Epreuve de culture scientifique Physique Exercice 1

Epreuve de culture scientifique
Physique
Exercice 1
Mouvement d’un ou plusieurs patins frottant sur un
milieu solide
On cherche à modéliser le déplacement d’un patin (solide) sur un substrat au
cours de l’expérience suivante :
k
v
m
Figure 1: Un solide de masse m frotte sur un substrat et est relié à un ressort
de raideur k dont l’autre extrémité est tirée à vitesse v.
On appellera x la position du solide au temps t et ẋ sa vitesse. La force de
friction exercée par le substrat est notée f .
1. On commence par considérer le cas où la force de frottement est donnée
par la loi du frottement solide
f = −η m g
(1)
où η est un coefficient de friction et m g le poids du patin. Ecrire dans ce
cas l’équation du mouvement du patin. Montrer qu’il existe une solution
particulière correspondant à une vitesse constante ẋ = v, puis en déduire
l’expression générale de la position x en fonction du temps. Tracer cette
position en fonction du temps.
2. Reprendre la question 1 si l’on considère maintenant une loi de frottement
liquide
f = −a ẋ
(2)
où a est un coefficient constant.
1
3a. En fait une description adéquate du frottement entre le patin et le substrat
doit tenir compte de la nature microscopique des contacts entre les deux
corps. Une hypothèse plus réaliste pour l’expression de la force de friction
est, pour des vitesses ẋ positives,
f = −a ẋ − b exp(−ẋ/v0 ) .
(3)
Tracer |f | en fonction de la vitesse ẋ. Que signifie les constantes b et v0 ?
Dans la suite on supposera que b/(a v0 ) > 1. Pourquoi? L’expression
ci-dessus de la force f a-t-elle un sens lorsque ẋ est négative? comment
faudrait-il la modifier?
3b. Ecrire l’équation du mouvement pour le patin soumis à la force (3). Montrer qu’il existe une solution de vitesse constante ẋ = v. Cette solution
est-elle physiquement acceptable?
3c. On cherche maintenant une solution de type x(t) = v t + u(t) où u̇ est
petite. Montrer que pour une valeur bien choisie de la vitesse v la patin a
un mouvement oscillant. Imaginez un phénomène physique simple où les
conséquences de ce mouvement oscillant sont facilement observables.
4. On considère maintenant le cas de N ≥ 2 patins attachés les uns aux
autres avec des ressorts de raideur k 0 , chacun étant tiré comme auparavant par un ressort de raideur k dont l’extrémité se déplace à vitesse
v. Reprendre la question 2 et décrire qualitativement le mouvement du
système (Indication : on considérera le cas où un bloc de n < N patins
consécutifs sont immobiles les uns par rapport aux autres mais bougent
par rapports aux autres patins dans le système). Pourquoi ce modèle est-il
parfois choisi pour décrire l’effet de tremblements de terre?
k
m
k
k
k’
k’
k
v
k’
m
m
m
Figure 2: N solides de masse m frottent sur un substrat et sont reliés chacun à
un ressort de raideur k dont l’autre extrémité est tirée à vitesse v. En outre les
solides sont reliés entre eux par des ressorts de raideur k 0 .
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Examination of Scientific Culture
Physics
Exercise 1
Motion of one or more skates on a solide substrate
One is interested in modeling the motion of a solide skate on a substrate in the
following experiment:
k
v
m
Figure 1: A solid skate with mass m moves on a substrate with some friction.
A spring with stiffness k is attached to the skate at one extremity; the other
extremity is moved apart at constant velocity v.
The position and the velocity of the skate at time t will be respectively denoted
by x and ẋ. The friction force exerted by the substrate on the skate is denoted
by f .
1. One first consider that the friction force is the one of a simple solid, given
by
f = −η m g
(1)
where η is a friction coefficient and m g the weight of the skate. Write
down the equation of motion of the skate. Show that there is a solution
with constant velocity ẋ = v, and deduce the general expression of x as a
function of the time. Plot the representative curve of x vs. t.
2. Same question as question 1 in the case of liquid friction,
f = −a ẋ
where a is a constant coefficient.
1
(2)
3a. Actually an adequate description of the friction between the skate and the
substrate should take into account the microscopic nature of the contacts
between both bodies. A more realistic hypothesis for the expression of the
friction force is, for positive velocity ẋ,
f = −a ẋ − b exp(−ẋ/v0 ) .
(3)
Plot |f | as a function of ẋ. What is the meaning of constants b and v0 ?
In the following we will assume that b/(a v0 ) > 1. Why? Does the above
expression for the force make sense when ẋ is negative? How should it be
modified?
3b. Establish the equation of motiom for the skate submitted to force (??).
Show that there exists a constant velocity solution. Is this solution physically meaningful?
3c. One now looks for a solution of the type x(t) = v t + u(t) where u̇ is small.
Show that for a well chosen value of the velocity v the motion of the skate
is a sustained oscillation. Can you think of a simple physical situation
where the consequences of this oscillation can be observed?
4. One now considers the case of N ≥ 2 skated, linked to each other through
springs of stiffness k 0 ; each skate is, as before, pulled away through a
spring of stiffness k moving at velocity v. Answer question 2 again for this
model, and describe the motion of the system in a qualitative way (Hint:
consider the case of a block of n < N contiguous skates, immobile from
one another, and all moving with respect to the other skates in the system).
Can you imagine why this model is sometimes claimed to describe some
physical effects related to earthquakes?
k
m
k
k
k’
k’
k
v
k’
m
m
m
Figure 2: N solids of mass m move on a substrate and are all attached to springs
of stiffness k whose other extremities move at constant speed v. In addition
contiguous skates are linked to each other through springs of stiffness k 0 .
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Epreuve de culture scientifique
Physique
Exercice 2
Un peu d’optique
I - L’expérience de Foucault (1862)
L’expérience de Foucault (1862) pour mesurer la vitesse de la lumière est schématisée sur la
figure suivant :
(L)
(m)
S
S1
Σ
O
S2
(M)
Fig. 1 – Dispositif expérimental de Foucault (1862) pour mesurer la vitesse de la lumière
S et S1 sont conjugués par rapport à la lentille convergente (L). (M ) est un miroir sphérique
concave de centre O, de sommet S1 et de rayon R. (m) est un miroir plan qui tourna à une
vitesse angulaire ω par rapport à un axe (Oz) perpendiculaire au plan de la figure. Ce petit
miroir étant en rotation très rapide, on observe une image S2 pratiquement dans le plan de S
avec SS2 = a. Montrer que la mesure de a permet de déterminer la vitesse de la lumière.
Dans l’expérience de Foucault, les différents paramètres étaient les suivants : R = 20 m, a = 0.7
mm, SΣ = 54.6 cm, ΣS1 = 21 m et le miroir tournait à 800 tours/seconde. Conclure et
commenter.
II - Lévitation lumineuse
1. Grâce à un faisceau laser relativement puissant, il est possible de faire léviter des sphères
de verre (voir figure) d’un diamètre de l’ordre de 20 µm. Expliquer comment l’action
Fig. 2 –
de la lumière permet de contrecarrer la gravité ? Comment la stabilité transverse est-elle
obtenue ?
2. La même expérience est réalisée avec un atome neutre. Expliquer comment la polarisabilité
induite de l’atome par le laser autorise le piégeage de l’atome.
Examination of Scientific culture
Physics
Exercise 2
A bit of optics
I - The Foucault’s experiment (1862)
The schematic of the Foucault’s experiment to measure the speed of light is shown on the
following figure :
(L)
(m)
S
S1
Σ
O
S2
(M)
Fig. 3 – Foucault’s experimental setup (1862) to measure the speed of light.
S and S1 are conjugates for the convergent lens (L). (M ) is a concave spherical mirror of center
O, vertex S1 and radius R. (m) is a plane mirror which turns at an angular velocity ω with
respect to the (Oz) axis perpendicular to the figure. If the angular velocity of this small mirror
is sufficient, one observes an image S2 nearly in the same transverse plane as S at a distance
SS2 = a. Show how the measurement of a permits to determine for the speed of light.
The parameters of the original Foucault’s experiment are the following : R = 20 m, a = 0.7
mm, SΣ = 54.6 cm, ΣS1 = 21 m and the mirror was spinning at a velocity of 800 turs per
second. Conclude and comment.
Fig. 4 –
II - Light Levitation
1. With a relatively intense laser, it has been possible to levitate a glass sphere (see figure
above) with a diameter on the order of 20 µm. How the action of the light can overcome
the gravity ? How the transverse stability is ensured ?
2. The same experiment is now performed with a neutral atom. Explain how the induced
polarization generated by the laser results in a possible trapping of the atom ?
Epreuve de culture scientifique
Physique
Exercice 3
Hydrostatique dans un référentiel tournant
On considère le système suivant :
L
P0
C
Ω
Fig. 1 –
Un tube en forme de Γ tourne à une vitesse angulaire Ω dans une cuve remplie d’eau.
1. Décrire qualitativement ce qui se passe au besoin à l’aide d’un dessin.
2. Calculer l’amplitude de l’effet en fonction de P0 pression ambiante de l’air, de L la longueur
horizontale du tube et des autres paramètres du système.
3. La vitesse de rotation Ω peut-elle être choisie aussi grande que l’on veut ?
4. Y-a-t-il une limite sur le diamètre du tube utilisé pour que l’expérience fonctionne ?
Examination of Scientific culture
Physics
Exercise 3
Hydrostatic in a rotating frame
We consider the following experimental setup :
L
P0
C
Ω
Fig. 2 –
A tube with a Γ-shape is span up at an angular velocity Ω in a recipient containing water.
1. Describe qualitatively what happens with a drawing if necessary.
2. Calculate the effect as a function of P0 (ambient pressure of air) of L (horizontal length
of the tube) and of the other parameters of the system.
3. Can we choose the angular velocity Ω as large as we want ?
4. Is there any limit on the tube diameter for the experiment to work ?