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Geometria Analítica – Equação da Reta
Coeficiente Angular
Sabemos que dois pontos determinam uma reta. Uma característica
importante de qualquer reta é o seu coeficiente angular, que representa o
quanto ela está inclinada em relação ao eixo das abscissas.
Se dois pontos A  ( xA , y A ) e B  ( xB , yB ) de uma reta são conhecidos, seu
coeficiente angular m pode ser calculado pela tangente do ângulo de inclinação
( ) . Veja:
No triângulo retângulo formado, poderemos chegar na expressão que
estamos procurando, pois:
m  tan  
yB  y A x

xB  xA y
IMPORTANTE
- Quando   90º , a reta formada é paralela ao eixo Oy. Como tan 90º não
existe, concluímos que m também não existe.
- Se a reta é paralela ao eixo Ox, então   0º , o que implica em tan   0 , ou
seja, m = 0.
- Duas retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.
- Se m > 0 a reta é crescente.
- Se m < 0 a reta é decrescente.
Equação da Reta
Uma reta pode ser representada de diferentes formas. Vamos conhecê-las:
Equação Diferencial da Reta
Supor uma reta r que passe pelos pontos
( x0 , y0 ) e tenha coeficiente angular m. Para que
um ponto genérico P ( x, y ) pertença a esta reta, deveremos ter:
No triângulo retângulo PAB:
y  y0
, então:
x  x0
y  y0
m
 y  y0  m( x  x0 )
x  x0
Sabemos que m  tan  
Equação Reduzida da Reta
Isolando o valor de y da equação diferencial da reta, teremos:
y  y0  m( x  x0 )
y  y0  m.x  m.x0
y  m.x  m.x0  y0
Chamando de
q  m.x0  y0 , teremos:
y  m.x  q
Esta é a Equação Reduzida da Reta, onde q é chamado de Coeficiente Linear.
O coeficiente linear da reta é exatamente o valor em que a reta intercepta o eixo das
ordenadas (eixo y).
Exemplo 1
Encontre a equação reduzida da reta que passa por (2, 5) e (5, 8).
Resolução
Sendo y  mx  q , teremos:
- Quando x  2  y  5 , ou seja:
5  m.2  q
- Quando x  5  y  8 , ou seja:
8  m.5  q
Resolvendo o sistema:
2.m  q  5

5.m  q  8
Encontramos m = 1 e q = 3 e, portanto:
y  x  3 é a equação da reta que estávamos procurando.
Equação Geral da Reta
Sejam os pontos A (4, 3) e B (2, 2) por onde passa uma reta. Para que o ponto P (x, y)
qualquer pertença a reta AB, é natural que P esteja alinhado com A e B.
De acordo com o que vimos na aula 9, em relação ao alinhamento de dois pontos A e B, o
determinante a seguir deverá ser nulo:
 x y 1


det  4 3 1  0
 2 2 1


Desenvolvendo este determinante, obteremos a equação geral da reta AB:
x  2y  2  0
Observe que, se isolarmos o valor de y nesta expressão, obteremos a forma reduzida da
reta AB:
y
x2
2
De um modo geral, conhecendo qualquer equação de uma reta, é possível encontrar uma
equação geral transpondo todos os termos para o primeiro membro da igualdade.
Portanto, a Equação Geral da Reta é dada por:
ax  by  c  0
Equação Segmentaria da Reta
Lembrando que:
m
y q  0
q

 .
x 0  p
p
Pela equação diferencial da reta, poderemos escrever:
y  y0  m( x  x0 )
yq  
q
( x  0)
p
yq  
q
x
p
py  pq  qx
py  qx  pq
Agora, dividindo a expressão acima por pq , chegamos à conclusão que a Equação
Segmentaria da Reta é dada por:
x y
 1
p q
Posição Relativa entre Duas Retas
Sendo r:
y  mx  q e s: y  ax  b duas retas distintas na forma reduzida, teremos:
- Se r e s são paralelas, então
m  a , ou seja, seus coeficientes angulares são iguais.
Exemplo 2
As retas y  3x  5 e y  3x 
angular.
- Se r e s são
diferentes.
concorrentes,
2 são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente
então
m  a , ou seja, seus coeficientes angulares são
Exemplo 3
As retas y  5 x  3 e y   x  1 são concorrentes, pois seus coeficientes angulares são
diferentes.
- Se r e s são perpendiculares entre si, então
coeficientes angulares é igual a -1.
Exemplo 4
As retas
y
m.a  1 , ou seja, o produto de seus
x3
e y  2 x  7 são perpendiculares, pois, se multiplicarmos os
2
coeficientes angulares destas retas, teremos o valor -1 como resultado.
Baricentro de um Triângulo
Seja um triângulo com coordenadas
Sendo
xG 
A  ( xA , y A ) , B  ( xB , yB ) e C  ( xC , yC ) .
G  ( xG , yG ) o Baricentro deste triângulo, demonstra-se que:
xA  xB  xC
y  yB  yC
e yG  A
3
3
Exercícios
1. Calcule, se existir, o coeficiente angular da reta que passa por A e B. Determine a equação
da reta que passa por estes pontos.
2. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (1, 7) e B (3, -1).
3. (PUC) A reta r, de equação y  3x  2 , corta os eixos nos pontos A e B. A medida do
segmento AB é igual a:
a)
4 2
3
b)
2 5
3
c)
2 10
3
d)
40
9
e)
32
9
4. (FGV) As retas r: x  2 y  5 e s: 4 x  ky  5 são paralelas se:
a) k = 8 b) k = 7 c) k = 6 d) k = 5 e) k = 4
5. (FUVEST) Dados os pontos A = (2, 3) e B = (8, 5):
a) achar a equação da reta AB.
b) achar a equaço da mediatriz do segmento AB
6. (FEI) A reta da equação x  y  a  0 intercepta o segmento AB em seu ponto médio. Se
A = (0, 2) e B = (-3, 1), o valor de a é:
a) 0 b) -3 c) -3/2 d) 3/2 e) 3
7 (UFSCar). Duas retas são perpendiculares entre si se o produto dos seus coeficientes
angulares for igual a –1. Logo, é perpendicular à reta x + 2y + 3 = 0 a reta:
a) –x –2y + 3 = 0 .
y
b) x   0 .
2
c) 2x + y + 3 = 0 .
x y
d)   1  0 .
3 2
e) 2x + y = 0
8. (Santa Casa) Para que as retas y  x  1 e y 
o valor:
a) 2 b) 1
c) -2
d) -1
9. (ITA) Dadas as retas
a 1
x sejam perpendiculares, a deve ter
a2
e) ½
r1 : x  2 y  5  0 , r2 : x  y  2  0 e r3 : x  2 y  1  0 , podemos
afirmar que:
a) são 2 a 2 paralelas
b) r1 e r3 são paralelas
r1 é perpendicular a r3
d) r2 é perpendicular a r3
c)
e) as três retas são concorrentes num mesmo ponto.
10. (FUVEST) São dados os pontos A = (1, 1) e B = (9, 3). A mediatriz do segmento AB
encontra o eixo dos y no ponto de ordenada igual a:
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
11. (FUVEST) As retas de equações:
4x  3 y  a  0
5x  y  9  0
3x  2 y  4  0
se interceptam em um ponto. Determine a e o ponto de intersecção das retas.
12. (FEI) Os pontos (a, 1) e (2, b) estão sobre a reta x  2 y  0 . A distância entre eles é:
a)
2 5
b)
6
c)
10
d) 2
e) n.r.a.
13. (UFSCar) A área de um triângulo ABC é 3. Sendo A = (3, 1) e B = (1, -3) determinar o
vértice C, sabendo que o baricentro do ABC está no eixo das abcissas.
14. (UNICAMP) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0.
a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo ABC?
15. (FUVEST) A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r: y = 5x – 13, e um
de seus catetos está contido em s: y = x – 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto
da forma (k, 5) sobre a reta s, determine:
a) todos os vértices do triângulo;
b) a área do triângulo.
Gabarito
x7
4
2 x  17
b) m = 2/3 e y 
3
c) m = -1 e y   x  1
d) m = 0 e y  5
1) a) m = ¼ e y 
e) Não existe coeficiente angular e x  11
f) Não existe coeficiente angular e x  0
2) 4x + y – 11 = 0.
3) c
4) a
5) a) x  3 y  7  0
b) 3x  y  19  0
6) e
7) b
8) e
9) e
10) c
11) a = 5 e o ponto de intersecção é (-2, -1)
12) a
13) C = (5, 2) ou C = (2, 2)
14) a) (3, 1), (-3, 1) e (5, 5)
b) 12
15) a) (6, 5), (3, 2) e (4, 7)
b) 6
Paulo Ameko