Correction : triangle d`aire maximale

Correction : triangle d'aire maximale
1. b) D'après la gure créée sous Geoplan, on peut dire que l'aire du triangle ABC est
maximale pour x = BC = 5. Puisque le périmètre du triangle est 15 et que le triangle
est isocèle en A, on en déduit que le triangle ABC est équilatéral.
En eet, AB = AC = 15−BC
= 15−5
= 5, c'est-à-dire, AB = AC = BC .
2
2
2. Démonstration
a) ·
Puisque¸le périmètre du triangle ABC est 15, x prend ses valeurs dans l'intervalle
15
. Aux bornes de cet intervalle, le triangle est aplati.
0;
2
En eet, d'après l'inégalité triangulaire, on a
BC 6 AB + AC
⇔
BC 6 15 − BC
⇔
BC 6
15
.
2
b) Dans le triangle ABC , isocèle en A, H est le milieu du côté [BC]. On en déduit que
[AH] est la hauteur issue de A.
D'où
BC × AH
A(x) =
2
x × AH
⇔
A(x) =
2
Le triangle AHB est rectangle en H . D'après le théorème de Pythagore,
AH 2 + BH 2 = AB 2
H est le milieu de [BC], donc
BH =
ABC est un triangle isocèle en A, donc
Dans (1),
2
AH +
2
x
BC
=
2
2
15 − x
AB =
2
µ
=
15 − x
2
¶2
225 − 30x + x2 x2
−
4
4
2
225 − 30x + x − x2
⇔
AH 2 =
4
225 − 30x
⇔
AH 2 =
4
√
225 − 30x
⇔
AH =
2
1/3
⇔
Épreuve pratique
³ x ´2
(1)
AH 2 =
D'où
√
x×
A(x) =
⇔
225 − 30x
2
2
x √
A(x) = × 225 − 30x
4
·
15
∀x ∈ 0 ;
2
¸
·
15
, et,
c) • x 7−→ 225 − 30x est dénie et dérivable sur 0 ;
2
·
·
15
225 − 30x > 0 ∀x ∈ 0 ;
.
2
√
x 7−→ x est dérivable sur ]0 ; +∞[.
·
·
√
15
.
Donc la fonction x 7−→ 225 − 30x est dénie et dérivable sur 0 ;
2
·
·
15
On en déduit que la fonction A est dérivable sur 0 ;
.
2
·
• A0 (x) =
1 √
x
−30
× 225 − 30x + × √
4
4 2 225 − 30x
√
=
=
√
225 − 30x × 225 − 30x − 15x
√
4 225 − 30x
225 − 30x − 15x
√
4 225 − 30x
225 − 45x
A0 (x) = √
4 225 − 30x
·
·
√
15
• 4 225 − 30x > 0 ∀x ∈ 0 ;
.
2
·
·
15
Donc A (x) est du signe de 225 − 45x sur 0 ;
.
2
0
• On résout 225 − 45x = 0
225 − 45x = 0
Épreuve pratique
2/3
⇔
x=5
·
·
15
• On en déduit le tableau de signes de A (x) sur 0 ;
, puis le tableau de variation
2
·
¸
15
de A sur 0 ;
:
2
0
x
0
A (x)
0
+
a<0
5
0√
−
15
2
25 3
4
A
0
0
A(0) = 0
5 √
A(5) = × 225 − 30 × 5
4
5 √
= × 75
4
√
5×5 3
=
√4
25 3
=
µ 4¶
15
=0
A
2
¸
15
. L'aire est donc maximale
• A est croissante sur [0 ; 5] et décroissante sur 5 ;
2
pour x = BC = 5.
·
Comme indiqué en 1.b), l'aire maximale est atteinte pour un triangle ABC équilatéral.
Épreuve pratique
3/3