Limites de fonctions, cours, première S Table des - MathsFG

Limites de fonctions, cours, première S
F.Gaudon
10 juin 2009
Table des matières
1 Limites nies à l'inni
2
2 Limites innies à l'inni
3
3 Limites en un réel
3
4 Addition et multiplication de limites
5
4.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Cas des limites à l'inni des fonctions polynômes ou rationnelles . . . . . . . . . . . . . .
1
5
5
5
Limites de fonctions, cours, classe de première S
1 Limites nies à l'inni
Soit f une fonction dénie sur un intervalle [a; +∞[ où a ∈ R.
Dénition :
Soit l un réel. f admet pour limite l en +∞ (resp. −∞) si pour tout
intervalle contenant l, il existe un réel x0 tel que pour tous les réels x supérieurs à x0 (resp. pour tous les réels x inférieurs à x0 ) , f (x) appartient à
cet intervalle. On note alors limx→+∞ f (x) = l (resp. limx→−∞ f (x) = l).
On dit aussi que f (x) tend vers l quand x tend vers +∞ (resp. tend vers
−∞).
Propriété :
1
=0
x→+∞ x
1
lim
=0
x→−∞ x
1
lim 2 = 0
x→+∞ x
1
lim 2 = 0
x→−∞ x
Pour tout entier naturel non nul k ,
lim
1
=0
x→+∞ x − k
lim
et
1
=0
x→−∞ x − k
lim
Dénition :
Soit l ∈ R et soit C la courbe représentative d'une fonction f dans un
repère.
On dit que la droite d'équation y = l est asymptote horizontale à la courbe
C en +∞ (resp. −∞) si limx→+∞ f (x) = l (resp. limx→−∞ f (x) = l.
Exemples :
limx→+∞ x1 = 0 et limx→−∞
et en −∞.
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1
x
= 0 donc la droite d'équation y = 0 est asymptote à l'hyperbole en +∞
2
Limites de fonctions, cours, classe de première S
2 Limites innies à l'inni
Dénition :
f admet pour limite +∞ en +∞ (resp. en −∞ en +∞) si pour tout
intervalle ]M ; +∞[ (resp. ] − ∞; M ]) où M est un réel, il existe un réel
x0 tel que pour tous les réels x supérieurs à x0 , f (x) ∈]M ; +∞[ (resp.
f (x) ∈] − ∞; M ]).
On note alors limx→+∞ f (x) = +∞ (resp. limx→+∞ f (x) = −∞).
On dit aussi que f (x) tend vers +∞ (resp. tend vers −∞) quand x tend
vers +∞ .
Remarque :
On dénit de même les limites en −∞.
Propriétés :
Pour tout entier naturel k non nul,
lim xk = +∞
x→+∞
lim x = −∞
x→−∞
lim x2 = +∞
x→−∞
lim x3 = −∞
√
lim
x = +∞
x→−∞
x→+∞
Dénition :
Soient a et b deux réels avec a 6= 0. C est la courbe représentant une
fonction f dans un repère.
La droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe C en
+∞ (resp. −∞) si
lim (f (x) − (ax + b)) = 0
x→+∞
(resp. lim (f (x) − (ax + b)) = 0)
x→−∞
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3
Limites de fonctions, cours, classe de première S
3 Limites en un réel
On conidère dans ce paragraphe une fonction f dénie sur un ensemble Df et a ∈ Df où a est
l'extrémité d'un intervalle de Df .
Dénition :
• f admet pour limite à droite l ∈ R (resp. +∞) en a si pour tout
intervalle ]u; v[ contenant l il existe un réel x0 > a tel que pour tout
x ∈]a; x0 [ on a f (x) ∈]u; v[ (resp. si pour tout intervalle ]u; +∞[, il
existe x0 tel que pour tout x ∈]a; x0 [ on a f (x) ∈]u; +∞[).
On note alors limx→ a f (x) = l (resp. limx→ a f (x) = +∞).
>
>
• f admet pour limite à gauche l ∈ R (resp. +∞) en a si pour tout
intervalle ]u; v[ contenant l, il existe un réel x0 < a tel que pour tout
x ∈]x0 ; a[ on a f (x) ∈]u; v[ (resp. si pour tout intervalle ]u; +∞[, il
existe x0 tel que pour tout x ∈]x0 ; a[ on a f (x) ∈]u; +∞[).
On note alors limx→ a f (x) = l (resp. limx→ a f (x) = +∞).
<
<
Exemple :
1
= +∞
x→ 0 x
>
1
lim = −∞
x→ 0 x
<
lim
Dénition :
Soit a un réel, C la courbe représentative d'une fonction f dans un repère.
On dit que la droite d'équation x = a est asymptote verticale à C si la
limite à droite ou la limite à gauche de f en a est +∞ ou −∞.
Propriété :
Soit f une fonction telle que f = hg où g et h sont deux autres fonctions.
Si g tend vers une limite non nulle et h tend vers 0 en un réel a, alors f
tend vers l'inni, le signe restant à déterminer.
Exemple :
lim x + 1 = 2
x→ 1
>
lim x − 1 = 0+
x→ 1
>
lim x + 1 = 2
x→ 1
<
lim x − 1 = 0−
x→ 1
<
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4
Limites de fonctions, cours, classe de première S
donc
x+1
= +∞
x→ 1 x − 1
>
x+1
lim
= −∞
x→ 1 x − 1
<
lim
D'où la droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe C .
4 Addition et multiplication de limites
4.1 Addition
limx→a f (x)
limx→a g(x)
limx→a (f + g)(x)
l∈R
l0 ∈ R
l + l0
l∈R
+∞
+∞
l∈R
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞
−∞
indéterminée
4.2 Multiplication
limx→a f (x)
limx→a g(x)
limx→a (f g)(x)
l∈R
l0 ∈ R
ll0
l ∈ R∗
∞
∞
+∞
−∞
−∞
−∞
−∞
+∞
0
∞
indéterminée
4.3 Cas des limites à l'inni des fonctions polynômes ou rationnelles
Propriété :
Soit f une fonction polynôme dénie par f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn
pour tout réel x avec an 6= 0 et n entier. Alors sa limite en l'inni (+∞
ou −∞) est celle de son monôme de plus haut degré an xn .
Preuve :
On le montre pour x tendant vers +∞, la démonstration restant la même pour x tendant vers −∞.
a1
a1
On écrit f (x) = xn ( xan0 + xn−1
+ . . . + an−1
+ an ). On constate que limx→+∞ xan0 = 0, limx→+∞ xn−1
= 0,
x
an−1
n
..., limx→+∞ x = 0. Comme an 6= 0 et que x tend vers +∞, la limite en +∞ est bien donnée par la
limite de an xn .
Propriété :
En +∞ et en −∞, la limite de la fonction rationnelle f dénie par
n
n−1 +...+a
n−1 x
0
avec an 6= 0 et bp 6= 0 est donnée par la limite
f (x) = abnpxxp+a
+bp−1 xp−1 +...+b0
an xn
de bp xp .
Preuve :
On écrit f (x) =
a
a
n−1
1
xn an + x +...+ xn−1 +a0
xp b + bp−1 +...+ b1 +b
p
0
x
x
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et on raisonne comme dans la démonstration précédente.
5