équilibrage, il n’existe pas de modèle particulier et bien souvent
on se contente d’appliquer la formule de la polaire non équilibrée en remplaçant le terme de portance
non équilibrée par la valeur de la portance équilibrée.
6.5.
Influence du nombre de Mach
Dans le cadre de ce cours, il n’est pas envisagé de détailler la sensibilité des coefficients
aérodynamiques au nombre de Mach. Cependant, les illustrations suivantes donnent l’allure générale
des principales influences.
Jusqu’à présent, nous avons supposé que la portance était linéaire en fonction de l’incidence et
qu’elle était indépendante de la vitesse-air. Dans la réalité, suivant le domaine de vitesse de vol d’un
avion, le profil de la voilure diffère et la portance maximale accessible dépend du nombre de Mach
comme indiqué sur la figure suivante.
La valeur de la portance maximale est constante tant que le nombre de Mach est inférieur au nombre
de Mach limite. Au-delà de cette valeur, la portance maximale diminue. Pour une voilure
60
supersonique, la portance maximale redevient constante en supersonique avec une valeur plus faible
que celle atteinte en subsonique.
Sans entre plus avant dans le détail, on notera seulement :
• En subsonique, la polaire est habituellement indépendante du Mach. En transsonique et en
supersonique, elle dépend du nombre de Mach
• L’accroissement de la traînée au passage de Mach1
• La diminution du coefficient de portance maximale et du moment de tangage liée à la forme
du profil à partir du régime transsonique
• Le recul du foyer en supersonique
61
62
7.
FORCES DE SURFACE DE NATURE PROPULSIVE
Il existe deux moyens pour créer une force de propulsion.
• Créer une pression dans une enceinte non totalement close. La résultante des efforts de
pression sur les parois de l’enceinte est égale à la quantité de mouvement de la masse de
gaz sortant par unité de temps si la pression dans le jet est égale à la pression extérieure.
• Capter un débit d’air à l’avant de l’avion et le rejeter derrière à une vitesse supérieure. Les
parois en contact avec le fluide sont soumises à des efforts de pression dont la résultante est
égale à la différence des quantités de mouvement de la masse d’air captée par unité de
temps si la pression dans le jet est égale à la pression extérieure.
Attention : Rejeter un débit de gaz vers l’arrière ne crée pas la force de propulsion. Ce rejet de gaz
n’est qu’une conséquence de la propulsion.
Les différents types de moteurs utilisés en aéronautique sont:
Moteurs à pistons avec ou sans
turbocompresseur
Turbopropulseurs
Turboréacteurs simple flux
Turboréacteurs simple flux double corps
Turboréacteurs avec postcombustion
63
Turboréacteurs avec postcombustion
Turboréacteurs double flux
Statoréacteurs
Mis à part le moteur fusée qui est de type anaérobie, tous les moteurs sont de type aérobie. Le
domaine d’emploi de ces différents modes de propulsion est représenté sur l’illustration suivante.
Dans la suite de ce cours, nous distinguerons les moteurs aérobies utilisés pour la propulsion des
avions en deux classes.
• La classe GTR, pour Groupe TurboRéacteur, contient tous les turboréacteurs qui délivrent
directement une poussée
• La classe GMP, pour Groupe MotoPropulseur, contient tous les moteurs qui délivrent de la
puissance sur un arbre doté d’une hélice laquelle délivre une poussée.
7.1.
Rendement de propulsion des moteurs aérobies
Il y a plusieurs façons d'utiliser l'énergie fournie par le combustible et transformée par le moteur :
• Accélérer faiblement un grand débit d'air. C’est le cas de l’hélice qui brasse un grand débit
d'air dont elle augmente faiblement la vitesse.
• Accélérer fortement un faible débit d'air. C’est le cas du turboréacteur qui brasse un faible
débit d'air dont il augmente fortement la vitesse.
Avec tous les cas intermédiaires possibles tel le réacteur double flux dans lequel le compresseur
brasse moins d'air que l'hélice mais l'accélère plus par contre le flux primaire est moins accéléré dans
la tuyère que dans le cas du réacteur puisqu'une partie de l'énergie disponible à la sortie du
générateur est prélevée par la turbine secondaire.
Pour définir la meilleure solution propulsive pour un aéronef et une mission donnés, il faut alors définir
la notion de rendement de propulsion.
64
Pendant l'unité de temps, il passe, dans le propulseur, une masse d'air ( ma ) dont la vitesse passe
d'une valeur d’entrée ( V0 ) à la valeur de sortie ( V1 ). L'énergie mécanique fournie par le moteur cette
masse d'air pendant l'unité de temps est donc égale l'augmentation de son énergie cinétique. Elle
représente la dépense de puissance ( Pm ) consentie par le propulseur.
Pm =
1
1
m& aV12 − m& aV02
2
2
La poussée ( F ) à laquelle est soumis le propulseur est donnée par le théorème des quantités de
mouvement.
F = m& a ⋅ (V1 − V0 )
Le fait que l'air soit capté à la vitesse ( V0 ) signifie que l'avion vole à la vitesse ( V0 ). Le travail de la
force de propulsion pendant l'unité de temps est donc la puissance utilisée ( Pu ) pour faire mouvoir
l’aéronef à cette vitesse.
Pu = F ⋅V0
Le rendement de propulsion est le rapport entre la puissance utilisée pour le déplacement de
l’aéronef et la puissance mécanique fournie par le moteur à la masse d’air passant dans le propulseur.
ηp =
Pu
2V0
=
Pm V1 + V0
Le rendement de propulsion est d'autant plus voisin de 1 que la vitesse d'éjection ( V1 ) est plus voisine
de ( V0 ), c'est à dire quand la poussée est obtenue en accélérant peu un grand débit d’air.
En se basant sur ce seul critère, il semble donc que le meilleur propulseur soit le moteur à hélice
(moteur à piston ou turbopropulseur). Malheureusement l'hélice ne peut fonctionner correctement
qu'en subsonique car, au-delà de Mach 0.7, la vitesse d'extrémité de pale est voisine de la vitesse du
son ce qui conduit à des chutes importantes de rendement et à des variations importantes d'efforts sur
la pale
Au-delà de Mach 0.7, il faut donc changer de mode de propulsion tout en cherchant à obtenir la
poussée avec une vitesse d'éjection la plus voisine possible de la vitesses de vol. On est ainsi amené
à utiliser :
• les réacteurs double flux pour les avions volant en subsonique élevé et en transsonique,
• le réacteur simple flux pour les avions supersoniques.
N’oublions pas que d'autres critères peuvent aussi influencer le choix d'un moteur, en particulier le
rapport poussée/masse ou puissance/masse.
7.2.
Consommation horaire et consommation spécifique
7.2.1. Consommation horaire
La consommation horaire ( C H ) est la quantité de carburant consommée par unité de temps exprimée
en kilogramme par heure.
65
7.2.2. Consommation spécifique
Pour les réacteurs, la consommation spécifique
( CS ) est définie comme la consommation horaire
par unité de poussée exprimée en kilogramme par
decanewton et par heure.
CS = CH / Tu
Comme indiqué sur l’illustration ci-contre, la
consommation spécifique passe par un minimum
pour un nombre de tours optimal.
Pour les moteurs à pistons et les turbopropulseurs, la consommation spécifique ( CS ) est définie
comme la consommation horaire par unité de puissance motrice exprimée en kilogramme par kilowatt
et par heure.
CS = CH / Pm
7.3.
Caractéristiques des moteurs GTR
7.3.1. Courbes "moteur"
La poussée utilisable d’un moteur GTR est donnée par la relation suivante.
Fu = m& a .(V1 − V0 ) + m& cV1
avec :
•
•
•
•
m& a : Quantité d’air
m& c : Quantité carburant
V0 : Vitesse d'entrée de l’air. C’est aussi la vitesse de vol de l’aéronef.
V1 : Vitesse d'éjection des gaz
En négligeant le terme fusée dû à l’apport du carburant, on obtient une expression approchée mais
néanmoins très proche de la réalité.
F = m& a ⋅ (V1 − V0 )
Pour un nombre de tours donné ou un EPR (Engine Pressure Ratio), la variation de la poussée utile
avec la vitesse est très faible jusqu'à une certaine vitesse. En mécanique du vol, on considèrera
qu'elle est indépendante de la vitesse pour une altitude donnée.
66
7.3.2. Sensibilité de la poussée des turboréacteurs aux conditions de vol
La poussée maximum varie comme la masse volumique de l'air. Elle diminue donc quand l'altitude
augmente ou que la température augmente.
Influence de la température : Si la température croît, la masse volumique et donc la poussée
décroissent.
Si l’altitude croît, la masse volumique et la température décroissent entraînant une diminution de la
poussée. En fait Fu z = Fu0 . δ . K . En mécanique du vol on considèrera K=1, ce qui signifie que
pratiquement la poussée diminuera proportionnellement à la densité de l'air.
Pour les réacteurs simple flux, la poussée varie peu en subsonique en fonction de la vitesse. Elle
augmente avec la vitesse en supersonique.
Le réacteur double flux est donc caractérisé entre autres par le rapport du flux secondaire (débit
secondaire d’air froid) au flux primaire (débit primaire d’air chaud). Ce rapport nul pour le réacteur
simple flux est appelé TAUX DE DILUTION.
Exemples de taux de dilution :
• Fokker 100 (Rolls Royce Tay 620) : 3/1
• Pratt et Withney (JT9 D3) : 5/1
67
Pour les réacteurs double flux, la poussée exprimée en fonction de la vitesse passe par un minimum,
d'autant plus accentué que le taux de dilution est élevé.
Le réacteur double flux sera d'autant plus proche d'un réacteur simple flux que le flux secondaire sera
faible et d'autant plus proche d'un turbopropulseur que le flux primaire sera négligeable devant le flux
secondaire.
7.4.
Caractéristiques des moteurs GTR
7.4.1. Courbes "moteur" GMP
En travaux
7.4.2. Sensibilité de la puissance des motopropulseurs aux conditions de vol
En travaux
68
7.5.
Modélisation utilisée en mécanique du vol
Le tableau suivant présente la modélisation adoptée pour les différents types de moteurs en vue,
seulement, des applications liées à la mécanique du vol.
On exprime la poussée sous la forme :
λ
⎛V ⎞ ⎛ ρ ⎞
F = F0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ V0 ⎠ ⎝ ρ 0 ⎠
µ
dans laquelle les coefficients λ et µ dépendent du type de propulsion selon le tableau suivant :
moteur
λ
µ
simple flux subsonique
0
1
en supersonique + PC
1
1
turbopropulseur
-1
1
statoréacteur
2
1
fusée
0
0
double flux subsonique
-1<...<0
1
69
70
8.
ÉQUATIONS DU VOL
8.1.
Généralités
Le pilote dispose des commandes principales suivantes:
• profondeur : action sur le moment de tangage,
• gauchissement : action sur le moment de roulis,
• direction : action sur le moment de lacet.
L'action du pilote sur l'une de ces trois commandes provoque l'apparition d'un moment autour de l'axe
considéré. Ce moment provoque une rotation qui change l'attitude de l'avion par rapport au vecteur
vitesse. Ce changement d'attitude conduit à une modification des forces aérodynamiques qui entraîne
une variation du vecteur vitesse.
On supposera, dans ce qui suit, que le pilote agit sur ses commandes de manière à maintenir le
dérapage constamment nul. Dans cette hypothèse et sous réserve de vitesses angulaires
transversales faibles, le vecteur vitesse reste dans le plan de symétrie de l'avion. De plus, il
maintiendra ce plan de symétrie verticalement. Il n'y aura donc pas de forces en dehors du plan
vertical. La trajectoire restera dans ce plan vertical.
Les commandes moteur permettent d'afficher une poussée,
moteur(s).
ϖ
est l’angle de calage du (des)
Les autres commandes et sélecteurs, tels que, aérofreins, hypersustentateurs, train d'atterrissage,
etc. seront supposés fixes.
8.2.
Équations du mouvement
L'avion est supposé être un corps indéformable de masse (m) et de centre de masse O. Soient
R la
résultante des forces extérieures et Q le moment résultant des forces extérieures, par rapport au
centre de masse volant dans une atmosphère calme, sans vent.
Les équations de mécanique générale nous donnent :
R=
Où
d 2 OG
dt 2
Q=
dC
dt
d 2 OG
est l'accélération du centre de masse, et C le moment cinétique.
dt 2
Les deux équations peuvent être projetées dans
l'un trois trièdres suivants :
•
•
•
(Oxo, Oyo, Ozo )
fixe et galiléen,
( Ox, Oy, Oz ) avion,
(Oxa, Oya, Oza )
aérodynamique,
qui sont positionnés les uns par rapport aux
autres en introduisant les angles :
•
•
•
θ
α
γa
assiette longitudinale
incidence,
pente aérodynamique, également
pente de la trajectoire en l’absence de
vent.
Dans ces conditions, et seulement dans celles là :
71
θ =α +γa
Le décompte des forces extérieures projetées dans le repère aérodynamique
• Le poids : (− mg sin γ , 0, mg cos γ )
•
•
1
⎛ 1
⎞
ρSV 2Cxa , 0, − ρSV 2Cza ⎟
2
⎠
⎝ 2
Les forces de propulsion : (F cos(α + ϖ ), 0,− F sin (α + ϖ )) quand le vecteur F est dans le
Les forces aérodynamiques : ⎜ −
plan de symétrie de l’appareil
•
⎛
⎝
Les moments aérodynamiques : ⎜ 0,
1
⎞
ρSlV 2Cm, 0 ⎟
2
⎠
Dans notre cas particulier les six équations du mouvement (trois pour les forces, trois pour les
moments) se réduisent à trois.
•
•
d 2 OG
a pour composantes sur les axes du trièdre aérodynamique :
dt 2
dγ ⎞
⎛ dV
, 0, − mV
⎜m
⎟ puisque la vitesse de rotation du vecteur vitesse est en effet
dt ⎠
⎝ dt
dγ
l’accélération normale
.
dt
La force d'inertie m
Oy étant supposé axe principal d'inertie, le moment d'inertie autour de Gy est B, et le moment
cinétique C = B
dθ
dt
En l’absence de vent, on a donc le système d'équations.
dV
1
= −mg sin γ a − ρSV 2Cx + F cos(α + ϖ )
dt
2
dγ
1
mV
= mg cos γ a − ρSV 2Cz − F sin (α + ϖ )
dt
2
2
dθ 1
B 2 = ρSlV 2Cm
dt
2
θ =α +γa
m
dH
= V sin γ a
dt
8.3.
Équations dans les divers cas de vol
8.3.1. Vol en palier rectiligne stabilisé
Ce cas de vol est caractérisé par une vitesse-air et une altitude constante.
α et ϖ petits
α et ϖ quelconques
72
1
ρSV 2Cx
2
1
mg − F sin(α + ϖ ) = ρSV 2Cz
2
Cx = Cx (α , M )
Cz = Cz(α , M )
1
ρSV 2Cx
2
1
mg = ρSV 2Cz
2
f (Cx, Cz, M ) = 0
F cos(α + ϖ ) =
F=
Lorsque tous les angles sont petits, on peut exprimer la poussée indépendamment de la vitesse sous
la forme :
F
Cx 1
=
=
mg Cz f
8.3.2. Vol en palier rectiligne accéléré ou décéléré
Ce cas de vol est caractérisé par une vitesse-air variable et une altitude constante.
α et ϖ petits
α et ϖ quelconques
dV 1
= ρSV 2Cx
dt 2
1
mg = ρSV 2Cz
2
f (Cx, Cz, M ) = 0
dV 1
= ρSV 2Cx
dt 2
1
mg − F sin(α + ϖ ) = ρSV 2Cz
2
Cx = Cx(α , M )
F cos(α + ϖ ) − m
F −m
Cz = Cz (α , M )
8.3.3. Montée ou descente rectiligne stabilisée
Ce cas de vol est caractérisé par une vitesse-air constante et une altitude variable.
α et ϖ quelconques
α et ϖ petits
1
ρSV 2Cx
2
1
mg cos γ − F sin(α + ϖ ) = ρSV 2Cz
2
Cx = Cx(α , M )
1
ρSV 2Cx
2
1
mg cos γ = ρSV 2Cz
2
f (Cx, Cz, M ) = 0
F − mg sin γ =
F cos(α + ϖ ) − mg sin γ =
Cz = Cz (α , M )
8.3.4. Virage stabilisé en palier
Bien que ce cas de vol ne soit pas explicitement traité ici, on cite les équations pour mémoire.
Elles seront rappelées lors de l’étude du virage.
α et ϖ petits
α et ϖ quelconques
dV 1
= ρSV 2Cx
dt 2
1
nmg = ρSV 2Cz
2
f (Cx, Cz, M ) = 0
dV 1
= ρSV 2Cx
dt 2
1
nmg − F sin(α + ϖ ) = ρSV 2Cz
2
Cx = Cx(α , M )
F cos(α + ϖ ) − m
F −m
Cz = Cz (α , M )
73
74
9.
VOL RECTILIGNE STABILISE
9.1.
Équilibre en vol rectiligne stabilisé
9.1.1.
Rappels des hypothèses simplificatrices
•
•
•
•
L'angle de calage de la voilure est nul (α avion = α profil)
Le centre de poussée est confondu avec le centre de gravité
Le mouvement est rectiligne uniforme
Le vol est symétrique
9.1.2. Inventaire des forces
•
•
•
Poids
Traction ou poussée des moteurs
Résultante aérodynamique
9.1.3. Équilibre
Le mouvement étant rectiligne uniforme :
R + Fn + P = 0
En projection sur
aérodynamique :
les
axes
du
repère
P = Fz + Fn sin α
Fx = Fn cos α
Si le vecteur poussée du moteur fait un angle ϖ non petit avec la référence avion et que l'incidence de vol
ne peut pas être considérée comme petite, les équations s'écriront :
1
ρSV 2Cx
2
1
mg − F sin(α + ϖ ) = ρSV 2Cz
2
Cx = Cx(α , M )
F cos(α + ϖ ) =
Cz = Cz (α , M )
En supposant l’angle
ϖ
nul et l’incidence faible, alors :
1
ρSV 2Cx
2
1
mg = ρSV 2Cz
2
f (Cx, Cz, M ) = 0
F=
L'une de ces équations peut être remplacée par :
Dans ces conditions, à une altitude
•
F
Cx 1
=
=
mg Cz f
H ( ρ ) et une vitesse V, :
⎛ Cx ⎞ mg
⎟=
f
⎝ Cz ⎠
La poussée nécessaire au vol en palier est : Fn = mg ⎜
75
ρSV 2
•
Le Cz est donné par Cz =
•
Le Cx est donné par la polaire
2mg
9.2.
Courbes "planeur"
Un avion est composé de deux grands ensembles:
• Le planeur (cellule et équipements)
• Le ou les moteurs
Pour connaître les caractéristiques des moteurs à installer sur le planeur, il est nécessaire de savoir ce que
sont les besoins du planeur pour voler en palier à un poids et à une altitude donnés :
• soit en poussée s'il s'agit de réacteurs (GTR)
• soit en puissance s'il s'agit de turbopropulseurs (GTP)
Pour comparer les performances du moteur aux besoins du planeur pour assurer l’équilibre en vol rectiligne,
on trace la poussée ou la puissance nécessaire au maintien du vol en palier en fonction de la vitesse-air,
appelée également vitesse propre puisqu’elle est horizontale, et la poussée ou la puissance maximale
développée par le moteur.
9.2.1. Diagramme des poussées GTR
La courbe moteur coupe la courbe
planeur en 2 points 01 et 02 pour
lesquels l'avion est en équilibre en
palier.
La courbe planeur définit 2 régimes de
vol:
• Le premier quand la poussée
nécessaire et la vitesse propre
varient dans le même sens
• Le
deuxième
quand
la
poussée nécessaire et la
vitesse propre varient en sens
inverse.
L'incidence de séparation des deux régimes de vol
Démonstration:
Fn =
1
ρSV 2Cx
2
Comme Cx = Cx 0 + kCz et que mg =
2
Il s’ensuit : Cx = Cx 0 +
D’où : Fn =
Alors
(α 2 ) est l’incidence de finesse maximale.
1
ρSV 2 Cz à l’équilibre,
2
4m 2 g 2 k
ρ 2 S 2V 4
⎛
1
4m 2 g 2 k ⎞
ρSV 2 ⎜⎜ Cx0 + 2 2 4 ⎟⎟
ρ SV ⎠
2
⎝
dFn
4m 2 g 2 k
= 0 ⇔ Cx0 − 2 2 4 = 0 ⇔ Cx0 = kCz 2
ρ SV
dV
L’incidence cherchée est donc celle pour laquelle Cx = 2Cx0
Enfin, sachant que l'équation de la polaire s’écrit sous la forme: Cx = Cx0 + kCz , la condition
2
Cx = 2Cx0 correspond à l’incidence de finesse max.
76
9.2.2. Diagramme des poussées GMP
Puisque la puissance est égale au travail d’une
force par unité de temps et que ce travail est égal
au produit de la force par le déplacement, il
s’ensuit que la puissance est égale au produit de
la force par la vitesse de déplacement.
On peut donc facilement obtenir la puissance
nécessaire au vol en palier du planeur en
multipliant la poussée nécessaire par la vitesse
propre Wn = Fn . Vp
La courbe moteur peut couper la courbe planeur
en 2 points pour lesquels l'avion est en équilibre
en palier.
L’incidence
α 3 , est l’incidence remarquable pour laquelle la puissance est minimum.
Démonstration:
Wn = V . Tn =
1
ρSV 3 Cx
2
Comme Cx = Cx 0 + kCz et que mg =
2
Il s’ensuit : Cx = Cx 0 +
1
ρSV 2 Cz à l’équilibre,
2
4m 2 g 2 k
ρ 2 S 2V 4
1
4m 2 g 2 k ⎞
3⎛
D’où : Wn = ρSV ⎜⎜ Cx 0 + 2 2 4 ⎟⎟
2
ρ S V ⎠
⎝
Alors
dWn
4m 2 g 2 k
= 0 ⇔ 3V 2 Cx 0 − 2 2 = 0 ⇔ 3Cx 0 = kCz 2
dV
ρ S V
L’incidence cherchée est donc celle pour laquelle Cx = 4Cx 0 . Cette incidence est donc supérieure
à l’incidence de finesse maximale.
9.3.
Vitesse minimale de vol
En supposant que la propulsion installée est suffisante pour maintenir la vitesse et que l’incidence est faible,
ce qui reste à démontrer, il apparaît alors que la vitesse minimale de vol à une altitude donnée est régie par
la relation suivante.
Vmin =
9.4.
2mg
ρSCz max
Vitesse ascensionnelle totale/Excédent de poussée disponible
⎛ Cx ⎞
H ( ρ ) et une vitesse V, la poussée nécessaire au vol en palier Fn est : Fn = mg ⎜ ⎟
⎝ Cz ⎠
2
ρSV
Le Cz est donné par Cz =
et le Cx est donné par la polaire
2mg
A une altitude
Si le pilote affiche une poussée utilisable Fu ≥ Fn , l'excédent de poussée permet soit d'accélérer, soit de
monter, soit de virer.
77
Si nz = 1 ,les évolutions ont lieu uniquement dans un plan vertical. Les équations qui régissent ces
évolutions sont:
dV 1
= ρSV 2 Cx
2
dt
1
mg cos γ = ρSV 2 Cz
2
Fu − mg sin γ − m
Si la pente de la trajectoire est petite, la deuxième équation devient : mg =
1
ρSV 2Cz
2
1
ρSV 2Cx
2
dV
On a donc : Fu − mg sin γ − m
= Fn
dt
1 dV Fu − Fn
=
ou encore : sin γ +
g dt
mg
En faisant intervenir la poussée nécessaire au vol en palier : Fn =
L'excédent de poussée permet donc :
•
•
dV
Fu − Fn
= 0, sin γ =
dt
mg
1 dV Fu − Fn
soit d'accélérer en palier:
=
g dt
mg
soit de monter à vitesse constante :
On a vu précédemment que l'altitude totale (Ht ) avait pour expression : Ht = H +
ascensionnelle totale : W =
On en déduit :
V2
et que la vitesse
2g
dHt
.
dt
W
1 dV Fu − Fn
= sin γ +
=
V
g dt
mg
On a donc correspondance entre vitesse ascensionnelle totale, excédent de poussée, possibilité
d'accélération ou de montée.
La quantité (W/V) peut se mesurer à bord d'un avion à l'aide d'un accéléromètre ou/et d’une centrale à
inertie. L’information du (W/V) permettra au pilote de connaître ses possibilités de manœuvre.
9.5.
Plafonds de sustentation et propulsion
Avant d’aborder ces deux notions, il faut revenir un instant sur les relations de l’équilibre en vol rectiligne et
les réécrire sous une forme plus adaptée au propos en utilisant les propriétés de l’atmosphère.
1
γ
ρSV 2Cx = Ps SM 2Cx
2
2
γ
1
mg = ρSV 2Cz = Ps SM 2Cz
2
2
2
2
On voit alors apparaître les groupements M Cz et M Cx .
F=
2
Il est donc aisé de représenter graphiquement la fonction M Cz pour chaque type de voilure et de
rapprocher son évolution à la condition de sustentation du vol.
78
Ainsi, pour un avion donné (m et S), l’équilibre de
sustentation ne sera possible que si
M 2Cz ≥
2mg
γPs S
Cette condition définit le domaine de vol pour une
altitude donnée sous réserve de l’existence d’une
force propulsive suffisante pour maintenir la
vitesse de vol
Pour une voilure transsonique, le domaine de vol sera limité par le décrochage bas lié au phénomène de
décrochage à incidence élevée et par le décrochage haut dû aux phénomènes de compressibilité. Ce
domaine diminue quand l’altitude ou/et la masse de l’avion augmente
2
Compte tenu de la forme de la fonction M Cz en fonction du Mach pour une voilure supersonique, le
domaine de vol n’est limité que par le décrochage bas. Cependant, la contrainte de poussée nécessaire à
grand Mach conduit aussi à une limite haute qui n’est pas traitée ici.
9.5.1. Plafond de sustentation
Le plafond de sustentation est l’altitude maximale à laquelle l’équilibre de sustentation est possible.
Ps M 2Cz ≥
2mg
2mg
⇒ Ps ≥
γS
γSM 2Cz max
A chaque nombre de Mach, il existe une altitude maximale de vol possible indépendamment de la
propulsion, sous réserve que le terme F sin(α + ϖ ) soit négligeable. Cette altitude sera d’autant plus faible
que la masse de l’avion augmente
Pour une voilure transsonique, le plafond de sustentation sera atteint pour la valeur maximale de la courbe.
2
En l’absence d’une valeur maximale pour la courbe M Cz une voilure supersonique ne présente pas de
plafond de sustentation. Dans ce cas, il faut voler d’autant plus vite que l’altitude est élevée.
9.5.2. Plafond de propulsion
Le plafond de propulsion est l’altitude maximale à laquelle la poussée (la puissance) délivrée est suffisante
pour équilibrer la traînée.
Ps M 2Cx ≥
2F
2F
⇒ Ps ≥
γS
γSM 2Cx
79
Nécessairement, à cette altitude, les conditions de vol seront celles correspondant à la poussée (la
puissance) minimale nécessaire au maintien de l’équilibre. Suivant le type de propulsion, on retrouvera donc
les conditions démontrées au début du chapitre.
9.6.
Domaine de vol
Les limites traitées au cours de ce chapitre font partie de celles qui permettent de définir le domaine de vol
d’un avion donné dans le plan (Altitude Mach) comme indiqué sur l’illustration suivante correspondant à un
avion de combat.
9.7.
Autonomie, Distance maximale franchissable
Pour introduire ces notions, il convient de faire quelques hypothèses.
• La masse de l’avion diminue de la quantité de carburant consommée
• A chaque instant, la masse instantanée définit l’altitude et la vitesse de vol
• A chaque instant, la consommation (c) est définie comme l’opposé de la vitesse de variation de la
masse de l’avion : c = −
dm
dt
9.7.1. Autonomie
L’autonomie est la durée du vol pendant laquelle la masse de l’avion passe de ( m1 ) à ( m2 ) .
T=
m2
dm
c
m1
∫
9.7.2. Distance maximale franchissable
dx
V
Comme, d’autre part, V =
, nous aurons dx = Vdt = − dm et la distance franchissable sera donnée
dt
c
par l’intégrale :
m2
m
1
V
V
dm = ∫ dm
c
c
m1
m2
D = −∫
80
La distance maximale franchissable sera obtenue lorsque le rapport c = −
dm
sera minimal. Si donc nous
dt
supposons que la consommation spécifique et que le rendement de propulsion sont constants, cela revient à
dire que :
•
Wu
= Fu doit être minimale pour un avion à hélice
V
81
82
10.
PALIER DES AVIONS MUNIS DE GMP ET DE GTR
10.1. Avion muni d’un GMP
10.1.1. Propriétés du vol en palier
A chaque altitude :
• Il existe généralement 2 régimes de vol, l’un stable à vitesse élevée, l’autre instable.
• Le vol à puissance minimale est obtenu pour l’incidence telle que Cx = 4Cx 0 .
•
La vitesse minimale de vol est donnée par Vmin =
mg
sous réserve que la traînée puisse
2 ρSCz max
être équilibrée.
10.1.2. Autonomie
m2
Par définition, T =
dm
∫ m&
m1
c
m1
& c = CsWu , il s’ensuit T =
En posant : − m
dm
∫CW
m2
s
u
En faisant l’hypothèse que la consommation spécifique est constante, l’autonomie maximale est obtenue
lorsque l’avion évolue en permanence à la puissance minimale, c’est à dire à l’incidence telle que
Cx = 4Cx 0 .
Puisque Wu =
d’où T =
3
2 g g Cx
ρS Cz Cz
m 2 , il vient T =
ρS Cz Cz
2 g g Cx
ρS Cz Cz
Cx
g g
1
m2
m1
dm
∫m
32
m2
⎛
⎞
⎜1 + m2 ⎟
⎜
m1 ⎟⎠
⎝
Ainsi, l’autonomie dépend de la masse à vide de l’appareil et du rapport entre la masse de carburant et la
masse à vide.
10.1.3. Distance maximale franchissable
10.1.3.1.
Distance franchissable :
m1
De la définition de la distance franchissable : D =
Vdm
∫CW
m2
s
u
Des relations d’équilibre du vol en palier
Wu =
En observant que
1
ρSV 3Cx
2
mg =
1
ρSV 2Cz
2
V
1
=
, il s’ensuit que la distance franchissable sera donnée par la relation :
Wu Fu
D=
Cz 1 ⎛ m1 ⎞
ln⎜ ⎟
Cs Cx g ⎜⎝ m2 ⎟⎠
83
10.1.3.2.
Maximisation de la distance franchissable
En supposant que la consommation est spécifique est constante, maximiser la distance franchissable revient
à maximiser la finesse.
Il est supposé que la forme générale de la polaire de l’avion est donnée par la relation
Cx = Cx0 + kCz 2
La maximisation de la finesse par rapport à l’incidence de vol et donc par rapport à la portance conduit aux
conditions de vol suivantes :
Cz =
Il s’ensuit que DMF =
Cx0
k
Cx = 2Cx0
⎛m ⎞
1
1
ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
gCs 2 kCx0 ⎝ m2 ⎠
Cette dernière relation montre que la distance franchissable est inversement proportionnelle à Cx 0 .
10.1.4. Points caractéristiques de la polaire
L’illustration ci-dessous résume l’ensemble des points caractéristiques de la polaire.
10.2. Avion muni d’un GTR
10.2.1. Propriétés du vol en palier
A chaque altitude :
• Il existe généralement 2 régimes de vol, l’un stable à vitesse élevée, l’autre instable.
• Le vol à puissance minimale est obtenu pour l’incidence telle que Cx = 2Cx0 .
•
La vitesse minimale de vol est donnée par Vmin =
être équilibrée.
84
2mg
sous réserve que la traînée puisse
ρSCz max
10.2.2. Autonomie
m2
Par définition, T =
dm
∫ m&
m1
c
m1
& c = C s Fu , il s’ensuit T =
En posant : − m
dm
∫C F
m2
s
u
En faisant l’hypothèse que la consommation spécifique est constante, l’autonomie maximale est obtenue
lorsque l’avion évolue en permanence à la poussée minimale, c’est à dire à l’incidence de finesse maximale.
Puisque Fu = mg
m1
⎛m ⎞
Cx
Cz 1
dm Cz 1
, il vient T =
ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
=
∫
Cx Cs g m 2 m Cx Cs g ⎝ m2 ⎠
Cz
Ainsi, l’autonomie ne dépend pas de la masse à vide de l’appareil. Elle dépend seulement du rapport entre
la masse de carburant et la masse à vide.
10.2.3. Distance maximale franchissable
10.2.3.1.
Distance franchissable :
m1
De la définition de la distance franchissable : D =
Vdm
∫C F
m2
s
u
Des relations d’équilibre du vol en palier
Fu =
1
ρSV 2 Cx
2
mg =
1
ρSV 2 Cz
2
on tire que :
Fu
=
V
1
Cx
ρSmg
2
Cz
Il s’ensuit que la distance franchissable à une altitude fixée est donnée par la formule :
D=
10.2.3.2.
2 2
Cs
1
Cz
ρSg Cx
(
m2 − m1
)
Maximisation de la distance franchissable
En supposant que la consommation est spécifique est constante, maximiser la distance franchissable à une
altitude fixée, quelle que soit la masse, revient à minimiser
Fu
=
V
1
Cx
ρSmg
et donc à minimiser
2
Cz
Cx
Cz
Il est supposé que la forme générale de la polaire de l’avion est donnée par la relation
Cx = Cx0 + kCz 2
dans laquelle le coefficient k n’est pas affecté par la présence ou la modification, des emports.
La minimisation de l’expression
Cx
par rapport à l’incidence de vol et donc par rapport à la portance
Cz
conduit aux conditions de vol suivantes :
85
Cz =
Il s’ensuit que DMF = K
Cx =
1 3(3k ) 4
avec K =
Cs 2 ρSg
−
1
Cx0
Cx0
3k
3
4
1
(
4
Cx0
3
m2 − m1
)
Cette dernière relation montre que la distance franchissable est inversement proportionnelle à Cx 0 .
Par conséquent, en considérant qu’un avion muni d’un Cx 01 parcourt une distance D1 , ce même avion
parcourra une distance D2 si sa traînée à portance nulle passe de Cx 01 à Cx 02 ; Les deux distances étant
reliées par la relation :
D2 ⎛ Cx 01 ⎞
⎟
=⎜
D1 ⎜⎝ Cx 02 ⎟⎠
3
4
10.2.4. Points caractéristiques de la polaire
L’illustration ci-dessous résume l’ensemble des points caractéristiques de la polaire.
86
11.
VOLS STABILISES EN MONTEE OU EN DESCENTE
11.1. Montée rectiligne uniforme
11.1.1. Équilibre en montée rectiligne uniforme
11.1.1.1.
•
•
•
•
Centre de poussée et centre de gravité confondus
Mouvement rectiligne uniforme,
Incidence négligeable d'où θ = γ
Vol symétrique.
11.1.1.2.
•
•
•
Rappels des hypothèses simplificatrices
Inventaire des forces
Poids
Traction ou poussée des moteurs
Résultante aérodynamique
11.1.1.3.
Équilibre
Le mouvement étant rectiligne uniforme: R + Fu + P = 0
L’incidence étant négligeable, on peut considérer qu’il y a coïncidence entre les repères avion et
aérodynamique. La projection de l’équilibre des forces dans le plan vertical fournit les deux relations
suivantes :
• Sur l'axe de sustentation: mg cos γ = Fz
•
Sur l'axe de propulsion Fu = Fx + mg sin γ
Les angles de montée dépassent rarement 10°.
(cos γ #1) ) .
Il s’ensuit que la traction est égale à Fx
comme en palier, plus un supplément de traction ou de poussée ( ∆Fu = P sin γ ) nécessaire pour
compenser la composante du poids. En conséquence, ce sont les moteurs qui font monter un avion et non
un accroissement de portance.
11.1.2. Performances caractéristiques
Les performances qui caractérisent la montée sont la vitesse ascensionnelle (Vz, appelée « vario ») et la
pente de montée.
11.1.2.1. Vitesse ascensionnelle
Vz =
Pu − Pn
mg
Démonstration:
87
Vz = V sin γ = V
Fu − Fx
mg
A l’équilibre en vol rectiligne à la vitesse V , on a Fn = Fx
Par conséquent Vz = V
Fu − Fn Pu − Pn
=
mg
mg
11.1.2.2. Pente de montée
tgγ =
Fu 1
−
mg f
Démonstration:
tgγ =
Fu − Fx
Fz
A l’équilibre en vol rectiligne à la vitesse V , on a Fz = mg
Par conséquent tgγ =
Fu − Fx Fu Cx
=
−
mg
mg Cz
La pente de montée s’exprime généralement en % à partir de la valeur de tgγ multipliée par 100. Elle
indique ainsi l’écart d’altitude réalisé pendant que l’avion se déplace, suivant une direction horizontale, de la
distance de 100m
Remarque : Dans la formule précédente si on emploie:
• la vitesse propre, vitesse-air projetée sur le plan horizontal, Vp, on obtient la pente air
• la vitesse sol Vk, on obtient la pente sol.
11.1.2.3.
Courbe de Vz=f(Vp)
Compte tenu de sa définition, on peut obtenir la vitesse ascensionnelle en faisant, pour chaque vitesse, la
différence entre la courbe moteur (Wu) et la courbe planeur (Wn) soit (∆W).
Remarques
La vitesse ascensionnelle maximale est obtenue à une incidence inférieure à l’incidence de finesse
maximale : α < α 2
Démonstration: Évident puisque la poussée est supposée indépendante de la vitesse.
88
La pente maximale de montée est obtenue à l’incidence
α2
de finesse maximale.
Démonstration: Évident puisque la poussée est supposée indépendante de la vitesse.
L’incidence de plafond de propulsion est donc l’incidence
α2
de finesse maximale
Démonstration: Évident d’après puisque la poussée est supposée indépendante de la vitesse.
11.2. Descente rectiligne uniforme
11.2.1. Équilibre en descente rectiligne uniforme
11.2.1.1.
•
•
•
•
Centre de poussée et centre de gravité confondus
Mouvement rectiligne uniforme,
Incidence négligeable d'où θ = γ
Vol symétrique.
11.2.1.2.
•
•
•
Rappels des hypothèses simplificatrices
Inventaire des forces
Poids
Traction ou poussée des moteurs
Résultante aérodynamique
11.2.1.3.
Équilibre
Le mouvement étant rectiligne uniforme: R + Fu + P = 0
L’incidence étant négligeable, on peut considérer qu’il y a coïncidence entre les repères avion et
aérodynamique. La projection de l’équilibre des forces dans le plan vertical fournit les deux relations
suivantes :
• Sur l'axe de sustentation: mg cos γ = Fz
•
Sur l'axe de propulsion Fu + mg sin γ = Fx
Les angles de descente dépassent rarement 10°. (cos γ #1) ) . Il s’ensuit que la composante du poids vient
s'ajouter à la traction pour vaincre la traînée.
La figure ci-dessus montre un avion avec une assiette longitudinale négative. N’oubliez pas que c’est
seulement une illustration. En phase de descente, l’assiette peut également être positive pourvu que
γ = α −θ < 0
Si la traction ou la poussée est nulle, on se retrouve dans le cas du planeur avec:
89
mg cos γ = Fz
mg sin γ = Fx
11.2.2. Performances caractéristiques
Les performances qui caractérisent la descente sont la vitesse descensionnelle (V’z, appelée « vario ») et la
pente de descente.
11.2.2.1.
Vitesse descensionnelle
Vz ' =
∆P
Pn − Pu ∆P
=
mg
mg
représente le manque de puissance.
Démonstration
Vz ' = V sin γ = V
Fx − Fu
mg
A l’équilibre en vol rectiligne à la vitesse V , on a Fn = Fx
Par conséquent Vz = V
'
Fn − Fu Pn − Pu
=
mg
mg
Dans le cas du planeur, il n’y a pas de poussée utilisable. En conséquence, Vz =
'
11.2.2.2.
ρSV 3Cx
2mg
Pente de descente
Vz ' 1 Fu
tgγ =
= −
Vp f mg
Démonstration:
tgγ =
Fx − Fu
Fz
A l’équilibre en vol rectiligne à la vitesse V , on a Fz = mg
Par conséquent tgγ =
Fx − Fu Cx Fu
=
−
mg
Cz mg
La pente de descente s’exprime généralement en % à partir de la valeur de tgγ multipliée par 100. Elle
indique ainsi l’écart d’altitude réalisé pendant que l’avion se déplace, suivant une direction horizontale, de la
distance de 100m
Remarque : Dans la formule précédente si on emploie:
• la vitesse propre, vitesse-air projetée sur le plan horizontal, Vp, on obtient la pente air
• la vitesse sol Vk, on obtient la pente sol.
11.2.2.3.
Courbe de V'z = f(Vp) dans le cas du planeur
1
Nota 2 : Dans le cas du planeur, tgγ =
f
90
Pour une masse donnée, la vitesse de descente sera minimale à l’incidence (α 3 ) de puissance nécessaire
minimale. L’autonomie maximale, c’est à dire le temps de vol maximal à partir d’une altitude donnée, sera
donc obtenue pour l’incidence (α 3 ) .
La pente de descente sera minimale à l’incidence (α 2 ) de finesse maximale. Le rayon d’action maximal sera
donc obtenu pour l’incidence (α 2 ) . Pour une altitude (H) de départ, la distance (D) parcourue sera donnée
par la relation : Dmax = H . f max
91
92
12.
VOL EN VIRAGE
12.1. Équilibre
12.1.1. Rappels des hypothèses simplificatrices
•
•
•
•
L'angle de calage de la voilure est nul (α avion = α profil)
Le centre de poussée est confondu avec le centre de gravité
Le mouvement est circulaire uniforme dans un plan horizontal
Le vol est symétrique
12.1.2. Inventaire des forces
•
•
•
Poids
Traction ou poussée des moteurs
Résultante aérodynamique
12.1.3. Équilibre
A l’équilibre: R + FC + P = 0 , en projetant cette relation dans le repère aérodynamique, on obtient les deux
relations fondamentales utiles pour l’étude du virage.
nZa mg =
Fn =
1
ρSV 2Cz
2
1
ρSV 2Cx
2
On en déduit les relations suivantes :
Force centrifuge
FC =
mV 2
R
Facteur de charge" nz " en virage
nZ =
FZ
1
=
mg cos ϕ
Rayon de virage
V2
V2
R=
=
g . tgϕ g . n 2 − 1
Puisque : nza mg =
1
ρSV 2Cz , le rayon de virage est également donné par la relation :
2
2m
nza
R=
ρSCz g n 2 − 1
za
L’équilibre suivant la direction de la portance peut être réécrite sous la forme suivante,
M 2 Cz =
n Za mg
= n Za M 2 Cz ( n =1)
0.7 Ps S
qui montre qu’à une vitesse donnée, il faudra d’autant plus de portance que le facteur de charge sera élevé;
la portance nécessaire en virage étant directement proportionnelle à celle en vol rectiligne équilibré.
Remarques
En pilotage, le taux 1 correspond à un virage de 180°/mn, le taux 2 à 360°/mn.
93
Les différents types de virage
•
1er type de virage: Z= cte et V= cte ==> actions pilote : W ↑ et
α↑
•
α
3e type de virage: Z= cte et W
V↓
•
2e type de virage: Z= cte et
= cte ==> actions pilote : W ↑ et V ↑
cte ==> actions pilote :
α↑
et
Le virage nécessitant une augmentation de la portance, il faut donc augmenter la puissance à vitesse
constante ou diminuer la vitesse à puissance constante.
12.2. Virage non stabilisé
La qualification non stabilisée signifie que l’on s’intéresse uniquement à l’équilibre en virage avec l’équation
de portance sans vérifier si la poussée installée sur l’avion est suffisante pour maintenir la vitesse constante.
12.2.1. Limite de manœuvre
En reprenant la condition d’équilibre sur l’axe de portance, on observe le poids de l’avion est multiplié par le
facteur de charge. Ainsi, en considérant non plus le poids réel mais le poids apparent de l’avion, on peut
refaire la discussion qui a conduit à la définition du plafond de sustentation.
Pour le virage, la limite de manœuvre est définie comme le facteur de charge maximal non stabilisé que
l’avion peut atteindre à une altitude donnée.
Ainsi, la relation entre l’équilibre en virage et la limite de manœuvre du vol rectiligne apparaît clairement.
En effet, si l’on considère que, sur la figure cidessous, la plus petite valeur du facteur de
charge représenté correspond au vol rectiligne,
on observe que l’accroissement du facteur de
charge réduit le domaine de vol de la même
façon que l’accroissement de sa masse en vol
rectiligne.
De même, la limite de manœuvre s’abaisse avec
l’accroissement du facteur de charge. Néanmoins
il apparaît quasiment pour le même nombre de
Mach.
12.2.2. Rayon de virage minimal non stabilisé
Le rayon de virage minimal sera atteint pour :
ρ max , c’est à dire un vol au niveau de la mer
•
•
Cz max , c’est à dire en limite de manœuvre
•
⎛ n
⎞
⎜
⎟ , c’est à dire en principe
za
⎜ n 2 −1 ⎟
⎝ za
⎠ min
au facteur de charge maximal supporté
par la structure.
Dans la pratique, on prendra nza = 4 car pour
⎛
⎞
⎟ = 1.03
⎜ n 2 −1 ⎟
⎝ za
⎠
cette valeur, ⎜
nza
94
Il est bien sûr intéressant de connaître le rayon minimal à chaque altitude, l’optimum étant toujours obtenu
au Cz max , c’est à dire sur la courbe de limite de manœuvre nZ max =
ρSV 2
2mg
CZ max .
A chaque altitude, ce rayon de virage est le point de tangence entre la courbe limite de manœuvre et une
courbe iso rayon de virage définie par R =
V2
g . n2 − 1
= cte
Généralement, on obtient un rayon minimum absolu limité par la résistance de la structure, le décrochage à
l’incidence de portance maximale ou la résistance du pilote.
Pratiquement, on adopte le rayon correspondant à un facteur de charge de 4.
12.2.3. Vitesse angulaire maximale de changement de cap non stabilisée
Puisque la vitesse angulaire et la vitesse sont données par Ω =
2nmg
g . n2 − 1
et V =
, on peut en
V
ρSCz
déduire une nouvelle expression de la vitesse angulaire.
Ω=g
ρSCz n 2 − 1
2mg
n
D’après la relation ci-dessus, la vitesse angulaire maximale sera atteinte pour :
•
ρ max , c’est à dire un vol au niveau de
la mer
•
Cz max , c’est à dire en limite de
manœuvre
•
⎛ n2 − 1 ⎞
⎜
⎟ , c’est à dire en principe
⎜
⎟
n
⎝
⎠ max
au facteur de charge maximal supporté
par la structure puisque cette courbe
n’admet pas d’asymptote
12.3. Virage stabilisé
12.3.1. Marge de manœuvre
La marge de manœuvre est le facteur de charge maximal stabilisé.
12.3.2. Rayon de virage minimal stabilisé
Le résultat est le même que dans le paragraphe 4, il suffit de compléter la limite structurale par la limite due
au maintien de la vitesse (marge de manœuvre).
Suivant le taux de motorisation et suivant l’altitude, la courbe de marge de manœuvre coupe la courbe limite
de manœuvre ou est tout entière contenue à l’intérieur des limites. Dans le premier cas, le point de rayon
minimal peut se trouver soit à l’intersection des deux courbes, soit sur la courbe de marge. Dans le second
cas, le point est sur la courbe de marge.
95
Dans tous les cas, l’incidence correspondante est supérieure à l’incidence de finesse maximale ou de
⎛ Cx ⎞
⎜ 3 ⎟ pour les avions GMP. L’avion vole toujours au second régime.
⎜
⎟
⎝ Cz 2 ⎠
12.3.3. Vitesse angulaire maximale de changement de cap stabilisée
On peut traiter ce problème graphiquement comme précédemment mais nous allons voir que moyennant
certaines hypothèses, ce point est un point remarquable de la polaire supposée parabolique de la forme
Cx = Cx0 + kCz 2 .
Cette vitesse sera obtenue à la marge de manœuvre d’après le paragraphe 5. Pour une poussée donnée,
on peut définir le taux de motorisation (τ ) de la façon suivante.
τ=
F
Cx
=n
= cte
mg
Cz
Dans ces conditions, on peut réécrire la vitesse angulaire sous la forme.
Ω=g
ρS
Cx
2mg
τ
n −1 = g
2
ρS
2mg
τ
−1
2
τ 2Cz 2
Cx
− Cx
⎛ τ 2Cz 2
⎞
Maximiser la vitesse angulaire revient donc à maximiser ⎜⎜
− Cx ⎟⎟ par rapport à Cz . Tous calculs
⎝ Cx
⎠
2
2
2
2
faits, il vient que τ Cx0 = kCx et donc n Cx0 = kCz .
Alors, en introduisant le coefficient de portance nécessaire pour le vol en palier à la même vitesse, on
obtient Cx0 = kCz
2
( n −1) ,
c’est à dire la condition sur la polaire à la finesse maximale.
En résumé, la vitesse angulaire maximale stabilisée sera obtenue à l’incidence de finesse maximale et ce
résultat est indépendant de la motorisation.
12.4. Le virage dérapé
Le virage serait correct si la force centrifuge Fc
était égale à Fc'
Pour une inclinaison donnée, la force centrifuge
est- trop importante. Il s’ensuit que le poids
apparent est plus élevé qu'en virage à dérapage
nul.
La conséquence est que le facteur de charge en
virage dérapé est plus élevé qu'en virage à
dérapage nul.
De plus la portance n'étant pas dans le plan de
symétrie, l'avion dérape et la bille n'est pas au
milieu.
Pour revenir à un virage sans dérapage, il faut soit diminuer Fc en diminuant la vitesse ou en augmentant le
rayon du virage par une action sur le palonnier (Le pied chasse la bille), soit augmenter l’inclinaison jusqu'à
ce que la bille soit au milieu.
96
12.5. Le virage glissé
Le virage serait correct si la force centrifuge Fc
était égale à Fc'
Pour une inclinaison latérale donnée, la force
centrifuge est trop faible. Il s’ensuit que le poids
apparent est plus faible qu'en virage à dérapage
nul
Le facteur de charge en virage glissé est plus
faible qu'en virage à dérapage nul.
Le poids apparent n'est pas dans le plan de
symétrie. L'avion glisse à l'intérieur du virage et
la bille n'est pas au milieu.
97
98
13.
DECOLLAGE ET ATTERRISSAGE
13.1. Décollage
Trajectoire de décollage
C’est la trajectoire ayant pour origine le lâcher des freins (ou mise en puissance) et pour extrémité le
point où l'avion atteint 1500 ft de hauteur brute.
Trajectoire d’envol
C’est la trajectoire ayant pour origine le passage des 35 ft et pour extrémité le point où l'avion atteint
1500 ft de hauteur brute.
13.1.1. Distances associées au décollage
Distance au décollage: DD (passage des 35 ft)
La distance de décollage est déterminée de 2 façons et, pour les mêmes conditions la valeur
retenue sera la plus grande des deux:
• Sans panne moteur
• Panne du moteur critique à Vef et reconnue à V1
Distance de roulement au décollage: DRD
La distance de roulement au décollage sera la distance parcourue depuis le lâcher des freins
jusqu'au milieu du segment (Vlof -passage des 35 ft). La détermination de la distance de roulement
au décollage découle directement de celle de la distance au décollage, elle se fera donc également
de 2 façons.
• Sans panne moteur
•
Panne moteur critique à Vef et reconnue à V1
La distance de roulement au décollage retenue est la plus donnée par la formule suivante :
DRD = MAX (DRD( N −1) , 1.15DRD( N ) )
Distance d’accélération-arrêt:DAA
C'est la somme des distances suivantes:
• Distance nécessaire pour accélérer l'avion du lâcher des freins jusqu'à la vitesse V1(vitesse à
laquelle est reconnue la panne du moteur critique).(1’’)
• Distance parcourue entre le moment où la défaillance du moteur critique est reconnue et le début
des manœuvres de freinage. (2' ')
• Distance nécessaire pour immobiliser l'avion uniquement à l'aide des freins et des moyens de
freinage automatique
La distance nécessaire d’accélération-arrêt doit être inférieure ou, au plus, égale à la longueur de piste
disponible majorée s’il y a lieu d’un prolongement d’arrêt.
13.1.2. Vitesses associées au décollage.
VMU
C'est la vitesse minimum de sustentation à laquelle l'avion peut quitter le sol ou poursuivre le décollage sans
que celui-ci présente de caractéristiques dangereuses à savoir:
• nécessité d'une assiette trop élevée avec risque de faire toucher la partie arrière;
• contrôle latéral insuffisant, réacteur ou aile touchant le sol.
VMU ( N −1) ≥ VMU ( N )
VLOF
C’est la vitesse à laquelle l’avion quittera le sol, la sustentation étant assurée. Elle est déterminée à partir de
la VMU ( Minimum Unstick Speed ou vitesse minimale de décollage).
VLOF ≥ 1.05 VMU ( N −1)
VLOF ≥ 1.1 VMU ( N )
Bien entendu il faut que VLOF ≤ V Pneus
VR (Vitesse de rotation ou de cabrage)
C’est la vitesse à laquelle le pilote, par action sur le manche, cabre la machine et l'amène suivant une
technique précise à l'assiette désirée pour le décollage. Cette vitesse est déduite du calcul de VLOF.
On doit vérifier que: VR ≥ 1.05 VMCA
VMCA (Vitesse Minimum de Contrôle avec le moteur hors de fonctionnement)
C’est la vitesse-air conventionnelle à laquelle, lorsque le moteur critique est mis en panne, il est possible de
reprendre le contrôle de l’avion et de maintenir un vol rectiligne soit avec un dérapage nul, soit avec une
inclinaison inférieure à 5°.
Il faut vérifier que VMCA ≤ 1.2 Vs dans les conditions suivantes.
• moteurs à la poussée maxi décollage puis "moteur critique" brusquement passé au ralenti,
• masse maximale au lâcher des freins ou tout autre si nécessaire,
• centrage le plus défavorable,
• train rentré,
• efforts sur le palonnier < 667,2 Newtons
V2 (Vitesse de sécurité au décollage):
C’est la vitesse à laquelle le décollage est assuré. Cette vitesse doit être atteinte au plus tard à 35 ft.
La vitesse V2 doit rester supérieure ou égale à V2 mini; V2 mini étant la plus grande des deux valeurs
suivantes :
• 1.2Vs ou 1.15Vs pour les quadriturbopropulseurs
• 1.1VMCA
La vitesse de décrochage Vs est déterminée en configuration décollage et la VMCA est déterminée à la
masse maximale au lâcher des freins.
A noter que cette vitesse dépend de la masse de l’appareil.
V1. (Vitesse de décision de décollage):
C'est la vitesse-air conventionnelle retenue comme moyen de décision en cas de panne de toute nature au
cours de la manœuvre de décollage à savoir (panne moteur, système, défaut de poussée...)
Par conséquent V1 est la vitesse à laquelle, en cas de panne, le pilote devra initier une action de freinage
pour interrompre le décollage c'est-à-dire être prêt à actionner le premier moyen de ralentissement.
Par conséquent, si le pilote, en cas de panne, doit être prêt à entreprendre la manœuvre d'arrêt à Vl, c'est
que la panne se sera produit avant. En effet, un certain temps est nécessaire pour reconnaître la panne,
décider et à agir. Ce temps est en général estimé aux environs de 1s.
La vitesse à laquelle la panne est censée se produire s'appelle VEF. On aura:
V 1 = VEF + ∆t ⋅ Γ( N −1) ≥ VEF ≥ VMCG
Bien entendu il faut que
V 1 ≤ V 1 Freins
VMCG (Vitesse minimale de contrôle au sol) :
C'est la vitesse-air conventionnelle pendant le roulage au décollage à laquelle, en cas de panne du "moteur
critique", il est possible de reprendre le contrôle de l'avion en utilisant uniquement les commandes
aérodynamiques principales, les efforts sur le palonnier ne devant pas dépasser 667,2 N.
D'autre part, et puisque le décollage doit être poursuivi à partir de la rotation, on aura :
VMCG ≤ VEF ≤ V 1 ≤ VR
En résumé, les vitesses à fournir à l'équipage pour le décollage sont V1, VR, V2 et VFTO ; VFTO étant la
vitesse au Final Take-Off
13.1.3. Les segments au décollage
Quelles que soient les conditions extérieures, l'avion doit avoir des performances minimum après décollage,
le moteur "critique" étant en panne depuis VEF.
Ces performances exigées sont exprimées en pente-air %.
⎛ Fu − Fn ⎞
⎛ Fu 1 ⎞
⎟⎟ = 100 ⋅ ⎜⎜
− ⎟⎟
⎝ mg ⎠
⎝ mg f ⎠
γ % = 100 ⋅ ⎜⎜
relation dans laquelle :
Fu poussée fournie par les moteurs
Fn poussée nécessaire au vol en palier
f finesse avion
Segment
décollage
(1)
(2)
(3)
(4)
Final
Train
Sorti
Rentré
Rentré
Rentré
Rentré
Volets/Becs
Décollage
Décollage
Rentrés
CONFIGURATION
Poussée
Vitesse
Max TO
V2
Max TO
V2
MCT
Remarques
VFTO
13.1.4. Performances exigées sur les segments
13.1.5. Paramètres opérationnels au décollage
Il faut différencier les paramètres subis et ceux à la disposition de l’équipage.
Paramètres subis
Température
Altitude-pression
Vent
Pente piste
État de la piste
Prélèvement d'air
13.1.5.1.
Paramètres choisis
Braquage des volets
Vitesse critique VI
K = V2/Vs
Les paramètres subis
Température
Un accroissement de la température diminue la masse volumique de l’air ambiant et les performances de la
motorisation.
Il en résulte
• un accroissement de la vitesse pour assurer l’équilibre du poids et un allongement de la distance de
décollage.
mg =
•
1
ρSV 2Cz
2
une capacité d’accélération et une pente d’envol plus faibles
Altitude-pression
Un accroissement de l’altitude pression diminue la masse volumique de l’air ambiant et les performances de
la motorisation.
Comme dans le paragraphe précédent, il en résulte
• un accroissement de la vitesse pour assurer l’équilibre du poids et un allongement de la distance de
décollage.
mg =
•
1
ρSV 2Cz
2
une capacité d’accélération et une pente d’envol plus faibles
Vent
Un vent de face (ou debout) aura pour effet de diminuer la vitesse sol de décollage et entraînera de ce fait
une diminution des distances associées au décollage. Un vent arrière aura l'effet inverse.
Cependant, le vent n’aura aucune influence sur les pentes de la trajectoire réglementaire de décollage
puisque ce sont des pentes-air.
Lors de la détermination des performances de décollage, pour tenir compte des irrégularités du vent, on
prend en compte tout au long de la trajectoire de décollage:
• 50% de l’effet pour un vent debout
• 150% de l’effet pour un vent arrière
Remarque : Il existe une limitation vent arrière qui est en général 10kt, et également une limitation vent de
travers de 30kt.
Pente piste
Elle varie de -2 % à +2 %. Une pente négative diminue la distance, une pente positive l’accroît.
État de la piste
La piste peut être sèche, mouillée ou contaminée. Lors d'un décollage piste contaminée, la distance
décollage est mesurée du lâcher des freins au passage des 15 ft.(VR>)
13.1.5.2.
Les paramètres choisis
Vitesse V1
Sans commentaire
Braquage des volets
Une augmentation du braquage des volets au décollage provoquera une augmentation de Cz donc une
diminution de la vitesse de décollage et des distances associées.
Par contre, ceci aura pour effet d'augmenter le Cx et de dégrader la finesse, ce qui entraînera une
diminution des pentes le long de la trajectoire de décollage.
Vitesse de sécurité au décollage V2 ou K = V2/Vs
Si on augmente V2, la vitesse de passage aux 35
ft, la distance de décollage sera accrue. Par
contre, ceci aura pour effet d'augmenter la pente
dans le 2ième segment
(Attention image incomplète)
13.1.6. Équation de roulement au décollage
Bilan des forces extérieures
• Poids
• Réaction du sol(tangentielle & normale)
• Force de propulsion
• Force aérodynamique
En projetant les forces dans les directions normale et tangentielle au sol, on obtient :
1
ρSV 2Cz − F sin α
2
1
⎛
⎞
Rs x = r ⎜ mg − ρSV 2Cz − F sin α ⎟
2
⎝
⎠
Rs z = mg −
L’équation de roulement s’écrit donc :
m
A la rotation:
1
dV
= F (cos α + r sin α ) − ρSV 2 (Cx − rCz ) − rmg
2
dt
L’axe de rotation des roues est confondu avec le sol et l’on suppose qu’il n’y a pas d’accélération angulaire;
cad que la vitesse de tangage est supposée constante de l’ordre de 2 à 3°/s et que le moment des forces
extérieures est nul.
à VR-, la gouverne de profondeur est au neutre => on connaît Cx et Cz
à VR+, la gouverne de profondeur est braquée.
Si on appelle d, la distance entre le vecteur poids et le point de rotation de l’avion au sol, on peut écrire
0 = mgd cos α +
1
ql
⎞
⎛
ρSlV 2 ⎜ Cm0 + Cmαα + cmq + Cmδmδm ⎟
2
V
⎠
⎝
13.1.7. Limitations décollage
•
•
•
•
avec :
•
•
•
•
•
DRD < Longueur piste
DD < Longueur (piste + PDO)
Piste+PDO<1.5Piste
DAA<Longueur(piste+PA)
DRD (Distance de Roulement au Décollage)
DD (Distance au Décollage)
PDO (Prolongement Dégagé d'Obstacle)
DAA (Distance d'Accélération Arrêt)
PA (Prolongement d'Arrêt)
Remarque : On appelle piste" classique ", une piste dépourvue de PA et PDO Dans tous les autres cas,
nous aurons une piste "non classique".
13.1.8. Trouée. d’envol
C’est la zone où les obstacles sont. pris en compte lors de la phase de décollage.
* 300m : si des aides à la navigation permettent un suivi précis de la trajectoire.
13.2. Atterrissage
La distance d'atterrissage est la distance parcourue depuis le passage des 50 ft jusqu'à l'arrêt complet de
l'avion.
L'arrêt doit se faire en utilisant les freins et éventuellement les dispositifs homologués s'ils sont d'un
fonctionnement sûr (aérofreins, spoilers, réverses).
13.2.1. Vitesses associées à l’atterrissage
Vatt
L'atterrissage doit être précédé d'une approche à vitesse stabilisée au moins égale à 1,3 Vs pour avoir la
distance la plus courte possible.
VMCL
C'est la vitesse minimale de contrôle de l'avion au cours l'approche à l'atterrissage. C'est la vitesse
conventionnelle-air à laquelle en cas de panne du "moteur critique" on peut reprendre le contrôle de l'avion
et le maintenir en vol rectiligne avec une inclinaison, 5D et avec des efforts sur la gouverne de direction,
667,2 N.
13.2.2. Remise de gaz
Les performances à l'atterrissage performances obtenues en remise de gaz découlent directement des
performances obtenues en remise des gaz. Les exigences du constructeur(JAR 25) portent sur les pentes
Cas numéro 1
(N-l), poussée maxi-décollage
Train rentré,
Configuration approche
La pente brute doit être: BI : 2.1%,TRI :2.4%, QUADRI : .2.7%
Cas numéro 2
N, poussée maxi-décollage
Train sorti
Configuration atterrissage
La pente brute doit être au moins égale à 3,2 %.
Remarque : Dans le cas d'une approche aux instruments, l'utilisateur doit vérifier qu'en cas de remise de
gaz en configuration Approche, (N-l) la pente minimale de 2,5 % est bien respectée.
13.2.3. Les paramètres opérationnels à l'atterrissage
13.2.3.1.
Les paramètres subis
Température
Un accroissement de la température diminue la masse volumique de l’air ambiant et les performances de la
motorisation.
Il en résulte une diminution de la pente de remise des gaz.
Altitude-pression
Un accroissement de l’altitude pression diminue la masse volumique de l’air ambiant et les performances de
la motorisation. Il en résulte un accroissement de la distance d’atterrissage et une diminution de la pente de
remise des gaz.
Vent
Le vent de face entraîne une diminution de la distance d'atterrissage. On tient compte de 50 % du vent de
face et de 150 % du vent arrière.
État de la piste
Le JAR 25 préconise d'augmenter de 15% la distance d'atterrissage, en fonction de l'état de la piste.
Prélèvement d'air (dégivrage et conditionnement d'air)
Ils ont pour effet de diminuer la poussée des moteurs et donc de diminuer les pentes en cas de remise de
gaz.
13.2.3.2.
Les paramètres choisis
Braquage des volets
Si le choix entre plusieurs braquages est possible, une diminution du braquage entraîne une augmentation
de la vitesse de décrochage Vs donc de la vitesse aux 50ft.Ceci entraîne une augmentation de la distance
d'atterrissage.
Par contre le coefficient de traînée Cx diminuera et les pentes en cas de remise de gaz seront améliorées
bla