MODULE 2 : LES cyclones

Transformações geométricas
no plano e no espaço
Sistemas de Coordenadas
●
Sistemas de Referência com finalidades
específicas:
–
–
–
–
SRU – Sistema de Referência do Universo
SRO – Sistema de Referência do Objeto
SRN – Sistema de Referência Normalizado
SRD – Sistema de Referência do Dispositivo
Sistema de Referência do
Universo
●
●
●
Universo ou mundo (onde o objeto está)
Pode ser em milímetros ou quilômetros
Não necessariamente será cartesiano
–
●
Localização de aviação: o ideal é o polar
Apresentam limites extremos (coordenadas
máximas e mínimas do universo)
Sistema de Referência do
Objeto
●
●
Cada objeto é um miniuniverso
Centro de gravidade do objeto (pivô) pode
coincidir com o centro do sistema
Sistema de Referência
Normalizado
●
Coordenadas normalizadas
–
0OxO1 e 0OyO1
–
–
Intermediário entre SRU e SRD
Torna a geração das imagens independente do
dispositivo
Sistema de Referência do
Dispositivo
●
Coordenadas que podem ser fornecidas
diretamente a um dispositivo
–
Ex: Vídeo (800x600 pixels)
Transformações entre
Sistema de Coordenadas
●
●
Polar para Cartesiano
Objeto é descrito no SRO e deve passar para
o sistema de coordenadas global da cena
Transformações em pontos e
objetos
●
●
●
●
●
Translação
Escalonamento
Reflexão
Rotação
Cisalhamento
Translação
●
x' = x + Tx
●
y' = y + Ty
●
z' = z + Tz
●
Objetos são descritos por pontos principais.
Apenas esses pontos são transformados e o
objeto é redesenhado
Translação
y
x
Escalonamento
●
x' = x Sx
●
y' = y Sy
●
z' = z Sz
●
Caso o objeto não esteja na origem, o mesmo
será transladado
Escalonamento
y
x
Reflexão
●
●
É um caso específico de escalonamento, onde
por exemplo:
●
Se x' = -x, então Sx=-1 e a reflexão é em yz.
●
Se y' = -y, então Sy=-1 e a reflexão é em xz.
●
Se z' = -z, então Sz=-1 e a reflexão é em xy.
É uma operação utilizada justamente no
efeito de reflexão em uma superfície polida
rotação
●
●
●
●
Rotacionando em torno da origem (2D):
x' = xcos(θ) – y sen(θ)
y' = ycos(θ) + x sen(θ)
Caso o objeto não esteja na origem, o mesmo
será transladado
rotação
y
x
rotação
●
Considerando as três coordenadas:
– Rotação em torno do eixo z
●
o plano xy
y
– Rotação em torno do eixo y
a
●
o plano xz
– Rotação em torno do eixo x
y'
●
o plano yz
y
x'
x
z
a
x
Rotação do plano XY
●
●
●
x' = xcos(α) – y sen(α)
y' = ycos(α) + x sen(α)
z' = z
Rotação do plano ZX
●
●
●
x' = x cos(δ) + z sen(δ)
y' = y
z' = z cos(δ) - x sen(δ)
Rotação do plano YZ
●
●
●
x' = x
y' = y cos(β) - z sen(β)
z' = z cos(β) + y sen(β)
Rotação
●
As matrizes de rotação apresentadas são
ortonormais
–
●
R-1 = RT
A ordem em em que as matrizes são
multiplicadas (rotação são efetuadas) altera o
resultado final
–
MxNxO≠OxNxM
●
se M≠O
cisalhamento
●
Ex:
–
–
–
●
x' = x + Sy
y' = y
z' = z
Outros tipos de deformações podem ser
utilizadas
–
–
–
x' = x
y' = ax + y + bz
z' = cx + z
Coordenadas Homogêneas
●
Cisalhamento, Rotação, Escala:
Multiplicação de matrizes
–
●
●
Combinação de transformações obtida pela
multiplicação consecutiva das matrizes de
transformação
Translação: Soma de Matrizes
Para simplificar utilizamos coordenadas
homogêneas (x',y',z',M)
–
(x,y,z) = (x'/M, y'/M, z'/M)
Coordenadas Homogêneas (2)
●
●
●
Se M=0, os pontos estão fora do espaço
dimensional, mas...
podemos ter M=0, significando que M tende
a zero, representando pontos no infinito
Representações de números muito grandes
ou muito pequenos:
–
–
(1,2,3,10000) i(0.0001, 0.0002, 0.0003)
(1,2,3,0.0001) i(10000, 20000, 30000)
Coordenadas Homogêneas (3)
Transformação de Escala
Transformação de Rotação
Projeções Geométricas
●
●
●
Desenhar o objeto em 2D
Aplicar transformações
Ex: Perspectiva Isométrica
–
–
–
Rotação do eixo y de 45°
Rotação do eixo x de 35° 26”
Projeção do novo plano (z=0)
[ x'
y ' z ' ١] = [ x
y
 ٠,٧٠٧ ٠,٤٠٨
 ٠
٠,٨١٦

z ١] ×
 ٠,٧٠٧ − ٠,٤٠٨

٠
 ٠
٠ ٠
٠ ٠
٠ ٠

٠ ١
Transformações com OpenGL
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glTranslatef (7,-4,5);
–
●
glScalef(1,0.5,1);
–
●
glTranslatef (Tx,Ty,Tz);
glScalef(Sx,Sy,Sz);
glRotatef(30,1,0,1);
–
–
glRotatef(angulo,x,y,z);
(x,y,z) são as coordenadas que determinam o
vetor de rotação. Ex: (0,0,1) define que a rotação
será em torno do eixo z.
Transformações com OpenGL
●
Para usar uma matriz particular de
transformação, pode-se utilizar a função
glMultMatrix(float M[16])
–
–
Utiliza-se como argumento uma matriz de 16
elementos que representa
o conteúdo de uma
 
[ ]
matriz 4x4
Ex: Para cisalhamento utiliza-se o vetor
[1 0 0 0 S 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1], representando a
matriz 1 0 0 0
S100
0010
0001
Processamento de vértices
OpenGL - Matrizes de
Transformação
●
OpenGL mantém três matrizes de
transformação
–
–
–
●
●
Modelview (relativo ao objeto)
Projection (relativo à projeção)
Texture (relativo à textura)
Qualquer uma pode ser alterada
A função MatrixMode determina qual matriz
será utilizada
OpenGL - Matrizes de
Transformação (2)
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glMatrixMode(GL_PROJECTION);//usa matriz de projeção
glLoadIdentity();//matriz de projeção = I
gluPerspective(30.0,width/height,1,1,10);//define opções de
visão, alterando a matriz de projeção
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);//usa matriz de modelagem
glLoadIdentity();//matriz de modelagem = I
glTranslatef(0,0,2);// Translação de 2 unidades (eixo z)
glRotatef(29,1,0,0);//Rotação de 29 graus (eixo x)
Criando Objetos com OpenGL
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Criando um Polígono:
glBegin(GL_POLYGON);//marco o início de um
polígono
glVertex2i(0,0);//primeiro vértice está em (0,0)
glVertex2i(1,0);//segundo vértice está em (1,0)
glVertex2i(1,1);//terceiro vértice está em (1,1)
glEnd();//marca o fim do polígono
Argumentos para glBegin()
Polígonos em OpenGL
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Não podem ser convexos
Sem limite para vértices