Corrigé du DST du 9 avril 2009

DST DE MATHÉMATIQUES
Corrigé
ERE
CLASSE DE 1
STG
Le 9 avril 2009
Barême
1. Un représentant de commerce vend des machines à coudre. Le bénéfice (ou la
perte) réalisé(e) lors de la vente de x machines, exprimé(e) en euros, est donné(e)
504
avec 1 ≤ x ≤ 10
par : B ( x ) = 4 x 2 −
x
Le tableau de variation de B est le suivant :
x
1
10
349,6
B ( x)
−500
x
B ( x)
1. Reproduire puis compléter le tableau de valeurs à l’aide d’une calculatrice ou
d’un tableur.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
- 500
- 236
- 132
- 52
-0,8
60
124
193
268
345,6
2. Tracer, sur l’écran de votre calculatrice, puis sur la feuille des figures, la courbe
représentative de la fonction B dans le plan rapporté à un repère orthogonal
(unités graphiques : 1 cm pour une machine en abscisse et 1 cm pour 50 € en
ordonnée)
3. Déterminer graphiquement pour quels nombres de machines à coudre vendues le
représentant réalise un bénéfice.
Le représentant réalise un bénéfice dès que les ordonnées de la courbe de bénéfice
sont strictement positives.
Sur le graphique on voit que le bénéfice est réalisé si x ≥ 6
Confirmez la réponse par le calcul.
504
4 x 3 − 504
≥0
⇔
≥0
x
x
Puisque x est strictement positif, cette inéquation est vérifiée si :
504
4 x 3 − 504 ≥ 0
⇔
4 x 3 ≥ 504
⇔
x3 ≥
x 3 ≥ 126
4
x ≥ 3 126 soit : x ≥ 5,01
On parlera donc de bénéfice si x ≥ 6
Il faut résoudre l’inéquation : 4 x 2 −
5 pt
2. Un voyagiste veut faire une promotion sur le vol Paris-Londres.
Le nombre de places disponibles est au maximum de 10 200.
Le nombre p ( x) de passagers intéressés est fonction du prix x, en euros, du billet :
p ( x) = 10 200 −120 x .
Partie A. Étude du nombre de passagers.
1. Calculer le nombre de passagers si le prix du billet est fixé à 65 €.
p (65) = 10 200 −120×65 = 2400
2. Calculer le prix du billet en supposant que 7 200 passagers sont intéressés.
On résout l’équation :
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1
Corrigé du DST du 9 avril 2009
7 200 = 10 200 −120× x ⇔
120 x = 3000
⇔
120 x = 10 200 − 72 00
x=
3000
= 25
120
Le prix du billet est alors de 25€
3.
Que se passe-t-il si le billet est gratuit ? si le prix du billet est 85 € ?
Si le billet est gratuit, il y aura 10 200 passagers intéressés.
Si le prix est de 85€, il y aura : p (85) = 10 200 −120×85 = 0 , soit aucun passager.
4.
Montrer que la fonction x 6 p ( x) définie sur [0 ; 85] est strictement décroissante sur cet intervalle.
Sur l’intervalle [ 0 ; 85] , la fonction s’écrit : p ( x ) = −120 x + 10 200
C’est une fonction affine de coefficient négatif : elle est donc strictement décroissante.
Tracer la courbe représentative de la fonction p dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités
graphiques : 1 cm pour 5 € en abscisse et 1 cm pour 500 passagers en ordonnée). Retrouver
graphiquement les résultats des questions 1 et 2.
On retrouve bien graphiquement :
10 200 passagers si x = 0 (le prix est gratuit)
0 passagers si x = 85 (le prix est de 85 €)
5.
Partie B. Étude de la recette.
1. a) Montrer que la recette R ( x) quand le billet vaut x euros est donnée par R ( x) = −120 x 2 +10 200 x
La recette est égale au prix du billet multiplié par le nombre de passagers.
Ainsi :
R ( x ) = x (10 200 −120 x )
⇔
R ( x ) = −120 x 2 + 10 200 x
b ) calculer la recette si le prix du billet est de 10 €, 42,50 €, 50 € et 60 €.
On calcule :
R (10) = −120×102 + 10 200×10 = 90 000 €
R (42,50) = −120× 42,52 + 10 200× 42,5 = 216 750 €
R (50) = −120×502 + 10 200×50 = 210 000 €
R (60) = −120× 602 + 10 200×60 = 180 000 €
2.
On donne, au verso, la courbe représentative de la fonction R.
a ) Dresser le tableau de variation de la fonction R.
x
0
f ( x)
42,5
216 750
0
85
0
b ) Déterminer graphiquement le prix du billet permettant d’avoir une recette maximale.
On lit que la recette est maximale si x = 42,5. C'est-à-dire si le prix du billet est de 42,5 euros.
c ) Calculer alors le nombre de passagers et le montant de la recette.
Le nombre de passagers est alors de :
p (42,5) = 10 200 −120× 42,5 = 5100
Donc 5 100 passagers.
Le montant de al recette est alors de : 216 750 € (valeurs calculée au 1.b), et apparaissant sur le
graphique))
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2
Corrigé du DST du 9 avril 2009
Courbe de l’étude de la recette.
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INTERROGATION DE MATHÉMATIQUES
Corrigé de la feuille des figures
CLASSE DE 1ERE STG
Le 9 avril 2009
Barême
1. Figure premier exercice.
350
300
250
200
150
100
50
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
-450
-500
1
2.
Figure du deuxième exercice.
10 000
9 500
9 000
8 500
8 000
7 500
7 000
6 500
6 000
5 500
5 000
4 500
4 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
500
-5
O
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
2