Exercices - Hachette Education

Exercices
GÉOMÉTRIE
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1. Configurations du plan
24 Construire un triangle équilatéral de côté 16 cm.
1) 1re étape : diviser le triangle en quatre triangles en traçant
les segments joignant les milieux des côtés. On noircit le
triangle central.
– 1re étape : on construit deux demi-cercles, intérieurs au
1
demi-cercle précédent, de diamètre --- AB .
2
– 2e étape : à l’intérieur de chacun des demi-cercles précé1
dents, on construit deux demi-cercles, de diamètre --- AB .
4
– On poursuit la construction selon le même procédé.
1) a) Reproduire la figure en vraie grandeur.
Puis réaliser la 3e étape.
Combien de demi-cercles a-t-on construit à la 3e étape ?
Quel est leur diamètre ?
1re étape
Quelle est la nature des quatre triangles ainsi construits ?
Justifier.
2) 2e étape : diviser chaque triangle non noirci en quatre
triangles équilatéraux selon le même procédé, et noircir le
triangle central comme précédemment : on noircit trois
nouveaux triangles.
2e étape
On recommence selon le même procédé.
Réaliser la 3e étape.
Combien de triangles a-t-on noirci à la 3e étape ?
3) Combien de triangles va-t-on noircir à la 4e étape ?
Vérifier en réalisant la 4e étape.
4) De façon plus générale, combien de triangles va-t-on
noircir à la n e étape ? Expliquer la démarche.
5) Combien d’étapes sont nécessaires pour noircir en tout
100 triangles ? Expliquer la démarche.
25 À partir d’un demi-cercle de diamètre [AB] (étape 0),
où AB = 16 cm, on réalise les constructions suivantes :
A
B
b) Combien de demi-cercles devra-t-on construire à la
4e étape ? Quel sera leur diamètre ?
Réaliser la 4e étape.
c) D’une façon plus générale, combien de demi-cercles
seront construit à l’étape n ? Quel sera leur diamètre ?
Expliquer.
2) Pour chaque étape n, on note p(n) la somme des longueurs des demi-cercles construits à l’étape n, en cm.
a) Vérifier que p(0) = 8π .
b) Calculer p(1) et p(2). Que constate-t-on ?
c) D’une façon plus générale pour l’étape n, calculer p(n).
3) Pour chaque étape n, on note A(n) l’aire délimitée par le
segment [AB] et les demi-cercles construits à l’étape n,
en cm².
a) Vérifier que A(0) = 32π .
b) Calculer A(1) et A(2).
c) D’une façon plus générale pour l’étape n, exprimer A(n)
en fonction de n.
4) Dire si les affirmations suivantes sont justes ou fausses
(on justifiera) :
a) l’aire est divisée par deux à chaque étape ;
π
b) l’aire est inférieure ou égale à --- cm² à partir de la
2
3e étape ;
π
c) l’aire est inférieure ou égale à ------------------ cm² à partir de
32
768
la 10e étape.
26 1) Construire un carré A B C D de côté 10 cm
0 0 0 0
(étape 0).
a) Étape 1 : réaliser la construction suivante :
Placer les points A1, B1, C1 et D1 respectivement sur
les côtés [A0B0], [B0C0], [C0D0] et [A0D0], de façon que
A0A1 = B0B1 = C0C1 = D0D1 = 2 cm.
Puis construire le quadrilatère A1B1C1D1.
b) Quelle est la nature du quadrilatère A1B1C1D1 ?
Justifier.
2) a) Étape 2 :
Placer les points A2, B2, C2 et D2 respectivement sur les
côtés [A1B1], [B1C1], [C1D1] et [A1D1], de façon que
A1A2 = B1B2 = C1C2 = D1D2 = 2 cm.
Puis construire le quadrilatère A2B2C2D2.
29
Exercices
On poursuit selon le même procédé pour obtenir le
quadrilatère AnBnCnDn à l’étape n.
b) Réaliser la construction à l’étape 3, puis à l’étape 4.
3) On admet qu’à chaque étape n, le quadrilatère AnBnCnDn
est un carré, dont l’aire sera notée A(n), en cm². Ainsi
A(0) = 100.
a) Calculer A(1) et A(2).
b) Les calculs commençant à être un peu fastidieux, on
souhaite élaborer une démarche permettant de calculer
l’aire A(n) à l’étape n.
Si à une étape le côté du carré vaut a, que vaut le côté du
carré construit à l’étape suivante ? En déduire une démarche permettant de calculer l’aire A(n) à l’étape n.
c) À l’aide d’une calculatrice, d’un tableur ou d’un logiciel,
donner une valeur approchée à 10 – 2 cm² près de l’aire
du quadrilatère AnBnCnDn pour n valant 3, 4, 5 puis 6.
4) Dire si les affirmations suivantes sont justes ou fausses
(on justifiera) :
a) l’aire du quadrilatère AnBnCnDn est inférieure à 8 cm²
dès que n ⱖ 5 ;
b) l’aire du quadrilatère AnBnCnDn est égale à 4 cm² dès
que n ⱖ 9 ;
c) l’aire du quadrilatère AnBnCnDn diminue de 32 % à
chaque étape.
27 Un paysagiste doit créer dans un jardin une spirale
plantée d’arbustes. Il veut connaître la longueur de cette spirale pour évaluer le nombre d’arbustes à planter. Voici le
schéma qu’il dresse :
3) Le paysagiste décide de ne tracer que les huit demicercles 0, 1, 2, … , 7.
On appelle L la longueur de la spirale obtenue avec ces
huit demi-cercles. Ainsi L = 0 + 1 + … + 7.
a) À l’aide d’une calculatrice, d’un tableur ou d’un logiciel,
calculer L = 0 + 1 + 2 + … + 7. Donner une valeur
approchée de L à 10 – 1 près.
b) Sachant que le paysagiste doit planter un arbuste tous
les cinquante centimètres à partir de A0, combien d’arbustes va-t-il planter ?
28 (Chercher, expérimenter)
On rappelle que l’aire d’un triangle équilatéral de côté a est :
a2 3
-------------- .
4
On reprend le procédé de construction de l’exercice 24 :
– construire un triangle équilatéral de côté 16 cm ;
– diviser ce triangle en quatre triangles équilatéraux en traçant les segments reliant les milieux des côtés, puis noircir le
triangle central ;
– diviser chaque triangle non noirci en quatre triangles équilatéraux selon le procédé précédent et noircir le triangle
central ;
– etc.
1
A0
A2
A4
3
A3
A1
2
1re étape
2e étape
On souhaite savoir combien d’étapes seront nécessaires
pour noircir 90 % du triangle initial.
On note A1 l’aire noircie à la 1re étape, A2 l’aire noircie rajoutée à la 2e étape, et de façon plus générale, An l’aire noircie
rajoutée à la n e étape.
L’aire de la surface noircie totale à l’étape n est donc :
0
Cette spirale est constituée de demi-cercles construits de la
manière suivante :
• le diamètre [A0A1] du demi-cercle 0 a pour milieu A2 ;
• le diamètre [A1A2] du demi-cercle 1 a pour milieu A3 ;
Ainsi de suite on construit les demi-cercles n (n est un entier
naturel).
L’unité de longueur est le mètre. On donne A0A1 = 100.
On note n la longueur du demi-cercle n.
1) Calculer 0, 1, 2 et 3.
2) D’une façon plus générale, quelle est la longueur n en
fonction de n ?
30
A1 + A2 + … + An.
1) Calculer la valeur exacte de A1.
2) Élaborer une démarche permettant de calculer la valeur de
l’aire noircie totale à la 2e étape, puis calculer cette valeur.
3) Élaborer une démarche permettant de calculer la valeur de
l’aire noircie totale à la 3e étape, puis calculer cette valeur.
4) D’une façon plus générale, élaborer une démarche permettant d’obtenir l’aire noircie totale à chaque étape.
5) À l’aide d’une calculatrice, d’un tableur ou d’un logiciel,
déterminer le nombre d’étapes nécessaires pour noircir
90 % du triangle initial.
Exercices
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2. Géométrie repérée
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29 QCM Donner toutes les bonnes réponses.
On se place dans un repère orthonormé.
Pour deux points donnés A et B, on souhaite automatiser le
calcul de la longueur AB.
Quel(s) est(sont) le(s) algorithme(s) correct(s) ?
a)
Variables :
xA, yA, xB, yB, c : réels ;
Début
Entrer(xA, yA, xB, yB) ;
c ← ( xB – xA ) 2 + ( yB – y A )2 ;
Afficher(c) ;
Fin.
b)
c)
Variables :
xA, yA, xB, yB, c, d : réels ;
Début
Entrer(xA, yA, xB, yB) ;
c ← ( xB – xA ) 2 + ( yB – y A )2 ;
d← c ;
Afficher(d) ;
Fin.
Variables :
xA, yA, xB, yB, c, d : réels ;
Début
Entrer(xA, yA, xB, yB) ;
c ← ( xA – xB ) 2 + ( yA – y B )2 ;
d← c ;
Afficher(d) ;
Fin.
30 Équilatéral ou non ?
On se place dans un repère orthonormé.
1) Soient trois points A, B et C.
On souhaite automatiser les calculs permettant de savoir
si le triangle ABC est équilatéral ou non, et si oui, d’afficher
son périmètre et son aire.
Élaborer une démarche.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, dire dans les cas suivants si le
triangle ABC est équilatéral ou non, et si oui, donner les
valeurs (éventuellement approchées) de son périmètre et
de son aire :
a) A(1 ; 2), B(– 2 ; 3) et C(4 ; 5).
b) A(– 2 ; 0), B(2 ; 0) et C( 0 ; 2 3 ).
c) A(– 2 ; 0), B(2 ; 0) et C(0 ; 3,46).
31 Parallélogramme ou non ?
On se place dans un repère.
1) Soient quatre points A, B, C et D.
On souhaite automatiser les calculs permettant de savoir
si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ou non.
Élaborer une démarche.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, dire si le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme dans les cas suivants :
a) A(1 ; 2) ; B(– 3 ; 1) ; C(– 1 ; – 1) et D(3 ; 0) ;
b) A(– 1 ; 4) ; B(2 ; 5) ; C(– 4 ; 5) et D(– 7 ; 4) ;
c) A(2 ; 2) ; B(1 ; 6) ; C(4 ; 7) et D(6 ; 3).
32 Carré on non ?
On se place dans un repère orthonormé.
1) Soient quatre points A, B, C et D.
On souhaite automatiser les calculs permettant de savoir
si le quadrilatère ABCD est un carré ou non, et si oui,
d’afficher son périmètre et son aire.
Élaborer une démarche.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, dire dans les cas suivants si le
quadrilatère ABCD est un carré ou non, et si oui, donner les
valeurs (éventuellement approchées) de son périmètre et
de son aire :
a) A(2 ; 3) ; B(1 ; – 1) ; C(5 ; – 2) et D(6 ; 2) ;
b) A(1 ; – 3) ; B(4 ; 2) ; C(– 1 ; 5) et D(– 4 ; 0) ;
c) A(3 ; 5) ; B(0 ; 6) ; C(1 ; 3) et D(4 ; 2).
33 Nature particulière d’un quadrilatère
On se place dans un repère orthonormé.
1) Soient quatre points A, B, C et D.
On souhaite automatiser les calculs permettant d’étudier
la nature du quadrilatère ABCD.
Élaborer une démarche permettant de savoir si le quadrilatère ABCD est un losange, un rectangle, un carré, ou non.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, donner la nature du quadrilatère
ABCD dans chacun des cas suivants (on fera un dessin
pour vérifier les résultats) :
a) A(2 ; 2) ; B(1 ; 6) ; C(5 ; 7) et D(6 ; 3) ;
b) A(– 5 ; 3) ; B(1 ; 6) ; C(3 ; 2) et D(– 3 ; – 1) ;
c) A(– 4 ; 5) ; B(3 ; 9) ; C(4 ; 1) et D(– 3 ; – 3).
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3. Droites
■
34 QCM Donner toutes les bonnes réponses.
On se place dans un repère.
2x + 1
Soit la droite d’équation : y = ---------------- .
3
On souhaite automatiser les calculs permettant de savoir si
un point donné par ses coordonnées appartient ou non à .
31
Exercices
Quel(s) est(sont) le(s) algorithme(s) correct(s) ?
a)
Variables :
xA, yA, y : réels ;
Début
Entrer(xA, yA) ;
y ← 2 × xA + 1 ⁄ 3 ;
Si yA = y alors Afficher(« A appartient à ») ;
sinon Afficher(« A n’appartient pas à ») ;
FinSi ;
Fin.
b)
c)
Variables :
xA, yA, y : réels ;
Début
Entrer(xA, yA) ;
y ← ( 2 × xA + 1 ) ⁄ 3 ;
Si yA = y alors Afficher(« A appartient à ») ;
sinon Afficher(« A n’appartient pas à ») ;
FinSi ;
Fin.
Variables :
xA, yA, y : réels ;
Début
Entrer(xA, yA) ;
y ← ( 2 × xA + 1 ) ⁄ 3 ;
Si y – yA = 0 alors Afficher(« A appartient à ») ;
sinon Afficher(« A n’appartient pas à
») ;
FinSi ;
Fin.
35 Équation de droites
On se place dans un repère.
1) Soient deux points A et B.
On souhaite automatiser les calculs permettant d’obtenir
l’équation réduite de la droite (AB).
Élaborer une démarche.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, donner l’équation réduite de la
droite (AB) dans chacun des cas suivants :
a) A(3 ; – 1) et B(1 ; 5) ;
b) A(5 ; 4) et B(– 2 ; – 1).
36 Positions relatives de deux droites
On se place dans un repère.
On souhaite automatiser les calculs permettant d’étudier les
positions de deux droites, et de préciser les coordonnées du
point d’intersection dans le cas où celles-ci sont sécantes.
1) Soient deux droites et Δ d’équations respectives :
y = ax + b et y = cx + d
où a, b, c et d sont réels.
32
a) Quelles sont les positions relatives des droites et Δ
selon les valeurs des réels a, b, c et d ?
b) Dans le cas où les droites et Δ sont sécantes en un
point unique, déterminer les coordonnées de ce point
d’intersection en fonction des réels a, b, c et d.
2) En déduire une démarche permettant d’étudier la position
relative des droites et Δ en fonction des coefficients a,
b, c et d définis à la question 1).
3) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
4) À l’aide du programme, étudier les cas suivants :
a) : y = 0,5 x – 1 et Δ : y = 3x – 1 ;
b) : y = 2x + 1 et Δ : y = – x + 4 .
37 Alignement de points
On se place dans un repère.
1) Soient trois points A, B et C.
On souhaite automatiser les calculs permettant d’affirmer
que les points A, B et C sont alignés ou non.
Élaborer une démarche.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, dire, dans chacun des cas suivants,
si les points A, B et C sont alignés ou non :
a) A(1 ; – 2) ; B(3 ; 4) et C(– 1 ; – 8) ;
b) A(– 3 ; 2) ; B(3 ; 1) et C(0 ; 2) ;
c) A(1 ; – 4) ; B(100 ; 62) et C(– 2,6 ; – 6,4).
38 Résolution de systèmes linéaires à deux inconnues
On considère le système de deux équations à deux
inconnues :
⎧ a ⋅ x + b ⋅ y = c (1)
⎨
⎩ d ⋅ x + e ⋅ y = f (2)
1) Étude théorique
a) Multiplier l’équation (1) par e et l’équation (2) par – b.
Par addition, montrer que :
(a ⋅ e – b ⋅ d) × x = c ⋅ e – b ⋅ f .
b) En procédant de même, trouver une relation sur y.
c) Si a ⋅ e – b ⋅ d est non nul, en déduire l’écriture de x et
celle de y à l’aide des coefficients a, b, c, d, e et f.
2) Écrire un algorithme :
– en entrée : les coefficients a, b, c, d, e et f ;
– en sortie : un texte affichant si le système admet une
solution unique, et si oui, le couple (x ; y) solution.
Puis programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) Applications à l’aide du programme
⎧ 2x + 3y = 7
⎧ ( 2 – 3 )x + y = 5
a) Résoudre ⎨
et ⎨
.
⎩ 3x – y = 5
⎩ x + ( 2 + 3 )y = 1
b) Robin et Arthur achètent des CD et des DVD dans le
même magasin.
Robin achète 20 DVD et 60 CD pour 152 €.
Arthur achète 30 DVD et 55 CD pour 200 €.
Déterminer le prix d’un DVD et d’un CD.
Exercices
c) Dans un groupe de discussion, 80 % des hommes sont
célibataires. Parmi les femmes, 75 % sont célibataires. Il
y a 311 célibataires.
60 % des hommes pratiquent un sport dans un club, ainsi
que 45 % des femmes. 204 personnes pratiquent un sport
dans un club.
Déterminer le nombre d’hommes et de femmes.
■
4. Vecteurs
■
39 QCM Donner toutes les bonnes réponses.
On se place dans un repère.
Soient deux points A et B. On souhaite automatiser les calculs
des coordonnées du vecteur AB .
Quel(s) est(sont) le(s) algorithme(s) correct(s) ?
a)
b)
c)
Variables :
xA, yA, xB, yB : réels ;
Début
Entrer(xA, yA, xB, yB) ;
Afficher(xB – xA, « », yB – yA) ;
Fin.
Variables :
xA, yA, xB, yB, x, y : réels ;
Début
Entrer(xA, yA, xB, yB) ;
x ← ( x A + xB ) ⁄ 2 ;
y ← ( y A + yB ) ⁄ 2 ;
Afficher(x, « ; » , y) ;
Fin.
Variables :
xA, yA, xB, yB : réels ;
Début
Entrer(xA, yA, xB, yB) ;
Afficher(xA – xB, « ; », yA – yB) ;
Fin.
40 Colinéarité de vecteurs
On se place dans un repère.
1) Soient deux vecteurs u et v . On souhaite automatiser
les calculs permettant de savoir si les vecteurs u et v
sont colinéaires ou non, et si oui, quel est le coefficient de
proportionnalité k défini par v = k × u .
Élaborer une démarche.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, étudier les cas suivants :
1 ⎞
–6⎞
a) u ⎛
et v ⎛
⎝ 12 ⎠
⎝ –2⎠
1,44 ⎞
– 0,8 ⎞
b) u ⎛
et v ⎛
⎝ 1,5 ⎠
⎝ – 2,7 ⎠
1,2 ⎞
2 ⎞
c) u ⎛
et v ⎛
⎝ 3,1 ⎠
⎝ 5,1 ⎠
41 Parallélisme de droites
On se place dans un repère.
1) Soient quatre points A, B, C et D.
On souhaite automatiser les calculs permettant de savoir
si les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou non.
Élaborer une démarche.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, dire dans les cas suivants si les
droites (AB) et (CD) sont parallèles ou non :
a) A(1 ; 4) ; B(– 2 ; – 1) ; C(4 ; 1) et D(2 ; – 2) ;
b) A(2 ; 5) ; B(0 ; 2) ; C(6 ; 4) et D(0 ; – 5).
42 Parallélogramme ou non (bis) ?
On se place dans un repère.
1) Soient quatre points A, B, C et D.
On souhaite automatiser les calculs permettant de savoir
si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ou non.
Élaborer une démarche utilisant un argument vectoriel.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, dire si le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme dans les cas suivants :
a) A(1 ; 2) ; B(– 3 ; 1) ; C(– 1 ; – 1) et D(3 ; 0) ;
b) A(– 1 ; 4) ; B(2 ; 5) ; C(– 4 ; 5) et D(– 7 ; 4) ;
c) A(2 ; 2) ; B(1 ; 6) ; C(4 ; 7) et D(6 ; 3).
43 Alignement de points (bis)
On se place dans un repère.
1) Soient trois points A, B et C. On souhaite automatiser les
calculs permettant d’affirmer que les points A, B et C sont
alignés ou non.
Élaborer une démarche utilisant un argument vectoriel.
2) Programmer à l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel.
3) À l’aide du programme, dire, dans chacun des cas suivants,
si les points A, B et C sont alignés ou non :
a) A(1 ; – 2) ; B(3 ; 4) et C(– 1 ; – 8) ;
b) A(– 3 ; 2) ; B(3 ; 1) et C(0 ; 2) ;
c) A(1 ; – 4) ; B(100 ; 62) et C(– 2,6 ; – 6,4).
33