Bernoulli-Gleichung - Hochschule Karlsruhe

Bernoulli-Gleichung - Hochschule Karlsruhe

Prof. Dr.-Ing. Norbert Eisenhauer
Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft
Postfach 2440 76012 Karlsruhe
Tel. und Fax: 0721/925-2619 - Email: [email protected]
Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung geht zurück auf den Genfer Wissenschaftler Daniel Bernoulli (17001782). Sie ist zentrales Element bei der Betrachtung von Strömungen und –
Strömungszuständen. Sie basiert auf dem Energiezustand eines Fluidelementes. Wie in
Abschnitt 2 bereits für ruhendes Wasser aufgezeigt, besitzt jedes Fluidelement potentielle
Energie und Energie in Form von Druck. Bei strömenden Medien tritt noch die kinetische
Energie als Energieform hinzu. Es gilt:
E ges = E pot + E Druck + E kin = ∆m ⋅ g ⋅ z + p ⋅ ∆V +
1
⋅ ∆m ⋅ v ²
2
Bezieht man nun die Energie eines Fluidelementes auf sein Gewicht ∆m.g so folgt
unmittelbar die von Daniel Bernoulli abgeleitete Beziehung:
E ges
∆m ⋅ g
=H=z+
p
v²
+
ρg 2g
Der Energiegehalt eines Fluidelementes wird also sehr anschaulich durch drei ‚Höhenanteile’
(die Terme der Bernoulli-Gleichung haben die Dimension einer Länge) beschreiben: die
geodätische Höhe z, die Druckhöhe p/ρg und die Geschwindigkeitshöhe v²/2g. Diese bilden
in der Summe die Energiehöhe H.
Allgemein gilt (vgl. Bild 1):
- die Drucklinie liegt immer um das Maß der Geschwindigkeitshöhe unter der
Energielinie;
- bei Stromröhren mit konstantem Querschnitt verläuft die Drucklinie parallel zur
Energielinie;
- die Druckhöhe ist der Abstand zwischen Drucklinie und geodätischer Höhe eines
Punktes. Liegt die geodätische Höhe höher als die Drucklinie, so herrscht Unterdruck;
Verjüngungen
der
Stromröhre
erzeugen
eine
Vergrößerung
der
Fließgeschwindigkeit und damit ein Abfallen der Drucklinie, Aufweitungen bewirken
das Gegenteil.
Die Bernoulli-Gleichung bei idealen Fluiden
Per Definition tritt bei idealen Fluiden keine Reibung auf. Reibungs- und auch sonstige
Verluste entstehen nicht. Dies bedeutet, dass in einer Stromröhre an jeder Stelle die gleiche
Energiehöhe vorhanden ist. Sind an einer Stelle der Stromröhre Höhenlage, Druck und
Geschwindigkeit bekannt, so sind sie auch an jeder andern beliebigen Stelle berechenbar,
wenn die Geometrie der Stromröhre und der Durchfluss bekannt sind. (Bild 1). Es gilt:
H0 = z 0 +
p 0 v 02
p
v2
+
= z i + i + i = Hi = const
ρg 2g
ρg 2g
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v02/2g
p0/ρg
Energielinie EL
H1
H0
Drucklinie DL
v12/2g
H2
Geschwindigkeitshöhe
v²/2g
Stromröhrenachse
p1/ρg
Druckhöhe p/ρg
v22/2g
p2/ρg
z0
z2
Geodätische Höhe z
Bezugsniveau z=0
z1
Bild 1: Veranschaulichung der Bernoulli-Gleichung bei idealen Fluiden
Die Wahl des Bezugsniveaus spielt dabei keine Rolle, da sowohl der rechte wie der linke
Term um das gleiche Maß verändert werden. Bei der praktischen Anwendung ist es jedoch
in der Regel ratsam, das Bezugsniveau möglichst ‚tief’ zu legen, um negative Höhenlagen zu
vermeiden.
Die Bernoulli-Gleichung bei realen Fluiden
Bei realen Fluiden treten Energieverluste infolge der Reibung an der Wand
(Reibungsverluste) und durch örtliche Störungen der Strömungsgeschwindigkeit (örtliche
Verluste auf. Dies führt zu einer Verringerung der Energiehöhe in Strömungsrichtung (Abfall
der Energielinie, Bild 2). Es gilt die modifizierte Bernoulli-Gleichung:
H0 = z 0 +
p 0 v 02
p
v2
+
= z i + i + i + ∆hi (3.12)
ρg 2g
ρg 2g
Die Berechnung der Strömungsverhältnisse an beliebigen Stellen erfordert die Kenntnis der
Strömungsverluste ∆h. Die Genauigkeit hydraulischer Berechnungen steht und fällt mit der
Abschätzung dieser Verluste.
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H0
v02/2g
p0/ρg
Energielinie EL
Drucklinie DL
H1
∆h1
v12/2g
p1/ρg
∆h2
H2
v22/2g
p2/ρg
z0
z2
Bezugsniveau z=0
z1
Bild 2: Veranschaulichung der Bernoulli-Gleichung bei realen Fluiden