BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

Transcription

BTS Electrotechnique
Cours de Mathématiques
François THIRIOUX
[email protected]
Lycée René Perrin, Ugine
8 octobre 2004
Table des matières
Présentation du programme
v
1 Préliminaires
1
1.1
1.2
1.3
Définitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.3
Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.3
Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1
Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2
Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Intégration
2.1
2.2
8
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.1
Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.3
Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1
Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2
Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3
Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Séries numériques
3.1
14
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1
Définition d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
TABLE DES MATIÈRES
3.2
3.3
ii
3.1.2
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3
Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Séries de référence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1
Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2
Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1
Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2
Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Séries de Fourier
4.1
4.2
4.3
4.4
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1
Joseph Fourier
4.1.2
Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2
5.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1
Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2
Propriétés des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1
Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.2
Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.1
Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.2
Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Equations différentielles
5.1
17
27
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1.2
Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Equations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.1
Définitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.2
Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.3
Recherche d’une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 30
5.2.4
Utilisation d’une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . 32
5.3.1
Définitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.2
Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3.3
Recherche d’une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 35
5.3.4
iii
Utilisation d’une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Développements limités
6.1
6.2
6.3
6.4
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.1
Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1.2
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.1
Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.2
Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.3
Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.1
Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.2
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.3
Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.4
Intégration
6.3.5
Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.1
Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.2
Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4.3
Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4.4
Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Transformation de Laplace
7.1
7.2
7.3
37
43
Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1.1
Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1.2
Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1.3
Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.4
Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.5
Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Transformée de Laplace d’une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2.2
Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.3
Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2.4
Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Applications à l’analyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3.1
Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3.2
Equations différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . 52
7.3.3
Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3.4
Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Transformation en z
8.1
8.2
8.3
8.4
iv
55
Notion de série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.1.1
Définitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.1.2
Propriétés et développements usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Transformation en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2.1
Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2.2
Définition et premières remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.3
Transformation inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Théorèmes classiques et tranformées usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3.1
Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3.2
Transformées usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Application aux systèmes échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bibliographie
63
Présentation du programme
Ce cours traite grosso modo les plus importants des items suivants composant le programme :
1. Nombres complexes 2.
2. Suites numériques 2.
3. Fonctions d’une variable réelle.
4. Calcul différentiel et intégral 3.
5. Séries numériques et séries de Fourier.
6. Transformation de Laplace
7. Transformation en z.
8. Equations différentielles.
9. Fonctions de deux ou trois variables.
10. Calcul matriciel.
11. Calcul des probabilités 1.
12. Calcul vectoriel.
v
Chapitre 1
Préliminaires
1.1
1.1.1
Définitions préalables
Factorielle
1.1.1.1 Dfinition Soit n un entier naturel. La factorielle de n, notée n!, est le nombre entier :
n! = 1.2.3. · · · .n si n > 1 ;
0! = 1 , par convention.
1.1.1.2 Exemple On a : 5! = 1.2.3.4.5 = 120.
1.1.1.3 Remarque Il est souvent utile de noter que (n + 1)! = (n + 1).n! .
1.1.1.4 Remarque La croissance de n! est extrêmement rapide. Par exemple, 50! = 3, 0414 ×
1064 .
1.1.2
Sommations
1.1.2.1 Notation Si les ai sont des objets (nombres, matrices, fonctions...) que l’on peut
sommer, on définit :
n
X
ak = a1 + a2 + · · · + an , où n pourra être + ∞.
k=1
1.1.2.2 Proposition La somme est un opérateur, i.e. C-linéaire :
X
X
X
(ak + bk ) =
ak +
bk ,
k
X
k
k
(λak ) = λ
X
k
1
k
ak , pour tout λ ∈ C.
2
1.1.2.3 Exemple On a, pour z ∈ C :
3
X
i.(z p + 1)
p!
p=0
= i
3
X
zp
p=0
3
X
1
+i
p!
p!
p=0
= i + iz + i
1.1.2.4 Exercice Montrer que :
n
X
k=
k=1
z2
z3
i
i
+i +i+i+ + .
2
6
2 6
n(n + 1)
.
2
1.1.2.5 Exercice Montrer que :
n
X
k=1
1.1.3
k2 =
1
1
1
1
1
(n + 1)3 − (n + 1)2 + n + = n (n + 1) (2n + 1) .
3
2
6
6
6
Combinaisons
1.1.3.1 Dfinition On appelle coefficient binômial un nombre entier donné, pour k 6 n,
par :
Cnk =
n!
.
k!(n − k)!
1.1.3.2 Remarque Plusieurs observations sont nécessaires. D’abord, c’est bien un entier, ce
¡ ¢
qui sera démontré dans la suite. Ensuite, ce nombre est parfois noté aussi nk . Enfin, plus
concrètement, il représente le nombre de façons de prendre (sans ordre) k éléments parmi n.
Son rôle est très important en probabilités, mais aussi de manière générale dans les autres
domaines.
1.1.3.3 Thorme Soient k 6 n. On a les relations très importantes suivantes :
Cnk = Cnn−k ,
k+1
.
Cnk + Cnk+1 = Cn+1
Preuve. La première relation est évidente. La deuxième nécessite juste un calcul simple
(partir du membre de gauche).
1.1.3.4 Remarque La deuxième relation est fondamentale. Elle prouve, de proche en proche,
que les coefficients binômiaux sont bien des entiers. Mais aussi et surtout, elle fournit un moyen
bien simple de calculer et de représenter ces coefficients : le triangle de Pascal (il semble en fait
que ce soit plus ancien...).
3
nk
0 1
2
3
4
5
6
0
1
1
1 1
2
1 2
1
3
1 3
3
1
4
1 4
6
4
1
5
1 5 10
10
5
1
6
1 6 15
20 15
6
1
7
1 7 21
35 35
21
7
8
1 8 28
56 70
56 28
7 8
1
8 1
Bien observer les propriétés de ce tableau (en particulier celles données par le théorème)
n’est pas une perte de temps !
1.2
1.2.1
Polynômes
Rappels
1.2.1.1 Dfinition On dit qu’une fonction P : C −→ C est un polynôme de degré n s’il
existe des coefficients complexes a0 , · · · , an , an étant non nul, tels que :
P (z) =
n
X
ak .z k = a0 + a1 .z + · · · + an .z n .
k=0
1.2.1.2 Exemple Les trinômes du second degré à coefficients réels sont des polynômes de
degré 2. Les polynômes de degré 0 sont les nombres complexes.
1.2.1.3 Proposition Si n ∈ N∗ et si z et a sont deux complexes, alors :
n
n
z − a = (z − a)
n−1
X
z n−1−k ak = (z − a)(z n−1 + z n−2 .a + · · · + z.an−2 + an−1 ).
k=0
Preuve. Développer le membre factorisé ; les termes s’annulent presque tous.
1.2.2
Factorisation
1.2.2.1 Thorme Soit P (z) un polynôme de degré n . Alors P (b) = 0 ssi P (z) = (z − b)Q(z) ,
où Q est un polynôme de degré (n − 1) .
4
Preuve. Si P (z) = (z − b)Q(z), alors il est évident que P (b) = 0.
Réciproquement, notons P (z) = a0 + a1 .z + · · · + an .z n . Puisque P (b) = 0, on a 0 =
a0 + a1 .b + · · · + an .bn . Ainsi, en utilisant la proposition précédente :
P (z) − 0 = (a0 + a1 .z + · · · + an .z n ) − (a0 + a1 .b + · · · + an .bn )
= a1 .(z − b) + · · · + an .(z n − bn )
= a1 .(z − b) + · · · + an .(z − b)(z n−1 + z n−2 .b + · · · + z.bn−2 + bn−1 )
= (z − b)Q(z) , où Q est un polynôme de degré (n − 1).
C’est ce qu’il fallait montrer.
1.2.2.2 Remarque Ce théorème est fondamental, mais aussi très utile dans des cas simples.
Il ne faut pas oublier qu’il est bien sûr aussi valable pour des nombres réels (puisque R ⊂ C ) !
1.2.2.3 Exemple Supposons qu’une parabole f coupe l’axe des abscisses aux points 1 et 5 ,
et que son minimum soit de −1. On trouve facilement la forme factorisée de l’équation de cette
parabole. On applique 2 fois le théorème :
f (x) = (x − 1).g(x) , g de degré 1 s’annulant en 5
= (x − 1)(x − 5).h(x) , h de degré 0, i.e. h(x) est une constante λ.
Ensuite, l’extremum d’une parabole se situe au milieu de ses 2 racines (éventuelles), c’est-à-dire
1
1
ici en 3 . Ainsi, −1 = f (3) = (3 − 1)(3 − 5).λ = −4λ. Soit λ = , i.e. f (x) = (x − 1)(x − 5) .
4
4
1.2.2.4 Exemple Supposons que l’on sache que la fonction f (x) = x3 − 3x2 + 2x − 6 s’annule
pour x = 3 (par exemple en le devinant graphiquement et en le vérifiant algébriquement). On
sait par le théorème que f (x) se factorise en (x − 3)g(x) , où g est un trinôme du second degré.
On pose g(x) = ax2 + bx + c. Puis, en développant (x − 3)g(x) et en identifiant avec f (x), on
obtient f (x) = (x − 3)(x2 + 2).
1.2.2.5 Remarque Au lieu d’identifier les termes pour trouver les coefficients polynômiaux,
on peut effectuer une division euclidienne de polynômes.
1.2.3
Formule du binôme
1.2.3.1 Thorme Si a et b sont deux nombres complexes, et si n est un entier, alors :
n
(a + b) =
n
X
k=0
Cnk .ak bn−k .
5
Preuve. Supposer que la formule est vraie au rang n , puis la démontrer au rang (n + 1) ,
en utilisant la relation (a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n .
1.2.3.2 Exemple Développons (a+b)4 . On lit la ligne n◦ 4 du triangle de Pascal (correspondant
à n = 4 ). On y trouve les coefficients binômiaux qui nous intéressent ici, i.e. les C4k . Ainsi :
(a + b)4 = 1.a4 + 4.a3 b + 6.a2 b2 + 4.ab3 + 1.b4 .
1.2.3.3 Remarque Les coefficient binômiaux jouent un rôle important en dénombrement. Ici,
observons la formule du théorème. Notons que :
(a + b)n = (a + b)(a + b) · · · (a + b).
|
{z
}
n fois
Trouver (dans le développement) le coefficient de ak bn−k , c’est compter le nombre de façons
de prendre, dans le membre de droite ci-dessus, k termes “a” parmi n . Donc Cnk représente
bien le nombre de manières de prendre k éléments parmi n .
1.2.3.4 Exercice Pourquoi le raisonnement précédent est-il aussi valable si l’on compte les
“b” au lieu des “a” ?
1.3
1.3.1
Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie
Nombres complexes
Différentes formes
1.3.1.1 Notation On note C l’ensemble des nombres complexes, et C∗ l’ensemble des nombres
complexes privé de 0 . La lettre i désigne le complexe de carré −1 (en électricité ce nombre est
noté j , afin d’éviter la confusion avec l’intensité).
1.3.1.2 Proposition Un nombre complexe z peut s’écrire :
1. z = x + iy , où x et y sont deux réels (forme algébrique) ;
2. si z est non nul, z = ρeiθ , où ρ > 0 et θ ∈ R (forme trigonométrique).
1.3.1.3 Remarque On rappelle que, par définition, eiθ = cos θ + i sin θ . De plus, le nombre 0
n’a pas de forme trigonométrique (on ne peut définir son argument).
1.3.1.4 Dfinition Dans ces conditions :
6
1. x est la partie réelle de z , notée Re(z) , et y est la partie imaginaire de z , notée
Im(z) .
2. ρ est le module de z (noté |z| ), et θ l’argument de z (noté arg(z) ). Cet angle (en
radians) est défini à 2kπ près, k appartenant à Z .
1.3.1.5 Dfinition La mesure principale d’un angle est celle comprise dans ] − π; π] .
1.3.1.6 Proposition Si z = a + ib = ρeiθ ∈ C∗ , alors ρ =
√
a2 + b2 , cos(θ) =
a
b
et sin(θ) = .
ρ
ρ
Propriétés élémentaires
1.3.1.7 Dfinition Si z = a + ib ∈ C , on appelle conjugué de z le nombre z = a − ib .
1.3.1.8 Proposition On a zz = |z|2 .
Preuve. Poser z = a + ib , puis faire tout simplement le calcul.
1.3.1.9 Proposition Soient z1 = ρ1 eiθ1 ∈ C∗ et z2 = ρ2 eiθ2 ∈ C∗ . On a les relations suivantes :
1. z1 z2 = ρ1 ρ2 ei(θ1 +θ2 ) ;
ρ1
z1
= ei(θ1 −θ2 ) ;
2.
z2
ρ2
3. z1 = ρ1 e−iθ1 .
Formules remarquables
1.3.1.10 Thorme Si θ est un réel, et si n est un entier naturel, alors on a la formule de
Moivre :
(eiθ )n = einθ ,
c’est-à-dire (cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ).
1.3.1.11 Thorme Si x est un réel, alors on a les formules d’Euler :
cos x =
eix + e−ix
eix − e−ix
et sin x =
.
2
2i
1.3.1.12 Remarque Ces formules sont des outils essentiels, elles permettent par exemple de
linéariser un polynôme trigonométrique.
7
1.3.2
Trigonométrie
1.3.2.1 Remarque Les formules essentielles se trouvent dans le formulaire, il ne s’agit pas de
les recopier ici... Il faut revoir les cosinus et sinus des angles remarquables. On donne juste une
formule, dans le but d’observer sa démonstration.
1.3.2.2 Proposition Si a et b sont deux réels, on a les formules suivantes :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ;
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b .
Preuve. On remarque que ei(a+b) = cos(a + b) + i sin(a + b) , et on calcule :
cos(a + b) + i sin(a + b) = ei(a+b)
= eia eib
= (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)
= (cos a cos b − sin a sin b) + i(sin a cos b + cos a sin b).
En identifiant parties réelles et imaginaires, on a montré d’un coup les deux formules.
Chapitre 2
Intégration
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I de R, et soient a et b dans I .
2.1
2.1.1
Généralités
Définition de l’intégrale
2.1.1.1 Dfinition Une primitive de f est une fonction F dérivable sur I et vérifiant F 0 = f .
2.1.1.2 Thorme La fonction f possède des primitives.
Preuve. Hors programme, et admise. Remarquons qu’en terminale, ce résultat n’était
énoncé que pour des fonctions dérivables, et non seulement continues.
2.1.1.3 Remarque Rappelons ici que ces primitives ne diffèrent que d’une constante
additive.
2.1.1.4 Dfinition La fonction F : x 7−→
Rx
a
f (t)dt est l’unique primitive de f sur I s’annu-
lant en a .
2.1.1.5 Dfinition L’intégrale de f entre a et b est le nombre défini par :
b
a f (t)dt
= [F (t)]t=b
t=a = F (b) − F (a) .
8
9
2.1.2
Propriétés élémentaires
Relation de Chasles
2.1.2.1 Proposition Si c est dans I , alors :
Z c
Z b
Z b
f (t)dt +
f (t)dt =
f (t)dt .
a
c
a
Preuve. Elémentaire, revenir à la définition.
Linéarité
2.1.2.2 Proposition Si α et β sont des constantes, alors :
Z b
Z b
Z b
[αf (t) + βg(t)] dt = α
f (t)dt + β
g(t)dt .
a
a
a
Preuve. Elémentaire, revenir à la définition.
Positivité
2.1.2.3 Notation Une écriture fonctionnelle du type f 6 g signifie que, quel que soit t dans
I , f (t) 6 g(t) .
2.1.2.4 Proposition Si a 6 b , et si f > 0 , alors :
Z b
f (t)dt > 0 .
a
Preuve. Puisque f est positive, F est croissante (se souvenir que F 0 = f ). De ce fait,
F (a) 6 F (b) car a 6 b . Ce qui mène directement au résultat par la définition 2.1.1.5.
2.1.2.5 Corollaire Si a 6 b , et si f 6 g , alors :
Z b
Z b
f (t)dt 6
g(t)dt .
a
a
Preuve. Considérons la fonction h = g−f . Cette fonction est positive, et on peut appliquer
la proposition précédente.
10
2.1.3
Inégalités
2.1.3.1 Proposition (inégalité de la moyenne) Si a 6 b, et si m 6 f 6 M , alors :
Z b
m(b − a) 6
f (t)dt 6 M (b − a) ,
a
ou encore, si a 6= b :
1
m6
b−a
Z
b
f (t)dt 6 M .
a
Preuve. On utilise le résultat 2.1.2.5 : m 6 f 6 M donc leurs intégrales entre a et b sont
Rb
classées dans le même ordre. Or, si k est une constante, a kdt = k(b − a) , ce qui mène à
l’encadrement recherché.
2.1.3.2 Remarque Le terme
1
b−a
Rb
a
f (t)dt est la valeur moyenne de f . On a ainsi juste
prouvé que ce nombre est encadré par les mêmes valeurs que f , ce qui est normal.
2.1.3.3 Corollaire Si a 6 b et si |f | 6 k , alors 0 6
Rb
a
|f (t)| dt 6 k(b − a) .
2.1.3.4 Proposition (inégalité triangulaire) On a l’inégalité suivante :
¯Z b
¯ Z b
¯
¯
¯
¯6
f
(t)dt
|f (t)| dt .
¯
¯
a
a
Preuve. Remarquons que − |f | 6 f 6 |f | . Il suffit alors d’appliquer le corollaire 2.1.2.5,
puis de passer aux valeurs absolues.
2.1.3.5 Dfinition On dit que f est de classe C 1 si f est dérivable et si f 0 est continue.
2.1.3.6 Thorme (inégalité des accroissements finis) Supposons que f soit C 1 sur I . Si
a 6 b et si |f 0 | 6 k, alors :
|f (b) − f (a)| 6 k(b − a) .
Preuve. Tout d’abord, f est C 1 , ainsi f 0 est continue donc intégrable. On utilise ensuite la
proposition 2.1.3.4 et le corollaire 2.1.3.3 pour calculer :
¯
¯Z b
¯
¯
0
f (t)dt¯¯
|f (b) − f (a)| = ¯¯
a
Z b
6
|f 0 (t)| dt
a
6 k(b − a) ,
ce qui est bien l’inégalité recherchée.
11
2.2
Méthodes d’intégration
2.2.1
Fonctions à valeurs complexes
2.2.1.1 Dfinition Si f + ig est à une fonction (continue) à valeurs complexes, une de ses
primitives est :
F + iG ,
et si on intègre :
Z
Z
b
[f (t) + ig(t)]dt =
a
Z
b
b
f (t)dt + i
a
g(t)dt .
a
2.2.1.2 Remarque En pratique, on fait les calculs sans se poser de questions (voir l’exemple
important 2.2.1.3). L’utilité d’intégrer ou de dériver des fonctions à valeurs complexes apparaı̂tra
lors de l’étude des séries de Fourier. Mais, comme va le montrer l’exemple 2.2.1.4, il peut parfois
être judicieux de passer dans C pour faire des calculs dans R .
2.2.1.3 Exemple Soit a dans C∗ . Une primitive de la fonction réelle à valeurs complexes
eat
at
t 7−→ e est
. On peut calculer par exemple d’une première manière :
a
· it ¸t=2π
Z 2π
e
ei2π ei0
1 1
it
=
e dt =
−
= − =0,
i t=0
i
i
i
i
0
et d’une seconde :
Z 2π
Z 2π
Z
it
e dt =
[cos(t) + i sin(t)] dt =
0
0
Z
2π
2π
cos(t)dt + i
0
sin(t)dt = 0 + i0 = 0 .
0
Nous retrouvons bien le même résultat (important par ailleurs).
2.2.1.4 Exemple Calculons
Z π
0
Rπ
cos(x)e3x dx ; cette intégrale est la partie réelle de :
Z π
ix 3x
e e dx =
e(i+3)x dx
·0 (i+3)x ¸x=π
e
=
i + 3 x=0
0
e(i+3)π e(i+3)0
−
i+3
i+3
3π
1
−e
−
=
i+3 i+3
(−e3π − 1)(−i + 3)
=
(i + 3)(−i + 3)
−3(e3π + 1)
e3π + 1
=
+i
.
10
10
=
12
Par conséquent, on obtient :
Z
π
cos(x)e3x dx =
0
2.2.2
−3 3π
(e + 1) .
10
Intégration par parties
2.2.2.1 Thorme Si f et g sont C 1 , alors :
Z b
Z b
t=b
0
f (t)g(t)dt = [f (t)g(t)]t=a −
f (t)g 0 (t)dt .
a
a
Preuve. Tout d’abord observons que, puisque f et g sont C 1 , toutes les fonctions considérées
sont continues. Il suffit alors d’écrire (f g)0 = f 0 g + f g 0 , soit f 0 g = (f g)0 − f g 0 , puis d’intégrer
cette égalité entre a et b .
2.2.2.2 Exemple Trouvons la primitive de la fonction ln qui s’annule en e :
Z x
Z x
Z x
1
t=x
t dt = (x ln(x) − e) − (x − e) = x ln(x) − x .
1 ln(t)dt = [t ln(t)]t=e −
ln(t)dt =
t
e
e
e
2.2.3
Changement de variable
2.2.3.1 Thorme Soit ϕ une fonction de classe C 1 sur [a; b] , dont les valeurs sont dans I .
Alors :
Z
Z
b
0
ϕ(b)
f (ϕ(t))ϕ (t)dt =
a
f (u)du .
ϕ(a)
Preuve. Hors programme, et admise.
2.2.3.2 Remarque Expliquons concrètement la méthode. Dans
R ϕ(b)
ϕ(a)
f (u)du , on pose u =
ϕ(t) (changement de variable, donné ou à trouver). Si t vaut a (resp. b ), alors u vaut ϕ(a)
du
(resp. ϕ(b) ), ce qui conduit à changer les bornes de l’intégrale. Ensuite,
= ϕ0 (t) , ou encore
dt
(bien que cette écriture soit formellement incorrecte au niveau BTS) du = ϕ0 (t)dt, que l’on
remplace dans l’intégrale.
13
2.2.3.3 Exemple Calculons, après avoir mis t2 + t + 1 sous forme canonique :
Z 1
Z 1
1
1
·³
¸ dt
dt =
´2
2
0 t +t+1
0 3
2t
1
√ + √
+1
4
3
3
√
Z √3
3
1
2
4
1
2t
=
du en posant u = √ + √ , d’où du = √ dt
2
3 √1 u + 1 2
3
3
3
3
√
2
3
= √ [arctan(u)]u=
u= √1
3
3
´
³
2 π π
= √
−
6
3 3
√
π 3
=
.
9
2.2.3.4 Exemple Supposons que f soit T -périodique. Alors l’intégrale de f sur une période
est constante ; par exemple :
Z
Z
T
T
2
f (t)dt =
0
Z
T
2
f (t)dt par la relation de Chasles
Z
T
2
0
f (t)dt +
f (u + T )du en posant u = t − T
− T2
0
Z
0
=
T
2
f (u)du +
Z
=
T
f (t)dt +
0
=
Z
Z
− T2
T
2
− T2
0
f (t)dt .
f (t)dt car f (u + T ) = f (u)
Chapitre 3
Séries numériques
3.1
3.1.1
Généralités
Définition d’une série
3.1.1.1 Dfinition Soit (un )n∈N une suite. On appelle série de terme général un la suite (Sn )n∈N
n
P
formée des sommes partielles Sn =
uk .
k=0
3.1.2
Convergence
3.1.2.1 Dfinition Si la suite (Sn ) converge, on dit que la série converge, et on note :
S = lim Sn =
n→+∞
3.1.3
+∞
X
uk .
k=0
Condition nécessaire de convergence
3.1.3.1 Thorme Si une série converge, alors son terme général tend vers 0.
Preuve. Si (Sn ) est une série convergente de terme général un , alors les suites (Sn−1 ) et
(Sn ) convergent vers la même limite. Ainsi, leur différence tend vers 0. Or, Sn − Sn−1 = un .
3.1.3.2 Remarque La contraposée de ce théorème est : “si le terme général ne tend pas vers
0, alors la série diverge”. C’est sous cette forme que le théorème est le plus souvent utilisé. Les
séries dont le terme général ne tend pas vers 0 sont dites grossièrement divergentes. Par
P
exemple, n sin n est une telle série.
14
15
3.2
Séries de référence
3.2.1
Séries géométriques
3.2.1.1 Dfinition Une série géométrique est une série dont le terme général est une suite
géométrique.
3.2.1.2 Proposition Une série géométrique converge si, et seulement si, la suite géométrique
dont elle est issue converge (vers 0).
Preuve. Utiliser l’égalité bien connue :
n
X
k=0
qk =
1 − q n+1
,
1−q
puis faire tendre n vers l’infini.
3.2.2
Séries de Riemann
3.2.2.1 Dfinition Une série de Riemann est une série de terme général
fixé.
1
où α est un réel
nα
3.2.2.2 Thorme Une série de Riemann converge si α > 1 , et diverge si α 6 1 .
Preuve. L’idée est de comparer une série de Riemann à une intégrale de la fonction
3.3
3.3.1
1
.
xα
Critères de convergence
Séries à termes positifs
Soient (un ) et (vn ) deux suites à termes positifs.
3.3.1.1 Thorme Si un 6 vn à partir d’un certain rang, alors :
P
P
1. si
vn converge, alors
un converge ;
P
P
2. si
un diverge, alors
vn diverge.
Preuve. Dans le premier cas, utiliser le fait qu’une suite croissante et majorée converge. La
deuxième assertion n’est que la contraposée de la première.
3.3.1.2 Dfinition On dit que un est équivalent à vn , noté un ∼ vn , si le quotient
vers 1.
un
tend
vn
16
3.3.1.3 Thorme Si un ∼ vn , alors les séries
P
un et
P
vn sont de même nature (convergente
ou divergente).
un+1
3.3.1.4 Thorme (critère de d’Alembert) Supposons que L = lim
existe.
n→+∞ un
P
1. Si L < 1, alors
un converge ;
P
2. si L > 1, alors
un diverge ;
3. si L = 1, alors on ne peut rien affirmer.
3.3.2
Séries à termes de signe quelconque
3.3.2.1 Dfinition Une série est dite alternée si le signe de son terme général est alternativement positif et négatif.
3.3.2.2 Proposition Une série alternée
3.3.2.3 Dfinition Une série
P
P
un , telle que (|un |) décroit vers 0, converge.
un est dite absolument convergente si
P
|un | converge.
3.3.2.4 Proposition Une série absolument convergente est convergente, mais la réciproque
est fausse.
Chapitre 4
Séries de Fourier
4.1
Introduction
4.1.1
Joseph Fourier
Joseph Fourier (1768-1830), étudia à l’Ecole Royale Militaire d’Auxerre et, dès l’âge de
treize ans, manifesta un intérêt certain pour les mathématiques, mais hésita à devenir prêtre
(il entra à Saint-Benoı̂t-sur-Loire, qu’il quitta en 1789). En 1793, il se joint à un comité
révolutionnaire mais, sous la Terreur, faillit être guillotiné (la mort de Robespierre lui permit
d’en réchapper). Il eut, à l’Ecole Normale Supérieure, Lagrange et Laplace comme professeurs,
obtint un poste à l’Ecole Centrale de Travaux Publics, puis enseigna à l’Ecole Polytechnique.
Il participa à la campagne d’Egypte sous Napoléon, fut nommé préfet de l’Isère et, là, étudia
la théorie de la propagation de la chaleur, ce qui le mena à la décomposition des fonctions
périodiques.
4.1.2
Première approche
Considérons les fonctions indexées par n définies par :
n−1
4X 1
Sn (t) =
sin[(2k + 1)2πt].
π k=0 2k + 1
Considérons ensuite le signal en créneau f de période 1 :
Ce signal est discontinu, donc a fortiori non dérivable. Nous allons l’approcher par ses
sommes de Fourier Sn , qui sont des fonctions sinusoı̈dales (polynômes trigonométriques,
infiniment dérivables et commodes pour les calculs). Traçons donc quelques unes de ces sommes,
et observons leurs allures :
17
18
Nous pouvons déjà noter que, plus n est grand, plus la somme de Fourier semble se rapprocher du signal en créneau. Plus précisément, Sn converge vers f en tout point de continuité
de f . Cela dit, près d’une discontinuité de f , il reste toujours une “crête”, de plus en plus
proche de la discontinuité, mais d’amplitude constante (environ 9% du saut de discontinuité, à
mesurer sur les dessins !). C’est le phénomène de Gibbs (Josiah Willard Gibbs, américain,
1839-1903). Ceci conduit à faire des moyennes de Cesaro des sommes de Fourier (appelées
sommes de Fejér), rendant la convergence bien meilleure (mais c’est hors programme).
4.2
Coefficients de Fourier
Dans cette partie, nous allons définir la somme de Fourier SN (f ) d’une fonction périodique
f ; nous étudierons la convergence de cette somme vers f dans la prochaine section (mais il faut
garder à l’idée que SN (f ) est une approximation de f ).
4.2.1
Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier
Dans la suite, soit f une fonction T -périodique continue par morceaux, et soit ω =
2π
.
T
4.2.1.1 Remarque Attention, les définitions des coefficients des séries de Fourier sont différentes
d’un ouvrage à l’autre. Il est donc vivement recommandé d’être vigilant... Les conventions employées ici sont celles du formulaire de BTS.
4.2.1.2 Dfinition Pour n dans Z, on définit les nombres complexes :
cn (f ) =
1T
f (t)e−iωnt dt .
T0
Ces nombres sont appelés les coefficients de Fourier complexes de f.
4.2.1.3 Remarque Vu que t 7−→ f (t)e−iωnt est aussi T −périodique (à vérifier), on pouvait
l’intégrer sur n’importe quel intervalle de longueur T (à vérifier, par un changement de variable),
par exemple [− T2 ; T2 ] . Le choix est purement pratique et dépend du signal considéré.
4.2.1.4 Dfinition Soit N dans N. La somme de Fourier d’ordre N de f est la fonction
définie par :
iωnx
SN (f )(x) =N
.
n=−N cn (f )e
19
4.2.1.5 Proposition Soit n dans N. On a les résultats suivants :
Z
2 T
cn (f ) + c−n (f ) =
f (t) cos(ωnt)dt ;
T 0
Z
2 T
i(cn (f ) − c−n (f )) =
f (t) sin(ωnt)dt .
T 0
Preuve. On calcule simplement :
cn (f ) + c−n (f ) =
=
=
=
Z
1 T
T 0
Z
1 T
T 0
Z
1 T
T 0
Z
2 T
T 0
puis :
1
i(cn (f ) − c−n (f )) = i
T
Z
f (t)e
−iωnt
1
dt +
T
Z
T
f (t)eiωnt dt
0
f (t)(eiωnt + e−iωnt )dt
f (t).2 cos(ωnt)dt
f (t) cos(ωnt)dt ;
T
−iωnt
f (t)e
0
Z
1
dt − i
T
Z
T
f (t)eiωnt dt
0
T
1
f (t)(eiωnt − e−iωnt )dt
T 0
Z
1 T
= −i
f (t).2i sin(ωnt)dt
T 0
Z
2 T
=
f (t) sin(ωnt)dt .
T 0
= −i
On a bien démontré nos deux égalités, en utilisant les formules d’Euler.
4.2.1.6 Notation On définit, pour n dans N∗ , des nombres réels (appelés coefficients de
Fourier réels) par :
a0 (f ) =
1T
f (t)dt ;
T0
an (f ) =
2T
f (t) cos(ωnt)dt ;
T0
bn (f ) =
2T
f (t) sin(ωnt)dt .
T0
4.2.1.7 Corollaire Soit n dans N∗ . On en déduit les égalités fondamentales suivantes :
cn (f )eiωnx + c−n (f )e−iωnx = an (f ) cos(ωnx) + bn (f ) sin(ωnx) ;
Z
1 T
f (t)dt = a0 (f ) .
c0 (f ) =
T 0
20
Preuve. On calcule directement, en utilisant la relation eit = cos t + i sin t , et en n’oubliant
pas que cos(−t) = cos t :
cn (f )eiωnx + c−n (f )e−iωnx = cn (f )[cos(ωnx) + i sin(ωnx)] + c−n (f )[cos(ωnx) − i sin(ωnx)]
= [cn (f ) + c−n (f )] cos(ωnx) + i[cn (f ) − c−n (f )] sin(ωnx)
= an (f ) cos(ωnx) + bn (f ) sin(ωnx) .
Ensuite :
Z
1 T
c0 (f ) =
f (t)e−i0ωt dt
T 0
Z
1 T
=
f (t)dt
T 0
= a0 (f ) .
Et nous avons démontré le corollaire.
4.2.1.8 Remarque Le coefficient c0 (f ) = a0 (f ) est la valeur moyenne de f .
4.2.1.9 Conclusion Soit N dans N∗ . On obtient le résultat fondamental suivant :
SN (f )(x) = a0 (f ) +N
n=1 [an (f ) cos(ωnx) + bn (f ) sin(ωnx)] ,
et en particulier SN (f ) est une fonction à valeurs réelles (ce qui n’était a priori pas
évident).
Preuve. On calcule directement :
N
X
SN (f )(x) =
cn (f )eiωnx
n=−N
= c0 (f ) +
N
X
[cn (f )eiωnx + c−n (f )e−iωnx ] ,
n=1
ce qui mène directement au résultat en utilisant le corollaire précédent.
4.2.1.10 Dfinition Le terme a1 (f ) cos(ωx) + b1 (f ) sin(ωx) est appelé le fondamental (de
fréquence
1
).
T
Pour n > 2, le terme an (f ) cos(ωnx) + bn (f ) sin(ωnx) est appelé harmonique
de rang n (c’est un signal de fréquence
4.2.2
n
,
T
multiple du fondamental).
Propriétés des coefficients
Nous déterminerons concrètement ultérieurement des coefficients de Fourier usuels, mais
il faut d’abord voir quelques propriétés fondamentales de ces coefficients et quelques astuces
pratiques qui permettent de gagner du temps dans les calculs.
21
Propriétés algébriques
4.2.2.1 Proposition On retrouve les coefficients complexes à partir des coefficients réels grâce
aux formules, valables pour n dans N∗ :
1
[an (f ) − ibn (f )] ;
2
1
c−n (f ) =
[an (f ) + ibn (f )] .
2
cn (f ) =
Preuve. Utiliser la proposition 4.2.1.5.
4.2.2.2 Proposition Les coefficients complexes d’indices opposés sont conjugués :
pour n dans N , c−n (f ) = cn (f ) .
Preuve. Utiliser la proposition précédente.
Energie et spectre des fréquences
4.2.2.3 Proposition L’énergie de l’harmonique de rang n > 1 est (par définition) le nombre :
En (f ) = |cn (f )|2 + |c−n (f )|2 =
an (f )2 + bn (f )2
.
2
Preuve. Utiliser la proposition 4.2.2.1 pour démontrer la deuxième égalité.
4.2.2.4 Dfinition Le spectre des fréquences de f s’obtient en représentant les fréquences
p
n
des harmoniques en abscisse, et |cn (f )| + |c−n (f )| = an (f )2 + bn (f )2 en ordonnée.
T
Limites
4.2.2.5 Thorme (lemme de Riemann-Lebesgue) Les coefficients de Fourier tendent vers
0 à l’infini :
lim |cn (f )| = lim |cn (f )| = lim an (f ) = lim bn (f ) = 0 .
n→+∞
n→−∞
n→+∞
n→+∞
4.2.2.6 Remarque
1. Ainsi, lorsque n est grand, l’harmonique de rang n est négligeable
(son amplitude est petite). Mais attention, ceci ne veut pas dire que l’importance des
harmoniques va forcément en décroissant (une harmonique de rang élevé peut être dominante).
22
2. En pratique, on va négliger les termes de rangs “élevés” de la somme de Fourier. Tout
dépend du degré de précision souhaité. En général, on fait un spectre des fréquences,
et par une appréciation pifométrique du plus bel effet, on oublie les harmoniques qui
représentent un “faible” pourcentage de l’énergie totale.
3. En fait, plus f est régulière (i.e. dérivable), plus on est assuré de la décroissance rapide
0
des coefficients de Fourier (l’idée est de comparer cn (f ) et cn (f ), puis par extension cn (f )
et cn (f (k) ) ).
Parité du signal
4.2.2.7 Proposition
1. Si f est une fonction paire, alors ses coefficients bn (f ) sont nuls, et
donc ses sommes de Fourier ne sont composées que de cosinus.
2. Si f est une fonction impaire, alors ses coefficients an (f ) sont nuls, et donc ses sommes
de Fourier ne sont composées que de sinus.
Preuve. Prouvons par exemple la deuxième assertion. Comme on l’a déjà précisé, on peut
calculer les coefficients de Fourier de f en intégrant sur [− T2 ; T2 ]. Ensuite, puisque t 7−→ cos(ωnt)
est paire, on remarque que t 7−→ f (t) cos(ωnt) est impaire ; ainsi son intégrale, sur un intervalle
symétrique comme [− T2 ; T2 ] , est nulle. Ce qui signifie que an (f ) = 0.
4.2.2.8 Exemple Les sommes de Fourier du signal en créneau considéré dans l’introduction
ne sont composées que de sinus, puisque ce signal est impair.
4.3
Théorèmes de convergence
4.3.1
Egalité de Bessel-Parseval
4.3.1.1 Dfinition La norme euclidienne de f est le nombre réel :
µ
kf k =
4.3.1.2 Remarque
1
T
Z
T
f (t)2 dt
¶ 21
.
0
1. Les coefficients de Fourier sont en fait définis grâce à un produit sca-
laire (hors programme) sur l’espace des fonctions T -périodiques continues par morceaux,
et la norme de f est issue de ce produit scalaire, d’où son qualificatif “euclidienne”.
2. La norme euclidienne de f est la valeur efficace du signal f sur une période.
3. Le carré de la valeur efficace de f est l’énergie du signal f sur une période : E(f ) = kf k2 .
23
4.3.1.3 Thorme (égalité de Bessel-Parseval) On a l’égalité fondamentale suivante :
+∞
2
2
kf k2 =+∞
n=−∞ |cn (f )| = a0 (f ) +n=1
an (f )2 + bn (f )2
.
2
4.3.1.4 Remarque
1. On récupère au passage le lemme de Riemann-Lebesgue 4.2.2.5. En
effet, puisque les séries considérées convergent, leurs termes généraux tendent vers 0.
2. Cette égalité nous permettra de calculer la somme de quelques séries usuelles, l’idée étant
de créer un signal périodique dont les coefficients de Fourier sont “semblables” aux termes
de la série étudiée.
4.3.1.5 Remarque En termes physiques, l’énergie d’un signal périodique f est la somme des
énergies des harmoniques (cf 4.2.2.3) et du carré de la valeur moyenne :
2
E(f ) = a0 (f ) +
+∞
X
En (f ) .
n=1
4.3.2
Convergence des séries de Fourier
4.3.2.1 Dfinition On dit que f est C 1 par morceaux s’il existe une subdivision 0 = x0 < x1 <
· · · < xp = T de l’intervalle [0; T ] telle que, pour 0 6 i 6 p − 1 , la restriction de f à ]xi ; xi+1 [
est prolongeable par continuité sur [xi ; xi+1 ] en une fonction de classe C 1 .
4.3.2.2 Thorme (Dirichlet) Si f est de classe C 1 par morceaux, alors, quel que soit x , la
série de Fourier SN (f )(x) converge vers la demi-somme des limites à droite et à gauche de f
en x . Formellement :
∀x ∈ R,
lim SN (f )(x) =
N →+∞
f (x+ ) + f (x− )
.
2
4.3.2.3 Corollaire Si f est continue en x , alors SN (f )(x) converge vers f (x) lorsque N tend
vers l’infini.
4.3.2.4 Remarque
1. La vérification systématique des conditions du théorème de Diri-
chlet n’est pas un objectif du programme de BTS. On retiendra que tout honnête signal
périodique les satisfait...
24
2. Le théorème confirme, sous certaines conditions, que les sommes de Fourier de f en sont
des approximations. Mais encore une fois attention, si f n’est pas continue, la convergence
est simple (i.e. se traite pour un x donné), mais pas uniforme (i.e. partout de la même
manière). En effet, il se produit le phénomène de Gibbs aux discontinuités. Par contre, si
f est continue, alors il n’y a pas de phénomène de Gibbs, et la convergence de la série de
Fourier de f est uniforme (on le constatera graphiquement sur les exemples de la section
4.4).
4.4
Sommes de Fourier de signaux usuels
Nous allons ici déterminer les sommes de Fourier de deux signaux électriques classiques.
4.4.1
Signal en créneau
Calcul des coefficients
C’est le signal que nous avons étudié dans l’introduction. On calcule les coefficients de
Fourier de f :
an = 0 car f est impaire ;
Z 1
2π
2 2
f (t) sin( nt)dt
bn =
1 − 12
1
Z 1
2
f (t) sin(2πnt)dt par parité de la fonction intégrée
= 4
Z
0
1
2
= 4
·
=
=
=
=
sin(2πnt)dt
0
¸t= 12
cos(2πnt)
4 −
2πn
t=0
4
(− cos(πn) + cos(0))
2πn
2
(1 − (−1)n ) car cos(πn) = (−1)n (faire un cercle trigo pour s’en convaincre)
πn

 0 si n est pair
.
 4 si n est impair
πn
Ainsi, on trouve :
SN (x) =
N
X
n=1
n impair
4
sin(2πnx) ,
πn
25
ce qui correspond bien à la formule de l’introduction (dire que n est impair, c’est dire qu’il
s’écrit 2k +1). Puisque f est C 1 par morceaux mais pas continue, sa somme de Fourier converge
simplement (théorème de Dirichlet).
Représentations graphiques
4.4.2
Signal en triangle
Calcul des coefficients
Considérons le signal 2π-périodique f , défini sur [−π; π] par f (t) = |t| (voir plus bas sa
représentation graphique). Il faut observer immédiatement que :
1. la fonction f est paire, donc ses coefficients bn sont nuls (cf 4.2.2.7) ;
2. la fonction f est C 1 par morceaux et continue, ce qui assure une convergence uniforme
de sa série de Fourier.
Calculons :
a0 =
=
=
=
an =
=
=
=
=
=
Z π
1
|t|dt
2π −π
Z π
1
2
|t|dt par parité de la fonction valeur absolue
2π 0
Z
1 π
tdt
π 0
π
;
2
Z π
2
|t| cos(nt)dt
2π −π
Z
2 π
t cos(nt)dt par parité de la fonction intégrée
π 0
·
¸t=π
Z
2 π sin(nt)
2 sin(nt)
−
dt en intégrant par parties
t
π
n
π 0
n
t=0
·
¸t=π
2 − cos(nt)
−
car sin(nπ) = 0
πn
n
t=0
2
((−1)n − 1)
2
πn


0 si n est pair
.
 − 4 si n est impair
πn2
26
Ainsi, on trouve :
N
X
4
π
SN (x) = −
cos(nx).
2
πn2
n=1
n impair
Représentations graphiques
Energies et approximation
L’énergie du signal f sur une période est :
1
E = kf k =
2π
2
Z
π
1
|t| dt =
π
−π
Z
π
2
0
· ¸t=π
π2
1 t3
=
t dt =
.
π 3 t=0
3
2
L’énergie de l’harmonique de rang n est nulle si n est pair. Si n est impair, elle vaut :
µ
¶2
a2n + b2n
1 −4
8
En =
=
= 2 4 .
2
2
2 πn
π n
La formule de Parseval appliquée à f donne :
+∞
+∞
X
π2
π2 X 8
2
= E = a0 +
En =
+
.
3
4
π 2 n4
n=1
n=1
(On remarquera au passage que cette égalité permet de calculer la somme d’une série
numérique.)
Ce qui nous intéresse, c’est de savoir où tronquer la série de Fourier. Pour cela, on calcule :
π2
3
π2
=
4
π2
=
4
π2
=
4
E =
' 3, 2899 ;
a20
' 2, 4674 soit 75% de E ;
a20 + E1
a20 + E1 + E3
8
' 3, 2780 soit environ 99, 64% de E ;
π2
8
8
+ 2+
' 3, 2880 soit environ 99, 94% de E .
π
81π 2
+
On peut donc raisonnablement approcher f par la valeur moyenne et le fondamental, c’està-dire S1 . En fait, plus on est précis, plus les calculs sont lourds. Tout est une question de
dosage. Mais attention, au niveau BTS, on ne contrôle pas réellement l’erreur commise lors des
calculs, et donc on ne fait plus vraiment des mathématiques...
Chapitre 5
Equations différentielles
5.1
5.1.1
Préliminaires
Introduction
5.1.1.1 Dfinition Une équation différentielle d’ordre n est une équation reliant une fonction y (n fois dérivable) à ses n premières dérivées.
5.1.1.2 Dfinition Résoudre une telle équation, c’est trouver toutes les fonctions y satisfaisant cette équation.
5.1.1.3 Notation Si y est une fonction dérivable du temps, alors on note y 0 ou
dy
sa dérivée
dt
d2 y
première, y 00 ou 2 sa dérivée seconde, etc... On prendra garde à éviter l’abus de notation
dt
dy
classique :
n’est pas un nombre, c’est une fonction.
dt
5.1.1.4 Exemple Si y(t) = sin(3πt), alors
5.1.2
dy
(t) = y 0 (t) = 3π cos(3πt) .
dt
Exemple fondamental
5.1.2.1 Exemple Si l’on se place dans un circuit série RLC soumis à une tension e(t), alors
l’intensité i(t) induite par cette différence de potentiel vérifie l’équation :
Z
di
1 t
L (t) + Ri(t) +
i(u)du = e(t).
dt
C 0
Si le signal e est dérivable, on peut dériver cette équation, et l’on obtient l’équation différentielle
linéaire du second ordre à coefficients constants suivante :
L
d2 i
di
1
de
(t) + R (t) + i(t) = (t),
2
dt
dt
C
dt
27
28
ou, si l’on reprend les notations mathématiques :
1
Li00 (t) + Ri0 (t) + i(t) = e0 (t).
C
5.1.2.2 Remarque
1. Si le signal e n’est pas dérivable, la démarche précédente ne peut
s’appliquer. La théorie des distributions, qui contourne cet obstacle, permet de s’en sortir,
mais elle est hors programme. Ceci dit, l’utilisation de la transformation de Laplace (au
programme) se révèlera fort utile.
2. Si e est périodique, une autre manière de s’affranchir de sa non-dérivabilité est de lui
substituer une somme de Fourier l’approchant. Celle-ci est non seulement dérivable, mais
aussi sa simplicité permet de résoudre explicitement l’équation différentielle (de manière
approchée).
5.2
Equations différentielles linéaires du premier ordre
5.2.1
Définitions et structure des solutions
5.2.1.1 Dfinition Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est une équation (E)
de la forme :
a(t)y 0 (t) + b(t)y(t) = c(t),
où a, b, et c sont des fonctions continues sur un intervalle I, avec a(t) 6= 0 sur I.
5.2.1.2 Dfinition L’équation homogène associée à (E) est l’équation sans second membre
(E ∗ ) :
a(t)y 0 (t) + b(t)y(t) = 0.
5.2.1.3 Thorme La solution générale de (E) est obtenue en ajoutant une solution particulière de (E) à la solution générale de (E ∗ ).
Preuve. Soit y1 une solution particulière de (E). Elle vérifie donc a(t)y10 (t)+b(t)y1 (t) = c(t).
Ensuite :
y est solution de (E)
⇐⇒ a(t)y 0 (t) + b(t)y(t) = c(t)
⇐⇒ a(t)y 0 (t) + b(t)y(t) = a(t)y10 (t) + b(t)y1 (t)
⇐⇒ a(t)(y 0 (t) − y10 (t)) + b(t)(y(t) − y1 (t)) = 0
⇐⇒ a(t)(y − y1 )0 (t) + b(t)(y − y1 )(t) = 0
⇐⇒ y ∗ = y − y1 est solution de (E ∗ ).
29
Ainsi, étant données la solution particulière y1 de (E) et la solution générale y ∗ de (E ∗ ), la
solution générale de (E) est bien de la forme y = y ∗ + y1 .
5.2.2
Résolution de l’équation homogène
Coefficients constants
On suppose ici que les deux fonctions a et b sont constantes, avec a 6= 0.
Dans ce cas l’équation (E ∗ ) s’écrit ay 0 + by = 0, et l’intervalle d’étude est R car a est
y0
b
une constante. Supposons que y ne s’annule jamais. On peut alors écrire
= − . Ensuite,
y
a
puisque y ne s’annule pas, elle ne change pas de signe, et on peut supposer par exemple qu’elle
est toujours strictement positive. Ainsi, nous pouvons primitiver notre relation en ln |y(t)| =
b
b
ln y(t) = − t + k , où k est une constante. Ceci montre alors que y(t) = exp(− t + k). Et si,
a
a
b
pour finir, on note K = ek , alors y(t) = Ke− a t . Tout ceci nous conduit à énoncer :
b
5.2.2.1 Thorme Les solutions de ay 0 + by = 0 sont de la forme Ke− a t , où K est une constante
réelle.
b
Preuve. Soit y(t) = Ke− a t . On vérifie aisément que y est solution de (E ∗ ) :
b
b
b
b
b
ay 0 (t) + by(t) = − aKe− a t + bKe− a t = −bKe− a t + bKe− a t = 0.
a
Réciproquement, supposons que y soit solution de (E), ce qui signifie que ay 0 + by = 0.
b
Posons f (t) = y(t)e a t . Cette fonction est dérivable, et :
b
b b
1 b
f 0 (t) = y 0 (t)e a t + y(t) e a t = e a t (ay 0 + by)(t) = 0.
a
a
b
Ainsi, f est une constante K sur l’intervalle R, i.e. f (t) = K, ou encore y(t) = Ke− a t .
1
5.2.2.2 Exemple Les solutions de l’équation 2x0 + x = 0 sont de la forme Ke− 2 t .
Cas général
Ici les deux fonctions a et b sont quelconques, avec a 6= 0 sur un intervalle I.
Dans ce cas l’équation (E ∗ ) s’écrit a(t)y 0 (t) + b(t)y(t) = 0. On peut, pour t ∈ I, écrire
b(t)
b(t)
y 0 (t)
=−
, en supposant que y ne s’annule pas sur I. Notons F (t) une primitive de
.
y(t)
a(t)
a(t)
Si y est strictement positive, on a comme dans le cas constant ln y(t) = −F (t) + k, et ainsi
y(t) = exp(−F (t) + k). Si l’on note K = ek , alors y(t) = Ke−F (t) . Tout ceci nous conduit à
énoncer :
30
5.2.2.3 Thorme Les solutions de a(t)y 0 (t) + b(t)y(t) = 0 sont de la forme Ke−F (t) , où K est
b(t)
.
une constante réelle et F (t) une primitive de
a(t)
Preuve. Exercice. La démarche est la même que celle de la preuve du théorème 5.2.2.1.
5.2.2.4 Exemple Soit l’équation, définie sur I =] − 1; +∞[, par (t + 1)w0 + (t − 1)w = 0.
b(t)
t−1
t+1−2
2
On a ici
=
=
= 1−
. Une primitive sur I est donnée par F (t) =
a(t)
t+1
t+1
t+1
t − 2 ln |t + 1| = t − 2 ln(t + 1). Les solutions de l’équation différentielle sont donc de la forme
w(t) = K exp(−t + 2 ln(t + 1)) = Ke−t (t + 1)2 .
5.2.3
Recherche d’une solution particulière et solution générale
On vient de voir que la résolution des équations homogènes ne pose pas problème. En suivant
le résultat du théorème 5.2.1.3, il nous reste donc à trouver une solution particulière de (E),
dans le cas où c(t) est un polynôme (exigible sans indication) ou un polynôme trigonométrique
(non exigible sans indication, mais très utile). La méthode de la variation de la constante n’est
pas au programme.
Le second membre est un polynôme
On cherche une solution particulière sous la forme d’un polynôme de même degré que c(t).
5.2.3.1 Exemple Soit (E) l’équation y 0 (x) − y(x) = x2 − x − 1.
1. L’équation homogène (E ∗ ) est y 0 − y = 0, et ainsi ses solutions sont de la forme y ∗ (x) =
Kex .
2. Ici c(t) = x2 −x−1, polynôme du second degré. On cherche donc une solution particulière
y1 sous la forme d’un polynôme du second degré y1 (x) = αx2 + βx + γ. On remplace dans
(E) :
y10 (x) − y1 (x)
x2 − x − 1 ⇐⇒ 2αx + β − αx2 − βx − γ = x2 − x − 1




−α
=
1



 α = −1
⇐⇒
2α − β = −1 ⇐⇒
β = −1 .




 β − γ = −1
 γ=0
=
Ainsi y1 (x) = −x2 − x est une solution particulière de (E).
3. La solution générale de (E) est donc donnée par y(x) = y ∗ (x) + y1 (x) = Kex − x2 − x, où
K est une constante réelle (qui ne pourra être déterminée qu’avec une condition initiale).
31
Le second membre est un polynôme trigonométrique
Ce cas se présente en particulier lorsqu’on procède comme dans le deuxième point de la
remarque 5.1.2.2.
5.2.3.2 Exemple Soit (E) l’équation y 0 (t) − 2y(t) = 13 sin 3t, sur l’intervalle I = R.
1. L’équation homogène (E ∗ ) est y 0 − 2y = 0, et ainsi ses solutions sont de la forme y ∗ (x) =
Ke2t .
2. Ici c(t) = 13 sin 3t, polynôme trigonométrique possédant une seule fréquence. On cherche
donc une solution particulière y1 sous la forme d’un polynôme trigonométrique de même
fréquence fondamentale y1 (t) = A cos 3t + B sin 3t. On remplace dans (E) :
y10 (t) − 2y1 (t)
=
13 sin 3t
⇐⇒ −3A sin 3t + 3B cos 3t − 2A cos 3t − 2B sin 3t = 13 sin 3t
(
(
A = −3
−3A − 2B = 13
.
⇐⇒
⇐⇒
B = −2
3B − 2A = 0
Ainsi y1 (t) = −3 cos 3t − 2 sin 3t est une solution particulière de (E).
3. La solution générale de (E) est donc donnée par y(t) = y ∗ (x) + y1 (x) = Ke2t − 3 cos 3t −
2 sin 3t, où K est une constante réelle (qui ne pourra être déterminée qu’avec une condition
initiale).
5.2.4
Utilisation d’une condition initiale
La donnée d’une condition initiale permet de déterminer exactement la solution de (E) +
condition initiale (appelé problème de Cauchy).
5.2.4.1 Thorme Etant donnée une condition initiale sur les solutions, une équation différentielle
linéaire du premier ordre possède une unique solution.
Preuve. On rappelle que les solutions de (E) sont données par y(t) = Ke−F (t) + y1 (t), où
b(t)
F (t) est une primitive de
et y1 une solution particulière de (E). Il s’agit donc de fixer K
a(t)
grâce à la condition initiale y(t0 ) = y0 . On remplace : y0 = y(t0 ) = Ke−F (t0 ) + y1 (t0 ) ⇐⇒ K =
y0 − y1 (t0 )
. Ainsi la constante K est déterminée de manière unique.
e−F (t0 )
5.2.4.2 Remarque Bien sûr il ne faut pas retenir par coeur la formule donnant K.
32
5.2.4.3 Exemple Cherchons la solution de l’équation de l’exemple 5.2.3.2 vérifiant y(0) = 1.
On remplace cette condition initiale dans la solution générale de (E) : 1 = y(0) = Ke0 −
3 cos 0 − 2 sin 0, ce qui donne 1 = K − 3, ou encore K = 4. Finalement la solution du problème
de Cauchy est y(t) = 4e2t − 3 cos 3t − 2 sin 3t.
5.3
Equations différentielles linéaires du second ordre à
coefficients constants
L’étude du cas général (coefficients quelconques) n’est pas au programme.
5.3.1
Définitions et structure des solutions
5.3.1.1 Dfinition Une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants
est une équation (E) de la forme :
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy(t) = d(t),
où a, b et c sont des constantes, avec a 6= 0.
5.3.1.2 Dfinition L’équation homogène associée à (E) est l’équation sans second membre
(E ∗ ) :
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy(t) = 0.
5.3.1.3 Thorme La solution générale de (E) est obtenue en ajoutant une solution particulière de (E) à la solution générale de (E ∗ ).
Preuve. Exercice. La démarche est identique à celle de la preuve du théorème 5.2.1.3.
5.3.2
Résolution de l’équation homogène
Espace des solutions
5.3.2.1 Thorme Si f et g sont deux solutions non proportionnelles de (E ∗ ), alors l’ensemble
des solutions de (E ∗ ) est composé des fonctions de la forme C1 f + C2 g, où C1 et C2 sont des
constantes réelles.
Preuve. Si f et g sont deux solutions, il est facile de vérifier que C1 f + C2 g est encore
solution. Réciproquement, toute solution est de cette forme (admis).
33
5.3.2.2 Remarque Ainsi, si l’on trouve deux fonctions solutions non proportionnelles, on
obtient toutes les solutions par combinaison linéaire de ces 2 fonctions.
Equation caractéristique
En se souvenant des fonctions solutions des équations différentielles du premier ordre, on est
amené à chercher si des fonctions exponentielles sont solutions de (E ∗ ). Posons donc y(t) = ert
et supposons que cette fonction soit solution. On remplace dans (E ∗ ) et on obtient ar2 ert +
brert + cert = 0, soit ert (ar2 + br + c) = 0. Puisqu’une exponentielle n’est jamais nulle, ceci
signifie que ar2 + br + c = 0.
5.3.2.3 Dfinition L’équation du second degré ar2 + br + c = 0 est appelée équation caractéristique de l’équation homogène (E ∗ ).
Résolution de l’équation caractéristique et formes des solutions
Soit ∆ le discriminant de l’équation caractéristique.
Il y a donc deux solutions réelles r1 et r2 . Les deux fonctions f1 (t) = er1 t et f2 (t) = er2 t
f1 (t)
er1 t
∗
sont deux solutions de (E ) qui ne sont pas proportionnelles car le rapport
= r2 t =
f2 (t)
e
er1 t−r2 t = e(r1 −r2 )t n’est pas constant. Ainsi, les solutions de (E ∗ ) sont de la forme C1 er1 t +C2 er2 t ,
∆>0
où C1 et C2 sont des constantes réelles.
b
, qui fournit déjà une solution f1 (t) = ert
2a
de (E ∗ ). On cherche (et c’est en fait une méthode de variation de la constante) une deuxième
∆=0
Il y a une seule solution réelle double r = −
solution sous la forme f2 (t) = w(t)f1 (t) = w(t)ert . On remplace dans (E ∗ ) :
y2 solution de (E ∗ )
⇐⇒ ay200 (t) + by20 (t) + cy2 (t) = 0
⇐⇒ a[w00 (t)ert + 2w0 (t)rert + w(t)r2 ert ] + b[w0 (t)ert + w(t)rert ] + cw(t)ert = 0
⇐⇒ a[w00 (t) + 2w0 (t)r + w(t)r2 ] + b[w0 (t) + w(t)r] + cw(t) = 0
⇐⇒ aw00 (t) + (2ar + b)w0 (t) + (ar2 + br + c)w(t) = 0
b
est solution de l’équation caractéristique
⇐⇒ aw00 (t) = 0 car r = −
2a
⇐⇒ w00 (t) = 0 car a 6= 0.
Ainsi on peut prendre w(t) = t, et f2 (t) = w(t)f1 (t) = tert . On vérifie aisément que f1 et
f2 (t)
f2 ne sont pas proportionnelles car le rapport
= t n’est pas constant. Par conséquent,
f1 (t)
34
les solutions de (E ∗ ) sont de la forme C1 ert + C2 tert = ert (C1 + C2 t), où C1 et C2 sont des
constantes réelles.
∆<0
Il y a deux solutions complexes conjuguées r1 = α + iβ et r2 = α − iβ, où α et β sont
deux réels avec β 6= 0. Les fonctions g1 (t) = er1 t et g2 (t) = er2 t sont solutions de (E ∗ ) à valeurs
complexes. On obtient d’autres solutions par combinaison linéaire complexe, en particulier :
(
f1 (t) = eαt cos βt = 12 (er1 t + er2 t )
.
f2 (t) = eαt sin βt = 2i1 (er1 t − er2 t )
Ces deux nouvelles fonctions solutions sont à valeurs réelles et ne sont pas proportionnelles
car leur rapport n’est pas une constante. Ainsi, les solutions de (E ∗ ) sont de la forme C1 f1 (t) +
C2 f2 (t) = eαt (C1 cos βt + C2 sin βt), où C1 et C2 sont des constantes réelles.
Conclusion
5.3.2.4 Thorme Les solutions de l’équation ay 00 + by 0 + cy = 0 avec a 6= 0 sont :
discriminant ∆
de ar2 + br + c = 0
Solutions sur un intervalle
C1 er1 t + C2 er2 t
∆>0
où r1 et r2 sont les deux solutions
.
ert (C1 + C2 t)
∆=0
où r est la solution double
eαt (C1 cos βt + C2 sin βt)
∆<0
où α et β sont les parties réelle et imaginaire des solutions
5.3.2.5 Remarque Si l’on pose C =
trouver un nombre ϕ tel que
√
µ
C1 + C2 , alors
C1
C
µ
¶2
+
C2
C
¶2
= 1 et on peut donc
C2
C1
= sin ϕ et
= cos ϕ. Dans ces conditions :
C
C
C1
C2
cos βt +
sin βt)
C
C
= Ceαt (sin ϕ cos βt + cos ϕ sin βt)
eαt (C1 cos βt + C2 sin βt) = Ceαt (
= Ceαt sin(βt + ϕ),
qui est une forme assez commode pour l’expression des solutions dans le cas ∆ < 0.
35
5.3.2.6 Exemple Revenons à notre circuit série RLC, dont l’équation homogène est Li00 +
L
1
Ri0 + i = 0. Le discriminant de l’équation caractéristique est ∆ = R2 − 4 , et ainsi il
C
C
r
L
s’annule lorsque R = 2
.
C
5.3.3
Recherche d’une solution particulière et solution générale
La recherche d’une solution particulière est exigible sans indication si le second membre est
un polynôme. Dans les autres cas, la démarche sera donnée mais elle n’est pas exigible.
Le second membre est un polynôme
On cherche une solution particulière sous la forme d’un polynôme de même degré que d(t).
On procède exactement de la même manière que dans l’exemple 5.2.3.1, par identification des
coefficients du polynôme-candidat.
Le second membre est un polynôme trigonométrique
Dans ce cas également, la méthode est identique à celle de l’exemple du premier degré
5.2.3.2. On cherche la solution sous la forme d’un polynôme trigonométrique semblable à d(t).
Le second membre est une fonction exponentielle-polynôme
Ici d(t) = eλt P (t), où P est un polynôme. On cherche les solutions sous la forme eλt Q(t),
où Q est un polynôme de dégré celui de P plus 1. On procède ensuite par identification des
coefficients de Q comme dans les cas précédents.
5.3.4
Utilisation d’une condition initiale
La donnée d’une condition initiale (généralement au temps t0 = 0) permet de déterminer
exactement la solution de (E) + condition initiale (appelé problème de Cauchy) :

00
0


 ay (t) +(by (t) + cy(t) = d(t)
.
y(t0 ) fixé



y 0 (t ) fixé
0
5.3.4.1 Thorme Etant données une condition initiale sur les solutions et une sur leurs dérivées,
une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants possède une unique
solution.
36
Preuve. On se place pour alléger dans le cas où t0 = 0. Supposons par exemple que
l’équation caractéristique possède deux solutions réelles r1 et r2 (cas ∆ > 0). Les solutions de
(E) sont données par y(t) = y1 (t) + C1 er1 t + C2 er2 t , où y1 est une solution particulière. Il s’agit
donc de déterminer exactement C1 et C2 . Les conditions initiales donnent
(
C1 + C2 = y(0) − y1 (0)
.
r1 C1 + r2 C2 = y 0 (0) − y10 (0)
Ce système possède toujours une solution unique car son déterminant est 1.r2 − r1 .1 6= 0
car r1 et r2 sont différentes. Les cas ∆ = 0 et ∆ < 0 se traitent de la même manière.
5.3.4.2 Exemple Considérons (E) l’équation i00 (t) − 2i0 (t) + 5i(t) = 5 cos t, sur l’intervalle
I = [0; +∞[. On suppose de plus que i(0) = i0 (0) = 0.
1. L’équation homogène (E ∗ ) associée est i00 − 2i0 − 5i = 0. Ici ∆ = (−2)2 − 4.1.5 = −16 <
0. Les racines complexes conjuguées de l’équation caractéristique sont 1 ± 2i. Ainsi les
solutions de l’équation (E ∗ ) sont de la forme i∗ (t) = et (C1 cos 2t + C2 sin 2t).
2. On cherche une solution particulière de (E) sous la forme i1 (t) = A cos t + B sin t (polynôme trigonométrique). On obtient les équations 4A − 2B = 5 et 4B + 2A = 0, ce qui
1
donne A = 1 et B = − , et finalement i1 (t) = cos t − 12 sin t.
2
3. La solution générale de (E) est donc i(t) = cos t − 12 sin t + et (C1 cos 2t + C2 sin 2t). On
doit avoir i(0) = 0, donc 0 = 1 + C1 soit C1 = −1. De plus, i0 (0) = 0, ce qui donne
0 = − 21 + C1 + 2C2 soit C2 = 34 .
4. La solution du problème de Cauchy est donc i(t) = cos t − 12 sin t + et (− cos 2t + 34 sin 2t).
Chapitre 6
Développements limités
6.1
6.1.1
Introduction
Dérivée
6.1.1.1 Remarque Nous cherchons à approcher, localement, une fonction par un polynôme.
La définition suivante nous rappelle que nous savons déjà le faire en degré 1.
6.1.1.2 Thorme Soit I un intervalle, soit f : I −→ R, et soit x0 un point intérieur à I. On
dit que f est dérivable en x0 s’il existe un nombre a et une fonction ε vérifiant :
f (x0 + h) = f (x0 ) + a.h + h.ε(h).
6.1.1.3 Remarque Ici le polynôme d’approximation est P (h) = a.h, et le reste est h.ε(h).
Graphiquement, ceci signifie que l’on approche au voisinage de x0 la courbe de f par sa tangente
en x0 .
6.1.2
Compléments
6.1.2.1 Dfinition Soit I un intervalle de R, et soit f : I −→ R. On dit que f est de classe
C n si f est n fois dérivable sur I et si ses n premières dérivées sont continues sur I.
6.1.2.2 Remarque Dans la définition précédente, n peut prendre la valeur ∞, avec une signification évidente.
6.1.2.3 Proposition Soit P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 un polynôme. Alors P est
de classe C ∞ sur R, noté P ∈ C ∞ (R), et l’on a la formule de Taylor des polynômes :
n
X
P (n) (0) n
P (k) (0) k
0
P (x) =
x + · · · + P (0)x + P (0) =
x .
n!
k!
k=0
37
38
Preuve. Un polynôme est dérivable, et sa dérivée est encore un polynôme. Ainsi tout
polynôme est C ∞ . De plus, il est facile de voir que P (k) (0) = k!ak .
6.2
Formules de Taylor
6.2.1
Formule de Taylor avec reste intégral
6.2.1.1 Thorme Soit f : [a, b] −→ R une application de classe C n+1 . Alors :
f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a) + · · · +
(b − a)n (n)
(b − t)n (n+1)
f (a) +ba
f
(t) dt.
n!
n!
6.2.1.2 Dfinition Le polynôme f (a) + (b − a)f 0 (a) + · · · +
principale, et l’intégrale
b (b
a
(b − a)n (n)
f (a) est appelé partie
n!
− t)n (n+1)
f
(t) dt est appelée reste intégral d’ordre n.
n!
Preuve. On procède par récurrence. Si n = 0, alors la formule devient :
Z b
Z b
(b − t)0 (1)
f (b) = f (a) +
f (t) dt = f (a) +
f 0 (t) dt = f (a) + [f (b) − f (a)],
0!
a
a
et ainsi elle est vérifiée. Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un n donné,
et que f soit de classe C n+2 . On peut alors intégrer par parties le reste d’ordre n :
Z
b
a
¸b Z b
(b − t)n+1 (n+2)
(b − t)n+1 (n+1)
−
−
f
(t) −
f
(t) dt
n!(n + 1)
n!(n + 1)
a
a
Z b
(b − a)n+1 (n+1)
(b − t)n+1 (n+2)
=
f
(a) +
f
(t) dt.
(n + 1)!
(n + 1)!
a
(b − t)n (n+1)
f
(t) dt =
n!
·
Ainsi nous obtenons bien la formule de Taylor avec un ordre supplémentaire.
6.2.2
Inégalité de Taylor-Lagrange
6.2.2.1 Thorme Soit f : [a, b] −→ R une application de classe C n+1 , et soit M le maximum
¯
¯
de ¯f (n+1) ¯ sur [a, b] Alors :
¯
·
¸¯
n
n+1
¯
¯
(b
−
a)
0
(n)
¯f (b) − f (a) + (b − a)f (a) + · · · +
¯ 6 M (b − a) .
f
(a)
¯
¯
n!
(n + 1)!
6.2.2.2 Remarque Cette formule permet de contrôler l’erreur commise lors de l’approximation de f (b) par la partie principale (polynôme).
39
Preuve. La formule de Taylor avec reste intégral permet de démarrer :
¯
¯Z b
¯
·
¸¯
n
¯
¯
¯
¯
(b − t)n (n+1)
¯f (b) − f (a) + (b − a)f 0 (a) + · · · + (b − a) f (n) (a) ¯ = ¯
¯
f
(t)
dt
¯
¯
¯
¯
n!
n!
a
¯
Z b¯
¯ (b − t)n ¯ ¯ (n+1) ¯
¯¯
¯
(t)¯ dt
6
¯ n! ¯ f
a
Z
M b
6
(b − t)n dt
n! a
·
¸b
(b − t)n+1
M
−
6
n!
n+1
a
M (b − a)n+1
6
n! n + 1
(b − a)n+1
6 M
.
(n + 1)!
Ce qui était bien la majoration recherchée.
6.2.3
Formule de Taylor-Young
6.2.3.1 Thorme Soit I = [α, β] un intervalle de R, soit a un point intérieur à I, et soit
f : I −→ R une application de classe C n+1 . Alors :
0
f (a + h) = f (a) + f (a).h + · · · + f
(n)
hn
(a) + hn ε(h) avec ε(h) −→ 0.
h→0
n!
6.2.3.2 Remarque Dans cette formule, on ne connaı̂t pas explicitement le reste hn ε(h). On
sait juste qu’il tend plus vite vers 0 que hn , ce qui signifie que si h est petit, ce reste est
négligeable.
Preuve. On écrit d’abord la formule de Taylor avec reste intégral pour b = a + h :
Z a+h
hn (n)
(a + h − t)n (n+1)
0
f (a + h) = f (a) + h.f (a) + · · · + f (a) +
f
(t) dt.
n!
n!
a
Ensuite, on note M le maximum de f (n+1) sur I, et on s’occupe du reste en reprenant la
preuve du théorème 6.2.2.1 :
¯Z a+h
¯
n+1
¯
¯
(a + h − t)n (n+1)
¯
¯ 6 M |h|
f
(t)
dt
.
¯
¯
n!
(n + 1)!
a
Ceci signifie bien que :
1
ε(h) = n
h
déf
µ
·
0
f (a + h) − f (a) + f (a)h + · · · + f
tend vers 0 lorsque h tend vers 0, puisque |ε(h)| 6
(n)
hn
(a)
n!
¸¶
1
M
|h|n+1
=
|h| .
M
n
|h|
(n + 1)!
(n + 1)!
40
6.2.3.3 Dfinition Lorsqu’on a écrit une fonction grâce à la formule du théorème 6.2.3.1, on
dit que l’on a effectué un développement limité (DL) de f en a d’ordre n.
6.2.3.4 Remarque
1. Le DL d’une fonction est unique.
2. Le ε(h) du reste est une notation générique : il signifie “une fonction qui tend vers 0
lorsque h tend vers 0”. Ce ε ne sera pas forcément le même d’une fonction à l’autre !
3. On veut souvent le DL d’une fonction en 0 ; la formule du théorème 6.2.3.1 devient alors :
f (x) = f (0) + f 0 (0).x + · · · +
6.3
f (n) (0) n
x + xn ε(x).
n!
Opérations sur les développements limités
On peut obtenir assez facilement des DL de fonctions en les décomposant. Nous nous contenterons ici de traiter des DL en 0, dans l’optique de la section suivante.
6.3.1
Somme
Elle se fait naturellement. Par exemple, si f (x) = 1 + x + 2x2 − 5x3 + x3 ε(x), et si g(x) =
−x + x2 + x2 ε(x), alors f (x) + g(x) = 1 + 3x2 + x2 ε(x). On ne peut obtenir qu’un DL d’ordre
le plus faible des deux (ici d’ordre 2, alors que celui de f est d’ordre 3).
6.3.2
Produit
Il suffit de multiplier classiquement les deux DL, en mettant dans le reste les termes de degrés
supérieurs au plus faible des deux ordres. Prenons un exemple très simple : f (x) = x+x2 +x2 ε(x)
et g(x) = 2x+x.ε(x). On obtient : f (x)g(x) = (x + x2 + x2 ε(x)) . (2x + x.ε(x)) = 2x2 +x2 ε(x)+
2x3 + x3 ε(x) + 2x3 ε(x) + x3 ε(x)ε(x) = 2x2 + x2 ε(x). Encore une fois, attention, les ε ne sont pas
les mêmes ! Avec un miminum d’expérience, on ne développe même pas les termes de degrés
supérieurs à 2 (ici).
6.3.3
Quotient
Au niveau BTS, cette méthode n’est pas exigible sans indications. Il faut effectuer une
division par puissances croissantes des parties principales des deux DL. Voir le DL de la fonction
tangente pour un exemple.
41
6.3.4
Intégration
On intégre terme à terme. Plus précisément, si f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn ε(x), et si F
x2
xn+1
est une primitive de f, alors F (x) = F (0) + a0 x + a1 + · · · + an
+ xn+1 ε(x). Voir le DL
2
n+1
de la fonction logarithme pour un exemple. La preuve de cette affirmation se fait simplement
en effectuant le DL de F par la formule de Taylor-Young.
6.3.5
Composition
Au niveau BTS, cette méthode n’est pas exigible sans indications. Pour obtenir un DL de
f ◦ g, on substitue le DL de g dans celui de f. Voir la remarque sur (ln ◦ exp) dans le DL de la
fonction logarithme pour un exemple.
6.4
Développements limités usuels
Ce sont les DL en 0 qui sont au programme.
6.4.1
Exponentielle
Ici c’est facile, car exp0 = exp et e0 = 1. La formule de Taylor-Young donne (pour tout n ) :
ex = 1 + x +
6.4.2
x2 x3
xn
+
+ ··· +
+ xn ε(x) .
2!
3!
n!
Logarithme
1
= 1−x+x2 −x3 +· · · =
1+x
1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n−1 xn−1 + xn−1 ε(x). On intègre tout ça et on obtient (en se souvenant
Rappelons (penser aux séries géométriques) que (pour x < 1 )
que ln(1 + 0) = 0 ) :
x2 x3
xn
+
+ · · · + (−1)n−1 + xn ε(x) .
2
3
n
·
µ
¶¸
t2 t3
tn
t
n
Remarquons que ln(e ) = ln 1 + t + + + · · · +
+ t ε(t)
= · · · = t + tn ε(t)
2!
3!
n!
µ
¶
t2 t3
tn
n
en remplaçant x par t + + + · · · +
+ t ε(t) dans la formule précédente. Ce qui est
2! 3!
n!
normal, puisque ln(et ) = t... !
ln(1 + x) = x −
42
6.4.3
Puissance
On peut calculer que [(1 + x)α ](n) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n . La formule de
Taylor-Young donne :
(1 + x)α = 1 + α.x + · · · +
6.4.4
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x + xn ε(x) .
n!
Fonctions trigonométriques
Les dérivées successives du (co)sinus sont, soit un sinus, soit un cosinus. La formule de
Taylor-Young donne :
2n+1
x3 x5
n x
sin(x) = x −
+
+ · · · + (−1)
+ x2n+1 ε(x) ,
3!
5!
(2n + 1)!
cos(x) = 1 −
x 2 x4
x2n
+
+ · · · + (−1)n
+ x2n ε(x) .
2!
4!
(2n)!
Remarquons que :
1. en intégrant cos(x), on obtient bien sin(x) ;
2. le DL de sin(x) ne comporte que des puissances impaires (le sinus est impair !) ;
3. le DL de cos(x) ne comporte que des puissances paires (le cosinus est pair !) ;
4. on retrouve la formule bien connue sin(x) ' x si x est petit ;
5. on pourrait retrouver ces DL à partir des formules d’Euler complexes.
Ensuite, par division euclidienne par puissances croissantes de sin(x) et cos(x), on trouve :
1
2
17 7
tan(x) = x + x3 + x5 +
x + x8 ε(x).
3
15
315
Les calculs dans cette formule deviennent vite complexes...
Chapitre 7
Transformation de Laplace
7.1
7.1.1
Introduction et compléments
Pierre Simon de Laplace
Pierre Simon, marquis de Laplace (1749-1827), fut professeur de mathématiques à l’Ecole
Militaire de Paris, puis enseigna à l’Ecole Polytechnique. Passionné d’astronomie, il développa
de nombreux concepts et outils utiles à la mécanique céleste, notamment les équations différentielles.
A Napoléon, lui demandant pourquoi il n’avait pas évoqué Dieu dans son Traité de Mécanique
Céleste, il répondit “Je n’ai pas eu besoin de cette hypothèse”.
7.1.2
Systèmes linéaires
Le bon cadre mathématique pour étudier des signaux est celui de la convolution et des
distributions. Ces notions sont hors-programme malheureusement. Ceci dit, le principe de
l’idée est assez simple.
Considérons un système linéaire, c’est-à-dire tel que la sortie soit une fonction linéaire et
continue de l’entrée (signifiant que ce système vérifie le principe de superposition, ce qui
est par exemple le cas d’un circuit RLC). On peut démontrer qu’alors il existe une fonction
h(t) telle que s(t) = h(t) ∗ e(t), où l’étoile est le produit de convolution, défini par h(t) ∗ e(t) =
R
h(t − u)e(u) du.
Ce que l’on recherche, c’est cette fontion h(t), appelée fonction de transfert, qui caractérise la réponse du système. En l’état, résoudre une telle équation paraı̂t peu envisageable !
Il se trouve qu’il existe un opérateur L, qui transforme le produit de convolution en multiplication : L(s(t)) = L(h(t)).L(e(t)), de sorte que l’on obtient L(h(t)) par simple division. Il ne
reste “plus” qu’à retrouver h(t), ce qui sera en général un problème de fractions rationnelles,
43
44
et le tour est joué.
7.1.3
Fonctions
7.1.3.1 Dfinition Une fonction est causale si f (t) = 0 lorsque t < 0.
7.1.3.2 Remarque Un signal causal est un signal qui démarre à un instant donné.
7.1.3.3 Dfinition La fonction échelon-unité est définie par :
(
1 si t > 0
U (t) =
0 si t < 0
7.1.3.4 Remarque
1. Ce signal est causal ; il est parfois appelé fonction de Heaviside.
2. Si f (t) est une fonction quelconque, alors f (t)U (t) est causale.
7.1.4
Intégrales généralisées
7.1.4.1 Remarque Par exemple, lors du calcul des coefficients de Fourier d’un signal périodique,
on est amené à calculer des intégrales sur un intervalle borné. Cela n’est pas le cas général, où
l’on cherche souvent à intégrer jusqu’à un temps infini.
7.1.4.2 Dfinition Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; +∞[. Si la fonction x 7−→
Rx
f (t) dt admet une limite finie quand x → +∞, alors on dit que l’intégrale converge vers
a
cette limite. Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale diverge.
7.1.4.3 Remarque
1. Attention, la convergence de
R +∞
0
f (t) dt n’implique pas la conver-
gence de f (t) vers 0 lorsque t → +∞ (penser à une courbe composée de petits pics se
rétrécissant, exercice).
2. On pourra parfois préciser la divergence. Par exemple on écrira abusivement :
Z +∞
1 dt = [t]+∞
= +∞.
0
0
7.1.5
Impulsion de Dirac
7.1.5.1 Remarque Paul Dirac (1902-1984), physicien et mathématicien britannique, fut l’un
des grands fondateurs de la mécanique quantique.
45
7.1.5.2 Dfinition La fonction porte de Dirac est définie de la manière suivante :

 1 si |t| 6 ε
ε
2
Πε (t) =
 0 sinon
7.1.5.3 Remarque Notons que :
Z
+∞
−∞
1
Πε (t) dt = ε. = 1.
ε
7.1.5.4 Dfinition L’impulsion de Dirac est la limite de la fonction porte lorsque l’on fait
tendre ε vers 0 :
δ(t) = lim Πε (t).
ε→0
7.1.5.5 Remarque
1. L’impulsion de Dirac est un signal d’intensité infinie pendant un
temps infiniment court.
2. La limitation de la notion de fonction est une conséquence de cette définition. En effet, δ
n’est pas une fonction (c’est par contre une distribution). Ceci dit, on peut abusivement
écrire :
(
δ(t) =
7.2
+∞ si t = 0
0 si t 6= 0
Z
+∞
et
δ(t) dt = 1.
−∞
Transformée de Laplace d’une fonction causale
7.2.1
Définitions
7.2.1.1 Dfinition Soit f : R −→ R une fonction causale et continue (éventuellement par
morceaux). La transformée de Laplace de f est la fonction Lf définie par :
(Lf )(p) =+∞
f (t)e−pt dt .
0
7.2.1.2 Notation On écrira souvent Lf = F, ou parfois f A F. De plus, on utilisera fréquemment
l’écriture incorrecte mais pratique L(f (t)), dans laquelle la variable p est sous-entendue.
7.2.1.3 Dfinition On dit que f est l’original de F.
7.2.1.4 Remarque
1. Le nombre traditionnellement noté p est réel (en fait c’est un com-
plexe, mais on se retreint au cas réel en BTS).
2
2. Toutes les fonctions n’admettent pas une TL, par exemple f (t) = et (exercice).
46
3. S’il existe des réels α et M tels que |f (t)| 6 M.eαt , alors F (p) est définie pour p > α
(exercice). Cette condition sera parfois sous-entendue dans les hypothèses des résultats
de la suite.
4. Vérifier l’existence de la TL ne sera pas notre obsession en BTS...
7.2.2
Résultats essentiels
Linéarité
7.2.2.1 Thorme Soient a et b deux complexes, et f et g causales. On a alors :
L(af + bg)(p) = aF (p) + bG(p).
Preuve. Evidente, elle découle de la linéarité de l’intégrale.
Transformée d’une dérivée
7.2.2.2 Thorme Soit f dérivable sur R+ et causale, admettant une dérivée continue par morceaux. Alors :
L(f 0 )(p) = pF (p) − f (0+ ) .
Preuve. On fait une intégration par parties :
Z +∞
0
f 0 (t)e−pt dt
L(f )(p) =
0
Z +∞
£
¤
−pt +∞
= f (t)e
−
f (t)(−pe−pt ) dt
0
Z0 +∞
= 0 − f (0+ )e0 + p
f (t)e−pt dt car f (t)e−pt −→ 0 (si f dominée par un eat )
0
t→+∞
+
= pF (p) − f (0 ).
C’est bien ce qu’on voulait.
7.2.2.3 Remarque Ce résultat est fondamental pour la résolution des équations différentielles
à l’aide de la TL. En effet, la TL transforme une dérivation en simple multiplication par p.
7.2.2.4 Corollaire Soit f de classe C 2 et causale. Alors :
L(f 00 )(p) = p2 F (p) − pf (0+ ) − f 0 (0+ ).
Preuve. D’après le théorème précédent, L(f 00 )(p) = L((f 0 )0 )(p) = p [pF (p) − f (0+ )] −
f 0 (0+ ), et on obtient bien la formule recherchée.
47
7.2.2.5 Remarque Ce corollaire se révèlera utile lorsqu’on aura affaire à des équations différentielles
du second ordre.
Transformée d’une primitive
7.2.2.6 Thorme Soit f une fonction continue et causale. Alors :
L (t0 f (u) du) =
F (p)
.
p
Preuve. On utilise le théorème 7.2.2.2. Posons ϕ(t) =
Rt
0
f (u) du. On a trivialement ϕ0 = f,
et ϕ(0) = 0. Ainsi L(ϕ0 )(p) = pLϕ(p) − ϕ(0+ ), soit Lf (p) = pLϕ(p) − 0. Et finalement il suit :
F (p)
Lϕ(p) =
.
p
7.2.2.7 Remarque Là aussi, ce résultat est fondamental, et on verra toute son utilité lors de
la résolution de l’équation intégro-différentielle d’un circuit RLC (section 7.3.3).
Effet d’une translation
7.2.2.8 Thorme (du retard) Soit f une fonction continue, et soit a un réel positif. Alors :
L [f (t − a)U (t − a)] = e−ap F (p).
Preuve. On calcule en faisant un changement de variable :
Z +∞
L [f (t − a)U (t − a)] =
f (t − a)U (t − a)e−pt dt
Z0 +∞
=
f (s)U (s)e−p(s+a) ds
−a
Z +∞
=
f (s)e−p(s+a) ds car U (s) est nulle si s < 0
0
Z +∞
−pa
f (s)e−ps ds
= e
0
= e−pa F (p).
Et le résultat est démontré.
Effet d’un changement d’échelle
7.2.2.9 Thorme Soit f une fonction continue, et soit a un réel strictement positif. Alors :
1 p
L [f (at)U (t)] = F ( ).
a a
48
Preuve. Il s’agit encore une fois de faire un simple changement de variable :
Z +∞
L [f (at)U (t)] =
f (at)e−pt dt
Z0 +∞
s ds
=
(a > 0 assure la convergence de cette intégrale)
f (s)e−p a
a
0
Z
p
1 +∞
=
f (s)e− a s ds
a 0
1 p
=
F ( ).
a a
C’est ce qu’il fallait démontrer.
Multiplication par une exponentielle
7.2.2.10 Thorme Soit f une fonction continue, et soit a un réel. Alors :
£
¤
L e−at f (t)U (t) = F (p + a).
Preuve. Le calcul est direct :
£
−at
L e
¤
f (t)U (t) =
Z
+∞
Z0 +∞
=
e−at f (t)e−pt dt
f (t)e−(p+a)t dt
0
= F (p + a).
Et le théorème est démontré.
7.2.3
Transformées fondamentales usuelles
Echelon-unité
1
7.2.3.1 Proposition L(U (t)) = .
p
Preuve. Le calcul est direct :
Z
L(U (t)) =
·
+∞
e
−pt
0
e−pt
dt =
−p
¸+∞
=0−
0
e0
1
= .
−p
p
On remarquera au passage que cette TL est seulement définie pour p > 0.
7.2.3.2 Corollaire L(U (t − a)) =
e−ap
.
p
Preuve. Il suffit de prendre f = U dans le théorème 7.2.2.8.
49
Impulsion de Dirac
7.2.3.3 Remarque Cette TL n’est pas la plus facile à calculer (d’autant que δ n’est pas une
fonction !), mais le résultat obtenu montre bien qu’elle est fondamentale. L’impulsion δ joue le
rôle d’élément neutre pour la convolution.
7.2.3.4 Proposition L(δ(t)) = 1.
Preuve. Déterminons
la TL d’une fonction porte (cf 7.1.5.2), que l’on prendra ici
h ε εd’abord
i
sur [0; ε] au lieu de − ;
(afin qu’elle soit causale) :
2 2
· −pt ¸ε
³
´ Z ε
e−pε − 1
e
−pt
e
=−
L Πε (t) =
e
dt =
.
−p 0
pε
0
Il faut ensuite faire tendre ε vers 0 (cf 7.1.5.4). Remarquons déjà que :
ex − 1
ex − e0
=
−→ exp0 (0) = 1.
x
x − 0 x→0
Il suit :
³
´
−pε
e ε (t) = − e − 1 −→ 1.
L Π
ε→0
pε
On admet ensuite que :
³
´
³
´
e ε (t) = lim L Π
e ε (t) = 1.
L(δ(t)) = L lim Π
ε→0
ε→0
La justification de cette permutation des limites (se souvenir qu’une intégrale est une limite)
n’est pas au programme de BTS.
Fonctions puissances
7.2.3.5 Proposition Pour n ∈ N, L(tn U (t)) =
n!
pn+1
.
Preuve. On fait un raisonnement par récurrence. La formule est vérifiée pour n = 0, cf
7.2.3.1. Ensuite, supposons-la vraie au rang n. Il vient, en intégrant par parties :
Z +∞
n+1
L(t U (t)) =
tn+1 e−pt dt
0
·
¸
Z +∞
−pt +∞
e−pt
n+1 e
−
(n + 1)tn
dt
= t
−p 0
−p
0
|
{z
}
=0
n+1
=
L(tn U (t))
p
(n + 1)!
=
.
pn+2
Ainsi la formule est vraie au rang n + 1, et donc par récurrence pour tout n.
50
7.2.3.6 Remarque On aurait pu utiliser le théorème 7.2.2.2 dans la récurrence (exercice).
Fonctions exponentielles
7.2.3.7 Proposition L(e−at U (t)) =
1
.
p+a
1
Preuve. Il suffit de remarquer que L(U (t)) = , puis d’utiliser le théorème 7.2.2.10.
p
Fonctions trigonométriques
7.2.3.8 Proposition L(cos ωtU (t)) =
p2
p
+ ω2
et L(sin ωtU (t)) =
p2
ω
.
+ ω2
Preuve. On fait une intégration complexe :
L(cos ωtU (t)) + iL(sin ωtU (t)) = L(cos ωtU (t) + i sin ωtU (t))
= L(eiωt U (t))
1
=
d’après 7.2.3.7
p − iω
p + iω
.
= 2
p + ω2
p
En identifiant parties réelles et imaginaires, L(cos ωtU (t)) vaut 2
, et L(sin ωtU (t))
p + ω2
ω
vaut 2
. C’est ce qu’il fallait démontrer.
p + ω2
7.2.4
Théorèmes complémentaires
Fonctions périodiques
7.2.4.1 Remarque Le résultat suivant n’est pas au programme de BTS, mais la preuve est
intéressante.
7.2.4.2 Proposition Soit f une fonction causale, continue par morceaux et T -périodique.
Alors :
RT
F (p) =
0
f (t)e−pt dt
.
1 − e−pT
RT
Preuve. Posons K = 0 f (t)e−pt dt. On calcule ensuite :
Z (n+1)T
Z T
−pt
f (t)e
dt =
f (s + nT )e−p(s+nT ) ds
nT
0
Z T
=
f (s)e−ps e−npT ds car f est T -périodique
¡ 0 ¢n
= e−pT K.
51
On découpe R en intervalles de longueur T pour calculer :
F (p) =
+∞ Z
X
n=0
où l’on a utilisé
P+∞
n=0
(n+1)T
f (t)e−pt dt =
nT
an =
+∞
X
¡
e−pT
¢n
K=
n=0
K
,
1 − e−pT
1
. La proposition est démontrée.
1−a
Dérivation d’une transformée
7.2.4.3 Proposition Soit f une fonction continue. Alors F est dérivable, et :
F 0 (p) = L [−tf (t)U (t)] .
Preuve. Hors-programme. Sans justification, on peut cependant écrire :
¶0 Z +∞
µZ +∞
Z +∞
¡
¢
−pt 0
−pt
0
−tf (t)e−pt dt.
f (t)e
dt =
f (t)e
dt =
F (p) =
0
0
0
Ce qui est bien le résultat recherché.
Valeurs initiale et finale
7.2.4.4 Remarque Les résultats suivants permettent d’exploiter les conditions aux limites.
7.2.4.5 Thorme Soit f une fonction continue et causale. Alors :
lim pF (p) = f (0+ )
(valeur initiale),
p→+∞
lim pF (p) = f (+∞)
(valeur finale).
p→0
Preuve. Hors-programme. En utilisant le théorème 7.2.2.2, on peut cependant écrire sans
justification :
Z
0
+∞
+
pF (p) = L(f (t)) + f (0 ) =
f 0 (t)e−pt dt + f (0+ ).
0
0
−pt
Ensuite, si p tend vers +∞, alors f (t)e
tend vers 0, d’où :
Z +∞
lim pF (p) =
0 dt + f (0+ ) = f (0+ ).
p→+∞
0
De même, si p tend vers 0, alors f 0 (t)e−pt tend vers f 0 (t), d’où :
Z +∞
£
¤
lim pF (p) =
f 0 (t) dt + f (0+ ) = f (+∞) − f (0+ ) + f (0+ ) = f (+∞).
p→0
0
Les permutations des limites ne sont pas justifiables au niveau BTS.
52
7.3
Applications à l’analyse du signal
7.3.1
Transformée inverse
7.3.1.1 Thorme Si une fonction F admet un original (causal) f , alors celui-ci est unique, et
l’on note f = L−1 (F ).
Preuve. Admise, totalement hors de portée au niveau BTS.
7.3.1.2 Dfinition L’application L−1 est appelée transformation de Laplace inverse.
7.3.1.3 Remarque Ainsi, si l’on se débrouille pour trouver un original de F, alors c’est le
bon !
7.3.1.4 Proposition La transformation inverse est linéaire :
L−1 (aF + bG) = af + bg.
7.3.1.5 Remarque Généralement, F (p) est une fraction rationnelle. On est amené à la décomposer
en éléments simples, puis à utiliser une table des transformées (voir le formulaire).
7.3.2
Equations différentielles linéaires à coefficients constants
7.3.2.1 Remarque
1. On rappelle que la clef est le théorème 7.2.2.2.
2. L’utilisation de la TL pour résoudre des équations différentielles peut être plus ou moins
astucieuse.
3. La recherche de la solution particulière est en général facilitée.
4. Les conditions initiales ou finales apparaissent naturellement.
Premier ordre
7.3.2.2 Exemple Considérons l’équation y 0 + 2y = (t + 1)U (t) − tU (t − 1) avec la condition
initiale y(0) = 0. On remarque que tU (t − 1) = (t − 1)U (t − 1) + U (t − 1), puis on applique la
53
transformation de Laplace :
1
1
1
1
+ − e−p 2 − e−p
2
p
p
p
p
1
1
1
1
(p + 2)Y (p) = 2 + − e−p 2 − e−p
p
p
p
p
1
1
1
1
Y (p) = 2
+
− e−p 2
− e−p
p (p + 2) p(p + 2)
p (p + 2)
p(p + 2)
¶
µ
¶ µ
11 1 1
11
11 1 1
Y (p) =
−
+
+
+
−
4 p 4 p + 2 2 p2
2p 2p+2
¶
µ
¶
µ
11 1 1
11
11 1 1
−p
−p
−e
−
+
+
−e
−
4 p 4 p + 2 2 p2
2p 2p+2
µ
¶
µ
¶
11 1 1
11
11
11 1 1
−p
=
−
+
−e
−
+
.
4 p 4 p + 2 2 p2
4 p 4 p + 2 2 p2
pY (p) − y(0) + 2Y (p) =
Le facteur e−p va induire un retard de 1 sur l’original correspondant. On obtient :
µ
¶
µ
¶
1 1 −2t 1
1 1 −2(t−1) 1
y(t) =
− e + t U (t) −
− e
+ (t − 1) U (t − 1).
4 4
2
4 4
2
Tout simplement... Notons que pour t > 1, on a U (t) = U (t − 1) = 1, et donc :
y(t) =
¢
1¡ 2
1
e − 1 e−2t + .
4
2
Second ordre
7.3.2.3 Remarque La méthode est ici identique au premier ordre, il suffit de penser au corollaire 7.2.2.4 pour compléter le théorème 7.2.2.2. L’exemple du circuit série RLC est traité
ici.
7.3.3
Circuit RLC
7.3.3.1 Exemple Considérons un circuit RLC série. Nous avons déjà vu que celui-ci est régi
par l’équation intégro-différentielle linéaire à coefficients constants (attention à ne pas confondre
les “L”...) :
di
1
L (t) + Ri(t) +
dt
C
Z
t
i(u)du = e(t),
0
que nous avions résolue (chapitre Equations différentielles) en la dérivant :
Li00 (t) + Ri0 (t) +
1
i(t) = e0 (t).
C
Or, si le signal e(t) n’est pas dérivable, cette méthode n’est pas mathématiquement correcte.
Revenons donc à notre première équation. Appliquons-lui la transformation de Laplace (on
54
suppose que les fonctions présentes admettent une TL) :
£
¤
1 I(p)
L pI(p) − i(0+ ) + RI(p) +
= E(p)
C p
µ
¶
1
soit
Lp + R +
I(p) − Li(0+ ) = E(p).
Cp
Ceci permet de trouver ensuite I(p), puis d’en déduire i(t) si tout se passe bien.
7.3.4
Systèmes différentiels linéaires
7.3.4.1 Exemple Considérons le système différentiel linéaire du premier ordre à coefficients
constants :
(
x0 = 3x + 2y
y 0 = x + 2y
.
Rappelons que la méthode classique de résolution consiste à dériver la deuxième équation, ce
qui donne y 00 = x0 +2y 0 soit x0 = y 00 −2y 0 , puis à substituer le tout dans la première équation. On
obtient alors l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants y 00 − 2y 0 =
3 (y 0 − 2y) + 2y.
Revenons à notre système. Appliquons-lui la TL (en supposant qu’on puisse le faire) :
(
pX(p) − x(0+ ) = 3X(p) + 2Y (p)
.
pY (p) − y(0+ ) = X(p) + 2Y (p)
C’est maintenant un système (non linéaire) classique, que l’on résout par substitution. Il
reste ensuite à retrouver les originaux, comme d’habitude.
Chapitre 8
Transformation en z
8.1
Notion de série entière
8.1.1
Définitions fondamentales
Définitions
8.1.1.1 Dfinition Une série entière est une fonction définie par :
f (z) =
+∞
X
an z n = a0 z 0 + a1 z 1 + · · · + ap z p + · · · ,
n=0
où z est un complexe et (an ) une suite de réels.
8.1.1.2 Dfinition Le terme an z n est appelé terme général de la série.
Rayon de convergence
8.1.1.3 Thorme Il existe un réel positif R, appelé rayon de convergence, tel que :
(
+∞
X
absolument convergente si |z| < R
an z n est
.
divergente
si
|z|
>
R
n=0
8.1.1.4 Remarque
1. La série converge donc sur le disque ouvert d’équation |z| < R.
2. Au niveau BTS, la détermination du rayon de convergence ne fera pas l’objet d’une étude.
La rigueur des calculs ne sera ainsi pas un objectif de ce cours.
3. Si |z| = R, alors on ne peut rien affirmer a priori. Ces cas nécessitent une étude que nous
ne ferons pas.
55
56
8.1.1.5 Exemple Si |z| < 1 (rayon de convergence), alors on a le résultat classique concernant
les séries géométriques :
+∞
X
1
=
zn = 1 + z + z2 + · · · + zp + · · · .
1−z
n=0
8.1.2
Propriétés et développements usuels
8.1.2.1 Proposition Posons f (z) =
P+∞
n=0
an z n , avec |z| < R rayon de convergence. Alors on
peut dériver f en dérivant la série terme à terme :
0
f (z) = 0 + 1a1 z
1−1
+ · · · + pap z
p−1
+ ··· =
+∞
X
nan z n−1 .
n=1
De plus, f est de classe C ∞ et on a f (p) (0) = p!ap ainsi que :
f (z) =
+∞ (n)
X
f (0)
n=0
n!
zn.
Preuve. En mettant la rigueur liée à R de côté, c’est un simple calcul.
8.1.2.2 Remarque
1. Si une fonction peut être écrite comme ci-dessus, on dit que cette
fonction est développable en série entière.
2. Les fonctions usuelles sont de ce type ; on trouvera leurs développements dans le formulaire
de BTS.
3. Mais attention, ils se trouvent dans la partie “développements limités”. En effet, on peut
considérer qu’un développement en série entière est un DL d’ordre infini, de par la dernière
formule de la proposition.
8.2
8.2.1
Transformation en z
Echantillonnage
8.2.1.1 Dfinition Soit f (t) un signal causal. On appelle fonction échantillonnée de f de
période T la suite :
f (nT ) pour n ∈ N.
8.2.1.2 Remarque
1. En posant x(n) = f (nT ), on se ramène au cas d’une suite réelle.
2. On rappelle que le théorème de Shannon affirme qu’un échantillon caractérise un
1
signal causal de spectre fini [−υ0 , +υ0 ] de largeur 2υ0 dès que T 6
.
2υ0
57
8.2.1.3 Exemple
1. La fonction échelon-unité est échantillonnée par la suite x(n) = U (nT ) =
1.
2. La suite de Dirac est définie par δ(0) = 1 et δ(nT ) = 0 si n > 1.
8.2.1.4 Remarque Si x(n) est une suite d’échantillonnage, alors x(n−n0 ) est la suite rétardée
de n0 et x(n + n0 ) est la suite avancée de n0 .
8.2.2
Définition et premières remarques
8.2.2.1 Dfinition Soit x(n) un signal causal échantillonné. La transformée en z de x est la
fonction complexe :
(Zx)(z) = X(z) =
+∞
X
x(n)z −n .
n=0
8.2.2.2 Remarque
1
z −1 = .
z
1. Pour des raisons pratiques, on a ici une série entière de la variable
1
, où R est le rayon de la série de la variable
R
z. Comme vu précédemment, cet aspect du problème ne sera qu’abordé.
2. Ainsi, cette série est convergente si |z| >
3. Le langage de la transformation en z est le même que celui de la tranformation de Laplace
(transformée, original, etc...).
8.2.2.3 Remarque Il faut bien comprendre que la TZ est la traduction aux signaux numériques
de la TL. De même, comme on le verra, les suites récurrentes linéaires correspondent à la notion
d’équation différentielle.
Pour faire le lien entre ces deux transformations, le bon outil est encore celui des distributions, qui est hors-programme. Il est cependant possible d’établir une relation intéressante.
Considérons un signal échantillonné x(n), et construisons le signal en escalier f (t) naturellement
induit par x(n), à savoir f (t) = x(n) si t ∈ [n; n + 1[. Nous pouvons calculer sa transformée de
58
Laplace :
Z
+∞
F (p) =
=
=
=
f (t)e−pt dt
0
+∞
X Z n+1
n=0 n
+∞ Z n+1
X
n=0
+∞
X
f (t)e−pt dt
x(n)e−pt dt
n
Z
n+1
x(n)
n
n=0
+∞
X
·
e−pt
=
x(n)
−p
n=0
=
+∞
X
x(n)
n=0
=
e−pt dt
¸n+1
n
e−p(n+1) − e−pn
−p
+∞
1 − e−p X
x(n)e−pn .
p
n=0
Posons z = ep . On obtient alors :
pF (p) = (1 −
+∞
e−p )n=0
x(n)z −n
µ
¶
1
= 1−
X(z) .
z
(itTL-TZ)
Cette formule permettra en outre de prouver certains théorèmes ce ce cours.
8.2.3
Transformation inverse
8.2.3.1 Remarque Comme pour la TL, il existe une transformation en z inverse, notée Z −1 ,
qui permet de retrouver l’original d’une transformée en z. Son existence est admise, elle fait
appel à la théorie des fonctions holomorphes. Un élément de preuve réside dans l’écriture d’une
fonction en série entière de la proposition 8.1.2.1 Les méthodes classiques consistent soit à
1
développer F (z) en série entière de la variable , soit à décomposer F (z) en éléments simples
z
puis à utiliser le formulaire.
8.3
8.3.1
Théorèmes classiques et tranformées usuelles
Théorèmes
On considère x(n) un signal échantillonné.
59
Retard
8.3.1.1 Thorme Soit n0 > 1. Alors :
Z(x(n − n0 )) = z −n0 X(z).
Preuve. On calcule directement :
Z(x(n−n0 )) =
+∞
X
x(n−n0 )z
−n
=z
−n0
n=n0
+∞
X
x(n−n0 )z
−(n−n0 )
=z
−n0
n=n0
+∞
X
x(k)z −k = z −n0 X(z).
k=0
Ce qui est bien le résultat demandé. On prendra garde aux indices de sommation.
8.3.1.2 Remarque La formule itTL-TZ permettait déjà ici une autre démonstration. L’idée
est de se souvenir qu’un retard de n0 impliquait une multplication par e−n0 p = (e−p )n0 = z n0
de la TL. Ainsi, la TZ est multipliée par z −n0 .
Avance
8.3.1.3 Thorme Soit n0 > 1. Alors :
"
Z(x(n + n0 )) = z n0 X(z) −
nX
0 −1
#
x(n)z −n .
k=0
Preuve. La méthode est similaire à celle de la preuve du théorème de retard. On ajoute
puis on retranche les termes manquants pour faire la série X(z).
Dérivation
8.3.1.4 Thorme La TZ de x(n) est dérivable, et :
−zX 0 (z) =
+∞
X
nx(n)z −n = Z(nx(n)).
n=0
Preuve. En passant sur les problèmes d’existence et de convergence, on peut cependant
calculer :
0
X (z) =
Ã +∞
X
n=0
!0
x(n)z
−n
=
+∞
X
¡
n=0
x(n)z
¢
−n 0
+∞
X
=
(−n)x(n)z −n−1 = −z −1 Z(nx(n)).
n=0
Ce qui est bien la même formule que celle de l’énoncé du théorème.
60
Valeur initiale
8.3.1.5 Thorme On a :
lim X(z) = x(0).
z→∞
µ ¶n
1
Preuve. Heuristiquement, on peut remarquer que, si z → ∞, alors
tend vers 0 si
z
n > 1. Il ne restera par passage à la limite que le terme x(0)z 0 = x(0).
8.3.1.6 Remarque Une preuve correcte consiste à utiliser d’une part les résultats connus sur
les TL et d’autre part à nouveau la formule itTL-TZ. En effet, lim pF (p) = f (0+ ) = x(0). De
p→+∞
µ
¶
1
X(z) → lim X(z). D’où l’égalité recherchée.
plus, si p → +∞, alors z → ∞, et ainsi 1 −
z→∞
z
Valeur finale
8.3.1.7 Thorme On a :
µ
¶
1
lim 1 −
X(z) = x(+∞).
z→1
z
µ
¶
1
Preuve. Heuristiquement, la multiplication par 1 −
fait s’éliminer deux à deux les
z
termes de la série X(z) lorsqu’on passe à la limite z → 1.
8.3.1.8 Remarque Encore une fois, on peut utiliser rigoureusement la formule itTL-TZ et
nos connaissances
µ de ¶la TL. On fait tendre dans itTL-TZ le nombre p vers 0. On obtient
1
f (+∞) = lim 1 −
X(z) car z = ep . Or, par construction, f (+∞) = x(+∞). Ceci amène
z→1
z
bien le résultat recherché.
8.3.2
Transformées usuelles
Tous ces résultats se trouvent dans le formulaire de BTS.
Dirac
Soit d(n) défini par d(0) = 1 et d(n) = 0 si n 6= 0 (appelé suite de Dirac, ou impulsionunité).
Il est trivial de calculer que :
Zd(z) = 1.
On notera que ce résultat fait penser à la TL de l’impulsion de Dirac ; les remarques sont
identiques.
61
Echelon-unité
Soit U (n) défini par U (n) = 1 si n > 0 et U (n) = 0 sinon (appelé échelon-unité).
Sa transformée est une série géométrique vue en 8.1.1.5 :
ZU (z) =
1
1−
1
z
=
z
.
z−1
On pouvait ici encore s’amuser avec la formule itTL-TZ, en se rappelant que LU (p) =
1
:
p
1
1
pLU (p) = (1 − )ZU (z) ⇐⇒ 1 = (1 − )ZU (z).
z
z
Ce qui conduit bien au même résultat.
Rampe
Soit r(n) défini par r(n) = n si n > 0 et r(n) = 0 sinon (appelé rampe, du fait de son
graphe).
On utilise le résultat 8.3.1.4 avec la TZ de l’échelon-unité :
µ
¶0
z
−1
z
Zr(z) = −z
= −z
=
.
z−1
(z − 1)2
(z − 1)2
Puissance
Soit f (n) défini par f (n) = an si n > 0 et f (n) = 0 sinon, où a est un réel non nul.
Alors on peut calculer directement :
Zf (z) =
+∞
X
n=0
n −n
a z
=
+∞ ³ ´
X
a n
n=0
z
=
1
z
a = z − a.
1−
z
Le formulaire de BTS comporte la TZ d’un changement d’échelle y(n) = an x(n). Cette
transformée se calcule en suivant la même méthode.
8.4
Application aux systèmes échantillonnés
Considérons, pour simplifier, un système entrée-sortie linéaire du premier ordre régi par
l’équation différentielle :

 ds + a.s(t) = e(t)
dt
.
 s(0) fixé, t positif
62
Observons ce système avec la période 1 (par changement d’échelle, ceci peut toujours être
réalisé).
Si l’on intègre l’équation entre n et n+1 de manière approchée par la méthode des rectangles
(faire un dessin), on obtient l’équation aux différences :
s(n + 1) − s(n) + a.s(n) ' e(n)
soit s(n + 1) + α.s(n) ' e(n) en posant α = a − 1.
Cette expression n’est bien sûr pas unique ; elle dépend de la méthode d’intégration approchée choisie. La transformation en z permet de résoudre cette équation.
Posons S(z) = Z(s(n)) et E(z) = Z(e(n)). L’équation aux différences devient :
z [S(z) − s(0)] + αS(z) = E(z).
D’où :
S(z) = s(0)
Si s(0) = 0, alors
H(z) =
z
1
+
E(z).
z+α z+α
S(z)
1
=
, ce qui nous amène à définir la fonction de transfert
E(z)
z+α
1
. On obtient alors :
z+α
S(z) = s(0)
z
+ H(z)E(z),
z+α
qui donne par transformée en z inverse :
s(n) = s(0)(−α)n U (n) + (h ∗ e)(n),
où h est l’original de H, et où :
(h ∗ e)(n) =
n
X
h(n − k)e(k)
k=0
est la convolution discrète de deux signaux (faire le rapprochement avec la TL !).
Si le système est du second ordre, la méthode est identique, et l’on devra résoudre cette
fois-ci une récurrence double par la TZ.
Bibliographie
[1] J-C.Belloc, P.Schiller, Mathématiques pour l’électronique, Masson, 1994
[2] W.Appel, Mathématiques pour la physique, H&K, 2002
[3] L.Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, 1961
[4] A.Pommellet, Agrégation de mathématiques - Cours d’analyse, Ellipses, 1994
[5] X.Gourdon, Mathématiques pour M’ - Analyse et Algèbre, Ellipses, 1994
[6] C.Larcher, M.Pariente, J-C.Roy, BTS-DUT - Mathématiques, Techniplus, 1996
[7] B.Verlant, G.Saint-Pierre, BTS industriels - Mathématiques, Foucher, 2002
[8] P.Taquet, P.Tirel, J.Bance, BTS industriels - Mathématiques, Hachette, 2002
63

BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

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