ETUDE DE MECANISME – le joint de cardan – Lanière K – 2PC

Transcription

- 1 -
Ce fascicule
est un travail
bien llfintérêt
et de Mécanique. Il illustre
forts
: les formules
fructueusement
Par ailleurs
tique
théoriques
exploitées
cette
du métier
commun des enseignants
qufil
Mathématiques
y a de coordonner
nos
de Mathématiques et Mécanique peuvent
grâce aux ressources
synthèse
de
de différentes
des moyens de calcul
disciplines
est
ef-
être
moderne.
la base de la pra-
d'ingénieur.
X
X
X
*Gerolamo CARDANO mêdecin5 philosophe et astrologue est typique de•
la renaissance italienne. 11 fit connaître par son traité "Practica arithmeticac generalis" (Milan 1539) les formules dites de CARDAN pour la résolution de 1sëquation du 3e degré : x 3 - px + q = 0. Il y eu au sujet de la paternité de cette découverte la première grande querelle scientifique. En fait
si 1'originalité de la découverte semble revenir à TARAGLIA (1500-1557) la
contribution de CARDAN et d'autre mathématiciens (Scipione
del FERR0f
• FERRARI) fut importante.
X
X
X
Au XVIème siècle le mathématicien G. CARDAN0^(Jérôme CARDAN) a inventé un mécanisme permettant de maintenir la position horizontale de la boussole.
C ! est la suspension dite à la CARDAN. On retrouve cette utilisation
initiale dans la suspension de la toupie des compas gyroscopiques.
© [Jean-Pierre Brossard],[1980], INSA de Lyon, tous droits réservés
SUSPENSION a la CARDAN pour BOUSSOLE (XVle siècle)
En 1664 l'anglais R. HOOKE (1635-1703) fait breveter un dispositif
destine à la transmission du mouvement entre deux arbres à axes concourants
où lfon retrouve les éléments du dispositif de CARDAN* Ceci explique
certains
f
d autres
pays ce dispositif
sous
le nom de joint
soit
connu sous
de HOOKE.
le nom de joint
que
de CARDAN et
dans
dans
. 3 -
Le dispositif de CARDAN a reçu une large diffusion soit comme organe de suspension (gyroscope) soit surtout comme organe de transmission en particulier dans les véhicules automobiles*
ETUDE
MÉCANIQUE
ET
MATHÉMATIQUE
I - RELATION ENTRE LA ROTATION DE L'ARBRE D'ENTREE ET DE L'ARBRE
DE SORTIE.
II
III
- RAPPORT DES VITESSES DE ROTATION
- ACCELARATION DE L'ARBRE DE SORTIE LORSQUE L'ARBRE D'ENTREE
TOURNE A VITESSE CONSTANTE.
ETUDE MECANIQUE ET MATHEMATIQUE
I. RELATION ENTRE LA ROTATION DE LSARBRE D'ENTREE ET L'ARBRE DE SORTIE
(voir exercice de cinématique)
On démontre que :
fcg 0 = cos 9 tg i|>
(1)
Il est évident que l'angle de rotation de l'arbre de sortie n'est
pas en général égal à l'angle de rotation de l'angle d'entrée. On dit que le
dispositif
nfest pas homocinétique.
On peut caractériser cette irrégularité de deux autres manières*
1°) En calculant le déphasage angulaire e- = ijj - cf>
On démontre que (voir exercice de cinématique)
tg(^ - (j)) =
(1 - cos e)tg 4)
— »
—
1 + cos 6 -tg2i|;
(2)
2°) En calculant e maxi et e mini
On démontre que (tg e)
. = i—UE2L-i-
II. RAPPORT DES VITESSES DE ROTATION
On démontre (voir exercice de mécanique)
p = 4L- =
COS 9(1 + tg2 \jj)
^s
1 + cos26 tg 2 4>
On peut également caractériser 1§irrégularité de vitesse en représentant :
p
p
maxi
mini
p
maxi " pmini
III. ACCELERATION DE L'ARBRE DE SORTIE LORSQUE L'ARBRE D'ENTREE
TOURNE A VITESSE CONSTANTE
On démontre que :
£-
= 2 cos e sin2 e ÏUïLlJJtfJÙ
[1 + cos 2 9 tg 2 4>]2
i^12
En pratique on utilise surtout les courbes
4> = f M
p=P
M
e = e
(i|>)
INFORMATIQUE
J - PROBLEME GENERAL DE LA MISE EN OEUVRE DE TRACE SUR IMPRIMANTE
A)
Principe
B) Séquences
dfappel
C) Mise en oeuvre
II-
du programme
COURBES CARACTERISTIQUES DU JOINT DE CARDAN
- 10 -
I - MISE EN OEUVRE DES SOUS-PROGRAMMES DE TRACES SUR IMPRIMANTE
A)
Principe
Les imprimantes sont capables de donner une idée approximative dfune
fonction y = f(x). Il faudra toujours cependant faire l8impression des valeurs
y A = f (xi) P ô u r obtenir ces valeurs avec précision,
Pour faciliter la mise en oeuvre du trace sur imprimante, il est mis
à disposition deux sous-programmes :
SPT1
trace 1 courbe
y = f(x) sur 1 feuille
SPT3
trace 3 courbes
y p y 2 * y 3 sur la même feuille
La convention de représentation est la suivante :
sur 1 feuille de l'imprimante :
Sur chaque axe s l'échelle est écrite automatiquement. Les y sont répartis sur
50 lignes et les x sur 100 colonnes.
B) Séquences dfappel
: (dans le programme Fortran)
a) CSLL SPT1 (Xf Y, N)
Y est un tableau réel simple précision de dimension N dans lequel se
trouve les valeurs y-. = f(x-j)
- 11 -
X est un tableau réel simple précision de dimension N dans lequel se
trouvent les valeurs x..
N est le nombre de couples (x., y.)- Il e st inférieur à 100» Avec
H = 50 ou 609 on obtient déjà de bons résultats pour un prix de
revient machine acceptable.
Les points de la courbe sont représentés avec **
b) CALL SPT3 ( Y p Y 2 , Y ^ X, N)
Y p Yoi Y 3
sont trois tableaux contenant pour les mêmes valeurs x.
les valeurs y^x.),
X et N
y 2 (x i ), ya^j)*
ont la même signification que dans SPT1.
Les points de y, sont repérés par +
Les points de yo sont repérés par .
Les points de y 3 sont repérés par *
C) Mise en oeuvre
du programme
Les sous-programmes SPT1 et SPT3 se trouvent dans des bibliothèques
sur disque
afin.de permettre à chacun de les utiliser. Pour indiquer à lsor-
dinateur où ces sous-programmes se trouvent et comment les incorporer à votre
programme, il est nécessaire de donner certaines instructions-système*
Afin de vous faciliter cette mise en oeuvre, il a été créé une procédure
qui s'appelle LNK
et qu'il faut utiliser comme suit :
exemple :
Col.l
!J0B,T/\kkkk,INSA,23O4GRXX
!EXEC LNK
c
c'NOM de l'étudiant, groupe n°xx
c
I
kkkk = nom du conférencier
! XX = numéro du groupe
! (A veut dire espace ou blanc)
s
s
l
;
I programme Fortran
!
CALL SPT3 (Y,Z,T,X,N)
s•
! suite programme Fortran
I appel tracé de 3 courbes
! Y,Z,T,X sont des tableaux.
! Ils doivent être mis en DIMENSION
CâLLSPïl (;XfY,N)
I appel tracé 1 courbe
I fin
\
du programme Fortran
END
!
!E0D
J
.0PTI0N A(UNSAT,BIB)
I
!E0D
!
I cartes données
1E0D
!
!
II
- JOINT
DE CARDAN
L'étude du joint de cardan demande la connaissance en particulier
de 3 fonctions :
1°) 0 = arc tg [cos e*tg Y ]
pour Y 6 [ 0 , 360°[
pour 9 =10% 20°, 30°
et
6 = 4 ° , 6°, 9°
2°) e = Y - 0
et tg e =
^JJJL^OS_^_
1 + cos e*tg2 ¥
pour V 6 [- 90°, 90° [
et 9 = 10°, 30°
9 = 4°, 9°
,oV il _ (1 + tg2 y) cos 6
1 + cos2 e * tg2 $
pour ¥C[- 90% 90°[
pour 6 = 10% 20% 30°
6 - 4 % 6% 9°
PROGRAMMATION :
Pour pouvoir utiliser les sous-programmes SPT1 (tracer 1 courbe sur
1 feuille) ou SPT3 (tracer 3 courbes sur la même feuille), il est nécessaire de travailler en simple précision (celle utilisée habituel!ement),
La programmation devra permettre dsobtenir :
1°) Pour les valeurs de 9 de 10% 2 0 % 30° puis de 4 % 6% 9%
Calculer et faire écrire les valeurs de 0 en degré pour 50 valeurs
également espëcëes de ¥ entre 0 et 360°,
Quelles conclusions pouvez-vous tirer de la comparaison des deux
séries de courbes ?
- 14 -
2°) Pour 9 = 4 ° , 10°, 30°
Calculer et faire imprimer les valeurs de tg e et de
60 valeurs régulièrement espacées de m«
Tracer les courbes (SPT3) :
y 2 = z - tg e
y3 = 0
pour les différentes valeurs de G.
Quelles conclusions tirer de ces tracés ?
3°) Pour
9 = 10°, 20°, 30°
puis
4°, 6°, 9°
Calculer et faire imprimer les valeurs de |TFaire tracer :
y1 = |!-
pour
0 = 10°
y 2 = &r
pour
e = 20°
y 3 = &r
pour
6 = 30°
e - tg e pour
TRANSMISSION ARRIERE DE LA POSCHE 917
(Document aimablement
Chef du Service
communique par M. RB MEZGER
Compêtion PORSCHE).

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