9. Équations différentielles

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
63
9. Équations différentielles
9.1.
Introduction
Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues
et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de
différenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise.
Ainsi, une équation différentielle d'ordre n est une équation de la forme
R(x ; y ; y'; y''; ... ; y(n)) = 0.
Toute fonction qui vérifie, pour tout x, l'équation R(x ; y ; y'; y''; ... ; y(n)) = 0 est une
solution de cette équation.
Résoudre une équation différentielle consiste à déterminer l'ensemble des fonctions qui
en sont solutions.
Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques
de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou
la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste
champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées.
1. xy' – y = 0 est une équation différentielle du premier ordre.
L'une des solutions est donnée par y = x. L'ensemble des solutions est donné par
l'ensemble des fonctions de la forme y = λx, avec ∈ℝ .
Exemples
2. y'' + 4y = 0 est une équation différentielle d'ordre 2.
L'une des solutions est donnée par y = sin(2x), une autre par cos(2x). Les solutions
de cette équation sont de la forme y = λcos(2x) + µsin(2x),  ,  ∈ℝ .
3. y''' + y' – 2 ex = 0 est une équation différentielle d'ordre 3.
La fonction y = ex est solution de cette équation.
Exercice 9.1
9.2.
Trouvez les équations différentielles qui ont pour solution générale les fonctions y = f(x)
données ci-dessous, α, β et γ étant des constantes.
a.
y=αx
c.
y = sin(x + α)
e.
y = α x2 + β x + γ
b. y = αex
1
2
d. y=  x 
2
L'équation y' = f(x)
Une équation différentielle d'ordre 1
R(x ; y ; y') = 0
admet, sous certaines conditions, une solution qui dépend d'une constante réelle
arbitraire (constante d'intégration). Pour caractériser l'une des fonctions f, solution de
R(x ; y ; y') = 0, il faut se donner une condition initiale.
Méthode de résolution Soit l'équation y' = f(x).
Si F est une primitive de f, alors la solution générale de l'équation proposée est donnée
par y = F(x) + α, ∈ℝ .
1
Exemple y' = cos(2x) admet comme solution générale y= sin 2 x , ∈ℝ .
2
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Cahier Analyse
CHAPITRE 9
64
Exercice 9.2
9.3.
Résolvez les équations suivantes :
a.
y' = 0
c.
y' = sin(x)cos(x)
e.
y' =
b. y' + 2x = 0
1
d. y' =
2
1 x
x –1
f. y' =
x1
x
 1 x 2
L'équation à variables séparables y'⋅ g(y) = h(x)
Méthode de résolution Une équation différentielle du type y'⋅ g(y) = h(x) est dite « à variables séparables ».
Si G et H sont des primitives respectives de g et h, la solution d'une telle équation est
donnée par :
G(y) = H(x) + α, ∈ℝ
Exemple L'équation (x – 1)y' – 2y = 0 peut se ramener à
y'
1
2
dy 1
2
dy
2
=
=
=
dx
ou
⇒
y x –1
dx y x – 1
y x–1
à condition d'écarter provisoirement la solution y = 0. En intégrant, on obtient :
ln ∣y∣
– ln∣∣=2ln ∣x – 1∣ , ∈ℝ *
c
c'est-à-dire ln
Exercice 9.3
9.4.
∣y ∣=ln  x – 1 , d'où la solution y= x – 1 , ∈ℝ .
2
2
Résolvez les équations suivantes :
a.
y' sin(x) = y cos(x)
b. y2 + (x+1)y' = 0
c.
xy' – ky = 0, k ∈ℝ *
d. y' =2 x  1− y2
e.
x2y' + y = 3
f. yy' = x
g.
y' – xe-y = 0
h. y = ln(y')
L'équation homogène y ' = g

y
x

y
y
, on pose =z (y = xz et y' = z + xz') : on obtient
x
x
ainsi une équation différentielle à variables séparables.
Méthode de résolution Pour résoudre l'équation y' = g
Exemple xy' = x + y est une équation homogène, car elle peut s'écrire : y' =1
y et z sont des fonctions de x
En posant y = xz, on obtient l'équation z + xz' = 1 + z, d'où z '=
y
.
x
1
.
x
Sa solution générale est z = ln|x| + α, ∈ℝ .
D'où la solution générale de l'équation proposée : y= x ln∣x∣
Exercice 9.4
Cahier Analyse
Résolvez les équations suivantes :
a.
xy' = x – y
b. xy2y' = x3 + y3
c.
x – y + xy' = 0
d. (x2– y2)y' = xy
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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
9.5.
65
L'équation linéaire y' + p(x)⋅ y = q(x)
Méthode de résolution Soit l'équation à résoudre y' + p(x)⋅ y = q(x).
∫ p x dx
1. Calculer =e
. µ est appelé facteur d'intégration.
d
 y= q x .
2. Poser
dx
3. Intégrer les deux côtés de l'équation obtenue en 2 et résoudre pour y.
Exemple Résoudre y' – 4xy = x.
Comme p(x) = –4x, le facteur d'intégration vaut =e
On pose
Cette équation aurait aussi pu
se résoudre par séparation des
On intègre : e
– 2 x2
y=∫ x e
– 2 x2
.
1 – 2x
dx=− e C
4
2
1
2x
D'où l'on tire : y=− C e
4
Exercice 9.5
Résolvez les équations suivantes :
9.6.
−2 x 2
2
variables.
Exercice 9.6
=e
d –2 x
–2 x
e
y= x e
.
dx
2
Remarque
∫ −4 x dx
2
a.
y' + y tan(x) = sin(2x)
b. x2y' + y = 1
c.
y' − x3 = xy
d. y' sin(x) − y cos(x) = cot(x)
e.
(x+1)y' − 2y = (x+1)3
f.
xy' − y = ln(x)
Résolvez les équations suivantes avec les conditions initiales indiquées :
a.
xy' − 2y = 2 – x , y(0.5) = 0
c.
xy' + y = xcos(x) , y
e.
y' = y + 3x + 2 , y(0) = −3


=1
2
b. 2xy' + y = 1 , y(1) = 2
d. y' + y = e−x , y(0) = 0
f.
xy' + 3y = –
2
, y(−1) = −3
x
Applications des équations différentielles d'ordre 1
Géométrie
Trouver une courbe du plan passant par le point (0; 3) et dont la pente de la tangente au
2x
point (x; y) est de 2 .
y
dy 2 x
=
et la condition initiale y(0) = 3.
dx y 2
On doit résoudre l'équation différentielle à variables séparables : y2dy = 2xdx.
On a y' =
D'où :
∫ y 2 dy=∫ 2 x dx
⇒
1 3 2
y = x C .
3
3
De la condition initiale, on déduit que C = 9. La courbe est donc y=  3 x 27 .
Exercice 9.7
2
Trouvez une courbe du plan passant par le point indiqué et dont la pente de la tangente
au point (x; y) est également donnée.
a.
(1; −1) ; pente =
y
2
3 x
b. (2; 0) ; pente = x e y
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Cahier Analyse
CHAPITRE 9
66
Mélanges
1 lb = 1 livre = 453,6 grammes
1 gal = 1 gallon =
Au temps t = 0, un réservoir contient 4 lb de sel dissous dans 100 gal d'eau. Supposons
qu'une saumure contenant 2 lb de sel par gallon d'eau s'écoule dans le réservoir à un
débit de 5 gal/min et que la solution obtenue s'échappe du réservoir aussi avec un débit
de 5 gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur. Quelle est la
quantité de sel dans le réservoir après 10 min (t = 10) ?
Soit y(t) la quantité de sel (en livres) au temps t. Commençons par trouver une
dy
expression de
, la vitesse de variation de la quantité de sel au temps t.
dt
5
yt  en sortent.
10 lb de sel pénètrent chaque minute dans le réservoir, et
100
dy
yt
=10 –
On a donc
.
dt
20
dy y t

=10 est une équation différentielle linéaire d'ordre 1.
dt 20
On a aussi la condition initiale y(0) = 4. Résolvons.
3.8 litres (USA) ou
4.5 litres (GB)
∫1 / 20dt
=e
=e
t / 20
d t /20
t /20
e y=10 e
dt
e
t / 20
y=∫ 10 e
t /20
yt =200C e
t / 20
dt =200 e
C
−t / 20
D'après la condition initiale, 4 = 200 + C ⇒ C = −196.
−t/ 20
Donc, yt =200−196 e
.
Après 10 minutes, la quantité de sel sera y10=200−196e
−0.5
=81.1 lb.
Exercice 9.8
Au temps t = 0, un réservoir contient 25 lb de sel dissous dans 50 gal d'eau. Supposons
qu'une saumure contenant 4 lb de sel par gallon d'eau s'écoule dans le réservoir à un
débit de 2 gal/min et que la solution obtenue s'échappe du réservoir aussi avec un débit
de 2 gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur.
a. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir au temps t ?
b. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir après 25 min ?
Exercice 9.9
Un réservoir d'une capacité de 1000 gallons contient initialement 500 gal d'une saumure
contenant 50 lb de sel. Au temps t = 0, de l'eau pure est ajoutée à un débit de 20 gal/min
et la solution obtenue est évacuée avec un débit de 10 gal/min.
Combien de sel y aura-t-il dans le réservoir quand il commencera à déborder ?
Exercice 9.10
La loi de Torricelli donne une relation entre la vitesse d'écoulement d'un liquide par
l'orifice d'un récipient et la hauteur de liquide au-dessus de l'orifice.
Soit h(t) la hauteur de liquide contenu dans le récipient au-dessus de l'orifice au temps t
et A(h) l'aire de la surface du liquide quand la hauteur du liquide est h. On a la relation :
A h
dh
= – k h
dt
où k est une constante positive dépendant de certains facteurs, comme la viscosité du
liquide et l'aire de la section du trou d'écoulement.
Au temps t = 0, un réservoir cylindrique d'un mètre de rayon contient 4 mètres d'eau audessus de l'orifice. La constante k vaut 0.025.
a. Trouvez h(t).
b. Après combien de minutes le réservoir arrêtera-t-il de se vider ?
Cahier Analyse
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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Croissance
exponentielle
67
En mathématiques, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissance
exponentielle (ou géométrique) lorsque la croissance en valeur absolue de la
population est proportionnelle à la population existante, c'est-à-dire lorsque le taux de
croissance est constant.
Une croissance exponentielle s'exprime en mathématiques :
• pour un phénomène discret (on prend des mesures à intervalle régulier) sous
forme d'une progression géométrique,
• pour un phénomène continu (on essaie de calculer ce qui se passe entre deux
mesures consécutives) sous forme d'une fonction exponentielle.
Soit y(t) la population en question. Comme la croissance en valeur absolue de la
dy
= ky où
population est proportionnelle à la population existante, cela se traduit par
dt
k est le facteur de proportionnalité, avec y(0) = y0.
Cette équation est à variables séparables et peut donc être résolue comme vu plus haut.
∫ dyy =∫ k dt
ln|y| = kt + C
∣y∣=e
kt C
C
=e ⋅e
kt
De la condition initiale y(0) = y0, il suit que eC = y0 . Par conséquent, la solution de
dy
kt
= ky est y= y0 e .
l'équation différentielle
dt
Exercice 9.11
Selon les données de l'ONU, la population mondiale au début de l'année 1990 était
d'environ 5.3 milliards d'habitants, avec un taux de croissance de 2% par an. En utilisant
le modèle de la croissance exponentielle, estimez la population mondiale au début de
l'année 2015.
Exercice 9.12
Le nombre de bactéries dans une culture croît de manière exponentielle au taux de 1%
par heure. En supposant qu'il y ait actuellement 10'000 bactéries, trouvez...
a. le nombre de bactéries au temps t ;
b. le nombre de bactéries après 5 heures ;
c. le temps nécessaire pour obtenir 45'000 bactéries.
9.7.
Ce qu'il faut absolument savoir
Résoudre une équation à variables séparables
Résoudre une équation homogène
Résoudre une équation linéaire
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❏ ok
❏ ok
❏ ok
Cahier Analyse