1´Equation cartésienne du plan (ABC) défini par trois points A,B,C

Licence Science-Éco 1ère année
Analyse
Université Paris-Est
2008/2009
Équation cartésienne d’un plan.
−→
−→
Soit A(0, 0, 1), B(4, 2, 3) et C(−3, 1, 1). On a AB(4, 2, 2) et AC(−3, 1, 0).
1
Équation cartésienne du plan (ABC) défini par trois
points A, B, C non alignés
1.1
Déterminer un vecteur normal
→
Une première façon de procéder consiste à trouver un vecteur normal −
n = (a, b, c) au
plan (ABC) et on aura alors :
−−→ →
M (x, y, z) ∈ (ABC) ⇔ AM .−
n = 0 ⇔ a(x − 0) + b(y − 0) + c(z − 1) = 0.
(1)
On aura donc trouvé l’équation cartésienne du plan (ABC).
Pour déterminer un vecteur normal au plan, nous avons les deux méthodes suivantes :
1.1.1
1ère méthode (à la main) :
→
On cherche un vecteur −
n = (a, b, c) tel que :
(
−→
→
−
n .AB = 0
4a + 2b + 2c = 0
c = −5a
⇔
⇔
−→
→
−
−3a + b = 0
b = 3a
n .AC = 0
→
Le vecteur −
n a donc pour coordonnées (a, 3a, −5a). On choisit par exemple a = 1. Donc,
→
−
n (1, 3, −5) est un vecteur normal au plan (ABC).
1
Ensuite, (1) nous donne l’équation cartésienne du plan (ABC) :
M (x, y, z) ∈ (ABC) ⇔ x + 3y − 5z + 5 = 0.
1.1.2
(2)
2ème méthode (produit vectoriel) :
Au lieu de construire le vecteur normal à la main, on utilise le produit vectoriel entre
−→ −→
−→ −→
−→
→
les vecteurs AB et AC. En effet, si on pose −
n = AB ∧ AC qui est orthogonale à AB et
−→
AC et dont la formule générale est obtenue de la façon suivante :

 
 

x1
x2
y1 z2 − y2 z1
 y1  ∧  y2  =  −(x1 z2 − x2 z1 ) 
z1
z2
x1 y2 − x2 y1
−→ −→
→
On a donc : −
n = AB ∧ AC = (−2, −6, 10) un vecteur normal au plan (ABC). Donc,
→
−
→
n = −1/2−
n = (1, 3, −5) est aussi un vecteur normal au plan (ABC). On retrouve alors
1
le résultat du cas précédent.
1
1.2
Utilisiser l’appartenance des trois points
L’équation cartésienne de (ABC) est de la forme : ax + by + z + d = 0.
Comme A(0, 0, 1) ∈ (ABC), on a : a × 0 + b × 0 + c × 1 + d = c + d = 0.
Comme B(4, 2, 3) ∈ (ABC), on a : a × 4 + b × 2 + c × 3 + d = 4a + 2b + 3c + d = 0.
Comme C(−3, 1, 1) ∈ (ABC), on a : a × (−3) + b × 1 + c × 1 + d = −3a + b + c + d = 0.
Donc, on doit résoudre le système suivant :



c+d =0
c+d =0
d = −c



4a + 2b + 3c + d = 0
4a + 2b + 3c + d = 0 ⇔
4a + 2b + 3c + d = 0
⇔
L3 −L1 →L3 


−3a + b + c + d = 0
−3a + b
=0
b = 3a


d = −c

 d = −c = 5a
10a + 2c = 0
c = −5a
⇔
⇔


b = 3a
b = 3a
Donc, (ABC) a pour équation cartésienne :
ax + 3ay − 5az + 5a = 0.
Pour a = 1, on retrouve l’équation (2).
Remarque 1 L’équation cartésienne d’un plan est donnée à un coefficient multiplicateur
près. C’est-à-dire que si un plan P a pour équation cartésienne :
ax + by + cz + d = 0.
L’équation :
kax + kby + kcz + kd = 0
est aussi une équation cartésienne de P.
2
Équation cartésienne du plan (ABC) avec 2 vecteurs directeurs et 1 point
−→
−→
Le plan (ABC) est le plan de vecteurs directeurs AB(4, 2, 2) et AC(−3, 1, 0) passant
par A(0, 0, 1).
On utilise la caractérisation suivante :
−−→
−→
−−→
M (x, y, z) ∈ (ABC) ⇔ ∃ a, b ∈ R, AM = aAB + bBC.
En identifiant les coordonnées (2 vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales) on doit résoudre le système suivant :


x = 4a − 3b
 x − 0 = 4a − 3b

y − 0 = 2a + b ⇔
y = 2a + b


z − 1 = 2a
z − 1 = 2a
2
On s’intéresse maintenant aux deux premières équations pour exprimer a et b en fonction
de x et de y :


 4a = x + 3b
4a − 3b = x
4a − 3b = x
⇔
⇔
2a + b = y 2L2 −L1 →L2 5b = 2y − x

 b = 2y − x
5


3
6y + 2x
3y + x




4a =


 4a = x + 5 (2y − x) =

5
10
⇔
⇔




2y − x
2y − x


 b=
 b=
5
5
On remplace a et b par les expressions trouvées dans l’équation : z − 1 = 2a et on
obtient :
3y + x
⇔ 5z − 5 = 3y + x ⇔ x + 3y − 5z + 5 = 0.
z−1=
5
On a alors :
M (x, y, z) ∈ (ABC) ⇔ x + 3y − 5z + 5 = 0.
3
Équation cartésienne du plan (ABC) avec un vecteur normal et un point
C’est la méthode que l’on a utilisé au tout début.
3