Chapitre 7 Réflexion et réfraction d`une onde EM plane

Chapitre 7
Réflexion et réfraction d’une
onde EM plane
Jusqu’à maintenant, nous avons limité la plupart de nos démonstrations à des
milieux homogènes occupant tout l’espace. Il n’en est bien sûr pas ainsi dans
la réalité de la prospection géophysique où les anomalies et les hétérogénéités
constituent justement l’objet de toute campagne de prospection. Il nous faudra donc aborder des situations plus complexes afin de pouvoir les appliquer
à des cas concrets. Nous allons débuter notre itinŕaire dans la complexité
progressive par une simple interface. Les concepts présentés ici seront par la
suite étendus aux milieux tabulaires.
Nous avons vu précédemment que pour une onde plane se propageant
~ et H
~ sont perpendiculaires à la
dans un milieu uniforme et homogène, E
direction de propagation qui est celle du vecteur d’onde ~k. Soit une onde
plane incidente sur un plan S séparant deux milieux aux propriétés électriques
différentes (cf. Figure 7.1). Il est évident que ~k et n̂ (la normale au plan S)
sont tous les deux dans le plan d’incidence. Nous avons besoin cependant de
~ H
~ et ~k.
quelques relations supplémentaires entre E,
J
J
J
~kJJ n̂
J
J
^
σ1 , µ1 , ²1 JJ6
S
σ 2 , µ2 , ² 2
Figure 7.1: Géométrie pour les problèmes de réflexion et réfraction.
~ = −iωµH.
~ Nous alons tenter
Prenons l’équation de Maxwell ∇ × E
30
d’exprimer l’opérateur rotationnel en fonction du vecteur d’onde. Soit un
champ électrique exprimé par
~ = E~0 e−i(kx x+ky y+kz z)
E
(7.1)
alors
Ã
~ = x̂ ∂Ez − ∂Ey
∇×E
∂y
∂z
!
Ã
∂Ex ∂Ez
+ ŷ
−
∂z
∂x
!
Ã
∂Ey ∂Ex
+ ẑ
−
∂x
∂y
!
(7.2)
~ = x̂(−iky Ez + ikz Ey ) + ŷ(−ikz Ex + ikx Ez ) + ẑ(−ikx Ey + iky Ex ) (7.3)
∇×E
~ = −i~k × E
~
∇×E
(7.4)
~ = −iωµH,
~
Substituons dans l’équation de Maxwell, on obtient −i~k × E
soit
~
~ = 1 ~k × E
H
ωµ
(7.5)
~ = (σ + i²ω)E,
~ on obtient
Utilisant la même approche pour ∇ × H
~
~ = − ωµ k × H
~ = − ωµ n̂k × H
E
k k
k
où n̂k est un vecteur unitaire orienté selon ~k.
7.1
(7.6)
Loi de Snell-Descartes
Les champs de l’onde incidente sont
~i = E
~ i0 e−i(~ki ·~r−ωt)
E
(7.7)
~
~
~ i = ki × Ei
H
ωµ1
(7.8)
où ~r ∈ S → n̂ · ~r = 0
de même pour les ondes réfléchie et transmise
~r = E
~ r0 e−i(~kr ·~r−ωt) ; E
~t = E
~ t0 e−i(~kt ·~r−ωt)
E
31
(7.9)
~
~
~
~
~ r = kr × Er ; H
~ t = kt × Et
H
ωµ1
ωµ2
(7.10)
Nous avons vu (cf. Section 5.4) que la continuité des composantes tan~ s’exprime via
gentielles de E
~i + E
~ r ) = n̂E
~t
n̂ × (E
(7.11)
~ i0 e−i(~ki ·~r) + E
~ r0 e−i(~kr ·~r) = E
~ t0 e−i(~kt ·~r
E
(7.12)
cette dernière relation n’est satisfaite que si ~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kt · ~r. Le but
du jeu est de trouver une relation entre les différents vecteurs d’onde.
Prenons n̂ × (n̂ × r̂) = (n̂ · r̂)n̂ − (n̂ · n̂)~r = −~r. On peut donc exprimer
les égalités ci-dessus en
~ki · n̂ × (n̂ × ~r) = kr · n̂ × (n̂ × ~r)
(7.13)
~ki · n̂ × (n̂ × ~r) = kt · n̂ × (n̂ × ~r)
(7.14)
mais ~a · ~b × ~c = ~a × b · ~c, donc
(~ki × n̂ − ~kr × n̂) · n̂ × ~r = 0
(7.15)
(~ki × n̂ − ~kt × n̂) · n̂ × ~r = 0
(7.16)
comme ~r est dans le plan S et que n̂ est dans le plan d’incidence perpendiculaire à S, il est évident que n̂ × ~r se trouve dnas S et est non nul.
L’expression entre parenthèses doit alors être soit nulle, soit toujours perpendiculaire à n̂ × ~r, mais comme ~r est quelconque seule la première hypothèse
est valable. Nous retrouvons donc
~ki × n̂ = ~kr × n̂
(7.17)
ki sin (π − θi ) = kr sin θr
(7.18)
ki sin θi = kr sin θr
(7.19)
mais comme les ondes incidente et réfléchie sont dans le même milieu (1),
ki = kr = k1 , on retrouve sin θi = sin θr , i.e. l’angle de réflexion est égal à
l’angle d’incidence. Pour la deuxième égalité,
~ki × n̂ = ~kt × n̂
(7.20)
ki sin θi = kt sin θt
(7.21)
32
Cette dernière relation est la loi de Snell 1 -Descartes que vous avez vue
auparavant en sismique et en optique (et dans ce cas, il s’agissait d’ondes
EM!). Nous sommes maintenant prêts à aborder les relations entre les amplitudes des ondes incidente, réfléchie et transmise.
7.2
Les équations de Fresnel
~ et H
~ amène
La continuité des composantes tangentielles de E
~i + E
~ r ) = n̂ × E
~t
n̂ × (E
(7.22)
~i + H
~ r ) = n̂ × H
~t
n̂ × (H
~ i + ~kr × E
~ r ) 1 = n̂ × (~kt × E
~ t) 1
→ n̂ × (~ki × E
µ1
µ2
Développons les triples produits vectoriels
(7.23)
~ i,r,t = (n̂ · E
~ i,r,t )~ki,r,t − (n̂ · ~ki,r,t )E
~ i,r,t
n̂ × ~ki,r,t × E
(7.25)
(7.24)
Retenons ces relations de Fresnel 2 . Elles nous permettront de nous
~ i perpendiculaire au plan d’incidence
intéresser à deux cas particuliers: E
~ i dans le plan d’incidence (TM).
(TE) et E
7.3
~ i ⊥ au plan d’incidence
TE : E
Comme les ~k et n̂ sont dans le plan d’incidence et que les deux milieux sont
isotropes, alors
~ i,r,t = k̂ir,t · E
~ i,r,t = 0
n̂ · E
(7.26)
Et les produits n̂ · ~k donnent
n̂ · ~ki = ki cos π − θi = −ki cos θi
(7.27)
n̂ · ~kr = kr cos θr
(7.28)
n̂ · ~kt = ki cos π − θt = −ki cos θt
(7.29)
1
Willebrod Snell a découvert la loi de la réfraction en 1621. Il n’a pas publié ses travaux
de son vivant et il a fallu attendre la parution en 1703 du traité Dioptrica de Huygens
pour les connaı̂tre. Bien sûr, on ne présente plus Descartes...
2
Augustin Fresnel étudia les interférences lumineuses et les phénomènes de diffraction
qu’il traduisit mathématiquement en mouvements ondulatoires. Ajoutons pour l’anecdote
que toutes les salles de spectacles seraient orphelines sans leurs Fresnel spots !
33
• Ei
Hi +́J
Á~
kr
Hr ­­
~
J
J
^ ki n̂ Q
k×
J
­
J θi 6
θr ­ Er
σ1 , µ1 , ²1 JJ­­
S
σ 2 , µ2 , ² 2 B
B
B
θtB Et
)•B
Ht ³
~
BN kt
Figure 7.2: Géométrie pour le mode TE.
Substituons le tout dans les équations de Fresnel
~ i − kr cos θr E
~ r ) 1 = kt cos θt E
~t 1
(ki cos θi E
µ1
µ2
(7.30)
mais kki k = kkr k = k1 et kt = k2 donc
~ i − cos θr E
~ r = µ1 k2 cos θt E
~t
cos θi E
µ2 k1
(7.31)
voilà une première relation entre les trois champs. La seconde vient de
la première équation de Fresnel. Prenons le produit vectoriel de n̂ avec la
continuté de E tangentiel
~ i ) + n̂ × (n̂ × E
~ r ) = n̂ × (n̂ × E
~ t)
n̂ × (n̂ × E
~ i + (n̂ · Êr n̂ − (n̂ · n̂)E
~ r = (n̂ · Êt )n̂ − (n̂ · n̂)E
~t
(n̂ · Êi )n̂ − (n̂ · n̂)E
~i + E
~r = E
~t
→E
(7.32)
(7.33)
(7.34)
~ i,r,t . En combinant les deux relations, on retrouve
car n̂ ⊥ E
~ r = µ2 k1 cos θi − µ1 k2 cos θt E
~i
E
µ2 k1 cos θr + µ1 k2 cos θt
(7.35)
µ2 k1 (cos θi + cos θi ) ~
Ei
µ2 k1 cos θr + µ1 k2 cos θt
(7.36)
~t =
E
r
mais cos θr = cos θi et cos θt = 1 −
coefficient de réflexion R⊥ = Er /Ei
RT E
³
k1
k2
´2
sin2 θi . Si nous définissons le
µ2 k1 cos θi − µ1 (k22 − k12 sin2 θi )1/2
= R⊥ =
µ2 k1 cos θi + µ1 (k22 − k12 sin2 θi )1/2
34
(7.37)
~ i dans le plan d’incidence
TM : E
7.4
3́ Ei
Hi •J
­
Á~
kr
~
J
J
^ ki n̂ Hr×­
­Q
J
s
θr ­ Er
J θi 6
σ1 , µ1 , ²1 JJ­­
S
σ 2 , µ2 , ² 2 B
B
B
θtB³
•1 Et
Ht B ~kt
BN
Figure 7.3: Géométrie pour le mode TM.
~ i se trouve dans le plan d’incidence, forcément H
~ i sera perpenComme E
~
~
~
diculaire à celui-ci. On a alors n̂ · Hi = n̂ · Hr = n̂ · Ht = 0. On peut aussi
~ et H
~ via (éq. 7.6).
relier E
De plus, le champ magnétique tangentiel est continu (cf. 5.5) à l’interface
~i + H
~ r ) = n̂ × H
~t
n̂ × (H
~i + H
~r = H
~t
→H
(7.38)
de même pour le champ électrique tangentiel (cf. 5.4)
~i + E
~ r ) = n̂ × E
~t
n̂ × (E
n̂ ×
ωµ
~ i ) + n̂ × ωµ (n̂r × H
~ r ) = n̂ × ωµ (n̂t × H
~ t)
(n̂i × H
k1
k1
k2
(7.39)
mais
~ i ) = (n̂ · H
~ i )n̂i − (n̂ · n̂i )H
~ i = cos θi H
~i
n̂ × (n̂i × H
~r
~ r ) = (n̂ · H
~ r )n̂r − (n̂ · n̂r )H
~ r = − cos θr H
n̂ × (n̂r × H
~ t ) = (n̂ · H
~ t )n̂t − (n̂ · n̂t )H
~ t = cos θt H
~t
n̂ × (n̂t × H
substituant dans (7.39), on obtient
~ i − cos θr H
~ r = µ2 k1 cos θt H
~t
cos θi H
µ1 k 2
35
(7.40)
en combinant avec (7.38), on trouve les expressions pour les champs
magnétiques réfléchi et transmis, soit
q
~r =
H
~t =
H
µ1 k22 cos θi − µ2 k1 k22 − (k1 sin θi )2
µ1 k22
q
cos θi + µ2 k1
k22
− (k1 sin θi
)2
2µ1 k22 cos θi
q
µ1 k22 cos θi + µ2 k1 k22 − (k1 sin θi )2
~i
H
(7.41)
~i
H
(7.42)
~ r /E
~ i et que
Comme nous voulons exprimer le coefficient de réflexion par E
nous savons d’avance qu’il sera négatif pour k2 > k1 , on inverse les termes
du numérateur.
q
RT M = Rk =
µ2 k1 k22 − (k1 sin θi )2 − µ1 k22 cos θi
q
µ1 k22 cos θi + µ2 k1 k22 − (k1 sin θi )2
(7.43)
L’expression du coefficient de réflextion d’une onde EM plane en mode
TM.
7.5
Réflexion à incidence normale
Le cas d’une onde à incidence normale (θi = 0) est particulièrement intéressant
à analyser. Qu’arrive-t-il aux coefficients de réflexion?
q
RT E =
µ2 k1 cos 0 − µ1 k22 − (k1 sin 0)2
q
µ2 k1 cos 0 + µ1 k22 − (k1 sin 0)2
=
µ2 k 1 − µ1 k 2
µ2 k 1 + µ1 k 2
(7.44)
q
RT M =
µ2 k1 k22 − (k1 sin 0)2 − µ1 k22 cos 0
q
µ1 k22 cos 0 + µ2 k1 k22 − (k1 sin 0)2
=
µ2 k1 − µ1 k2
µ1 k2 + µ1 k2
(7.45)
donc, à incidence normale, le coefficient de réflexion est le même que l’on
soit en mode TE ou en mode TM.
Les figures 7.4 et 7.5 montrent l’évolution du coefficient de réflexion pour
les modes TE et TM avec l’angle d’incidence. On remarque sur la figure 7.4,
qui traite du cas pour lequel σ1 < σ2 , que ces coefficients sont pratiquement
réels. En fait leur partie imaginaire n’augmente que lorsque la fréquence
devient très élevée - bien au-delà du seuil de l’ARQS.
36
RTE σ1 = .01, σ2 = .1 S/m
RTM σ1 = .01, σ2 = .1 S/m
1
Re
Im
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
0
Re
Im
0.8
RTM
RTE
0.8
1
30
60
90
Angle d’incidence (deg)
−1
0
30
60
90
Angle d’incidence (deg)
Figure 7.4: Coefficient de réflexion (modes TE et TM) pour un passage d’un
milieu résistant vers un milieu conducteur (f = 100 Hz). Trait plein: partie
réelle, pointillé: partie imaginaire.
A l’inverse, lorsque σ1 > σ2 (Figure 7.5), la partie imaginaire devient tout
de suite très importante, à patir d’environ θi = 20o pour le cas montré ici, et
va même jusqu’à dominer complètement RT E pour θi ≈ 50o . Qu’est-ce que
cela signifie physiquement, i.e. quelle est la nature de l’onde dans le milieu
2?
7.6
Impédance d’une onde EM plane
De la même façon qu’en sismique, nous allons exprimer les coefficients de
réflexion en fonction de l’impédance d’une onde plane. Reprenons l’expression
du coefficient de réflexion à incidence normale en mode TE
RT Eθ=0 =
µ2 k1 − µ1 k2
µ2 k1 − µ1 k2
multipliant de part et d’autre par ω/k1 k2 , on retrouve
RT Eθ=0 =
ωµ2
k2
ωµ2
k2
−
+
ωµ1
k1
ωµ1
k1
37
=
Z2 − Z1
Z2 + Z1
RTE σ1 = .1, σ2 = .01 S/m
RTM σ1 = .1, σ2 = .01 S/m
1
1
Re
Im
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
0
30
60
90
Angle d’incidence (deg)
Re
Im
0.8
RTM
RTE
0.8
−1
0
30
60
90
Angle d’incidence (deg)
Figure 7.5: Coefficient de réflexion (modes TE et TM) pour un passage
d’un milieu conducteur vers un milieu résistant (f = 100 Hz). Trait plein:
partie réelle, pointillé: partie imaginaire. Notez les variations importantes
au voisinage de θi = 20o : à quoi sont-elles dues?
Z est défini comme l’impédance d’une onde plane. Utilisant la relation
(7.5) ci-dessus, on voit que ωµ/k correspond au rapport des composantes
orthogonales de E et H, soit
Z=
ωµ
Ex
Ey
=
=−
k
Hy
Hx
(7.46)
Nous verrons dans le chapitre suivant que l’on peut considérer un milieu
tabulaire comme un demi-espace dont l’impédance (apelée souvent impédance
effective) sera une fonction des impédances des couches le constituant. Ceci
simplifie énormément la modélisation des champs EM dans les milieux tabulaires.
38