1 Chapitre III Systèmes linéaires à un degré de liberté III.1

Transcription

Chapitre III, cours de vibrations et ondes_Phys3, Pr. Badis Bennecer
Chapitre III
Systèmes linéaires à un degré de liberté
III.1 Oscillations libres non amorties d’un système à un degré de liberté (1.D.D.L)
Oscillateur harmonique simple
On entend par vibrations libres : les vibrations qui résultent lorsqu’on écarte un système de
sa position d’équilibre ou on donne une vitesse initiale à un point matériel constituant le système
puis on le laisse vibrer librement.
Tous les systèmes représentés sur la figure ci-dessous sont des systèmes à 1DDL et qui
peuvent osciller parce que ’ils possèdent les propriétés principales pour osciller qui sont :
l’énertie et l’élasticité ou leurs analogues.
k
φ
m
x
Pendule simple
Coordonnée généralisée : x
x
r
T
x
x
I
Pendule de torsion
θ
φ
2x
L
C
fil
fluide
Système hydraulique
Coordonnée généralisée : x
θ
m
Masse-ressort
r
T
C
l
x
Système électrique
charge électrique q
Figure III.1.1. Différents système à un degré de liberté
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1
Pour étudier les oscillations libres nous allons prendre trois modèles ; masse-ressort, pendule
simple et un système électrique pour montrer l’analogie entre oscillations mécaniques et
électriques.
III.1 Système mécanique :
III.1.1. Masse-ressort
Dérivation de l’équation différentielle du mouvement
a. méthode de Newton :
une masse m est attachée à l’une des extrémité d’un ressort de constante de raideur k et de
longueur naturel l0 l’autre extrémité est fixe. Soit Δl l’élongation du ressort sous l’effet du poids
de la masse et prenons le sens positif du mouvement du haut vers le bas (voir figure)
k
l0
Δl
r r
r
f1 = p = mg
r
r
f 2 = − kΔl
r
r
r
f 2 = −k ( x + Δl )
r
r
f 3 = m&x&
Equilibre du système
Position d’équilibre
x(t)
r r
r
f 1 = p = mg
Etat du mouvement
Figure III.1.2 : Système masse-ressort
A l’équilibre : il y a deux forces qui agissent sur la masse m ; son poids et la tension due au
ressort :
r r r r
∑ F = F1 + F2 = 0 ⇒ mg − kΔl = 0
Cette relation qui s’appelle condition d’équilibre reste toujours vérifier même en mouvement.
En mouvement : Il y a trois forces qui agissent sur m (son poids, force de rappel et force
d’énertie). La deuxième loi de Newton nous permet d’obtenir l’équation différentielle du
mouvement :
r
r
F
∑ i = m&x&
Après projection on obtient : m&x& = mg − k ( x + Δl ) . En utilisant la condition d’équilibre
précédente on obtient :
m&x& + kx = 0
(III.1)
Elle s’appelle l’équation différentielle du mouvement qu’on peut écrire sous la forme standard
suivante :
&x& + ω 02 x = 0
(III.2)
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2
k
est la pulsation (fréquence) propre du système. La période est donnée par :
m
T=2π/ω0. La solution générale de la relation (III.2) est : x(t)=Acos(ω0t+φ), avec A et φ sont deux
constantes arbitraires à déterminer à partir des conditions initiales
où
ω0 =
b. Méthode de Lagrange
b.1. Energie potentielle d’un ressort :
Selon la définition de l’énergie potentielle, l’énergie potentielle E p emmagasinée dans le ressort
durant le déplacement élémentaire dx est donnée par :
x
r r
1
dE p = − f .dx = + kxdx ⇒ E p = ∫ kxdx = kx 2
2
0
kx
Ep
0
l0
r
f
x
r
dx
b.2. Energie potentielle du système masse-ressort :
Nous allons calculer l’énergie potentielle du système masse-ressort pour montrer que le poids da
la masse m n’apparaît pas dans l’expression de l’énergie potentielle. Etudions la position du
système lorsque la masse du système est à une distance x de la position d’équilibre, donc
l’élongation est égale à x’=Δl + x. Les forces qui agissent sur m sont :
r r
r
r
f1 + f 2 = −kx '+ mg
r r r
r
r r
r
r
− dE p = ( f 1 + f 2 ).dx ' = (−kx '+ mg ).dx ' et dx' = dx
Δl + x
Ep =
∫ (kx'−mg )dx' =
Δl
Δl + x
1 2⎤
kx' ⎥
2
⎦ Δl
− mgx ]Δl
Δl + x
=
[
]
k
Δl 2 x' 2 +2Δlx − Δl 2 − mg [Δl + x − Δl ]
2
En utilisant la condition d’équilibre on trouve : E p =
1 2
kx
2
(III.3)
kx
Ep
0
Δl
x
Δl+x
L’équation différentielle du mouvement de ce système s’écrit :
d ∂L ∂L
( )−
=0
∂x
dt ∂x&
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La fonction de Lagrange est donnée par : L = E c − E p =
d ∂L
( ) = m&x&
dt ∂x&
; −
∂L
= kx
∂x
1 2 1 2
mx& − kx
2
2
⇒ m&x& + kx = 0
Energie totale (mécanique) du système masse-ressort
Nous voulons montrer que l’énergie totale (mécanique), E=Ec+Ep, est constante et déduire la
valeur de cette constante, pour cela prenons x=Acos(ω0t+φ), alors
1
1
E = mA 2ω 02 sin 2 (ω 0 t + ϕ ) + kA 2ω 02 cos 2 (ω 0 t + ϕ )
2
2
1
1
Sachant que ω 02 = k / m , alors E = mA 2ω 02 = kA 2ω 02 = constante . L’énergie totale d’un
2424
2424
1
3 1
3
Ec max
E p max
oscillateur harmonique est constante. L’énergie se transforme d’une énergie cinétique à une
énergie potentielle, d’une autre manière quand l’énergie cinétique diminue l’énergie potentielle
augmente et vis versa. Cette propriété de l’oscillateur harmonique est appelée la conservation de
l’énergie. La figure ci-dessous montre la variation de Ep et Ec en fonction de x et on a utilisé la
relation suivante :
x
x& 2
1
1
( )2 + (
) = 1 ⇒ E c = mx& 2 = mω 02 ( A 2 − x 2 )
A
Aω 0
2
2
E=Ec+Ep
E=
Ec =
1 2 1
kA = m(ω 0 A) 2
2
2
1 2
mx&
2
E/2
Ep =
-A
−
A
2
1 2
kx
2
A
+A
x
2
Figure III.1.3 conservation de l’énergie
III.1.2 Le pendule simple
Le pendule simple est composé d’une masse attachée à l’extrémité d’un fil (sans masse et
inextensible). La masse vibre sous l’effet du poids autour d’un axe passant par le point de
suspension. Ecartons le pendule de sa position d’équilibre (position verticale) d’un angle φ et
relâchons le, il commence à osciller.
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Méhode de Newton
a. théorème du centre d’inertie
Il y a deux forces qui agissent sur la masse ; le poids et la tension dans le fil. Décomposons le
poids en deux composantes (voir figure)
r
FT : Composante tangentielle à la trajectoire
r
Fn : Composante normale (perpendiculaire) à la trajectoire.
r
r
r r
r r
La décomposition du poids donne : mg = Fn + Fn et Fn + T = 0
O
l
θ
r
T
r
FT
r
uθ
Mr
ur
r
mg
r
Fn
D’après le 1er théorème du principe fondamental on peut écrire :
r
r
r
r
r
r
OM = lu r ⇒ v ( M ) = lθ&uθ et γ (M) = lθ&&u θ
r
Projetons sur uθ on obtient :
mlθ&& = − mgl sin θ
Et l’équation différentielle du mouvement est :
g
θ&& + sin θ = 0
l
Cette équation différentielle est du second ordre homogène non linéaire. Si on se limite aux
vibrations de faibles amplitudes ( θ petit ; vibration au voisinage de la position d’équilibre)
sin θ = θ −
θ3
θ5
+ ..... ≈ θ
3! 5!
Dans ce cas l’équation différentielle du mouvement du pendule simple s’écrit :
θ&& + ω 02θ = 0
+
où ω 0 = g / l est la pulsation propre du système.
La solution générale s’écrit θ = θ 0 cos(ω 0 t + ϕ ) , où θ0 et φ0 sont constantes à déterminer des
conditions initiales.
b. Théorème du moment cinétique
L’équation différentielle du mouvement est donnée par :
r
r
r
r
r
dL/ 0
r
= ∑ M / 0 ( Fi ) , où L (0) = 0 M ∧ mv
dt
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5
r
r
r r
r
alors, L (0) = 0 M ∧ mv = lu r ∧ m(lθ&)uθ ( voir figure)
⎛ cos θ ⎞
⎛ cos θ ⎞
⎟ r
⎜
⎟
r ⎜
où u r = ⎜ sin θ ⎟ et u θ = ⎜ − sin θ ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
r
r
r
L (0) = ml 2θ&k où k est un vecteur sortant perpendiculaire au plan de la feuille.
r
r
r
r
r
r r r r
∑ M / 0 ( F ) = r ∧ mg + r ∧ T = lu r ∧mgj = −mgl sin θk
r
r
d r
alors le théorème du moment cinétique s’écrit :
L (0) = ml 2θ&&k = − mgl sin θk
dt
r
g
Projetons sur k on obtient : ml 2θ&& = −mgl sin θ ⇒ θ&& + sin θ = 0
l
c. méthode de Lagrange
d ∂L
∂L
l’équation de Lagrange pour ce système s’écrit :
( )−
= 0 où L = E c − E p
dt ∂θ& ∂θ
Calcul de l’énergie cinétique Ec
r
r
r
r
r
r
1
1
E c = mv 2 , 0 M = lu r ⇒ v ( M ) = lθ&uθ ⇒ v 2 = v ( M ).v ( M ) = (lθ&) 2 ⇒ E c = m(lθ&) 2
2
2
Calcul de l’énergie potentielle Ep
D’après la définition de l’énergie potentielle :
∂E p
⎛
⎞
⎜
⎟
= Fx = 0
−
∂x
⎜
⎟
r
r
⎜ ∂E p
⎟
= Fy = + mg ⇒ −dE p = mgdy ⎟
− ∇E p = F ⇒ ⎜
⎜ ∂y
⎟
∂E p
⎜
⎟
−
= Fz 0
⎜
⎟
∂z
⎝
⎠
alors, E p = −mgy m + cte = − mgl cos θ + cte
la constante qui apparaît dans l’expression de l’énergie potentielle est arbitraire. On détermine
cette constante en choisissant une position de référence dans laquelle l’énergie potentielle est
nulle. Par exemple, on peut prendre la position d’équilibre θ=0 comme position de référence et
on trouve que la valeur de cte est égale à :mgl et Ep=mgl(1-cosθ)
Remarques :
a. on peut prendre comme position de référence la position définit par θ=π/2et on trouve
Ep=-mglcosθ
b. la valeur de la constante n’a aucune influence sur l’étude dynamique du système.
1
m(lθ&) 2 + mgl cos θ + cte
2
d ∂L
∂L
( )−
= 0 ⇒ ml 2θ&& + mgl sin θ = 0
dt ∂θ& ∂θ
L=
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III.1.3. Les oscillations électriques :
Prenons le circuit électrique L-C
L
D’après la loi de Kirchhoff ( loi des mailles)
vL+vC=0
q
i
di 1
d 2i
1
L + ∫ idt = 0 ⇒ 2 +
i=0
dt c
LC
dt
C électrique comme suit :
comme i=dq/dt, l’équation précédente s’écrit en fonction de la charge
1
d 2q
q
+
= 0 ⇒ q&& + ω 02 = 0 , où ω 0 =
est fréquence propre
2
LC
dt
LC
Méthode de Lagrange :
L’énergie cinétique est équivalente à l’énergie magnétique
1
1
di
di
E c ≡ E mag = v L dq = ∫ L dq = ∫ L idt = ∫ Lidi = Li 2 = Lq& 2
dt
dt
2
2
L’énergie potentielle est équivalente à l’énergie électrique
q
1 2
E p ≡ E elec = vC dq = ∫ dq =
q
c
2C
1
1 2
Donc la fonction de Lagrange pour ce système électrique s’écrit : L = Lq& 2 −
q
2
2C
d ∂L ∂L
q
( )−
= 0 ⇒ q&& +
=0
∂q
dt ∂q&
LC
Analogie entre le système mécanique ‘’ Masse-ressort’’ et le système électrique ‘L-C’
L’analogie entre les deux systèmes est résumée dans le tableau suivant :
Système mécanique
Equation différentielle : m&x& + kx = 0
Déplacement : x
&
Vitesse : x
Accélération : &x&
Masse : m
Constante de raideur : k
Force de rappel : kx
Force d’inertie : m&x&
1
Energie potentielle : kx 2
2
1
Energie cinétique : mx& 2
2
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Système électrique
q
Equation différentielle : Lq&& + = 0
C
Charge : q
Courant électrique : q& = i
Variation du courant : q&&
Inductance : L
Inverse de la capacité : 1/C
d.d.p entre les plaques du condensateur : q/C
d.d.p entre les bornes de la bobine : Lq&&
1 2
Energie électrique :
q
2C
1
Energie magnétique : Lq& 2
2
7
III.1.4. Oscillations moléculaires
Comme exemple des oscillations libres en physique, on va étudier les oscillations moléculaires
Tous les systèmes que nous avons traités sont des systèmes faciles, de telle sorte que les forces
de rappel sont faciles à calculer. Dans la nature, il y a des systèmes complexes, dont les forces
sont de différente origine, des fois la nature de la force est connue, mais son expression est
inconnue. Dans ce cas on peut avoir une idée sur cette force, en étudiant expérimentalement les
oscillations qui en résultent.
La force responsable de la cohésion des atomes pour former les molécules et les solides est un
exemple sur ce genre de force. La partie attractive de cette force est de nature électrique et en
principe elle peut être calculée si la distribution des électrons est connue dans l’espace (la
distribution électronique est déterminée en utilisant la mécanique quantique). Lorsque les atomes
s’approchent l’un de l’autre une force répulsive résulte entre eux. La distance d’équilibre entre
deux atomes liés ensemble est celle pour laquelle les force attractive et répulsive sont égales. La
diminution ou l’augmentation de cette distance résulte en une force de rappel et les vibrations
deviennent possibles et en étudiant ces oscillations on peut avoir des informations sur les liaisons
interatomiques (voir figure ci-dessous).
equilibre
atom A
atom B
R
Force de rappel (répulsion)
r<R
r>R
Force de rappel (attraction)
Figure
Mouvement d’une particule au voisinage de la position d’équilibre :
Considérons une particule de masse m qui se déplace sur une droite dont sa position est repérée
par la coordonnée r. La force f(r) qui agit sur la particule est obtenue de l’énergie potentielle en
dE p
, donnée par exemple par la figure ci-dessous.
utilisant la relation f (r ) = −
dr
Ep
Ep(R)
La valeur minimale de Ep
Position d’équilibre f = −
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dE p
dr
=0
R
r
r=R
8
Au voisinage de la position d’équilibre, r est proche de R et le déplacement x=r-R est petit,
l’expression de l’énergie potentielle au point r peut être obtenue en utilisant le développement de
Taylor :
2
3
1 ⎛ dE p ⎞
1 ⎛⎜ d E p ⎞⎟
1 ⎛⎜ d E p ⎞⎟
2
⎟ x+
E p (r ) = E p ( R) + ⎜⎜
x +
x 3 + ........
1! ⎝ dr ⎟⎠ r = R
2! ⎜⎝ dr 2 ⎟⎠
3! ⎜⎝ dr 3 ⎟⎠
r =R
r=R
Le second terme est nul (condition d’équilibre) et comme x est petit (x << 1)alors l’énergie
potentielle s’écrit :
2
1 ⎛ d E p ⎞⎟
E p (r ) ≈ E p ( R) + ⎜
x2
2! ⎜⎝ dr 2 ⎟⎠
r =R
⎛ d 2Ep ⎞
⎟
La dérivée seconde de Ep par rapport à r évaluée au point r=R est positive, ⎜
> 0 car
⎜ dr 2 ⎟
⎝
⎠ r =R
cette position correspond à la valeur minimale de Ep. La force agissant sur la particule est donnée
par :
⎛ d 2Ep ⎞
⎟ x
f = −∇ r E p = −⎜
⎜ dr 2 ⎟
⎝
⎠ r =R
dE p dE p dr dE p
On a utilisé
. Si on compare l’expression de la force avec f=-kx, on
=
=
dx
dr dx
dr
d 2Ep ⎞
⎟ et la fréquence
obtient une expression approximative de la constante de raideur : k ≈
dr 2 ⎟⎠
r =R
2
1 d E p ⎞⎟
. On peut obtenir le même résultat si on considère
naturelle est donnée par : ω 02 =
m dr 2 ⎟⎠
r =R
l’équation différentielle du mouvement de la
2
d 2Ep ⎞
1 d E p ⎞⎟
d 2x
2
2
⎟
&
&
.
particule : m 2 = F = −
x ⇒ x + ω 0 x = 0, où ω 0 =
m dr 2 ⎟⎠
dt
dr 2 ⎟⎠
r =R
r=R
On déduit que la particule effectue un mouvement harmonique au voisinage de la position
d 2Ep ⎞
⎟ .
d’équilibre et en mesurant la fréquence d’oscillation, on peut déterminer la valeur de
dr 2 ⎟⎠
r =R
Exemple : molécules ioniques AB
L’expression de l’énergie d’interaction des deux ions A et B est donnée par :
e2
B
E p (r ) = −
+ 9 , B est une constante
4πε 0 r {
r
1
424
3 terme répulsif
terme attractif
A l’équilibre on a :
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9
d 1E p ⎞
9B
e2
e2 R8
⎟
, R représente la longueur de la liaison entre
0
=
+
−
=
⇒
=
B
36πε 0
4πε 0 R 2 R 10
dr 1 ⎟⎠
r=R
l’ion A et l’ion B. La valeur de la constante B est connue si la valeur de R est connue.
d 2Ep ⎞
2e 2
90 B
2e 2
⎟
, on a utilisé la valeur de B donnée précédemment.
k=
=
−
+
=
dr 2 ⎟⎠
4πε 0 R 3 R 11 πε 0 R 3
r =R
Pour pouvoir obtenir une expression pour la fréquence propre des oscillations de la molécule
linéaire AB if faut écrire l’équation différentielle du mouvement d’un atome par rapport à l’autre
r
rAB
mB
mA
r
rA
r
rB
O
Les équations différentielles des mouvements des atomes A et B sont données par :
r
r
r
r
r
r
d 2 rA
f A d 2 rB
fB
,
avec
f
=
−
f
=
=
A
B . L’équation différentielle de B par rapport à A est
m A dt 2
mB
dt 2
r
r
r 1
fB
fA
1
d2 r r
donnée par : 2 (rB − rA ) =
) . Si on définit la masse réduite μ par :
−
= fB (
+
mB m A
m A mB
dt
m A mB
1
1
1
=
+
⇒μ=
m A + mB
μ m A mB
d 2r
= f . Si mB >> mA alors μ ≈ mA. Pour le cas du
dt 2
HCl par exemple, la masse du Clore est 35 fois plus grande que celle du Hydrogène, donc on
peut considérer que seul l’atome d’hydrogène qui oscille et la fréquence propre de cette molécule
est approximativement donnée par :
k
2e 2
ω 02 ≈
=
= 7.11014 s −1 , R=0.13 nm (0.13 10 -9m). Cette valeur de la fréquence est
3
m H m H πε 0 R
située dans l’intervalle de l’infrarouge.
Alors l’équation différentielle devient : μ
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10
III.2. Oscillations amorties d’un système à un degré de liberté
On prend un système masse-ressort et on suppose que la masse est soumise à une force de
frottement fluide, c'est-à-dire f = −αx& , où α est une constante positive.
III.2.1. Dérivation de l’équation différentielle :
a. Méthode de Newton :
m&x& = − k (Δl + x) + mg − αx& ⇒ m&x& + αx& + kx = 0
b. Méthode de Lagrange
1
1
1
L = mx& 2 − kx 2 ; D = αx& 2 : fonction de dissipation
2
2
2
k
x
α
m
∂D
d ∂L ∂L
( )−
=−
⇒ m&x& + αx& + kx = 0
∂x
∂x&
dt ∂x&
α
k
Posons : ω 02 = et 2λ = , l’équation différentielle du mouvement devient : &x& + 2λx& + ω 02 = 0
m
m
III.2.2. Solution de l’équation différentielle :
Prenons x= Aert et remplaçons dans l’équation différentielle, on obtient l’équation caractéristique
suivante :
r 2 + 2λr + ω 02 = 0 ⇒ r1, 2 = −λ ± λ2 − ω 02
La solution x(t) et la nature du mouvement dépendent du signe du discriminant, λ2 − ω 02 , de
l’équation caractéristique.
1er cas : Mouvement apériodique : λ > ω0 (amortissement fort)
L’équation caractéristique a deux racines réelles négatives : r1, 2 = −λ ± λ2 − ω 02 , et la solution
s’écrit : x(t ) = Ae r1t + Be r2t , x(t) diminue avec le temps. Si les conditions initiales sont par
r x − x& 0
x& − r x
exemple x0 et x& 0 les valeurs de A et B sont : A = 2 0
et B = 0 1 0
r2 − r1
r2 − r1
x
x
x0
0
x& 0 = 0
t
0
x0 = 0
t
Le système revient à sa position d’équilibre sans osciller, le mouvement est apériodique.
2er cas : Mouvement critique : λ = ω0 (amortissement critique)
L’équation caractéristique admet la racine double r1, 2 = −λ = −ω 0 et la solution s’écrit :
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x(t ) = ( At + B)e − λt , d' où x& = ( A − λB − λAt )e − λt
En utilisant les conditions initiales données dans le 1er cas, on détermine les constantes
A = x& 0 + λx 0 et B = x0 , alors x(t ) = [( x& 0 + λx0 )t + x 0 ]e − λt
Le système revient à sa position d’équilibre sans osciller.
3er cas : Mouvement oscillatoire amorties: λ < ω0 (amortissement faible)
Le discriminant est négatif. Posons Ω 2 = ω 02 − λ2 , les deux racines s’écrivent: r1, 2 = −λ ± Ω et la
([[
]
])
solution générale est donnée par : x(t ) = e − λt A1e iΩt + A2 e − iΩt = Ae − λt cos(Ωt + ϕ ) parce que x
est réel. Les constantes A et φ sont déterminées par les conditions initiales x0 et x& 0 . Le
déplacement x(t) de la masse s’annule pour cos(Ωt+φ)=0, c'est-à-dire à des instants séparés par
des intervalles égaux à :
T0
2π
2π
2π
=
=
=
T=
2
2
2
2
Ω
ω0 − λ
ω0 1 − λ / ω0
1 − λ2 / ω 02
où T0=2π/ω0, T est appelé la pseudo période et on a toujours T > T0.
Ae − λt
L’enveloppe
A1
A2
A3
t
− Ae − λt
Figure III.2. Mouvement oscillatoire amorti
Comme la force de dissipation résiste au mouvement de la masse, l’énergie totale du système
diminue et on peut évaluer cette diminution comme suit : l’énergie totale E est donnée par :
1
1
dE
E = mx& 2 + kx 2 , calculons la dérivée par rapport au temps
= (m&x& + kx) x& = −αx& 2 (on a
2
2
dt
dE
utilisé l’équation différentielle du mouvement)
= −αx& 2 = −2 D ≤ 0 . La diminution de
dt
l’énergie totale explique l’amortissement des oscillations et cette décroissance de l’énergie est
rr
égale au travail de la force d’amortissement. En effet, dE = −αx& 2 dt = −αx& .x& dt = dw . Si on veut
maintenir un mouvement oscillatoire avec une amplitude constante on doit fournir au système
une quantité d’énergie égale à αx& 2 par unité de temps.
Cette diminution de l’énergie qui résulte en celle de l’amplitude est caractérisée par le
décrément logarithmique et le facteur de qualité.
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12
Décrément logarithmique δ:
Ce paramètre caractérise la décroissance des élongations maximales à chaque période :
A
A
A
A
Ae − λ ( n −1)T
δ = ln 1 = ln 2 = ln 3 = ln n −1 = ln(
) = ln e λT λT , où T est la pseudo période.
− λnT
A2
A3
A4
An
Ae
Facteur de qualité Q :
C’est une grandeur qui mesure la diminution de l’énergie et elle définit par :
l' énergie emmagasinée dans le système
E
Q = 2π
=
l' énergie moyenne perdue durant une période ΔE
On peut évaluer facilement l’énergie totale pour le des oscillations amorties (λ0 << ω 0 ) et son
1
expression est donnée par : E ≈ E 0 e −2 λt , avec E 0 = mω 02 A 2 (énergie totale d’un oscillateur
2
harmonique).
L’énergie perdue durant l’intervalle du temps dt est : − dE ≈ 2λE 0 e −2 λ dt , et durant la période T :
ω 02 − λ2
ω
Ω
2πE
2πE
=
=
=
. Dans la pratique, on prend Q = 0
ΔE ≈ 2λET . Donc, Q =
ΔE 2λET 2λ
2π
2λ
III.3. Les oscillations électriques amorties
Prenons le circuit RLC
D’après la loi de Kirshoff
v L + v R + vC = 0 ; L
L
i
R
q
C
1
di
1
q
+ Ri + ∫ idt = 0 ⇒ Lq&& + Rq& + = 0 ; q&& + 2λq& + ω 02 q = 0 où ω 02 =
LC
dt
C
C
et 2λ=R/L.
On distingue trois types de variation de la charge électrique selon le signe du discriminant.
III.3. Les oscillations forcées d’un système à un degré de liberté
‘’ Réponse d’un système à un degré de liberté’’
Pour étudier ce type d’oscillations, on considère un oscillateur harmonique amorti sur lequel agit
une force extérieure, ou une force excitatrice, de la forme :
f (t ) = f 0 cos ωt
Son équation différentielle du mouvement est : m&x& + αx& + kx = f 0 cos ωt
C’est une équation différentielle du second ordre linéaire non homogène k
α
à coefficients constants. La solution générale de cette équation est constituée
de la somme de deux termes : x(t ) = x h (t ) + x p (t ) et on a montré dans
m
f(t)=f0cosωt
x
la section précédente que dans tous les cas (λ > ω0, λ = ω0,
λ < ω0) la limite de xh(t) est toujours nulle quand t tend vers l’infini. Au début du mouvement,
x(t) est compliqué et représente le régime transitoire. Quand xh(t) devient négligeable devant
xp(t) on observe que xp qui défini le régime permanent. Ces oscillations permanentes :
xp(t)=x0cos(ωt + φ) sont appelées les oscillations forcées.
LMD 2008-2009
13
III.3.1 recherche du régime permanent (solution particulière)
Ecrivons la force sous forme complexe f = f 0 e iωt et cherchons la solution sous la forme
complexe suivante : x = x0 e iωt , où x0 = xeϕ (amplitude complexe de module x0 et d’argument φ).
La vitesse et l’accélération sont données respectivement par x& = iωx0 e iωt et &x& = −ω x0 e iωt .
Remplaçons dans l’équation différentielle et simplifions par e iωt on obtient :
(− mω 2 + iαω + k ) x0 = f 0
⇒ x0 =
x0 (ω ) = x0 x0* =
f0
(k − mω ) + iαω
2
f0
(k − mω ) + (αω ) 2
2 2
x0 = x0 e iϕ = x0 (cos ϕ + i sin ϕ ) =
=
( f 0 / m)
(ω − ω 2 ) + 2iλω
2
0
; amplitude réelle
f 0 [(k − mω 2 ) − iαω ]
(k − mω 2 ) 2 (+αω ) 2
Alors,
x0 cos ϕ =
⇒ tgϕ =
f 0 (k − mω 2 )
− f 0αω
et x0 sin ϕ =
2 2
2
(k − mω ) (+αω )
(k − mω 2 ) 2 (+αω ) 2
− αω
, φ est la différence de phase entre x et f.
k − mω 2
Remarque :
Considérons un système excité montré sur la figure ci-contre (l’entrée représente l’excitation
et la sortie représente la grandeur physique mesurée, pour un système mécanique à un degré
de liberté ça peut être la coordonnée généralisée ou la vitesse généralisée)
entrée
On a
système
sortie
entrée = [réponse] * sortie
entrée
sortie
Dans le cas étudié précédemment, la fonction de réponse qu’on note par K est donnée par :
K (ω ) = (k − mω 2 ) + iαω
⇒ réponse =
III.4. Résonance d’amplitude
LMD 2008-2009
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L’amplitude x0 des oscillations forcées xp(t) est fonction de la fréquence (pulsation de la force
excitatrice) :
f0
x0 (ω ) =
2 2
(k − mω ) + (αω ) 2
Etudions la variation de l’amplitude en fonction de la fréquence. Lorsque ω=0, x0 = f0/k c’est une
translation provoquée par la force constante f0, et lim x 0 = 0 . Le maximum de x0 est donnée
ω →∞
dx0
ω
f0
2mk − α
= 0 ⇒ ω m2 =
= ω 02 − 2λ2 > 0; λ < 0 et x0 (ω m ) =
2
dω
2m
2
α ω 02 − λ2
2
par :
x0(ω)
x0 (ω m ) =
λ1> λ2
f0
α ω 02 − λ2
λ
λ
ωm
ω0
ω
Figure III.3 variation de l’amplitude en fonction de la fréquence.
Lorsque l’amplitude prend une valeur maximale on dit qu’il ya résonance d’amplitude et la
fréquence correspondante est appelée fréquence de résonance (ωm).
Variation de phase avec la fréquence :
La différence de phase φ entre l’oscillation et la force excitatrice est également fonction de ω
− αω
2λω
tgϕ =
= 2
2
k − mω
ω − ω 02
Dérivons l’expression précédente par rapport à ω on obtient :
d
dtgϕ dϕ
dϕ − α (k + mω 2 )
dϕ
= (1 + tgϕ 2 )
=
⇒
<0
tgϕ =
2
2
dω
dω dω
dω
dω
(mω − k )
∞
ω
0
ω0
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tgφ
0
-∞ +∞
0
dφ/dω
φ
0
-π/2
-π
Tableau de variation de la différence de phase entre la déplacement et la force excitatrice.
φ(ω)
ω0
ω
x est en retard de phase par
rapport à la force
-π/2
-π
Figure III.4. Variation de la phase en fonction de la fréquence
III.5. Impédance mécanique et résonance d’amplitude
Ici on va étudier la vitesse de la masse m en fonction de la fréquence de la force excitatrice. Si
dx
sous la forme v0 e iωt , on trouve la relation v0 = iωx0 , entre les amplitudes
on pose la vitesse
dt
v
complexes de v0 de la vitesse et x0 du déplacement. On a donc, x0 = 0 et en reportant ces
iω
valeurs dans l’équation différentielle, on obtient :
k
(iωm + α + )v0 = f 0
iω
On appelle impédance mécanique complexe z m l’expression :
zm =
f
f
k
= 0 = α + i (mω − ), f 0 = z m v0
v v0
ω
f0
L’amplitude réelle v0 de la vitesse des oscillations est : v0 =
α 2 + (mω −
k
ω
, cette amplitude
)2
dépend de ω. Lorsque ω tend vers 0 ou ∞ v0 tend vers 0 et v0 prend sa valeur maximale,
(v0 ) max = f 0 / α , quand zm prend sa valeur minimale ( ( z m = z m = α )
v0(ω)
α1
α1 < α2
α2
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Figure III.5 variation de l’amplitude de la vitesse en fonction de la fréquence
Lorsque l’amplitude v0 prend sa valeur maximale on dit qu’on a résonance de vitesse.
Variation de différence de phase entre la vitesse et la force avec la fréquence :
Pour obtenir facilement la variation de cette différence de phase avec la fréquence, écrivons ces
relations :
f
f
Im z m
v0 = 0 ⇒ v0 = v0 e iβ1 = 0 e −iβ ⇒ β1 = − β , où tgβ =
. Relions maintenant la différence
Re z m
zm
zm
de phase entre la vitesse et la force β1 avec celle entre le déplacement et la force φ et pour cela
écrivons :
− if 0
f
x = x 0 e iϕ =
= 0 e −i (π / 2+ β ) ⇒ ϕ = −π / 2 − β = −π / 2 + β 1 ⇒ β 1 = ϕ + π / 2
ωz m ωz m
β1(ω)
+π/2
ω0
ω
La vitesse est en avance de
phase par rapport à la force
0
La vitesse est en retard de
phase par rapport à la force
-π/2
Remarque : pour ω= ω0 la différence de phase entre la vitesse et la force est nulle, alors le
travail fourni au système est maximal.
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1 Chapitre III Systèmes linéaires à un degré de liberté III.1

Transcription

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