Prisme et cylindre

chapitre
Prisme et cylindre
13
Te souviens-tu ?
1.C ; 2.B ; 3.A ; 4.C ; 5.B.
Activités
1 Observation et vocabulaire
a) Pour l’objet 1 : cube, boîte de chaussures.
Pour l’objet 2 : tube de colle, rouleau d’essuie-tout.
Pour l’objet 3 : tablette de « Toblerone », kaléidoscope.
b) Ils ont tous les deux des faces latérales rectangulaires et deux faces polygonales.
c) Un prisme droit est défini par deux bases polygonales situées dans des plans parallèles et des faces latérales rectangulaires qui sont perpendiculaires aux bases.
d) Un cylindre droit est défini par deux disques et une surface latérale dont le patron
est un rectangle.
2 Perspective cavalière
1. Représenter un prisme
a) Les arêtes parallèles sont représentées par des segments parallèles.
Les arêtes cachées sont représentées par des segments en pointillés.
b) Les arêtes latérales ne seront pas toutes représentées en vraie grandeur, seules la face
latérale de face et celles qui lui sont parallèles le seront.
159
c) et d)
2. Représenter un cylindre
a) La première image est la plus vraisemblable car l’étiquette de la boîte est parallèle au
bord de la boîte.
b) En perspective cavalière, les bases d’un cylindre sont représentées par des ovales, les
bords du cylindre par des segments.
3 Patrons
1. Un prisme droit à base triangulaire
a) Le meuble possède 5 faces.
Les faces verticales sont des rectangles.
Les faces horizontales sont des triangles rectangles.
b)
Il y a plusieurs façons de les placer.
160
c)
7 cm
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
4 cm
4 cm
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
7 cm
2. Un prisme droit ayant pour base un parallélogramme
a) Les bases de ce prismes sont : ABCD et EFGH.
Ce sont des parallélogrammes.
b) Les faces latérales sont : ABFE, ADHE, DCGH et BCGF.
Ce sont des rectangles.
c)
4 cm
3 cm
4 cm
3 cm
35°
3 cm
2,5 cm
35°
3 cm
4 cm
161
d) Un patron de prisme droit dont la base est un parallélogramme est constitué de
4 rectangles et de 2 parallélogrammes.
e) Première façon :
Aire de DCGH = Aire de ABFE = 2,5 ✕ 4 = 10 cm2
Aire de AEHD = Aire de BFGC = 2,5 ✕ 3 = 7,5 cm2
Aire latérale = 10 ✕ 2 + 7,5 ✕ 2 = 35 cm2
Deuxième façon :
Aire latérale = (4 + 3 + 4 + 3) ✕ 2,5 = 14 ✕ 2,5 = 35 cm2
f) L’aire latérale d’un prisme droit est égale au produit du périmètre du polygone de
base par la hauteur du prisme.
3. Un cylindre
a) On peut poser l’étiquette à plat sur la table. On obtient un rectangle.
b) C’est le dessin de Fred qui est juste car la longueur du rectangle correspond au péri-
mètre du disque.
c)
1,5 cm
9,4 cm
5 cm
1,5 cm
d) Un patron de cylindre est constitué d’un rectangle et de deux disques.
π ✕ 1,5 ≈ 9,4 cm
La longueur du rectangle fait environ 9,4 cm.
Aire de la face latérale : 9,4 ✕ 5 = 47 cm2
Aire du disque : π ✕ 1,52 ≈ 7,1 cm2
Aire totale : 47 + 7,1 = 54,1 cm2
e) Périmètre du disque : 2
162
✕
4 Les volumes
1. Volume d’un prisme droit
a) Elle obtient un pavé droit.
40 ✕ 70 = 98 000 cm3
Volume du solide : 98 000 ÷ 2 = 49 000 cm3
35 ✕ 40
c) Aire de la base :
= 700 cm2
2
Produit de l’aire de la base par la hauteur : 700 ✕ 70 = 49 000
On remarque qu’on obtient le même volume qu’en b).
d) Le volume d’un prisme droit est égal au produit de l’aire de base par la hauteur.
b) Volume du pavé droit : 35
✕
2. Volume d’un cylindre
a) Pour calculer le volume du prisme bleu et celui du prisme vert, on calcule l’aire de
base et on multiplie par la hauteur.
b) Pour calculer le volume du cylindre, on calcule l’aire de base et on multiplie par la
hauteur.
c) Volume du cylindre : π
✕
52
✕
11 = π
✕
25
✕
11 ≈ 863,9 cm3
Exercices fondamentaux
Calcul mental
1 a) 70
c) 70
b) 300
d) 270
2 a) 8
c) 125
b) 1 000
d) 49
3 a) 3 800
c) 42,5
b) 450
d) 702 500
4 a) 42
c) 0,021
b) 0,061 8
d) 7,2
5 a) 3 200 dm3
c) 40
cm3
b) 7,2 cm3
d) 0,03 cm3
Vocabulaire
b) Je suis un cylindre droit, mes deux bases
sont des disques.
c) Je suis un prisme droit, mes bases sont
des rectangles, je suis aussi un parallélépipède rectangle.
d) Je suis un prisme droit à base pentagonale, j’ai donc 15 arêtes, 7 faces et 10 sommets.
7 a) Les faces latérales d’un prisme
droit sont des rectangles.
b) La surface latérale d’un cylindre droit
est un rectangle « enroulé » autour de l’axe,
ses bases sont des disques.
c) De chaque sommet d’un prisme droit
partent trois arêtes.
d) Un cylindre droit possède un axe qui
passe par les centres de deux disques de
base.
Observation et vocabulaire
6 a) Je suis un prisme droit, à base triangulaire, mes deux bases sont des triangles, mes faces latérales sont des rectangles.
8 Les objets qui sont des prismes droits
sont a, c et d.
163
9 Les objets qui sont des cylindres sont a,
d)
c et d.
10 a) Faux.
b) Vrai.
c) Vrai.
d) Faux.
Il y a trois solutions.
13 On a besoin de 4 couleurs différentes.
11 a) Impossible.
b)
c)
d)
12 a)
Il y a deux solutions.
b)
14 Les paires d’arêtes perpendiculaires
sont :
(FD) et (DA) ; (FD) et (FC) ; (DE) et
(DA) ; (DE) et (EB) ; (FE) et (FC) ; (FE)
et (EB) ; (CA) et (DA) ; (CA) et (FC) ;
(AB) et (DA) ; (AB) et (EB) ; (CB) et
(FC) ; (CB) et (EB).
15 a) Les arêtes parallèles sont :
– [FD] et [CA] ;
– [DE] et [AB] ;
– [FE] et [CB] ;
– [FC], [DA] et [EB].
b) Les arêtes parallèles sont :
– [IG], [JP], [EK], [DL], [CM] et [AB] ;
– [IJ] et [GP] ;
– [PE] et [JK] ;
– [ED] et [KL] ;
– [CD] et [ML] ;
– [AC] et [BM] ;
– [GA] et [IB].
16 Il y a 3 arêtes perpendiculaires à la
face ABC : [FC], [DA] et [EB].
Perspective cavalière
Il y a trois solutions.
c)
17 L’arête cachée sur le prisme
ABCDEF est [BC].
Les arêtes cachées sur le prisme GHIJKL
sont [GJ], [LJ] et [JK].
18 a)
Il y a deux solutions.
164
b)
c)
d)
19 Ce sont tous des prismes droits en
perspective cavalière car leurs bases sont
des polygones superposables situés dans
des plans parallèles et leurs faces latérales
sont rectangulaires et perpendiculaires à
leurs bases.
De plus, les arêtes visibles et cachées sont
dessinées correctement.
c)
d)
22
20 a) Ce n’est pas la représentation d’un
prisme droit en perspective cavalière car les
arêtes cachées ne sont pas dessinées correctement.
b) C’est une représentation en perspective
cavalière d’un prisme droit car les bases sont
des polygones superposables situés dans des
plans parallèles et les faces latérales sont rectangulaires et perpendiculaires aux bases.
De plus, les arêtes visibles et cachées sont
dessinées correctement.
c) C’est une représentation en perspective
cavalière d’un prisme droit car les bases
sont des polygones superposables situés
dans des plans parallèles et les faces latérales sont rectangulaires et perpendiculaires
aux bases.
De plus, les arêtes visibles et cachées sont
dessinées correctement.
d) Ce n’est pas la représentation d’un
prisme droit en perspective cavalière car les
arêtes cachées ne sont pas dessinées correctement.
a)
b)
c)
d)
23
a)
21
a)
b)
b)
165
c)
c)
d)
d)
Patrons
24 a) C’est le patron d’un prisme droit
car les faces des bases seront superposables
quand on assemblera le solide et les faces
latérales sont rectangulaires.
b) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit
car les faces des bases ne seront pas superposables quand on assemblera le solide.
c) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit
car les largeurs des faces latérales ne sont
pas égales aux longueurs des côtés du triangle de base.
d) C’est le patron d’un prisme droit car les
faces des bases seront superposables quand
on assemblera le solide et les faces latérales
sont rectangulaires.
26 a) Ce n’est pas le patron d’un prisme
droit.
b) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit.
c) C’est le patron d’un prisme droit.
d) Ce n’est pas le patron d’un prisme droit.
27
a)
b)
25
a)
c)
b)
166
d)
31
N
M
3 cm
40°
K
L
4,5 cm
28 a) Non car la longueur du côté représenté de la face de base est plus grande que
la largeur de la face rectangulaire à gauche.
b) Non car la face latérale dessinée n’est
pas rectangulaire.
c) Non car les deux faces de bases se touchent.
d) Non car il y a une face latérale qui n’est
pas rectangulaire.
32
D
2,5 cm
30°
A
3,5 cm
1,5 cm
C
B
30°
33
29
C
A
2,8 cm
A
5 cm
2,5 cm
B
15,7 cm
3 cm
3,4 cm
30
34
2,5 cm
2 cm
2,5 cm
12,6 cm
4 cm
7 cm
167
35 42 ✕ π ≈ 131,95 cm
Le périmètre du disque de base du cylindre
est d’environ 1,32 m.
On ne peut donc pas décorer les piliers de
la grande salle du collège avec des feuilles
rectangulaires de 80 cm sur 1,30 m.
36 La largeur du patron est de :
4,5 ✕ 4 + 10 = 28 cm
La longueur du patron est de :
2 ✕ 4,5 ✕ π ≈ 28,27 cm
Le patron ne tiendra donc pas dans une
feuille de format 21 cm ✕ 29,7 cm.
37 Aire de la base = 6 × 8 = 24 cm2
2
Aire latérale = (6 + 8 + 10)
= 264 cm2
Aire totale = 2 ✕ 24 + 264
= 312 cm2
✕
11
38 Aire latérale = 6 ✕ 5 ✕ 7,5
= 225 cm2
42 a) 2,8 m3 = 2 800 dm3
b) 40 000 dm3 = 40 m3
c) 8 cm3 = 8 000 mm3
d) 720 mm3 = 0,72 cm3
43 a) 700 cm3 = 0,7 dm3
b) 8 mm3 = 0,008 mm3
c) 43 200 cm3 = 43,2 dm3
d) 0,05 m3 = 50 dm3
44 a) 20 000 000 cm3
= 2 000 dm3 = 2 000 L
b) 380 000 mm3 = 0,38 dm3
= 0,38 L
c) 43 200 cm3 = 43,2 dm3
= 43,2 L
d) 3 m3 = 3 000 dm3
= 3 000 L
45 a) 6,5 L = 6,5 dm3
= 6 500 cm3
b) 0,05 dL = 0,005 dm3 = 5 cm3
c) 5 400 L = 5 400 dm3 = 5,4 m3
d) 7 hL = 700 dm3 = 0,7 m3
39 Aire de la base = π ✕ 82
≈ 201,06 cm2
Aire latérale = 2 ✕ π ✕ 8 ✕ 11
≈ 552,92
Aire totale = 201,06 + 552,92
= 753,98 cm2
Volume : prisme et cylindre
46 12 ✕ 2,50 = 30
On dispose de 30 m3 d’air.
40 Aire de la base = π ✕ 0,82
≈ 2,01 m2
Aire latérale = 2 ✕ π ✕ 0,8 ✕ 5
≈ 25,13 m2
Aire totale = 2,01 + 25,13
= 27,13 m2
Donc l’aire de la surface vitrée est égale à
27,13 ÷ 2 soit 13,565 m2.
47 Aire du triangle rectangle
= 12 × 9 = 54 cm2
2
Volume = 18 ✕ 54 = 972 cm3
48 Aire du losange = 25 × 30
2
= 375 cm2
Volume = 70
Les volumes
41 a) 5 250 cm3 = 5,250 dm3
b) 12 m3 = 12 000 dm3
c) 0,14 m3 = 140 dm3
d) 2 705 000 cm3 = 2 705 dm3
375 = 26 250 cm3
49 Aire du parallélogramme
= 12 ✕ 8 = 96 cm2
Volume = 96 ✕ 28 = 2 688 cm3
50 Aire du disque = π ✕ 5,52
Volume ≈ 3,5
168
✕
✕
≈ 95 cm2
95 = 332,5 cm3
51 4 000 L = 4 m3
4 ÷ (π ✕ 0,82) ≈ 2
La hauteur de la citerne est d’environ 2 m.
52 π ✕ 0,72 ✕ 5,5 ≈ 8,5
Le volume de colle contenue dans le tube
est d’environ 8,5 cm3.
53 Calcul du volume d’une bougie :
π ✕ 22 ✕ 1,5 ≈ 18,85 cm3
Calcul du volume de cire :
5 ✕ 6 ✕ 12 = 360 cm3
Calcul du nombre de bougies :
360 ÷ 18,85 ≈ 19,1
On peut donc fabriquer 19 bougies.
54 π ✕ 0,42 ✕ 2,5 ≈ 1,26 m3
Il y a environ 1,26 m3 d’eau.
55 Calcul du volume de la bassine :
π ✕ 152 ✕ 10 ≈ 7 068,6 cm3
Calcul du volume d’un pot :
π ✕ 3,52 ✕ 9 ≈ 346,4 cm3
Calcul du nombre de pots :
7 068,6 ÷ 346,4 ≈ 20,4
Elle pourra remplir 20 pots de confiture.
56 π ✕ 0,007 ✕ 25 ≈ 0,0038 m3
Mo dispose d’environ 0,0038 m3 d’eau.
Qui dit vrai ?
C’est Mo qui a raison.
Si on double la hauteur, on multiplie le volume par 2 alors que si on double le rayon, on
multiplie le volume par 4.
Exercices d’approfondissement
57 Peux–tu les dessiner ?
a) Il a 7 faces et 15 arêtes.
b) Il a 10 sommets et 15 arêtes.
c) Il a 12 sommets et 8 faces.
58 Des formules
a) Un prisme droit, dont la face de base a
3 sommets, a 9 arêtes.
Un prisme droit, dont la face de base a
5 sommets, a 15 arêtes.
b) Le nombre de sommets du prisme droit
est 2s.
c) Le nombre d’arêtes du prisme droit est
3s.
d) Le nombre de face du prisme droit est
s + 2.
59 Combien sont–ils ?
Il y a 9 patrons différents pour un prisme
droit dont la base est un triangle équilatéral.
60 Cerf–volant
3 cm
5 cm
2,5 cm
5 cm
61 Jardinage
b) π ✕ 142 ✕ 44 ≈ 27 093,1
Le volume du rouleau à gazon est d’environ 27 093,1 cm3 soit 27,0931 L.
c) On a alourdi le rouleau de 27,0931 kg.
d) 2 ✕ π ✕ 14 ✕ 44 ≈ 3 870,4
L’aire du gazon roulé est d’environ
3 870,4 cm2.
169
62 La piscine
a) Première façon :
(1,5 + 0,7) × 15
Aire du trapèze =
2
= 16,5 m2
Volume de la piscine = 16,5 × 5
= 82,5 m3
= 82 500 L
Deuxième façon :
Calcul du volume du prisme droit à base
triangulaire :
Aire du triangle rectangle
= 0,8 × 15 = 6 m2
2
Volume du prisme = 6 × 5 = 30 m3
Calcul du volume du pavé droit :
0,7 × 15 × 5 = 52,5 m3
Calcul du volume de la piscine :
30 + 52,5 = 82,5 m3 = 82 500 L
Donc le volume de la piscine est de
82,5 m3 soit 82 500 L.
b) 0,05 × 5 × 15 = 3,75 m3
Il faut ajouter 3,75 m3 soit 3 750 L.
63 En pâtisserie
Aire du trapèze
(8 + 9,5) × 4
=
= 35 cm2
2
Volume du cake avant la cuisson
= 35 × 25 = 875 cm3
Le volume du cake sorti du four est donc
de 875 × 2 soit 1 750 cm3.
64 La niche du chien…
Calcul de l’aire totale du demi-cylindre :
Aire latérale du demi-cylindre
2 × π × 15 × 45 ≈ 2 120,6 cm2
=
2
Aire du demi-disque de base
π × 152 ≈ 353,4 cm2
=
2
Aire totale du demi-cylindre
= 2 120,6 + 2 × 353,4 = 2 827,4 cm2
Calcul de l’aire d’un côté de la niche :
45 × 33 = 1 485 cm2
Calcul de l’aire du fond de la niche :
30 × 33 = 990 cm2
Calcul de l’aire de la surface à repeindre :
2 827,4 + 1 485 × 2 + 990
= 6 787,4 cm2
65 Aménagement
Calcul du volume du cylindre de rayon
4,50 m :
π × 4,502 × 0,06 ≈ 3,8 m3
Calcul du volume du cylindre de rayon
7m:
π × 72 × 0,06 ≈ 9,2 m3
Calcul du volume des gravillons :
9,2 – 3,8 = 5,4 m3
Il faut donc 5,4 m3 de gravillons.
66 Un peu de sucre ?
Calcul du volume qu’il reste dans sa tasse :
π × 3,752 × 0,1 ≈ 4,418 cm3
Calcul du volume d’un sucre :
1,7 × 2,7 × 0,6 = 2,754 cm3
Calcul du nombre de sucres :
4,418 ÷ 2,754 ≈ 1,6
Il pourra donc mettre 1 sucre avant que sa
tasse déborde.
Énigme de fin de chapitre
La largeur de feuille est de 5 cm et sa longueur est de 10 cm.
170