Modélisation

Géométrie des images spatiales
Modélisation
OLIVIER
DE
JOINVILLE
2e partie
Table des matières
I - Définitions
5
A. Définitions des principaux modèles..............................................................5
II - La modélisation physique
7
A. Connaissance des paramètres nécessaires à la modélisation physique.............7
B. Connaissance des paramètres de prise de vue..............................................7
C. Calcul du modèle direct..............................................................................8
D. Calcul du modèle inverse...........................................................................8
III - Affinage du modèle physique
9
A. Problématique..........................................................................................9
B. Comment affiner ce modèle ?.....................................................................9
1. Introduction............................................................................................................9
2. Equations de points d'appui....................................................................................10
3. Equations de points de liaison.................................................................................10
IV - La modélisation analytique
11
A. Principe..................................................................................................11
B. Avantages et inconvénients de la méthode.................................................11
1. Avantages............................................................................................................11
2. Inconvénients.......................................................................................................12
V - Recalage simultané d'un ensemble de scènes : la
spatiotriangulation
13
A. Définition...............................................................................................13
B. Principe..................................................................................................13
C. Avantages..............................................................................................14
Conclusion
15
3
I -
Définitions
Définitions des principaux modèles
I
5
A. Définitions des principaux modèles
Définition
En terme de géométrie des images spatiales, modéliser signifie trouver une relation
mathématique reliant des coordonnées.
Comme nous l'avons vu, il existe deux types de modèles :
Définition : Modèle direct
C'est la relation mathématique qui permet de localiser tout pixel de l'image au sol
ayant une altitude h (ou Z). On a trois relations possibles :
(x, y , h )Repère terrestre = F (l ,c ,h ) avec (x , y , h ) coordonnées cartographiques du point au sol ( ,  , h )Repère terrestre = F (l ,c ,h ) avec ( ,  , h ) coordonnées géographiques du point au sol (X , Y , Z )Repère terrestre = F (l ,c ,Z ) avec (X , Y , Z ) coordonnées cartésiennes du point au sol
Définition : Modèle inverse
C'est la réciproque, donc la relation mathématique permettant de savoir quel pixel
(l,c) a observé tel détail du sol :
(l ,c ) = G (x , y , h ) Repère terrestre
(l ,c ) = G (  ,  , h )Repère terrestre
(l ,c ) = G (X , Y, Z ) Repère terrestre
Définition
Cette relation mathématique (directe ou inverse) peut s'exprimer de 2 manières
différentes :
Définition : Modèle physique
On ne dispose au départ que des paramètres de prise de vue du système pour
effectuer la localisation des pixels de l'image. La précision de ces paramètres peut
être affinée par l'introduction de données exogènes, telles que des points au sol.
Dans le cas des satellites modernes à très haute résolution ce n'est pas nécessaire
car la précision de localisation intrinsèque au capteur est excellente (DORIS1), ainsi
qu'une excellente orientation grâce aux senseurs stellaires.
Définition : Modèle analytique
On ne connaît pas les paramètres de la prise de vue. On résout alors les modèles
1 - http://www.doris-engineering.com/
5
Définitions
directs ou inverses par des polynômes avec prise de points d'appui.
Ce cas peut se produire si par exemple on essaie de géolocaliser une image
récupérée sur Internet dont on a aucune métadonnée.
6
La modélisation
physique
II -
II
Connaissance des paramètres nécessaires à la modélisation
physique
7
Connaissance des paramètres de prise de vue
7
Calcul du modèle direct
8
Calcul du modèle inverse
8
A. Connaissance des paramètres nécessaires à la
modélisation physique
Pour ce type de modélisation, il est nécessaire de connaître les paramètres suivants
(données auxiliaires de l'image) :
 datation : instant d'acquisition du pixel ;
 position du satellite à cet instant par rapport à un repère fixe ;
 attitude (orientation) de la plate-forme du satellite ;
 direction de visée de l'instrument par rapport au satellite ;
 altitude du point visé.
B. Connaissance des paramètres de prise de vue
Dans la réalité, pour chaque scène on obtient :
 le temps t0 d'une ligne de l'image (souvent la ligne centrale) ;
 l'écart de temps Δt entre chaque ligne ;
 la position et la vitesse du satellite (toutes les 30 sec.) ;
 les 3 angles d'attitude du satellite (8 hertz) ;
 les 3 angles d'orientation de l'instrument par rapport au satellite ;
 la géométrie interne du satellite.
C. Calcul du modèle direct
Par un jeu de translations et de rotations, on calcule ensuite la direction de visée
par rapport au repère terrestre.
Puis on intersecte cette direction de visée avec un MNT.
7
La modélisation physique
Mais, dans la pratique on utilise plutôt un modèle de localisation inverse c'est-à-dire
un modèle qui permettra de fournir la position d'un pixel de l'image à partir de sa
position sur le terrain.
D. Calcul du modèle inverse
Le calcul du modèle inverse s'effectue en trois étapes :
 Projection d'une sous-grille de l'image brute (cf. figure 2) : connaissance
pour chacun de ses points de la correspondance
(l ,c )image ↔ (X ,Y ,Z ) terrain


A partir de cette sous-grille, calcul d'un modèle polynomial donnant (l,c) à
partir de (X,Y,Z).
Pour un point de coordonnées (X,Y,Z) :
utilisation d'un prédicteur de localisation inverse (X,Y,Z) →(l,c)estimés
;
utilisation du modèle de localisation direct (l,c) estimés → (X,Y,Z) ⇒ écarts
(ΔX, ΔY, ΔZ)
utilisation du prédicteur de localisation inverse (X+ ΔX,Y+ ΔY,Z+ ΔZ)
→(l+ Δl,c+ Δc)
utilisation du modèle de localisation direct ⇒nouveaux écarts (ΔX', ΔY',
ΔZ')
itérations jusqu'à convergence : (ΔX, ΔY, ΔZ) suffisamment faible.
Complément
Toutes ces étapes seront illustrées par un exemple concret dans la partie 3
consacrée à la rectification des images, dans le paragraphe sur le géocodage.
8
Affinage du modèle
physique
III -
III
Problématique
9
Comment affiner ce modèle ?
9
A. Problématique
Méthode
Le modèle physique est imparfait la plupart du temps du fait de l'imprécision des
paramètres de prise de vue :
 erreurs de restitution d'orbite : quelques mètres ;
 erreurs de restitution d'attitude (1mrad à 800 km ⇒ 800 m en roulis) ;
 méconnaissance des alignements senseur/satellite.
Conclusion
Il faut donc rajouter des informations externes au système : points d'appui ou
points de liaison.
La prise en compte de ces points va améliorer la localisation absolue du modèle
physique de manière significative.
B. Comment affiner ce modèle ?
1. Introduction
Le but est d'améliorer les paramètres de la prise de vue fournis lors de la
modélisation physique.
Soient P 0k ces paramètres, on va introduire des corrections d P k pour les affiner .
Pour cela on va résoudre deux types d'équation par moindres carrés pour estimer
ces corrections :
2. Equations de points d'appui
Pour un point d'appui i de coordonnées image (l i, ci) et de coordonnées terrain (x i,
yi, hi) on a :
9
Affinage du modèle physique
{
x i =F x  l i , ci , hi , ... , P k ,i ,... 
y i=F y  l i , c i , h i , ... P k , i , ... 
avec P ki = P 0ki  d P ki , k ∈ [ 1, n ]
et F modèle direct de l'image.
Il y a n paramètres de prise de vue pour chaque point i.
3. Equations de points de liaison
Soient 2 images (appelées image 1 et image2) ayant une zone de recouvrement
sur lequelles on peut saisir des points de liaison.
Pour un point de liaison j de coordonnées image (l j, cj) sur l'image 1 et de
coordonnées image (l' j , c' j  sur l'image 2 on a :
{
F x  l j , c j , h j , P 1 , ... , P k ,... , P n =F x  l j , c j , hj , P 1 ,... , P k ,... , P n 
'
'
'
'
'
'
F y  l j , c j , h j , P 1 , ... , P k , ... , P n = F 'y  l 'j , c 'j , hj , P'1 ,... , P 'k ,... , P'n 
avec F modèle direct de l'image 1 et F' modèle direct de l'image 2.
On résout ces deux ensembles d'équations (linéarisation et estimation par moindres
carrés) afin d'obtenir les valeurs des inconnues dP k et donc un modèle géométrique
affiné
{
x= F x  l , p , h , P 1 , ... , P k , ... , P n 
y=F y  l , p , h , P 1 ,... , P k , ... , P n 
10
La modélisation
analytique
IV -
IV
Principe
11
Avantages et inconvénients de la méthode
11
A. Principe
Dans ce cas on ne connaît aucun paramètre de la prise de vue.
On utilise donc des points d'appui au sol pour calculer les modèles de déformation.
On mesure des points homologues sur la carte ayant une échelle appropriée ou sur
une autre image (mieux résolue)
PA n {o} 1 : (l 1
..........................................
PA n {o} k : (l k
On calcule alors un modèle qui passe au mieux par ces différents points.
Ce modèle est la plupart du temps un polynôme dont le degré est défini en fonction
de la précision souhaitée :
l=∑ p i , j X i Y j
 i , j
c=∑ q i , j X i Y j
i, j 
Les coefficients du polynôme  pi , j et qi , j  sont estimés par moindres carrés.
B. Avantages et inconvénients de la méthode
1. Avantages


Cela fonctionne toujours : il est toujours possible de superposer une carotte
sur une banane...
On obtient une bonne précision globale.
2. Inconvénients

Le modèle n'est valide que si la répartition des points d'appui est uniforme,
11
La modélisation analytique

12
ce qui est rarement le cas.
Cette méthode est souvent lourde et coûteuse en temps opérateur (saisie
des points, contrôle qualité).
Recalage simultané
d'un ensemble de
scènes : la
spatiotriangulation
V -
V
Définition
13
Principe
13
Avantages
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A. Définition
Définition
La spatiotriangulation est une méthode de recalage simultané d'un ensemble de
scènes grâce à :
 des points d'appui qui assurent le recalage absolu des scènes par rapport au
sol ;
 des points de liaison (points homologues) qui assurent le recalage relatif des
scènes l'une par rapport aux autres.
Les points d'appui sont parfaitement connus en X, Y et Z, ce sont des points GPS ou
des points saisis avec le plus grand soin sur une carte ou une photo aérienne.
Les points de liaison ne sont connus qu'en coordonnées images (l,c) et parfois en Z
(pour lever les imprécisions en cas d'absence de MNT).
La qualité du modèle dépend :
 du nombre de points d'appui ;
 de leur répartition dans l'image ;
 de l'exactitude du pointé des points d'appui et des points de liaison ;
 de la précision de la carte.
B. Principe
En pratique on identifie 6 à 10 points sur une scène SPOT.
A chaque fois que l'opérateur identifie un nouveau point d'appui, le logiciel de
spatiotriangulation calcule un nouveau modèle et fournit des résidus sur les points.
L'opérateur peut éliminer des points d'appui « suspects » en cas de résidus trop
importants.
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Recalage simultané d'un ensemble de scènes : la spatiotriangulation
La précision attendue est de 0,5 à 1,5 pixel.
C. Avantages
La spatiotriangulation nous permet :
 de réduire le nombre d'inconnues, donc le nombre de points d'appui à
saisir ;
 d'assurer une bonne homogénéité de la précision géométrique dans le bloc
grâce à l'utilisation des points de liaison ;
 de réaliser une extrapolation de la géométrie sur des zones peu ou mal
cartographiées : on recale les images peu ou mal cartographiées par rapport
aux images bien cartographiées grâce aux points de liaison (cf. schéma 04).
Exemple
Dans cet exemple, la spatiotriangulation nous permet de fournir des spatiocartes
sur une zone dont la cartographie est soit inexistante, soit totalement obsolète.
On cale le bloc avec des points d'appui sur les pays adjacents et on propage le
modèle sur la zone non cartographiée avec des points de liaison.
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Conclusion
Le modèle physique de prise de vue direct est la relation géométrique permettant de
localiser tout pixel de l'image au sol, en utilisant les paramètres de la prise de vue.
Le modèle physique de prise de vue inverse est la relation géométrique permettant de
savoir quel pixel de l'image a observé un détail terrain : il est déterminé par calcul itératif à
partir du modèle direct.
Lorsque les paramètres de prise de vue sont jugés peu fiables, on utilise des points
d'appui et des points de liaison pour affiner et recaler le modèle physique.
Si l'on a aucun paramètre de prise de vue on peut réaliser un modèle analytique avec des
points d'appui.
Voilà...
maintenant que des modèles ont été élaborés, il ne reste plus qu'à les utiliser pour rectifier
les images.
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