PANORAMA 12 - Aire des polygones réguliers / polyèdres

PANORAMA 12 - Aire des polygones réguliers / polyèdres
12.1 Aire d’un polygone régulier
Apothème: c’est le segment qui relie le centre du polygone régulier au milieu d’un de ses côtés.
L’apothème est perpendiculaire au côté du polygone.
Aire d' un polygone régulier =
c×a
×n
2
c : mesure d’un côté du polygone
a : mesure de l’apothème du polygone
n : nombre de côtés du polygone
€
Ex :
Trouve l’aire d’un heptagone dont le côté mesure 4,8cm et l’apothème 5 cm.
c×a
×n
2
4,8 × 5
A=
×7
2
A = 84 cm 2
A=
€
€
€
RAPPEL – NOM DES POLYGONES RÉGULIERS
3 – triangle / 4 – carré / 5 – pentagone / 6 – hexagone / 7 – heptagone / 8 – octogone
9 – ennéagone / 10 – décagone / 11 – hendécagone / 12 – dodécagone
12.2 / 12.3 Aire des polyèdres
Solide: c’est une portion d’espace limitée par une surface fermée. On décrit un solide à l’aide de
FACES, D’ARÊTES et de SOMMETS.
Face: surface plane ou courbe délimitée par des arêtes.
Arête: ligne d’intersection entre deux faces d’un solide.
Sommet: point commun à au moins deux arêtes d’un solide.
Polyèdre: solide limité par des FACES PLANES qui sont des POLYGONES.
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FAMILLE DES POLYÈDRES
PRISME :
Polyèdre ayant deux faces isométriques et
parallèles appelées BASES. Les bases sont
reliées par les FACES LATÉRALES.
PYRAMIDE :
Polyèdre constitué D’UNE SEULE BASE
ayant la forme d’un polygone et dont les faces
latérales sont des TRIANGLES ayant un
sommet commun appelé APEX.
Prisme droit : prisme dont les faces latérales
sont des rectangles.
Pyramide droite : pyramide dont le segment
abaissé depuis l’apex, de manière
perpendiculaire à la base, arrive au centre du
polygone formant cette base.
1. Prisme à bases rectangulaires
1. Pyramide à base rectangulaire
2. Prisme à bases triangulaires
2. Pyramide à base hexagonale
3. Prisme à bases hexagonales
3. Pyramide à base carrée
4. Prisme à bases pentagonales
4. Pyramide à base pentagonale
Prisme régulier : prisme dont la base est un
polygone régulier. (Alors les faces latérales
sont des rectangles isométriques.)
Parmi les prismes ci-dessus, seuls les prismes
3 et 4 sont des prismes réguliers.
Hauteur d’un prisme ou d’une pyramide
Pyramide régulière : pyramide droite dont la
base est un polygone régulier. (Alors les faces
latérales sont des triangles isométriques.)
Parmi les pyramides ci-dessus, seules les
pyramides 2, 3 et 4 sont des pyramides
régulières.
Apothème d’une pyramide régulière
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CALCUL DE L’AIRE D’UN POLYÈDRE
PYRAMIDE
Ex : Pyramide à base carrée
12 × 8,3
× 5 = 249cm 2
2
Ades bases = 2 × 249 = 498cm 2
Abase = 6 2 = 36cm 2
Ex : Prisme droit à base trapézoïdale
Ex : Pyramide à base rectangulaire
Aire de la base
PRISME
Ex : Prisme régulier à base pentagonale
Aune base =
€
Aire latérale
€
Alatérale = 80cm 2
Alatérale = 104,4 cm 2
Atotale = Ade la ou des base(s) + Alatérale
Aire totale
€
€
Alatérale = 3 × 4 + 6 × 4 + 5 × 4 + 6 × 4
Alatérale = 12 + 24 + 20 + 24
 8 × 9,3   3 ×10 
Alatérale = 2
 + 2

 2   2 
Alatérale = 74,4 + 30
€
Quand le polyèdre est constitué de plusieurs polyèdres réunis, il faut le décomposer en
polyèdres plus simples. ATTENTION! Certaines surfaces disparaissent du calcul
lorsque deux polyèdres sont réunis…
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12.4 Déterminer une mesure manquante
Lorsqu’on vous demande de trouver une mesure manquante sur un polygone ou sur un
polyèdre, on doit OBLIGATOIREMENT vous donner des informations. Le plus souvent,
on vous donne :
•
•
Toutes les mesures de longueur SAUF une (celle qui est cherchée)
L’aire (de la ou des base(s), l’aire latérale ou l’aire totale)
En partant de ces informations, puisque vous connaissez :
•
Toutes les formules d’aire (des polygones et des polyèdres)
Vous devez :
1.
2.
3.
4.
Écrire la formule d’aire impliquée
Remplacer les éléments connus par leur valeur
Isoler la variable recherchée (pano 10 chapitre 10.3)
VALIDER la solution… en remplaçant dans la formule de départ!!!
Ex :
Voici un prisme à base triangulaire. Les mesures connues sont illustrées sur le dessin.
On cherche la hauteur de ce prisme sachant que l’aire totale est 139,2 cm2.
1.
Atotale = Ades 2 bases triangulaires + Ades 3 rec tan gles
€
6 × 4
139,2 = 2
 + 2(5 × h ) + 6 × h
 2 
€
 24 
139,2 = 2  + 2(5h ) + 6h
2
139,2 = 24 + 10h + 6h
€
139,2 = 24 + 16h
€
139,2 = 24 + 16h
−24
−24
€
€
€
€
€
115,2 = 16h
Validation
115,2 16h
=
16
16
6 × 4
139,2 = 2
 + 2(5 × 7,2) + 6 × 7,2
 2 
h = 7,2 cm
139,2 = 139,2
ok!
€ Audray Pageau 2010-2011
Document réalisé par
€
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Notes personnelles et autres exemples
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Notes personnelles et autres exemples
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