Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier d`aide

1er STG
DEVOIR A LA MAISON N°8
A rendre pour le lundi 21 mai 2012
EXERCICE 1 :
Un voyagiste veut faire une promotion sur un vol Paris-Londres.
Le nombre de places disponibles est au maximum de 10 200.
Le nombre de passagers intéressés est donné par la fonction p définie sur [0 ; 85] par :
p(x) = 10 200 – 120x où x est le prix du billet d’avion en euros.
PARTIE A : Etude du nombre de passager
1. Calculer le nombre de passagers si le prix du billet est de 65 €.
2.Calculer le prix du billet en supposant que 7 200 passagers sont intéressés.
3. Que se passe-t-il si le billet est gratuit ? Si le prix du billet est égal à 85 € ?
4. Déterminer le sens de variation de la fonction p. Justifier la réponse.
5. Représenter graphiquement la fonction p dans un repère ( en prenant 1 cm pour 10 € en
abscisses et 1 cm pour 1000 passagers en ordonnées)
6.A quel prix le voyagiste doit- il fixer le billet s’il veut qu’au moins la moitié des places soient
vendues ?
PARTIE B : Etude de la recette
1.Montrer que la recette R(x) quand la billet vaut x euros est donné par :
R(x) = - 120x2 + 10 200x
2. Calculer la recette si le prix du billet est de 40 € et 60 €.
3.A l’aide de la calculatrice, conjecturer le prix du billet permettant d’obtenir une recette
maximale. Vous expliquerez votre démarche.
4. Montrer que R(x) = - 120 (x – 42,50)2 + 216 750 puis démontrer le résultat conjecturé
précédemment.
5. Calculer alors la recette maximale et le nombre de passagers correspondant.
EXERCICE 2 :
Léa décide de verser 1 000 €, le 1er janvier de chaque année sur une assurance-vie à partir du
1er janvier 2010. Ce compte en assurance vie est rémunéré au taux annuel de 5 % à intérêt
composés. On désigne par Cn le capital acquis au 1er janvier 2010 + n après le versement. On a
donc C0 = 1000
1. a. Montrer que le capital acquis le 1er janvier 2011 après le versement est de 2050 €.
b. Déterminer le capital acquis le 1er janvier 2012 après le versement .
c. Etablir que pour tout entier n : Cn+1 = 1,05Cn + 1000.
2. On pose Un = Cn + 20 000
a. Montrer que pour tout entier n : Un+1 = 1,05 Un
b. En déduire la nature de la suite (Un) puis exprimer Un en fonction de n.
c. Montrer que pour tout entier n : Cn = 21 000 x 1,05n – 20 000
d. A l’aide de la calculatrice déterminer en quelle année le capital dépassera 40 000 € pour
la 1er fois. Vous expliquerez votre démarche.
CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N°8
EXERCICE 1 :
PARTIE A : Etude du nombre de passager
1. p(65) = 10 200 – 120 x 65 = 2 400
Si le prix du billet est de 65 €, il y aura 2400
passagers.
2. p(x) = 7200 ⇔ 10 200 – 120x = 7200
⇔ - 120x = 7 200 – 10 200
-3000
⇔x=
= 25
-120
Si 7 200 passagers sont intéressés, le prix du billet
est de
25 €.
3. Si le billet est gratuit, il y aura 10 200 passagers
(p (0) = 10 200)
Si le prix du billet est égal à 85 € , il n’y aura
aucun passagers ( p(85) = 0)
4. p est une fonction affine avec a = - 120 < 0 donc
p est strictement décroissante sur [0 ; 85]
6. p(42,5) = 5 100
Le prix du billet doit donc être inférieur ou égal à
42,50 € pour veut qu’au moins la moitié des places
soient vendues.
PARTIE B : Etude de la recette
1.R(x) = x x p(x) = x (10 200 – 120x) = - 120x2 + 10 200x
2. R(40) = - 120 x 402 + 10 200 x 40 = 216 000
R(60) = - 120 x 602 + 10 200 x 60 = 180 000
Si le prix du billet est de 40 € , la recette est de 216 000
€ et si le prix du billet est de 60 € , la recette est de
180 000 €
3. A l’aide d’un tableau de valeurs et d’un graphique, on
peut conjecturer que pour avoir une recette maximale, le
prix du billet doit être égal à 42,50 €.
4. - 120 (x – 42,50)2 + 216 750
= - 120 (x2 – 85x + 1 806,25) + 216 750
= - 120x2 + 10 200x – 216 750 + 216 750
= - 120x2 + 10 200x = R(x)
R est une fonction polynôme du second degré dont la
forme canonique est - 120 (x – 42,50)2 + 216 750 avec
a = - 120
= 42,50 et = 216 750 donc R admet un
maximum égal à 216 750 atteint en 42,5.
5. La recette maximale est donc de 216 750 € , le prix du
billet sera de 42,50 € ce qui correspond à 5 100 passagers.
EXERCICE 2 :
1. a. 1000 x 1,05 + 1000 = 2050
Le capital acquis le 1er janvier 2011 est de 2050 €
b. 2050 x 1,05 + 1000 = 3 152,50
Le capital acquis le 1er janvier 2011 est de 3 152,50 €
c. Chaque année le capital augmente de 5 % donc est
multiplié par 1,05 et Léa ajoute 1000 €. Donc Cn+1 = 1,05Cn + 1000
2. a. Un+1 = Cn+1 + 20 000 = 1,05Cn + 1 000 + 20 000 = 1,05Cn + 21 000 = 1,05 (Cn + 20 000) = 1,05 Un
b. Donc la suite (Un) est une suite géométrique de raison q = 1,05 et de 1 er terme U0 = C0 + 20 000 = 21 000
c. Donc pour tout entier n : Un = 21 000 x 1,05n . Or Un = Cn + 20 000 donc Cn = Un – 20 000
Donc Cn = 21 000 x 1,05n – 20 000
d. A l’aide de la calculatrice on montre que C21 38505 2 C22 41430. Donc c’est en 2032 que le capital dépassera
40 000 € pour la 1er fois.