Plan du cours Table des mati`eres 1 Analyse linéaire

Plan du cours
Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction-Définitions
Notions générales sur la stabilité
Système dynamique unidimensionnel
Système dynamique bidimensionnel
Système à plus de deux dimensions – Chaos
Plan du chapitre
Table des matières
1 Analyse linéaire
1.1 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Classification des points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Dynamique qualitative
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dynamique asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3 Effets des termes non linéaires
3.1 Bifurcation de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bifurcations globales de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
4 Systèmes conservatifs
4.1 Systèmes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Pendule amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
7
5 Oscillations nonlinéaires
5.1 Existence/non existence d’orbite fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Oscillateurs non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Oscillateurs faiblement non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
10
1
Analyse linéaire
1.1
Valeurs propres et vecteurs propres
Stabilité linéaire
Linéarisons le système bidimensionnel :
ẋ1
f1 (x1 , x2 )
=
ẋ2
f2 (x1 , x2 )
autour d’un point fixe xe :
η˙1
η˙2
 ∂f1
∂x1
=  ∂f xe
2
∂x1
xe
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2

xe 
η1
η2
xe
La stabilité linéaire est donnée par l’étude de la matrice jacobienne
notera L l’opérateur linéaire et L la matrice jacobienne.
∂fi
∂xi
. Dans la suite on
i,j
1.2
Classification des points fixes
Valeurs propres
– La stabilité du point fixe dépend des valeurs propres de L.
– Elles sont solutions de det (L − λI) = 0
– Comme L est un opérateur réel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjuguées et
leurs modes propres associés complexes conjugués.
– La somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice jacobienne et le produit à
son déterminant.
Classification
Illustration
2
2
2.1
Dynamique qualitative
Définitions
Portrait de phase
– Unicité d’une trajectoire.
– Les trajectoires ne se coupent jamais.
– Tracer les “nullclines” aident a décrire la dynamique
– Tracer les variétés stables, trajectoire atteignant un point stable à t = 0 décrite pourt → −∞
et les variétés instables, trajectoire rejoignant un point stable à t = 0 décrite pourt → ∞ et
les
Ensembles limite et attracteurs
On s’intéresse au régime permanent atteint après extinction du régime transitoire.
– Un point est dit non errant si les trajectoires initialisée dans son voisinage y reviennent.
L’ensemble des points non errants pris en t → ±∞ forme un ensemble limite.
– On définit l’ entrant (le sortant) d’un ensemble limite comme étant l’ensemble des points
qui s’accumulent sur lui pour t → ∞ (t → −∞).
– Si un ensemble limite contient son sortant alors c’est un attracteur.
– Son entrant, si non vide, est alors le bassin d’attraction.
2.2
Dynamique asymptotique
Dynamique asymptotique
3
En deux dimensions, les ensembles non-errants
qui décrivent la dynamique asymptotique sont
limités :
– les points fixes
– les cycles limites
– les connexions-cols (boucles homoclines ou
hétéroclines)
3
Effets des termes non linéaires
Bifurcations
– Il y a bifurcation si la partie réelle d’une valeur
propre traverse l’axe des ordonnées, i.e. devient
positive.
– En dimension deux, les valeurs propres sont
soit toutes les deux réelles, soit complexes
conjuguées.
– Le cas des valeurs propres réelles distinctes se ramène au cas à une dimension car une des
deux valeurs réelles restera négative.
– Dans le cas des valeurs propres réelles complexes conjuguées qui traversent simultanément
l’axe des ordonnées, on a une bifurcation de Hopf.
3.1
Bifurcation de Hopf
Bifurcation de Hopf supercritique
La forme normale est :
ẋ1 = σx1 + ωx2 − (g10 x1 + g100 x2 ) x21 + x22 + . . . ,
ẋ2 = −ωx1 + σx2 − (−g100 x1 + g10 x2 ) x21 + x22 + . . . ,
que l’on peut mettre sous forme complexe :
z = x1 + i x2 ,
g1 = g10 + i g100 ,
ż = (σ − iω) z − g1 |z|2 z.
En notant z(t) = ρ(t) ei φ(t) , il vient :
ρ̇ = σ ρ − g 0 ρ3 ,
φ̇ = −ω − g 00 ρ2 .
Si g 0 > 0, c’est une bifurcation de Hopf supercritique.
4
Cycle limite
– La bifurcation de Hopf supercritique déstabilise un point fixe en un cycle limite.
– L’amplitude des oscillations varie comme la racine carrée de l’écart au seuil µ1/2 ∝ (r−rc )1/2 .
– La période des oscillations à la bifurcation est celle donnée par la partie imaginaire de la
valeur propre au seuil + termes ∝ µ.
Bifurcation de Hopf sous-critique
ρ̇ = σ ρ − g 0 ρ3 ,
φ̇ = −ω − g 00 ρ2 .
Si g 0 < 0, il manque des termes nonlinéaires d’ordre plus élevé nécessaires à la saturation de
l’instabilité.
ρ̇ = σ ρ − g 0 ρ3 − g5 ρ5 ,
φ̇ = −ω − g 00 ρ2 .
La bifurcation est souscritique. On passe d’un point fixe + cycle limite instable + cycle limite
stable à un seul cycle limite stable.
3.2
Bifurcations globales de cycles
Bifurcation noeud-col d’un cycle
ρ̇ = rρ + ρ3 − ρ5 ,
r < rc
r = rc
φ̇ = ω + bρ2 .
0 > r > rc
– Pour r < rc = −1/4, un point fixe stable.
– Pour r = rc , Un point fixe stable + un cycle limite semi-stable.
– Pour r > rc = −1/4, un point fixe stable et coexistence de 2 cycles limites stable et instable.
5
Bifurcation de période infinie
Considérons le système suivant :
ρ̇ = ρ(1 − ρ2 ),
r>1
φ̇ = r − sin φ.
r<1
– Pour r > 1, présence d’un cycle limite stable.
– Pour r = 1, La période du cycle limite devient infinie T ∝ (r − rc )−1/2 avec la présence d’un
point semi-stable.
– Apparition d’un couple de points fixes stable/instable.
Bifurcation homocline
Peut être en TP.
Stabilité structurelle
Théorème de Peixoto :
– Seuls sont structurellement stables (robustes) les points fixes et cycles limites non marginaux.
– Les boucles homoclines, hétéroclines sont structurellement instables
4
Systèmes conservatifs
4.1
Systèmes hamiltoniens
Systèmes mécaniques
– Généralement les systèmes mécaniques conservatifs peuvent se mettre sous une forme hamiltonienne. À deux dimensions on a alors :
!
− ∂H
d
p
∂q ,
,
=
∂H
q
dt
∂p
où H = H(p, q) est le hamiltonien du système.
– Le hamiltonien est un invariant du système. En physique, le hamiltonien est souvent l’énergie
du système.
Advection
– Pour un écoulement incompressible bidimensionnel :
divu = ∇ · u = 0 =⇒ u = −∂y ψ,
v = ∂x ψ,
où ψ est la fonction courant de l’écoulement bidimensionnel.
– Autre exemple : la position d’un point matériel advecté par l’écoulement est régit par :
ẋ = u = −∂y ψ,
6
ẏ = v = ∂x ψ.
4.2
Pendule
Équation du mouvement
– On considère un pendule de masse m, de longueur l dans le champ de gravité g.
Le théorème du moment cinétique nous conduit à :
θ̈ +
g
sin θ = 0
l
– Pour des faibles amplitudes (approximation linéaire), le système se réduit à :
g
θ̈ + θ = 0
l
p
dont les solutions sont des fonctions harmoniques de période ω = g/l.
– Dans la suite, on adimensionne le temps par 1/ω et on se contentera d’étudier : θ̈+ gl sin θ = 0.
Formulation hamiltonienne
– Réécrivons θ̈ + gl sin θ = 0 sous la forme :
d
θ
ν,
=
,
ν
− sin θ
dt
2
Le système est donc hamiltonien pour H = ν2
un invariant.
– Les points fixes sont (θ, ν) = (kπ, 0).
– Pour le point fixe (0, 0) la matrice jacobienne
0
−1
− cos θ. E = H est l’énergie du système, c’est
vaut :
1
,
0
Oscillations
– Dans la limite des petites oscillations au voisinage de (0, 0),
E=
1 2 1 2
ν + θ −1
2
2
. On a des oscillations au voisinage du minimum d’énergie. Leur rayon dans l’espace des
phase vaut ν 2 + θ2 = 2(E + 1).
– C’est un cas particulier d’un théorème plus général qui dit qu’autour d’un point fixe isolé
correspondant à un minimum local d’une quantité conservée, toutes les trajectoires sont
fermées.
– Le fait de parler d’un voisinage n’implique pas que l’on soit dans une dynamique linéaire ! !
Stabilité structurelle
– Lorsque l’on perturbe de façon conservative un système dynamique conservatif, ses centres
sont structurellement stables.
– Le fait de rester conservatif est fondamental car sinon ce serait le théorème plus général
de Peixoto qui s’appliquerait et les centres ne seraient pas robustes (exemple du pendule
amorti).
4.3
Pendule amorti
voir reproductions
7
5
Oscillations nonlinéaires
5.1
Existence/non existence d’orbite fermée
Critère de non existence
– Système gradient :
ẋ = −∇V.
Le long d’une orbite fermée, la variation de V vaut :
I
Z
T
Z
t0
C
T
∇V · ẋdt = −
∇V · dl = 0 =
∆V =
|ẋ|2 dt,
t0
donc l’orbite fermée se réduit à un point fixe.
– Existence d’une fonctionnelle de Lyapunov : s’il existe une fonction définie positive qui décroı̂t
au cours du temps, alors le point où la fonction s’annule est un point fixe stable et il n’existe
pas d’orbite périodique.
– En pratique ces critères sont peu exploitables.
Existence d’orbite fermée : Théorème de Poincaré-Bendixon
Supposons que
1. R est un domaine fermé borné du plan,
2. ẋ = f (x) est un champ de vecteur continûment différentiable dans un ouvert contenant R,
3. R ne contient aucun point fixe,
4. et il existe un trajectoire C confinée dans R (qui se trouve dans R à l’instant initial et y
reste jusqu’à t → +∞,
alors C est une orbite fermée, ou C va converger vers une orbite fermée (ne se réduisant pas à
un point fixe).
Le théorème de Poincaré-Bendixon ne concerne que la dynamique dans le plan. C’est un résultat
théorique très important car il exclue tout phénomène chaotique dans le plan.
5.2
Oscillateurs non linéaires
Systèmes de Liénard
L’équation différentielle du second ordre :
ẍ + f (x)ẋ + g(x) = 0
est l’équation de Liénard où
– −g(x) joue le rôle d’une force nonlinéaire de rappel.
– −f (x)ẋ est une force d’amortissement nonlinéaire.
Théorème de Liénard
Supposons que les fonctions f et g vérifient :
– f (x) et g(x) sont continûment différentiables pour tout x ;
– g(−x) = −g(x), g est un fonction impaire ;
– g(x) > 0 pour tout x > 0 ;
– f (−x) = f (x), f est un fonction
R x paire ;
– La fonction impaire F (x) = 0 f (u)du
– exactement une seule racine positive x = a,
– est négative pour 0 < x < a,
– est positive and non décroissante pour x > a et
– F (x) → ∞ quand x → ∞
alors le système à un unique cycle limite autour de l’origine dans l’espace des phases.
8
Oscillations de relaxation
– Considérons l’oscillateur de van der Pol :
ẍ + µ(x2 − 1)ẋ + x = 0.
– Pour µ > 0, on a un système de Liénard : on a donc des oscillations autour de l’origine (point
fixe instable).
– Dans le cas µ → ∞ on a des oscillations de relaxation, successions de mouvements lents puis
très rapides.
Variation de µ
Solutions de l’équation de van der Pol pour µ =
0.1, µ = 1, µ = 10.
Analyse de vdP
On peut écrire :
3
d
x
ẍ + µ(x − 1)ẋ =
ẋ + µ
−x .
dt
3
2
Pour :
F (x) =
x3
− x,
3
w = ẋ + µF (x),
il vient :
ẇ = ẍ + µ(x2 − 1)ẋ = −x.
L’oscillateur de van der Pol peut donc se réécrire :
ẋ = w − µF (x),
ẇ = −x.
Prenons la limite µ− > ∞ :
ẋ = w − µF (x),
ẇ = −x.
9
Afin de garder des variables d’ordre 1 quand µ → ∞, posons w = µy.
ẋ = µ [y − F (x)] ,
1
ẏ = − x.
µ
– Au premier ordre en µ, La dynamique de x est rapide et consiste en une relaxation vers
F −1 (y) tel que y = F (x), donc x(t) est asservi à y(t).
– La dynamique de y(t) est lente.
2
y=F(x)
1.5
rapide
1
0.5
0
lent
lent
−0.5
−1
rapide
−1.5
−2
−3
−2
−1
0
1
2
3
Échelles de temps
Dans ce problème on a donc deux échelles de temps :
– Échelle de temps rapide : dynamique de x(t) sur l’échelle de temps O(µ−1 ) 1.
– Échelle de temps lente : dynamique de y(t) sur l’échelle de temps O(µ) 1 .
5.3
Oscillateurs faiblement non linéaires
Définition et exemples
– On définit les oscillateurs faiblement nonlinéaires les systèmes décrit par des équations de la
forme :
ẍ + x + h(x, ẋ) = 0,
où h(x, ẋ) est un fonction suffisamment différentiable et 1 un petit paramètre.
– Les équations différent de celle de l’oscillateur harmonique par un terme négligeable au
premier ordre.
– Exemples d’oscillateurs faiblement nonlinéaires :
ẍ + x + (x2 − 1)ẋ = 0,
3
ẍ + x + x = 0,
oscillateur de van der Pol,
oscillateur de Duffing,
Développements perturbatifs
– Considérons l’oscillateur faiblement nonlinéaire suivant :
ẍ + 2ẋ + x = 0,
x(0) = 0,
ẋ(0) = 1,
dont on peut calculer la solution exacte :
√
e−t sin 1 − 2 t
√
x(t; ) =
.
1 − 2
10
– On va chercher un solution sous la forme d’un développement en perturbations :
x = x0 (t) + x1 (t) + 2 x2 (t) + 3 x3 (t) + . . .
Résolution ordre par ordre
– Ordre zéro :
x¨0 + x0 = 0,
x0 (0) = 0,
x˙0 (0) = 1,
se résout : x0 (t) = sin t
– Ordre 1 :
x¨1 + x1 + 2ẋ0 = 0,
x¨1 + x1 = −2 cos t,
x1 (0) = 0,
x1 (0) = 0,
x˙1 (0) = 0,
x˙1 (0) = 0,
se résout en sommant une solution de l’équation homogène avec une solution particulière
(variation de la constante) :
xh1 (t) = s1 sin t + c1 cos t,
p
x1 (t) = S1 (t) sin t + C1 (t) cos t,
Finalement : x1 = −t sin t car le forçage est résonnant.
Terme séculaire
– La solution à l’ordre 1 vaut donc :
x(t; ) = sin t − t sin t + O(2 ).
– On retrouve bien le développement à l’ordre 1 de la solution exacte :
√
e−t sin 1 − 2 t
√
x(t; ) =
.
1 − 2
– Du fait du forçage résonnant, la solution comporte un terme séculaire qui croı̂t indéfiniment.
– La solution trouvée est le début d’un développement en série convergent de la solution exacte.
Pour t donné, il faut que soit assez petit pour que l’approximation soit bonne.
3
solution exacte
2
1
x(t) 0
−1
solution ”perturbative”
−2
= .1
−3
0
10
20
30
40
50
t
La solution est erronée dès que t O(1). Il nous faudrait une série infinie pour corriger cette
dérive.
La véritable solution évolue en fait sur deux échelles de temps :
– une échelle de temps rapide : t = O(1),
– une échelle de temps lente : t = O(1/).
11
Développements en échelles (de temps) multiples
Comment trouver une solution qui :
– Donne pour un 1 fixé une solution valable pour tout t,
– ne nécessite pas de calculer beaucoup (un infinité) de termes.
En s’aidant de l’observation révélant la présence de deux échelles de temps, on introduit une
dépendance explicite selon deux temps t = t0 (temps rapide) et t = −1 t1 (temps lent) :
x(t; ) = x0 (t0 , t1 ) + x1 (t0 , t1 ) + O(2 )
Par conséquent la dérivation en temps s’écrit :
ẋ =
dx
∂x ∂t0
∂x ∂t1
∂x
∂x
=
+
=
+
dt
∂t0 ∂t
∂t1 ∂t
∂t0
∂t1
Application au cas de l’oscillateur amorti
– À l’ordre zéro O(0 ) :
∂t0 t0 x0 + x0 = 0,
qui se résout en :
x0 = A(t1 )eit0 + c.c. ,
où A(t1 ) est l’amplitude complexe de l’oscillation, “constante” sur le temps rapide t0 , mais
dépend du temps lent t1 .
– À l’ordre 1, O(1 ) :
∂t0 t0 x1 + x1 = − (2∂t0 t1 x0 + 2∂t0 x0 ) .
Élimination des résonances
– Explicitons l’équation à résoudre sous forme d’un oscillateur forcé par le second membre :
∂t0 t0 x1 + x1 = − (2∂t0 t1 x0 + 2∂t0 x0 ) = − (2i∂t1 A + 2iA) eit0 + c.c. ,
– Les termes proportionnels eit0 et e−it0 peuvent être vu comme des forçages résonnants qui
vont donc induire une réponse x1 résonnante qui va diverger en temps t0 .
– Afin de pouvoir garder un développement cohérent, il est nécessaire que x1 reste borné.
– On posera donc comme condition de solvabilité, l’élimination des résonances qui se traduit
par l’équation d’amplitude :
2i∂t1 A + 2iA = 0,
qui se résout en : A(t1 ) = a e−t1 où a est une constante.
Satisfaction des conditions initiales
Les conditions initiales doivent être satisfaites à tous les ordres.
– La condition x(0) = 0 se traduit par :
x0 (0) = 0,
x1 (0) = 0,
soit a + c.c. = 0.
– La condition ẋ = 1 se traduit par :
∂t0 x0 = 1,
∂t1 x0 + ∂t0 x1 = 0,
soit : ia + c.c. = 1.
– Il vient a = −i/2 d’où :
x0 = −
ieit0 −t1
+ c.c. = e−t1 sin t0
2
12
La solution approchée asymptotique (en opposition à convergente) vaut donc :
x(t; ) = e−t1 sin t0 + O() = e−t sin t + O().
1.5
exact
asympt.
1
0.5
0
−0.5
= .1
−1
−1.5
0
10
20
30
40
50
Oscillateur de Duffing
L’oscillateur de Duffing
ẍ + x + x3 = 0,
est un oscillateur nonlinéaire conservatif.
En effet, il conserve l’énergie :
x2
x4
ẋ2
+
+ .
2
2
4
On applique la méthode des développements asymptotiques multi-échelles en temps en cherchant une solution de la forme
E=
x(t; ) = x0 (t0 , t1 ) + x1 (t0 , t1 ) + O(2 )
– À l’ordre zéro O(0 ) :
∂t0 t0 x0 + x0 = 0,
qui se résout en : x0 = A(t1 )eit0 + c.c. , où A(t1 ) est l’amplitude complexe de l’oscillation,
“constante” sur le temps rapide t0 , mais dépend du temps lent t1 .
– À l’ordre 1, O(1 ) :
∂t0 t0 x1 + x1 = − 2∂t0 t1 x0 + x30
h
3 i
= − 2i∂t1 Aeit0 + c.c. + Aeit0 + c.c.
= − 2i∂t1 Aeit0 + c.c. + A3 e3it0 + 3A2 e2it0 A∗ e−it0 + c.c.
= − 2i∂t1 Aeit0 + c.c. + A3 e3it0 + 3|A|2 Aeit0 + c.c.
Élimination des résonances nonlinéaires (Duffing)
– La condition de solvabilité se traduit par l’élimination des résonances conduisant à l’équation
d’amplitude :
3i
2i∂t1 A + 3|A|2 A = 0, soit ∂t1 A = |A|2 A.
2
iφ
– On résout l’équation d’amplitude A = Re en séparant module et phase :
(∂t1 R + iR∂t1 φ) eiφ =
3i 3 iφ
R e
2
– En séparant partie réelle et partie imaginaire, il vient :
∂t1 R = 0,
13
∂t1 φ =
3 2
R .
2
Fréquence dépendant de l’amplitude
Le système : ∂t1 R = 0,
∂t1 φ = 32 R2 . se résout facilement :R =
2
3 2
3a
2 R t1 + φ0 = 8 t1 + φ0 .
La solution générale au premier ordre est donc :
x0 (t0 , t1 ) = a cos(t0 +
a
2
= const.,
φ =
3a2
t1 + φ0 ),
8
et la solution approchée s’écrit donc :
x(t; ) = a cos(t + 3a2
t + φ0 ) + O().
8
On note que la fréquence croı̂t avec l’amplitude : l’oscillateur de Duffing peut être vu comme un
ressort dont la “raideur” k(x) = 1 + x2 augmente avec l’amplitude (contrairement au pendule).
14