La règle de dérivation en chaîne

Revue
Dérivée seconde
Règle de dérivation en chaîne
La règle de dérivation en chaîne
MAT 1739 X Été 2010
Département de mathématiques et de statistique
Université d’Ottawa
MAT 1739 X La règle de dérivation en chaîne
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Dérivée seconde
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Plan
1
Revue
Dérivée d’une fonction polynôme
Règle Produit
2
Dérivée seconde
3
Règle de dérivation en chaîne
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Dérivée seconde
Règle de dérivation en chaîne
Dérivée d’une fonction polynôme
Règle Produit
Dérivée d’une fonction polynôme
Théorème
Soit
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0
une fonction polynôme, alors la dérivée de f (x) est
f 0 (x) = nan x n−1 + (n − 1)an−1 x n−2 + · · · + a1 .
Exemple
Si f (x) = 2x 2 − 3x, alors
f 0 (x) = 2 · (2x) − 3(1) = 4x − 3.
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Dérivée d’une fonction polynôme
Règle Produit
Règle Produit
Proposition
Si P(x) = f (x)g(x), alors
P 0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
Exemple
√
Si y = (x + x1 )( x −
y
0
=
=
1
x2
+ 1), alors
√
√
d
1
1
1
d
1
x+
x−
+1 + x +
x−
+1
dx
x
x2
x
dx
x2
√
1
1
1
1
2
1−
x−
+1 + x +
√ + 3 .
2
2
x
x
x
2 x
x
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Dérivée seconde
Definition
La dérivée seconde de f (x) est la dérivée de f 0 (x), notée par
f 00 (x).
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Exemple
Si y = f (t) = 1 − 4.9t 2 , alors
y 0 = f 0 (t) = −4.9 · 2t = −9.8t
y 00 = (−9.8t)0 = −9.8.
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Exemple (suite)
Les graphiques de y , y 0 , y 00 sont comme suit.
Rappelons que la fonction y = f (t) = 1 − 4.9t 2 représente la
distance d’une craie laissée tombée de l’origine (1 m au dessus
du sol). Signification réelle de y 0 and y 00 ?
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Exemple (suite)
En effet,
y 0 représente la vitesse – le taux de variation de la
distance par rapport au temps.
y 00 représente l’accélération – le taux de variation de la
vitesse par rapport au temps.
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La règle de dérivation en chaîne s’utilise pour calculer la
dérivée d’une fonction composée. Revoyons d’abord quelles
sont les fonctions composées par des exemples.
Exemple
Soit f (x) = x 3 + 1 et g(x) =
1
x−2 .
Alors
3
1
1
f ◦ g(x) = f (g(x)) = (g(x)) + 1 =
+1=
+1
x −2
(x − 2)3
1
1
1
g ◦ f (x) = g(f (x)) =
= 3
= 3
.
f (x) − 2
(x + 1) − 2
x −1
3
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Théorème
Si C(x) = f (g(x)), alors
0
0
0
C (x) = f (g(x))g (x)
OU
d
[C(x)] =
dx
df
dg
dg
dx
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.
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Nous illustrons d’abord comment utiliser la règle de dérivation
en chaîne à travers des exemples, puis nous allons démontrer
le théorème dans un cas simple.
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Exemple
Soit y = f (x) = (x 2 + 1)1000 . Calculer y 0 . Solution : Posons
g = x 2 + 1 alors y = f (x) = g 1000 .
Étape 1 : Calculer
df
= 1000g 999
dg
Étape 2 : Trouver la dérivée de la fonction à l’intérieur g(x)
au point x :
dg
= 2x
dx
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Exemple (suite)
Étape 3 : Multiplier la dérivée
obtenir
d
dx [f (g(x))]
dg
dx
par la dérivée
df
dg
pour
:
y0 =
=
d
[f (g(x))]
dx
df dg
·
dg dx
= (1000(g)999 ) · (2x)
= (1000(x 2 + 1)999 ) · (2x)
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Exemple
Soit y =
√
1
5x + 3 = (5x + 3) 2 . Calculer y 0 .
1
Solution : Posons g = 5x + 3 alors y = f (x) = g 2 .
Étape 1 : Calculer
1 1
df
= g− 2
dg
2
Étape 2 : Trouver la dérivée de la fonction à l’intérieur g(x)
au point x :
dg
=5
dx
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Exemple (suite)
Étape 3 : Multiplier la dérivée
obtenir
d
dx [f (g(x))]
y0
dg
dx
par la dérivée
df
dg
pour
:
=
=
=
=
=
d
[f (g(x))]
dx
df dg
·
dg dx
1 −1
2
g
·5
2
1
− 12
(5x + 3)
·5
2
5
√
2 5x + 3
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Exemple
Soit y = f (x) = (5x 3 + 6x 2 )4 . Calculer y 0
Solution : Posons g = 5x 3 + 6x 2 alors y = f (x) = g 4 .
Étape 1 : Calculer
df
= 4g 3
dg
Étape 2 : Trouver la dérivée de la fonction à l’intérieur g(x)
au point x :
dg
= 15x 2 + 12x
dx
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Exemple (suite)
Étape 3 : Multiplier la dérivée
obtenir
d
dx [f (g(x))]
y0 =
=
dg
dx
par la dérivée
df
dg
pour
:
d
[f (g(x))]
dx
df dg
·
dg dx
= (4(g)3 ) · (15x 2 + 12x)
= 4(5x 3 + 6x 2 )3 · (15x 2 + 12x)
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Des trois exemples, on peut résumer que le processus pour
utiliser la règle de dérivation en chaîne a essentiellement, trois
étapes :
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1- trouver la dérivée de la fonction à l’extérieur f (g(x)) au
point g(x) qui est la fonction à l’intérieur (fonction à
l’intérieur g(x) laissée inchangée)
df
dg
2- trouver la dérivée de la fonction à l’intérieur g(x) au point x
dg
dx
3- multiplier la dérivée
d
dx [f (g(x))]
y0 =
dg
dx
à la dérivée
df
dg
pour obtenir
d
df dg
[f (g(x))] =
·
dx
dg dx
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La preuve de la règle de dérivation en chaîne est au-delà de ce
cours. Mais voici les idées principales.
Preuve.
0
C (x)
=
=
=
=
=
lim
h→0
lim
h→0
lim
h→0
lim
C(x + h) − C(x)
h
f (g(x + h)) − f (g(x))
h
f (g(x) + g(x + h) − g(x)) − f (g(x))
h
f (g(x) + g(x + h) − g(x)) − f (g(x)) g(x + h) − g(x)
g(x + h) − g(x)
h→0
lim
g(x + h) − g(x)
h→0
=
lim
f (g(x) + k ) − f (g(x))
k →0
0
g(x + h) − g(x)
h→0
g(x + h) − g(x)
g(x+h)−g(x)→0
=
lim
f (g(x) + g(x + h) − g(x)) − f (g(x))
lim
=
h
f (g(x) + g(x + h) − g(x)) − f (g(x))
k
lim
h→0
h
lim
h→0
g(x + h) − g(x)
h
g(x + h) − g(x)
h
0
f (g(x))g (x)
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Notez Bien
Le seul problème avec cette preuve, c’est que
k = g(x + h) − g(x) pourrait être 0 pour un certain h. Un
argument plus compliqué peut rendre la preuve plus
rigoureuse.
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Des questions combinant la règle de dérivation en chaîne et la
règle du produit peuvent devenir plus difficiles.
Exemple
Soit y = 3x(1 − x)2 . Alors
y0
=
=
=
d
d
[(3x)](1 − x)2 + 3x [(1 − x)2 ]
dx
dx
d
3(1 − x)2 + 3x(2(1 − x) [1 − x])
dx
3(1 − x)2 + 3x(2(1 − x))(−1)).
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Exemple
Soit y = x 2 (x 3 + 5x)10 . Alors
d
[(x 3 + 5x)10 ])
dx
d
= 2x(x 3 + 5x) + x 2 (10(x 3 + 5x)9 [x 3 + 5x])
dx
= 2x(x 3 + 5x) + x 2 (10(x 3 + 5x)9 (3x 2 + 5)).
y 0 = (x 2 )0 (x 3 + 5x)10 + x 2 (
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