Analyse des Syst`emes Non Linéaires Méthode du plan de phase

Analyse des Systèmes Non Linéaires
Méthode du plan de phase
Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse
Danièle FOURNIER
Vincent MAHOUT
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Introduction - Définitions générales
La méthode du plan de phase a été introduite par Henri Poincaré au XIXème
siècle. Il s’agit d’une méthode qualitative permettant l’étude des systèmes de dimension deux, c’est-à-dire pour lesquels l’état est dans le plan R2 et qui est plus particulièrement adaptée aux systèmes non linéaires. Cette méthode peut se généraliser
aux systèmes dont l’état est dans Rn , néanmoins la représentation graphique qui
peut être faite sera encore acceptable dans R3 , mais pas dans les dimensions supérieures.
On considère des systèmes dont l’équation d’état est donnée par :
Ẋ = F (X)
(1)
X = (x1 , x2 ) ∈ R2 et Ẋ = dX
dt
et F est une fonction des deux variables (x1 , x2 ), F est choisie suffisamment régulière,
au moins continue par morceaux sur son domaine de définition. Si F est de classe
C1 , le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l’existence et l’unicité des solutions
de (1) pour une condition initiale (CI) donnée.
1.1
Définitions
1. Si F est fonction de X seulement, F (X), le système est dit autonome .
2. Si F est fonction explicite du temps, F (t, X), le système est dit non autonome .
3. F est appelé un champ de vecteurs .
4. Le plan R2 est appelé plan de phase .
5. Tout point X de R2 tel que F (X) = 0 est appelé point fixe, point critique
ou encore point d’équilibre .
6. Les solutions de (1) représentées dans l’espace I × R2 sont appelées trajectoires .
7. Les solutions de (1) représentées dans le plan de phase sont appelées orbites
.
8. Le portrait de phase est l’ensemble des orbites dans le plan de phase .
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Systèmes linéaires
a b
F est de la forme
, où a, b, c et d sont des réels quelconques. Un système
c d
linéaire possède au plus un unique point d’équilibre qui est l’origine. La stabilité de
ce point est donnée par les valeurs propres de F .
Les différents types de points singuliers sont donnés par les figures (1), (2) et (3)
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Fig. 1 – Noeud stable (a) et instable(b)
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.15
-0.2
-0.2
-0.15
l1 = 1.4
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
-0.2
-0.2
0.2
-0.15
l2 = -1.4 V1 = [0.58 ,0.82 ]T V2=[-0.58 , 0.82]T
-0.1
-0.05
0
l1 = +i
(a)
0.05
0.1
0.15
0.2
l2 = -i
(b)
Fig. 2 – Col (a) et centre (b)
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Systèmes non linéaires - Théorème de linéarisation
F contient des termes non linéaires en x1 et x2 . On détermine les points fixes.
Soit X0 un tel point.
Théorème 1 X0 est stable si les valeurs propres de DF (X0) sont de partie réelle
négative. Si une des valeurs propres est de partie réelle positive, X0 est instable. Les
cas où certaines valeurs propres ont des parties réelles nulles sont des cas spécifiques
à considérer séparément.
Théorème 2 (Théorème de linéarisation de Hartmann) Soit DF (X0) la matrice jacobienne de F au point X0, si les valeurs propres de DF (X0) sont de partie
réelle non nulles (cas hyperbolique), alors les orbites du système (1) sont localement
équivalentes aux orbites du système linéarisé associé défini par :
Ẋ = DF (X0 ).X
3
(2)
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.15
-0.2
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
l1 = -1 + 2i
0.05
0.1
0.15
0.2
l2 = -1 - 2i
(a)
-0.2
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
l1 = 0.5 + 0.5i
0.05
0.1
0.15
0.2
l2 = 0.5 - 0.5i
(b)
Fig. 3 – Foyer stable (a) et Foyer instable (b)
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Cycles limites - Théorème de Poincaré-Bendixson
Définition 1 On appelle cycle limite de (1)une courbe solution fermée isolée dans
le plan de phase. Une telle solution correspond à une solution périodique de (1).
Soit N le nombre de nœuds, centres ou foyers situés à l’intérieur du cycle limite.
Soit S le nombre de cols situés à l’intérieur du cycle limite
Théorème 3 Si un cycle limite existe pour (1) , alors N = S + 1
Théorème 4 (Théorème de Poincaré-Bendixson) Si une orbite de (1) pénètre
dans une région bornée du plan de phase et n’en ressort plus, alors :
1. soit l’orbite converge vers un point d’équilibre
2. soit l’orbite converge vers un cycle limite stable
3. soit l’orbite est elle-même un cycle limite stable.
Théorème 5 (Théorème de Bendixson) Soit le système (1) avec F (X) = (f (x1 , x2 ), g(x1 , x2 )).
∂f
∂g
+ ∂x
6= 0 et ne change pas de signe dans un domaine D du plan de phase ,
Si ∂x
1
2
alors il n’existe pas de cycle limite dans D.
5
Chaos
Une solution quasi-périodique est une solution qui peut s’écrire comme somme
finie ou infinie de solutions périodiques. On appelle solution chaotique de (1) une solution localisée dans un domaine de l’espace d’état et pour laquelle aucune périodicité
ou quasi-périodicité ne peut être mise en évidence. Une solution chaotique a généralement
l’allure géométrique d’une fractale (cf. figures).
4
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Bifurcations
Soit le système :
Ẋ = F (X, Λ)
X = (x1 , x2 ) ∈ R2 et Λ ∈ Rp
(3)
Λ est un vecteur paramètre. Une bifurcation est un changement qualitatif du
comportement des trajectoires du système lorsque les paramètres varient. La valeur
des paramètres pour lesquelles a lieu ce changement est appelée valeur de bifurcation . Les bifurcations classiques (elles correspondent à l’annulation d’une valeur
propre ou de la partie réelle d’une valeur propre) sont
1. la bifurcation nœud-col.
2. la bifurcation fourche.
3. la bifurcation de Hopf.
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Intégrales premières - Systèmes conservatifs
Définition 2 On appelle intégrale première du système (1) une fonction H(X, t)
qui est constante sur les trajectoires.
La fonction H vérifie la propriété suivantes :
∂H
∂H
dH
=
x˙1 +
x˙2
dt
∂x1
∂x2
5
(4)
Fig. 4 – Exemple de plan de phase
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